安徽省明光市泊岗中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】

这是一份安徽省明光市泊岗中学2024-2025学年九年级数学第一学期开学质量跟踪监视模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，以正方形的顶点为直角顶点，作等腰直角三角形，连接、，当、、三点在--条直线上时，若，，则正方形的面积是( )
A．B．C．D．
2、（4分）如图所示，矩形ABCD的面积为10cm2，它的两条对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB、AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，…，依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为( )
A．1cm2B．2cm2C．cm2D．cm2
3、（4分）若a≤1，则化简后为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（ ）
A．10cmB．15cmC．10cmD．20cm
5、（4分）下列二次根式能与合并为一项的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）一组数中，无理数的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
7、（4分）已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象如图所示，则不等式kx+b＞1的解集为（ ）

A．x＜0B．x＞0C．x＜2D．x＞2
8、（4分）二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≤﹣2B．a≥﹣2C．a＜﹣2D．a＞﹣2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是__________．
10、（4分）若一组数据4，a，7，8，3的平均数是5，则这组数据的中位数是________．
11、（4分）已知一元二次方程：2x2+5x+1=0的两个根分别是x1、x2 ， 则=________．
12、（4分）直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x > k1x+b的解集为________________
13、（4分）分解因式：______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E、F分别是AB、AD上两个动点，若AE＝DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG，与BD相交于H．
（1）求∠BGE的大小；（2）求证：GC平分∠BGD．
15、（8分）如图，一学校（点M）距公路（直线l）的距离（MA）为1km,在公路上距该校2km处有一车站（点N）,该校拟在公路上建一个公交车停靠点（点p）,以便于本校职工乘车上下班，要求停靠站建在AN之间且到此校与车站的距离相等，请你计算停靠站到车站的距离.
16、（8分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，AB＝AC，E，F分别为AC，BC的中点，连接EF，ED，FD．
（1）求证：ED＝EF；
（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝6，求DF的长．
17、（10分）已知矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y．
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）求自变量x的取值范围．
18、（10分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（1）将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1C1．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，四边形是正方形，点在上，绕点顺时针旋转后能够与重合，若，，试求的长是__________．
20、（4分）过某矩形的两个相对的顶点作平行线，再沿着平行线剪下两个直角三角形，剩余的图形为如图所示的▱ABCD，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，则原来矩形的面积是__．
21、（4分）如图，在△ABE中，∠E＝30°，AE的垂直平分线MN交BE于点C，且AB＝AC，则∠B＝________．
22、（4分）如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A在y轴正半轴上,边AB、OA(AB>OA)的长分别是方程x−11x+24=0的两个根,D是AB上的一动点(不与A．B重合).AB=8，OA=3.若动点D满足△BOC与AOD相似，则直线OD的解析式为____.
23、（4分）如图，在矩形ABCD中，∠ACB=30°，BC=2，点E是边BC上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，AE的中垂线FG分别交AE于点F，交AC于点G，连接DG，GE．设AG=a，则点G到BC边的距离为_____（用含a的代数式表示），ADG的面积的最小值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）已知，，求的值.
（2）若，求的平方根.
25、（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于第一、三象限内的、两点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，，，点的纵坐标为1．
（1）求反比例函数和一次函数的函数表达式；
（2）连接，求四边形的面积；
（3）在（1）的条件下，根据图像直接写出反比例函数的值小于一次函数的值时，自变量的取值范围．
26、（12分）如图，中，，是上一点，于点，是的中点，于点，与交于点，若，平分，连结，．
（1）求证：；
（2）求证：．
（3）若，判定四边形是否为菱形，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由“ASA”可证△ABF≌△CBE，可得AF=CE=3，由等腰直角三角形的性质可得BH=FH=1，由勾股定理可求BC2=5，即可求正方形ABCD的面积
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形
∴AB=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=90°，
∴∠ABF=∠EBC，且AB=BC，BE=BF
∴△ABF≌△CBE（SAS）
∴AF=CE=3
如图，过点BH⊥EC于H，
∵BE=BF=，BH⊥EC
∴BH=FH=1
∴CH=EC-EH=2
∵BC2=BH2+CH2=5，
∴正方形ABCD的面积=5.
