江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷

这是一份江苏省苏州市苏州中学2024--2025学年秋八年级上学期10月数学能力测评卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列航空公司的标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．贵州航空B．江西航空
C．春秋航空D．香港航空
2．如图，三座商场分别坐落在、、所在位置，现要规划一个地铁站，使得该地铁站到三座商场的距离相等，该地铁站应建在（ ）
A．三角形三条中线的交点B．三角形三条高所在直线的交点
C．三角形三个内角的角平分线的交点D．三角形三条边的垂直平分线的交点
3．对于下列四个条件：①；②，③；④，能确定是直角三角形的条件有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
4．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直.若点到的距离是4，则的长为（ ）
A．8B．6C．4D．2
5．“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为，.若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ）
A．12B．13C．14D．15
6．如图，在中，，，为、平分线的交点，若的面积为30，则的面积为（ ）
A．16B．20C．24D．48
7．如图，中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A．4B．5C．D．
8．如图，在中，cm，cm，，点从点出发以每秒3cm的速度向点运动，点从点同时出发以每秒2cm的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，当为直角三角形时，的值为（ ）
A．2.5秒B．3秒C．2.5或3秒D．3或秒
二、填空题（共8小题）
9．某学校某同学在照镜子的时候发现自己的学号在镜子中的数字显示为如图案，请问他的学号为______________.
10．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的底角度数是______________.
11．如图，已知是等边三角形，点、、、在同一直线上，且，，则______________度.
12．如图，、分别是、的垂直平分线，垂足分别为、，且，，，则______________°.
13．如图，在公园内有两棵树相距8米，一棵树高15米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_____________米.
14．14.如图，一个长方体形盒子的长、宽、高分别为3cm，4cm，5cm，一只蚂蚁想从盒底的点沿盒的表面爬到盒顶的点，蚂蚁要爬行的最短路程是______________cm.
15．如图，在中，，，，将沿折叠得，连接，则______________.
16．如图，在长方形中，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是______________.
三、解答题（共11小题）
17．如图，在正方形网格中，点、、、、都在格点上.
（1）作关于直线对称的图形.
（2）若网格中最小正方形的边长为1，求的面积.
（3）点在直线上，当周长最小时，点在什么位置，在图中标出点.
18．在中，，、、的边分别为、、，
（1）若，，求，的值.
（2）若，，求的值.
19．如图，小明爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算这块土地的面积，以便估算产量，小明测得m，m，m，m，又已知，求这块土地的面积.
20．如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点.连接.
（1）若的周长为19，的周长为7，求的长；
（2）若，，求的度数.
21．“赵爽弦图”巧妙地利用“出人相补”的方法证明了勾股定理.小华受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为、，斜边长为的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法可以证明勾股定理，于是小华用两种不同的方法表示了五边形的面积.请你完成小华的证明：.
22．如图，已知.
（1）在图中用直尺和圆规作出的平分线和边的垂直平分线，并交于点（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）在（1）的条件下，若点，分别是边和上的点，且，连接，，试说明.
23．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”.又到了放风筝的最佳时节.某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
（1）求风筝的垂直高度；
（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
24．如图，在中，边的垂直平分线与边的垂直平分线交于点，这两条垂直平分线分别交于点、.
（1）若，，求的度数；
（2）已知的周长7cm，分别连接、、，若的周长为15cm，求的长.
25．如图，在中，、分别是边、上的高线，取为中点，连接点，，得到，是中点.
（1）求证：；
（2）如果，，求.
26．如图，点为等腰直角三角形斜边上一动点（点不与线段两端点重合），将绕点顺时针方向旋转90°到，连接、、.
（1）求证：；
（2）若，，求的长；
（3）若，请直接写出的最小值.
27．如图①，等腰中，.点是上一动点，点、分别在延长线上.且，.
问题思考
在图①中，求证：；
问题再探
若，如图②.探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
问题拓展
若且平分，如图③，请直接写出的值为____________.
2024秋季初二数学10月能力测评卷参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题）
3．A 【解析】解：，，，，
是直角三角形；故①正确；
②，设，，，，
是直角三角形；故②正确；
③，，，
是直角三角形；故③正确；
④，，，，
，
不是直角三角形；故④错误；
综上：能确定是直角三角形的条件有①②；
故选：A.
4．A 【解析】解：过点作于，
，，，
和分别平分和，，，
，
，，.
5．B 【解析】【解答】解：由题意可知，中间小正方形的边长为，
，即①，，
②，
①+②得，大正方形的面积为：
6．C 【解答】解：为、平分线的交点，
点到，的距离相等，、面积的比，
的面积为30，的面积为24.
7．A 【解答】解：设，由折叠的性质可得，
是的中点，，
在中，，解得.即.故选：A.
8．D 【解析】【分析】根据题意，先列出，的代数式，当为直角三角形时，则，或，，再根据30度所对的边是斜边的一半，建立关于的方程求解即可.
