深圳外国语学校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份深圳外国语学校2024-2025学年高一上学期第二次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．命题p:“,”,则p的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
2．已知函数则( )
A.8B.C.D.
3．不等式的解集是,则的值是( )
A.B.3C.D.5
4．在平面直角坐标系中,若角的终边经过点,则( )
A.B.C.D.
5．已知集合,,在求时,甲同学因将看成,求得,乙同学因将看成,求得.若甲、乙同学求解过程正确,则( )
A.B.C.D.
6．“打水漂”是一种游戏:按一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为10m/s,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%,若石片接触水面时的速度低于2m/s,石片就不再弹跳,沉入水底,则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（参考数据:,,）( )
A.6B.7C.8D.9
7．已知函数,若对任意的正数a,b,满足,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
8．若集合中恰有k个元素,则称函数是“k阶准偶函数”.若函数是“1阶准偶函数”,则a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知实数a,b,c,m满足,,则下列选项正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知函数,构造函数,则下列关于函数的说法正确的是( )
A.是偶函数B.是偶函数
C.是奇函数D.是奇函数
11．已知,分别为函数与的零点,则下列关系式正确的是( )
A.B.C.D.
三、填空题
12．求值:________.
13．已知扇形的圆心角，所对的弦长为，则弧长等于__________．
14．函数的最大值为________.
四、解答题
15．已知集合,函数的定义域为B.
（1）求B;
（2）若集合A是集合B的子集,求实数m的取值范围.
16．已知幂函数的图象经过点.
（1）求的解析式;
（2）设函数.
①判断的奇偶性并证明;
②判断在区间上的单调性,并用定义加以证明.
17．对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点.已知函数,.
（1）当,时,求函数的不动点;
（2）若对任意实数b,函数恒有两个相异的不动点,求a的取值范围.
18．某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06.
(1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式；
(2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值.
19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义:若,那么称点是点的“上位点”,同时点是点的“下位点”;
（1）写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;
（2）设点是点的“上位点”,判断点是否既是点的“下位点”,又是点的上位点,证明你的结论;
（3）设正整数n满足以下条件:对集合内的任意元素m,总存在正整数k,使得点既是点的“下位点”,又是点的“上位点”,求正整数n的最小值,并说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：命题p:“,”,则p的否定是“,”.
故选:D.
2．答案：B
解析：因为函数,所以,
即.
故选:B.
3．答案：D
解析：因为不等式的解集是,
所以,和是方程的根,
所以,即,,则.
故选:D.
4．答案：B
解析：依题意,,,
即,由三角函数的定义得,则.
故选:B
5．答案：A
解析：根据题意,得且,解得,
即,
由解得,故.
故选:A.
6．答案：A
解析：设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x,
由题意得,即,得.
因为,所以,即.
故选:A
7．答案：D
解析：对任意的,,所以函数的定义域为R,
因为,即函数为奇函数,
又因为,且函数在上为增函数,
所以函数在R上为增函数,
对任意的正数a,b,满足,则,所以,
即,所以,
当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为8.
故选:D.
8．答案：D
解析：根据题意,函数是“1阶准偶函数”,
则集合中恰有1个元素.
当时,函数,
因为函数本身具有偶函数性质,
故集合中不止有1个元素,矛盾.
当时,
根据“1阶准偶函数”的定义得的可能取值为或,为,
若,即,不满足题意,
若,解得或,
故要使得集合中恰有1个元素,则需要满足;
当时,函数,的取值为,为,
根据题意得,解得或,恰有2个元素,故不满足条件.
综上,实数a的取值范围是.
故选:D
9．答案：AD
解析：对于A,因为,所以,故A正确;
对于B,因为,,所以,故B错误;
对于C,,
因为,,所以,即,故C错误;
对于D,因为,,则,所以,
则,
所以,故D正确.
故选:AD
10．答案：BCD
解析：,故,显然定义域为R,且,故是奇函数.
对于A,由于,,故,从而不是偶函数,A错误;
对于B,显然,故是偶函数,B正确;
对于C,由于,故是奇函数,C正确;
对于D,由于,故是奇函数,D正确.
故选:BCD.
11．答案：BCD
解析：对选项A：,函数在上单调递减,
,,故,错误;
对选项B：,函数在上单调递增,
,,故,正确;
对选项C：,即,
,即,
和关于对称,关于对称,
故和关于对称,,即,正确;
对选项D：,,故,即,
等号成立的条件为,此条件不成立,故,正确;
故选：BCD.
12．答案：10
解析：;
故答案为:10.
13．答案：
解析：如图，扇形中，，弦，取中点，连，则，
于是得，，，则弧长为，
所以弧长等于.
故答案为：
14．答案：/1.5
解析：函数的定义域为,
函数在上单调递增,
当时,单调递增,于是函数在上单调递增,
当时,.
当时,,,
显然,令,
则,于是,
当,即时,,所以当时,
函数取得最大值.
故答案为:
15．答案：（1）
（2）.
解析：（1）由题意,即,解得,
所以.
（2）因为集合A是集合B的子集,
当,即,即时,符合题意;
当时,有,解得,
综上,实数m的取值范围为.
16．答案：（1）
（2）①奇函数,证明见解析;
②单调递减,证明见解析
解析：（1）依题意,设幂函数,
则,解得,
所以.
（2）①为奇函数,证明如下:
由（1）得,,
则其定义域为,关于原点对称,
又,所以函数为奇函数.
②在区间上单调递减,证明如下:
任取,,且,
则,
因为,所以,,,
所以,即,
所以函数在区间上单调递减.
17．答案：（1）,0.
（2）
解析：（1）当,时,,
令,即,解得或,
所以的两个不动点为,0.
（2）因为恒有两个相异的不动点,所以方程有两个相异实根,
即,由题设恒成立,
即对于任意,恒成立,
令,由对于任意实数b,恒成立可得,
,即,解得,
故a的取值范围是.
18．答案：(1)，;
(2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
解析：(1)由题意，，
因为时，，所以，
所以，.
(2)因为，所以，
所以
，
当且仅当，即时取“”，
所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为.
19．答案：（1）“下位点”;“上位点”
（2）是,理由见解析
（3）4049,理由见解析
解析：（1）,
的一个“下位点”可以是;的一个“上位点”可以是.
（2）结论正确:点既是点的“下位点”,又是点的上位
证明:点是点的“上位点”,
,且a,b,c,d均大于0,
,即,
点是点的“下位点”;
同理,,即,
点是点的“上位点”.
（3）由题意对任意,都成立
即总存在正整数k,使不等式成立
则对任意,都成立
对任意,m为正整数恒成立
所以正整数n的最小值为4049.