故选择：C.
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明△ABF≌△CBE是本题的关键.
2、D
【解析】
根据矩形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到S△ABO1=S矩形，又ABC1O1为平行四边形，根据平行四边形的性质对角线互相平分，得到O1O2=BO2，所以S△ABO2=S矩形，…，以此类推得到S△ABO5=S矩形，而S△ABO5等于平行四边形ABC5O5的面积的一半，根据矩形的面积即可求出平行四边形ABC5O5的面积．
【详解】
解：∵设平行四边形ABC1O1的面积为S1，∴S△ABO1= S1，
又S△ABO1=S矩形，∴S1=S矩形=5=；
设ABC2O2为平行四边形为S2，∴S△ABO2=S2，
又S△ABO2=S矩形，∴S2=S矩形==；
，…，
同理：设ABC5O5为平行四边形为S5，S5==．
故选：D．
此题综合考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
3、D
【解析】
将（1﹣a）3化为（1﹣a）2•（1﹣a），利用二次根式的性质进行计算即可．
【详解】
若a≤1，有1﹣a≥0；
则=（1﹣a）．
故选D．
本题考查了二次根式的意义与化简．二次根式规律总结：当a≥0时，a；当a≤0时，a．
4、D
【解析】
根据等腰三角形的性质得到OE的长，再利用弧长公式计算出弧CD的长；设圆锥的底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，可求出r；接下来根据圆锥的母线长、底面圆的半径以及圆锥的高构成直角三角形，利用勾股定理可计算出圆锥的高.
【详解】
过O作OE⊥AB于E，如图所示.
∵OA=OB=60cm，∠AOB=120°，
∴∠A=∠B=30°，
∴OE= OA=30cm，
∴弧CD的长==20π，
设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，
解得r=10，
∴由勾股定理可得圆锥的高为：cm.
故选D.
本题考查了勾股定理，扇形的弧长公式，圆锥的计算，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.
5、A
【解析】
先根据二次根式的性质把化为最简二次根式，然后再逐项判断找出其同类二次根式即可．
【详解】
解：．
A、与是同类二次根式，能合并为一项，所以本选项符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不能合并为一项，所以本选项不符合题意；
C、与不是同类二次根式，不能合并为一项，所以本选项不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，不能合并为一项，所以本选项不符合题意．
故选：A．
本题考查了二次根式的性质和同类二次根式的定义，属于基本知识题型，熟知同类二次根式的定义、熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
6、B
【解析】
先将二次根式换成最简二次根式，再根据无限不循环小数是无理数的定义进行判断选择即可.
【详解】
因为，所以是无理数，共有3个，故答案选B.
本题考查的是无理数的定义，能够将二次根式化简是解题的关键.
7、A
【解析】
根据图形得出k＜0和直线与y轴交点的坐标为（0，1），即可得出不等式的解集．
【详解】
∵从图象可知：k＜0，直线与y轴交点的坐标为（0，1），
∴不等式kx+b＞1的解集是x＜0，
故选A．
考查了一次函数与一元一次不等式，能根据图形读出正确信息是解此题的关键．
8、B
【解析】
分析已知和所求，要使二次根式在实数范围内有意义，则其被开方数大于等于0；易得a＋1≥0，解不等式a＋1≥0，即得答案.
【详解】
解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴a＋1≥0，解得a≥－1．
故选B.
本题是一道关于二次根式定义的题目，应熟练掌握二次根式有意义的条件；
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、k＞﹣1且k≠1．
【解析】
由关于x的一元二次方程kx2-2x-1=1有两个不相等的实数根，即可得判别式△＞1且k≠1，则可求得k的取值范围．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞1，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝1
∴k≠1，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠1．
故答案为：k＞﹣1且k≠1．
此题考查了一元二次方程根的判别式的应用．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞1⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=1⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜1⇔方程没有实数根．
10、1
【解析】
先根据平均数的定义求出x的值，然后根据中位数的定义求解．
【详解】
由题意可知，（1+a+7+8+3）÷5=5，
a=3，
这组数据从小到大排列3，3，1，7，8，
所以，中位数是1．
故答案是：1．
考查平均数与中位数的意义．
平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
11、
【解析】
依据一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-，x1·x2=，即可求出.
