人教版数学九上03-(三)二次函数与几何图形练习（含解析）

这是一份人教版数学九上03-(三)二次函数与几何图形练习（含解析），共7页。
(三)二次函数与几何图形类型一　线段相关问题如图,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2,0)、B(4,0),与y轴正半轴交于点C,且OC=2OA.直线y=mx+n经过B、C两点.(1)求抛物线及直线BC的函数表达式;(2)点F是抛物线对称轴上一点,当FA+FC的值最小时,求出点F的坐标及FA+FC的最小值.类型二　图形面积问题如图,在平面直角坐标系中,直线y=-12x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点和点A,顶点为点M.(1)求抛物线的关系式及点M的坐标;(2)点E是直线AB下方的抛物线上一动点,连接EB,EA,当△EAB的面积等于252时,求点E的坐标.类型三　特殊三角形问题3.如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C,点B在x轴的负半轴上,且AB=4,抛物线经过点A、B、C.(1)求这条抛物线的解析式;(2)点D是抛物线的对称轴l上一点,若以C,B,D为顶点的三角形是等腰三角形,求点D的坐标.类型四　平行四边形问题4.如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1,抛物线交x轴于A、C两点,与直线y=x-1交于A、B两点,直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点D为坐标平面内的一点,以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形,请直接写出符合条件的点D的坐标.类型五　角度问题5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点为C(3,6),与y轴交于点B(0,3),点A是抛物线的对称轴与x轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)连接BC,在对称轴AC右侧的抛物线上是否存在一点D,使得∠BCD=75°?如果存在,求出点D的坐标;如果不存在,请说明理由.答案全解全析1.解析　(1)由点A的坐标知OA=2.∴OC=2OA=4,∴点C的坐标为(0,4).将点A(-2,0),B(4,0),C(0,4)的坐标代入抛物线的表达式,得4a-2b+c=0,16a+4b+c=0,c=4,解得a=-12,b=1,c=4.∴抛物线的表达式为y=-12x2+x+4.将点B(4,0),C(0,4)的坐标代入直线BC的表达式,得0=4m+n,n=4,解得m=-1,n=4.∴直线BC的表达式为y=-x+4.(2)连接AF,BF,CF,∵点A、B关于抛物线的对称轴对称,∴AF=BF,∴AF+FC=BF+FC,∴当点B、F、C在同一条直线上时(如图),FA+FC的值最小,∴点F是直线BC与对称轴的交点时,FA+FC的值最小,最小值为BC的长.易知,抛物线的对称轴为直线x=1,当x=1时,y=-x+4=3,∴点F的坐标为(1,3).由点B、C的坐标知OB=OC=4,∴BC=2BO=42.∴点F的坐标为(1,3),FA+FC的最小值为42.2.解析　(1)对于y=-12x+3,令y=0,则-12x+3=0,解得x=6,令x=0,则y=3,∴A(6,0),B(0,3).∵抛物线y=13x2+bx+c经过坐标原点,∴c=0,将点A(6,0)代入抛物线表达式得0=13×36+6b,解得b=-2,∴抛物线的表达式为y=13x2-2x.∴抛物线的对称轴为直线x=3,当x=3时,y=13x2-2x=-3,∴点M的坐标为(3,-3).(2)易知点E在y轴右侧,如图,过点E作EH∥y轴,交AB于点H,设点E的坐标为x,13x2-2x,则点H的坐标为x,-12x+3,∴S△EAB=S△EHB+S△EHA=12·OA·EH=12×6×-12x+3-13x2+2x=252,解得x=1或x=72,∴点E的坐标为1,-53或72,-3512.3.解析　(1)对于y=-x+3,令y=0,则-x+3=0,解得x=3,令x=0,则y=3,∴A(3,0),C(0,3).∵AB=4,点B在x轴的负半轴上,∴B(-1,0).∵抛物线经过点A(3,0),B(-1,0),∴设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x+1),将C(0,3)代入,得a=-1,∴抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),即y=-x2+2x+3.(2)依题意得BC=12+32=10,抛物线的对称轴为直线x=1,设D(1,m),①当BD=CD时,22+m2=12+(3-m)2,解得m=1,∴D(1,1).②当BD=BC时,4+m2=10,解得m=±6,∴D(1,6)或(1,-6).③当CD=BC时,1+(m-3)2=10,解得m1=6(舍去),m2=0,∴D(1,0).综上所述,满足条件的点D的坐标是(1,1),(1,6),(1,-6),(1,0).4.解析　(1)对于y=x-1,令y=0,则x-1=0,解得x=1,∴A(1,0).∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=-1,且A、C两点关于对称轴对称,∴C(-3,0),∵抛物线经过A、C两点,∴a+b+3=0,9a-3b+3=0,解得a=-1,b=-2.∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.(2)对于y=x-1,当x=-1时,y=-1-1=-2,∴E(-1,-2).连接BC,CE,易得直线BC的解析式为y=5x+15,直线BE的解析式为y=x-1,直线CE的解析式为y=-x-3.如图,以点B、C、E、D为顶点的平行四边形有3个,分别是平行四边形CBED1、ECD2B、CBD3E,易知直线D1D3的解析式为y=5x+3,直线D1D2的解析式为y=x+3,直线D2D3的解析式为y=-x-9,联立y=5x+3,y=x+3,解得x=0,y=3,∴D1(0,3),同理可得D2(-6,-3),D3(-2,-7).综上所述,符合条件的点D的坐标为(0,3)或(-6,-3)或(-2,-7).5.解析　(1)∵抛物线的顶点为C(3,6),∴可设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+6(a≠0),将B(0,3)代入上式,解得a=-13,∴抛物线的解析式为y=-13(x-3)2+6,即y=-13x2+2x+3.(2)存在.如图,过点B作对称轴的垂线,垂足为点E,∵B(0,3),C(3,6),∴E(3,3),∴BE=CE=3,∵∠BEC=90°,∴∠BCE=45°.∵∠BCD=75°,∴∠ACD=30°.过点D作对称轴的垂线,垂足为点G,设点D的坐标为t,-13t2+2t+3,则DG=t-3,CG=6--13t2+2t+3=13t2-2t+3.∵∠ACD=30°,∠CGD=90°,∴2DG=DC.在Rt△CGD中,CG=3DG,∴13t2-2t+3=3(t-3),∴t=3+33或t=3(舍),∴D(3+33,-3).