2025届浙江省宁波市四校九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】
展开一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、(4分)如图,中,,,将绕点逆时针旋转得到,若点的对应点落在边上,则旋转角为( )
A.B.C.D.
2、(4分)对角线相等且互相平分的四边形是( )
A.一般四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形
3、(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,点M在边DC上,且,点N是边AC上一动点,则线段的最小值为
A.8
B.
C.
D.10
4、(4分)已知,则下列不等式一定成立的是( )
A.B.
C.D.
5、(4分)若一组数据的方差是3,则的方差是( )
A.3B.6C.9D.12
6、(4分)下列计算正确的是( )
A.=﹣3B.C.5×5=5D.
7、(4分)在△ABC中,若底边长是a,底边上的高为h,则△ABC的面积,当高h为定值时,下列说法正确的是( )
A.S,a是变量;,h是常量
B.S,a,h是变量;是常量
C.a,h是变量;S是常量
D.S是变量;,a,h是常量
8、(4分)某校规定学生的平时作业,期中考试,期末考试三项成绩分别是按30%、30%、40%计人学期总评成绩,小明的平时作业,期中考试,期末考试的英语成绩分别是93分、90分、96分,则小明这学期的总评成绩是( )
A.92B.90C.93D.93.3
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、(4分)分式方程有增根,则的值为__________。
10、(4分)如图,∠A=90°,∠AOB=30°,AB=2,△可以看作由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的,则点与点B的距离为_______.
11、(4分)已知圆锥的侧面积为6兀,侧面展开图的圆心角为60º,则该圆锥的母线长是________。
12、(4分)若关于x的方程产生增根,那么 m的值是______.
13、(4分)已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴,且y随x的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式:_____.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、(12分)某校八年级同学参加社会实践活动,到“庐江农民创业园”了解大棚蔬菜生长情况.他们分两组对西红柿的长势进行观察测量,分别收集到10株西红柿的高度,记录如下(单位:厘米)
第一组:32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
第二组:51 56 44 46 40 53 37 47 50 46
根据以上数据,回答下列问题:
(1)第一组这10株西红柿高度的平均数是 ,中位数是 ,众数是 .
(2)小明同学计算出第一组方差为S12=122.2,请你计算第二组方差,并说明哪一组西红柿长势比较整齐.
15、(8分)为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校组织全校1200名学生进行经典诗词诵读活动,并在活动之后举办经典诗词大赛,为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取40名学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图如图所示.
大赛结束后一个月,再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表如下:
请根据调查的信息分析:
(1)求活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数;
(2)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数;
(3)选择适当的统计量,至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
16、(8分)化简:
(1)2ab﹣a2+(a﹣b)2
(2)
17、(10分)(1)计算并观察下列各式:
第个: ;
第个: ;
第个:;
······
这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
(2)猜想:若为大于的正整数,则;
(3)利用(2)的猜想计算;
(4)拓广与应用.
18、(10分)在△ABC中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC的长.
B卷(50分)
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、(4分)函数中,自变量x的取值范围是___________.
20、(4分)如图,在▱ABCD中,AD=8,点E、F分别是BD、CD的中点,则EF=_____.
21、(4分)分解因式:______________。
22、(4分)计算· (a≥0)的结果是_________.
23、(4分)如图,函数y=3x和y=kx+6的图象相交于点A(a,3),则不等式3x≤kx+6的解集为_____.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
(1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
(2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
25、(10分)我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.
(1)文学书和科普书的单价各多少钱?
(2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
26、(12分)如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
求证:(1)△BCQ≌△CDP;(2)OP=OQ.
参考答案与详细解析
一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
1、C
【解析】
先根据等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=70°,继而根据旋转的性质即可求得答案.
【详解】
∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×140°=70°,
∵△EBD是由△ABC旋转得到,
∴旋转角为∠ABC=70°,
故选C.
本题考查了等腰三角形的性质,旋转的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.
2、C
【解析】
由对角线互相平分,可得此四边形是平行四边形;又由对角线相等,可得是矩形;
【详解】
∵四边形的对角线互相平分,
∴此四边形是平行四边形;
又∵对角线相等,
∴此四边形是矩形;
故选B.
考查矩形的判定,常见的判定方法有:
1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
2.对角线相等的平行四边形是矩形.
3.有三个角是直角的四边形是矩形.
3、D
【解析】
要使DN+MN最小,首先应分析点N的位置.根据正方形的性质:正方形的对角线互相垂直平分.知点D的对称点是点B,连接MB交AC于点N,此时DN+MN最小值即是BM的长.
【详解】
解:根据题意,连接BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值,
在Rt△BCM中,BC=8,CM=6
根据勾股定理得:BM= ,
即DN+MN的最小值是10;
故选:D.