【详解】
因为2x2+5x+1=0，所有a=2、b=5、c=1，所以x1+x2=-，x1·x2=，有因为=x1x2（x1+x2），所以=-×=
本题考查一元二次方程根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识是解的关键.
12、x＜-1；
【解析】
由图象可以知道，当x=-1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＞k1x+b解集．
【详解】
解：两个条直线的交点坐标为（-1，3），且当x＜-1时，直线l2在直线l1的上方，故不等式k2x＞k1x+b的解集为x＜-1．
故本题答案为：x＜-1．
本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
13、
【解析】
根据因式分解的定义:将多项式和的形式转化为整式乘积的形式;先提公因式,再套用完全平方公式即可求解.
【详解】
,
=,
=,
故答案为:.
本题主要考查因式分解,解决本题的关键是要熟练掌握因式分解的定义和方法.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）∠BGE=60°；（2）见解析.
【解析】
（1）由题意可证△ADB是等边三角形，可得AD=AB=BD，∠DAB=∠ADB=∠ABD，由“SAS”可证△ADE≌△DBF，可得∠ADE=∠DBF，由三角形外角性质可求∠BGE的大小；
（2）过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，由“AAS”可证Rt△CBN≌Rt△CDM，可得CM=CN，由角平分线的性质可得结论．
【详解】
（1）∵ABCD为菱形,
∴AB＝AD．
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
又∵AE＝DF，AD＝BD,
∴△AED≌△DFB；
∴∠DBG＝∠ADE
∴∠EGB＝∠DBG＋∠BDG＝∠ADE＋∠BDG＝∠ADB＝60°
（2）如图，过点C作CN⊥BF于点N，过点C作CM⊥ED于点M，
由（1）得∠ADE=∠DBF
∴∠CBF=60°+∠DBF
=60°+∠ADE
=∠DEB
又∠DEB=∠MDC
∴∠CBF=∠CDM
∵BC=CD，∠CBF=∠CDM，∠CMD=∠CNG=90°
∴Rt△CBN≌Rt△CDM（AAS）
∴CN=CM，且CN⊥BF，CM⊥ED
∴点C在∠BGD的平分线上
即GC平分∠BGD.
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
15、停靠站P到车站N的距离是
【解析】
【分析】连接PM，则有PM=PN，在Rt△AMN中根据勾股定理可求出AN的长，设NP为x,则MP=NP=x，AP=-x，在Rt△AMP中，由勾股定理求出x的值即可得.
【详解】连接PM，则有PM=PN，
在Rt△AMN中，∠MAN=90°，MN=2，AM=1，∴AN=，
设NP为x,则MP=NP=x，AP=-x，
在Rt△AMP中，∠MAP=90°，由勾股定理有：MP2=AP2+AM2，
∴12+（-x）2=x2，
∴x=，
所以，停靠站P到车站N的距离是.
【点睛】本题考查了勾股定理的应用， 正确添加辅助线、熟练应用勾股定理是解题的关键.
16、 (1)见解析;(2)3.
【解析】
（1）根据题意只要证明EF为△ABC的中位线，即可证明DE＝EF.
（2）只要证明为直角三角形，根据勾股定理即可计算DF的长
【详解】
（1）证明：∵∠ADC＝90°，E为AC的中点，
∴DE＝AE＝AC．
∵E、F分别为AC、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF＝AB．
∵AB＝AC，
∴DE＝EF．
（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°．
由（1）可知EF∥AB，AE＝DE，
∴∠FEC＝∠BAC＝30°，∠DEC＝2∠DAC＝60°，
∴∠FED＝90°．
∵AC＝6，
∴DE＝EF＝3，
∴DF＝ ＝3 ．
本题主要考查等腰三角形的性质，这是考试的重点知识，应当熟练掌握.
