2024-2025学年黑龙江省绥化市肇东市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）

这是一份2024-2025学年黑龙江省绥化市肇东市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知点，且直线AB与直线CD垂直，则的值为（）
A. −7或0B. 0或7C. 0D. 7
【正确答案】B
【分析】根据直线的斜率存在和不存在分类讨论，利用两直线垂直的性质，即可求解．
当时，直线AB的斜率不存在，直线CD的斜率为
此时直线AB的方程为x=0，直线CD的方程为，故;
当时，
则解得，
综上，或.
故选：B.
2. 已知两直线和，若，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】利用两直线平行的充要条件，列出关于的方程，即可得到答案.
因为，所以，且，
解得.
故选：A.
3. 已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【分析】求出PA，PB所在直线的斜率，判断直线l的倾斜角与斜率的变化，数形结合得答案．
点，
直线的斜率，直线的斜率，
直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或，
即或，所以直线l的斜率的取值范围为.
故选：D
4. 在正方体中，直线与平面所成的角为（）.
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可.
如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，
则，
所以，
设平面的一个法向量为，
直线与平面所成的角为，
则，令，即，
所以，
所以.
故选：B
5. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（）
AB.
C. D.
【正确答案】B
【分析】由向量的三角形法则和平行四边形法则，利用基底表示向量．
点为的中点，则有，
所以.
故选：B.
6. ，若则（）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】C
【分析】根据空间向量的平行性质，列出方程组，解出的值，即可得答案.
根据，则存在一个常数使得，
所以可得，解之可得，所以
故选：C
7. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先利用和事件的概率公式求出，然后利用求解即可.
因为，，所以，
又，所以，
所以.
故选：D.
8. 如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，为的中点，则（）
A. B.C. D.
【正确答案】A
【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值.
在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，，
则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴
建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A0,0,0、、、，
所以，，，
则.
故选：A.
二、多选题
9. 直线的方向向量为，两个平面、的法向量分别为、，则下列命题为真命题的是（）
A若，则直线平面
B. 若，则直线平面
C. 若，则直线与平面所成角的大小为
D. 若，则平面、所成夹角的大小为
【正确答案】BCD
【分析】利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.
对于A，若，则或，A错；
对于B，若，则，B对；
对于C，若，则直线与平面所成角的大小为，C对；
对于D，若，则平面、所成夹角的大小为，D对.
故选：BCD.
10. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（）
A. 在轴上的截距为B. 过点且不垂直x轴
C. 若，则或D. 若，则
【正确答案】ABD
【分析】对于A：根据直线方程求截距即可；对于B：根据直线方程分析斜率和定点，即可得结果；对于C：举反例说明即可；对于D：根据直线垂直列式求参即可.
对于选项A：因为直线，
令，解得，
所以在轴上的截距为，故A正确；
对于选项B：因为直线的斜率，
即斜率存在，直线不垂直x轴，
且，即直线过点，故B正确；
对于选项C：若，则直线、均，
即两直线重合，不平行，故C错误；
对于选项D：若，则，解得，故D正确；
故选：ABD.
11. 对于事件和事件，，，则下列说法正确的是（）
A. 若与互斥，则
B. 若与互斥，则
C. 若，则
D. 若与相互独立，则
【正确答案】ABD
【分析】利用两事件的互斥定义和互斥事件的概率加法公式易判断A,B；根据两事件的包含关系易求得积事件的概率，可判断C；利用独立事件的概率乘法公式可判断D.
对于A，当与互斥时，，故，即A正确；
对于B，当与互斥时，，故，即B正确；
对于C，当时，，故，故C错误；
对于D，若与相互独立，则，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，连续比赛三局，各局比赛结果相互独立.设甲在第一、第二、第三局比赛中获胜的概率分别为，，，则甲恰好连胜两局的概率为___________.
【正确答案】
【分析】甲恰好连胜两局有两种不同的情况，根据独立事件概率乘法公式可计算每种情况的概率，加和即为所求结果.
甲恰好连胜两局有：前两局获胜，第三局失利和第一局失利，后两局获胜两种情况，
甲恰好连胜两局的概率.
故答案为.
13. 直线与轴交于点，将绕点顺时针旋转得到直线，则直线的一般式方程为______.
【正确答案】
【分析】求出点坐标，由直线的倾斜角得出旋转后直线的倾斜角，由斜截式得直线方程，再整理即得．
在中令得，所以，
又直线的斜率为，倾斜角为，将绕点顺时针旋转得到直线的倾斜角为，
所以直线的斜率为，直线方程为，
一般式为.
故．
14. 已知向量，且，则________，_________.
【正确答案】 ①. ## ②. ##
【分析】利用空间向量的垂直关系即可求解；根据向量的加法及模的运算即可求解.
因为，，
当时，所以，
所以；
因为，，
，
所以.
故；.
四、解答题
15. 已知平面，四边形为正方形．
（1）证明：
（2）求与平面所成角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得，，进而可得，可证结论．
（2）求得的一个法向量，的一个方向向量，利用向量的夹角公式可求与平面所成角的正弦值.
【小问1】
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
∵，，
∴
∴；
【小问2】
设平面的一个法向量为，
∵，，
∴，∴，令，则，
∴平面的一个法向量为；
∵
∴，
∴与平面所成角的正弦值为.
16. ，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立.已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是.
（1）求，两人各自闯关成功的概率；
（2）求，，三人中恰有两人闯关成功的概率.
【正确答案】（1），两人各自闯关成功的概率都是.
（2）
【分析】（1）记三人各自闯关成功分别为事件，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得，两人各自闯关成功的概率；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可．
【小问1】
记三人各自闯关成功分别为事件，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是.
【小问2】
设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为.
17. 如图，已知，，，直线．
（1）证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
（2）若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
【正确答案】（1）证明见解析；定点为
（2）
【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标；
（2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程.
【小问1】
由，整理得，
由解得，即直线经过定点；
【小问2】
如图，因，，，,可得：,
即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点），
则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意），
设交点为，依题意，由，可得,
解得，则.设点，
由,可得，解得，即,
于是，,故直线的方程为：，
即.
18. 直线过点，且在两坐标轴上的截距之和为12．
（1）求直线的方程
（2）求直线与两条坐标轴所围成三角形的面积．
【正确答案】（1）或
（2）或
【分析】（1）设直线的方程为，将点代入，进一步求出和的值，从而求出答案；
（2）借助（1）中求出的和，结合面积公式即可求.
【小问1】
由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，
因此直线在两坐标轴上的截距都存在且不过原点，
故可设直线方程为：，且，①
又因为直线过点，
所以，②
由①②解得或，
所以直线的方程为：或，
即或.
【小问2】
由（1）可知，当直线的方程为时，
；
当直线的方程为时，
，
所以直线与两条坐标轴所围成三角形的面积为或.
19. 在棱长为4的正方体中，点在棱上，且.
（1）求点到平面的距离；
（2）求二面角的正弦值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）建系，由点到面距离的向量法求解即可；
（2）求得两平面法向量，代入夹角公式即可求解.
【小问1】
在正方体中，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.
由正方体棱长为4，且，得，，，，，则.
设平面的法向量为，
则所以
取，则，
则点到平面的距离.
【小问2】
设平面的法向量为，
则所以
取，则，
所以，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的正弦值为.