本题考查了轴对称问题以及正方形的性质,难点在于确定满足条件的点N的位置:利用轴对称的方法.然后熟练运用勾股定理.
4、C
【解析】
根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.
【详解】
解:A、因为, 不知道是正负数或者是0,不能得到,则A选项的不等式不成立;
B、因为,则,所以B选项的不等式不成立;
C、因为,则,所以C选项的不等式成立;
D、因为,则,所以D选项的不等式不成立.
故选C.
本题考查了不等式的性质,解题的关键是知道不等式两边同加上(或减去)一个数,不等号方向不变;不等式两边同乘以(或除以)一个正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以(或除以)一个负数,不等号方向改变.
5、D
【解析】
先根据的方差是3,求出数据的方差,进而得出答案.
【详解】
解:∵数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是3,
∴数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是4×3=12;
∴数据的方差是12;
故选:D.
本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数时,平均数也加这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数时,平均数也乘以这个数,方差变为这个数的平方倍.
6、D
【解析】
根据二次根式的性质对A进行判断;根据二次根式的加减运算对B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
【详解】
A、原式=3,所以A选项错误;
B、与不能合并,所以B选项错误;
C、原式=25,所以C选项错误;
D、原式==2,所以D选项正确.
故选D.
本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
7、A
【解析】
因为高h为定值,所以h是不变的量,即h是常量,所以S,a是变量,,h是常量.
故选A.
8、D
【解析】
小明这学期总评成绩是平时作业、期中练习、期末考试的成绩与其对应百分比的乘积之和.
【详解】
解:小明这学期的总评成绩是93×30%+90×30%+96×40%=93.3(分)
故选:D.
本题主要考查加权平均数的计算,掌握加权平均数的定义是解题的关键.
二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
9、3
【解析】
方程两边都乘以最简公分母(x-1)(x+1)把分式方程化为整式方程,再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值,求出增根,然后代入进行计算即可得解.
【详解】
解:∵分式方程有增根,
∴x-1=0,x+1=0,
∴x1=1,x1=-1.
两边同时乘以(x-1)(x+1),原方程可化为x(x+1)-(x-1)(x+1)=m,
整理得,m=x+1,
当x=1时,m=1+1=3,
当x=-1时,m=-1+1=0,
当m=0时,方程为=0,
此时1=0,
即方程无解,
∴m=3时,分式方程有增根,
故答案为:m=3.
本题考查对分式方程的增根,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,理解分式方程的增根的意义是解题关键.
10、1
【解析】
【分析】根据图形旋转的性质可得出△AOB≌△A′OB′,再由全等三角形的性质可得出∠A′OB′=30°,AB=1,再根据全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△A′OB,由全等三角形的性质即可得出结论.
【详解】连接A′B,
∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的,
∴△AOB≌△A′OB′,
∴OA=OA′,∠A′OA=60°,
∵∠AOB=30°,
∴∠A′OB=30°,
在△AOB与△A′OB中,
,
∴△AOB≌△A′OB,
∴A′B=AB=1,
故答案为:1.
【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
11、6
【解析】
根据扇形的面积计算公式:,把相应数值代入即可.
【详解】
解:设母线长为r,圆锥的侧面展开后是扇形,侧面积=6π,
∴r=6cm,
故答案是6cm.
本题考查了圆锥的计算,利用了扇形的面积公式求解,解题的关键是牢记圆锥的有关公式,难度不大.
12、1
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程有增根得到x-2=0,将x=2代入整式方程计算即可求出m的值.
【详解】
分式方程去分母得:x−1=m+2x−4,
由题意得:x−2=0,即x=2,
代入整式方程得:2−1=m+4−4,
解得:m=1.
故答案为:1.
此题考查分式方程的增根,解题关键在于掌握分式方程中增根的意义.
13、
【解析】
试题解析:∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴,
∴b>0,
∵y随x的增大而减小,
∴k<0,
例如y=-x+1(答案不唯一,k<0且b>0即可).
考点:一次函数图象与系数的关系.
三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
14、 (1)47,49.5,60;(2)第二组西红柿长势比较整齐.
【解析】
(1)根据平均数的计算公式进行计算求出第一组这10株西红柿高度的平均数,再根据中位数和众数的定义即可得出答案;
(2)先求出第二组方差,再根据方差的定义,方差越小数据越稳定即可求解.
【详解】
解:(1)平均数:(32+39+45+55+60+54+60+28+56+41)=47,
中位数:49.5
众数:60
故答案为:47,49.5,60;
(2)第二组数据的平均数为:47,
S22=(16+81+9+1+49+36+100+0+9+1)=30.2
因为S12>S22,
所以,第二组西红柿长势比较整齐.