17、（1）y＝1﹣x；（2）0＜x＜1．
【解析】
（1）直接利用矩形周长求法得出y与x之间的函数关系式；
（2）利用矩形的性质分析得出答案．
【详解】
（1）∵矩形周长为18，其中一条边长为x，设另一边长为y，
∴2（x+y）＝18，
则y＝1﹣x；
（2）由题意可得：1﹣x＞0，
解得：0＜x＜1．
此题主要考查了函数关系式以及自变量的取值范围，正确得出函数关系式是解题关键．
18、（1）见解析；（1）见解析．
【解析】
（1）作出A、B、C三点关于x轴的对称点，把这三点连接起来即得到△A1B1C1；
（1）作出A、B、C三点向右平移4个单位长度后的三点，再把这三点连接起来就得到了平移后的△A1B1C1
【详解】
解：（1）如图所示：

（1）如图所示：
点睛：本题考查对称和平移，对图象对称和平移的概念要清楚，并会画出图形是解决本题的关键
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、．
【解析】
由正方形的性质得出AB=AD=3，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，由勾股定理求出AP，再由旋转的性质得出△ADP≌△ABP′，得出AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，证出△PAP′是等腰直角三角形，得出PP′=AP，即可得出结果．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=3，DP=1，∠ABC=∠D=∠BAD=90°，
∴AP=，
∵△ADP旋转后能够与△ABP′重合，
∴△ADP≌△ABP′，
∴AP′=AP=，∠BAP′=∠DAP，
∴∠PAP′=∠BAD=90°，
∴△PAP′是等腰直角三角形，
∴PP′=AP=；
故答案为：．
本题考查了旋转的性质、勾股定理、全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握正方形和旋转的性质是解决问题的关键．
20、16或21
【解析】
分两种情况，由含30°角的直角三角形的性质求出原来矩形的长和宽，即可得出面积．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝6，CD＝AB＝4，
分两种情况：
①四边形BEDF是原来的矩形，如图1所示：
则∠E＝∠EBF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴AE＝AB＝2，BE＝AE＝2，
∴DE＝AE+AD＝8，
∴矩形BEDF的面积＝BE×DE＝2×8＝16；
②四边形BGDH是原来的矩形，如图2所示：
同①得：CH＝BC＝3，BH＝CH＝3
∴DH＝CH+CD＝7，
∴矩形BGDH的面积＝BH×DH＝3×7＝21；
综上所述，原来矩形的面积为16或21；
故答案为：16或21．
本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的性质是解题的关键．
21、60°
【解析】
分析：根据线段的垂直平分线的性质得到CA=CE，根据等腰三角形的性质得到∠CAE=∠E，根据三角形的外角的性质得到∠ACB=2∠E，根据等腰三角形的性质得到∠B即可．
详解：∵MN是AE的垂直平分线，
∴CA=CE，
∴∠CAE=∠E，
∴∠ACB=2∠E，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=2∠E=60°，
故答案为：60°
点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
22、y=−x
【解析】
分两种情况：△BOC∽△DOA和△BOC∽△ODA，由相似三角形的对应边成比例求得点D的坐标，由待定系数法求得直线OD的解析式；
【详解】
若△BOC∽△DOA.
则
即
所以AD= ，
若△BOC∽△ODA,可得AD=8(与题意不符,舍去)
设直线OD解析式为y=kx,则3=−k，
即k=− ，
直线OD的解析式为y=−x；
此题考查一次函数的性质，解题关键在于利用相似三角形的性质求解.