【解答】解：根据题意得：，，
为直角三角形，，
当，时，则，
，解得：，
当，时，则，
，解得：，
综上，当的值为3秒或秒时，为直角三角形.
【点评】此题主要考查含369三角形，根据题意列出关于的方程是解题的关键.
二、填空题（共8小题）
9．20231425
10．65°或25°
【分析】形状的不确定性，可分为高瘦型以及矮胖型两类.
【解析】【解答】解：在等腰中，，为腰上的高，，
（高瘦型）当在内部时，如图1，
为高，，，
，；
（矮胖型）当在外部时，如图2，
为高，，，
，，而，
，
综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°.
11．15°
【解析】【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，，
，
.
12．44°
【解析】【解答】解：如图，连接、，
、分别是、的垂直平分线，，，，
在和中，
，
，
设，
，
，，
则，解得：.
13．10米
【解答】解：如图所示，，为树，且米，米，
为两树距离8米，
过作于，则米，米，
在直角三角形中，（米），
答：小鸟至少要飞10米.
14．cm
【解析】【分析】分为三种情况展开，根据勾股定理求出线段的长度，再进行比较即可.
【解答】解：设定字母如图所示：
长方体有6个面，前=后，左=右，上=下，即有3组相等的面，
从到，侧面走，需要经过两个面
①红色线，前+右；
②绿色线，前+上；
③蓝色线，左+上.
蚂蚁爬行的最短路程是cm.
15．
【解析】【解答】解：如图，连接交于点，
，，，，，
，
根据翻折的性质得，，，
，，
16．
【解析】【解答】解：过作于，连接，如图：
长方形中，，，，
，
，
关于边，的对称点分别为，，
，
，
线段长度最小即是长度最小，此时，即与重合，最小值为.
三、解答题（共11小题）
17．【解析】【解答】解：（1）如图，即为所求；
（2）的面积为：；
（3）因为点关于的对称点为，
连接交直线于点，此时周长最小.
所以点即为所求.
18．【解析】 【解答】解：（1）中，，、、的对边分别为、、，且，
设，则.
，即，
解得，
，；
（2）中，，、、的对边分别为、、，
，
，，
，
解得：.
19．【解析】【解答】解：连接，
，
，
，
，
（平方米），
答：这块土地的面积为36平方米.
20．【解析】【解答】解：（1）是线段的垂直平分线，
，，
的周长为19，的周长为7，
，，
，
；
（2），，
，
，
，
.
21．【分析】五边形的面积=边长为的正方形面积+2个全等的直角边分别为，的直角三角形的面积，或五边形的面积=边长为的正方形面积十边长为的正方形面积+2个全等的直角边分别为，的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解.
【解答】证明：五边形的面积为：
①，
②，
，
.
22．【解析】【解答】（1）解：如图，的平分线以及边的垂直平分线即为所求.
（2）证明：连接，
为的垂直平分线，
，
，
平分，
，
，
，
，
.
23．【解析】【解答】解：（1）在中，
由勾股定理得，，
所以，（负值舍去），
所以，（米），
答：风筝的高度为21.6米；
（2）由题意得，，
，
（米），
（米），
∴他应该往回收线8米.
24．【解析】【解答】解：（1），，
，
是线段的垂直平分线，
，
，
同理，，
，
；
（2）连接，，，
的周长7cm
（cm），
（cm）；
的周长为15，
，
，
，
垂直平分，
，
同理，，
（cm）.
25．【解析】【解答】（1）证明：在中，、分别是边、上的高线，
，
是的中点，
，
是等腰三角形，
是的中点，
；
（2）解：、分别是边、上的高线.
，
是的中点，，
，
，，
，
，
，
，（斜中模型倒角）
是等边三角形，
是的中点，
，
.
26．【解析】【解答】（1）证明：将绕点顺时针方向旋转90°到，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
；
（2）解：，
，
，
在中，由勾股定理得，，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）知，，
则点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接，交于，此时最小，
，
，
，
在中，由勾股定理得，，
，
的最小值为10.
27．问题思考
【解析】【解答】问题思考：证明：，，，
在和中，，，
，
又，，，
又，；
问题再探
【解析】问题再探：解：线段、、之间的数量关系为.理由如下：
如图2中，在上取点，使，连接.
，，
，为等边三角形，
又，，为等边三角形，
，，
又，，，
，
由（1）得.，
，.
，；
问题拓展
【解析】问题拓展：如图3中，延长，交于点.
，
，平分，
，
又，
，
，
又，，，
，
，
，
，
，
故答案为：.
1
2
3
4
5
6
7
8
D
D
A
A
B
C
A
D
①如图1，展开后连接，
则就是在表面上从到的最短距离，
②如图2，展开后连接，
则就是在表面上从到的最短距离，
③如图3，展开后连接，
则就是在表面上到的最短距离，
在中，由勾股定理得：
（cm）；
在中，由勾股定理得：
（cm）；
在中，由勾股定理得：
（cm）.