23、
【解析】
先根据直角三角形含30度角的性质和勾股定理得AB=2，AC=4，从而得CG的长，作辅助线，构建矩形ABHM和高线GM，如图2，通过画图发现：当GE⊥BC时，AG最小，即最小，可计算的值，从而得结论．
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∵∠ACB=30°，BC=2，
∴AB=2，AC=4，
∵AG=，
∴CG=，
如图1，过G作MH⊥BC于H，交AD于M，
Rt△CGH中，∠ACB=30°，
∴GH=CG=，
则点G到BC边的距离为，
∵HM⊥BC，AD∥BC，
∴HM⊥AD，
∴∠AMG=90°，
∵∠B=∠BHM=90°，
∴四边形ABHM是矩形，
∴HM=AB=2，
∴GM=2﹣GH==，
∴S△ADG，
当最小时，△ADG的面积最小，
如图2，当GE⊥BC时，AG最小，即a最小，
∵FG是AE的垂直平分线，
∴AG=EG，
∴，
∴，
∴△ADG的面积的最小值为，
故答案为：，．
本题主要考查了垂直平分线的性质、矩形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，确定△ADG的面积最小时点G的位置是解答此题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）
【解析】
（1）将因式分解，然后将a、b的值代入求值即可；
（2）根据二次根式有意义的条件，即可求出x和y的值，然后代入求值即可．
【详解】
解：（1）
将，代入，得
原式=
=
=
=
（2）由题意可知：
解得
∴x=5
将x=5代入中，解得：y=2
∴的平方根为：
此题考查的是因式分解、二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件和求平方根，掌握因式分解的方法、二次根式的运算法则、二次根式有意义的条件和平方根的定义是解决此题的关键．
25、（1）反比例函数解析式为；一次函数解析式为；（2）1；
（3）或．
【解析】
（1）根据BM⊥轴，可知△BMO为等腰直角三角形，可求得点B的坐标，将其代入反比例函数，求出，即可知反比例函数解析式，已知点A的纵坐标，代入求得的反比例函数解析式，可求得点A的横坐标，再利用待定系数法，即可求得一次函数解析式；
（2）一次函数与y轴交于点C，可求得C的坐标，易证四边形MBOC是平行四边形，OM即为高，四边形的面积即可求解；
（3）要使反比例函数的值小于一次函数的值，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，观察图像，即可求解自变量的取值范围．
【详解】
解：（1）∵BM⊥轴，且BM=OM，
∴△BMO为等腰直角三角形，
∵OB=，
∴BM=OM=2，
∴点B的坐标为（-2，-2），
∵点B在双曲线上，代入 ，可求得，
故反比例函数的解析式为，
∵点A 也是反比例函数上的点，且A点的纵坐标为1，代入，
求得A点坐标为（1，1），
∵点A、B也是直线上的点，
∴ ，解得 ．
故一次函数的解析式为．
（2）∵ 一次函数与轴交于点C， 将代入解析式，可求得C点的坐标为（0，2）
∴ BM=OC，又∵BM//OC，
∴四边形MBOC是平行四边形，OM即为平行四边形MBOC的高，
∴四边形MBOC的面积，
故四边形MBOC的面积为1．
（3）根据图像观察可知，要使反比例函数的值小于一次函数的值时，反比例函数图像一定在一次函数图像的下方，包括A（1，1）的右侧，以及B（-2，-2）到轴这两部分，从而可知，自变量的取值范围是：或．
故答案为：或．
本题目考查函数的综合，难度一般，涉及知识点有反比例函数、一次函数，待定系数法等，熟练掌握两种函数的性质是顺利解题的关键．
26、（1）见解析；（2）证明见解析；（3）四边形AEGF是菱形，证明见解析．
【解析】
（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；（注：本小题也可以通过证明四边形ECGH为矩形得出结论）
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△DPG，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AEGF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形．
【详解】
解：（1）∵AF=FG，
∴∠FAG=∠FGA，
∵AG平分∠CAB，
∴∠CAG=∠FAG，
∴∠CAG=∠FGA，
∴AC∥FG，
∵DE⊥AC，
∴FG⊥DE，
∵FG⊥BC，
∴DE∥BC，
∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，
∵F是AD的中点，FG∥AE，
∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线，
∴GE=GD，∠GDE=∠GED，
∴∠CGE=∠GDE，
∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P，
∴GC=GP，而AG=AG，
∴△CAG≌△PAG，
∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG，
∴Rt△ECG≌Rt△DPG，
∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC；
（3）四边形AEGF是菱形，
证明：∵∠B=30°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=AD，
∴AE=AF=FG，
由（1）得AE∥FG，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∴四边形AEGF是菱形．
此题考查菱形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分