本题考查方差的定义,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.也考查了平均数,中位数与众数.熟练掌握方差公式是解决本题的关键.
15、 (1)6;(2) 930人;(3) 经典诗词诵背系列活动效果好,理由见解析
【解析】
(1)根据中位数的定义进行解答,即中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);
(2)用总人数乘以大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数所占的百分比即可;
(3)根据活动初的平均数、中位数与活动后的平均数、中位数进行比较,即可得出答案.
【详解】
(1)∵把这些数从小到大排列,最中间的数是第20和21个数的平均数,则中位数是(首);
(2)根据题意得:
(人),
估计大赛后一个月该校学生一周诗词背6首(含6首)以上的人数为930人.
(3)①活动初40名学生平均背诵首数为(首),
活动1个月后40名学生平均背诵首数为(首);
②活动初学生一周诗词诵背数量中位数为6,活动一个月后学生一周诗词诵背数量中位数为7;
根据以上数据分析,该校经典诗词诵背系列活动效果好.
考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
16、(1)b2;(2).
【解析】
(1)利用完全平方公式展开,然后再合并同类项即可;
(2)利用分式的基本性质通分,约分,然后再根据同分母的分式的加法法则计算即可.
【详解】
(1)原式= ;
(2)原式=
.
本题主要考查整式的加减及分式的加减运算,掌握去括号,合并同类项的法则和分式的基本性质是解题的关键.
17、 (1)、、;(2); (3); (4)
【解析】
(1)根据多项式乘多项式的乘法计算可得;
(2)利用(1)中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差;
(3)将原式变形为,再利用所得规律计算可得;
(4)将原式变形为,再利用所得规律计算可得.
【详解】
(1)第1个:;
第2个:;
第3个:;
故答案为:、、;
(2)若n为大于1的正整数,
则,
故答案为:;
(3)
,
故答案为:;
(4)
,
故答案为:.
本题考查了多项式乘以多项式以及平方差公式,观察等式发现规律是解题关键.
18、
【解析】
首先过点A作AD⊥BC,根据Rt△ADC和Rt△ABD的勾股定理分别求出CD和BD的长度,从而得出BC的长度
【详解】
过点A作AD⊥BC,则△ADC和△ABD为直角三角形
∵∠C=30° AC=4cm ∴AD=2cm CD=cm
根据Rt△ABD的勾股定理可得:BD=cm
∴BC=BD+CD=()cm
本题考查直角三角形的勾股定理,解题关键在于能够构造出直角三角形.
一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
19、且.
【解析】
根据二次根式的性质以及分式的意义,分别得出关于的关系式,然后进一步加以计算求解即可.
【详解】
根据二次根式的性质以及分式的意义可得:,且,
∴且,
故答案为:且.
本题主要考查了二次根式的性质与分式的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
20、1
【解析】
由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,可得BC=AD=8,又由点E、F分别是BD、CD的中点,利用三角形中位线的性质,即可求得答案.
【详解】
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC=AD=8,
∵点E、F分别是BD、CD的中点,
∴EF=BC=×8=1.
故答案为1.
此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质.熟练掌握相关性质是解题关键.
21、4x(x+1)(x-1)
【解析】
4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).
故答案为4x(x+1)(x-1).
22、4a
【解析】
【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
【详解】
=
=
=4a,
故答案为4a.
【点睛】本题考查了二次根式的乘法,熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.
23、x≤1
【解析】
先利用正比例函数解析式确定点坐标,然后利用函数图象,写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可.
【详解】
解:把代入得,解得,则,
根据图象得,当时,.
故答案为:
本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
24、(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
试题分析:(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO;也可选取②③,利用AAS判定△BEO≌△DFO;还可选取①③,利用SAS判定△BEO≌△DFO;
(2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
试题解析:
证明:(1)选取①②,
∵在△BEO和△DFO中,
∴△BEO≌△DFO(ASA);
(2)由(1)得:△BEO≌△DFO,
∴EO=FO,BO=DO,
∵AE=CF,
∴AO=CO,
∴四边形ABCD是平行四边形.
点睛:此题主要考查了平行四边形的判定,以及全等三角形的判定,关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
25、(1)文学书和科普书的单价分别是8元和1元.(2)至多还能购进466本科普书.
【解析】
(1)设文学书的单价为每本x元,则科普书的单价为每本(x+4)元,依题意得:
,
解得:x=8,
经检验x=8是方程的解,并且符合题意.
∴x+4=1.
∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和1元.
②设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书.依题意得
550×8+1y≤10000,
解得,
∵y为整数,
∴y的最大值为466
∴至多还能购进466本科普书.
26、(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
(1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件;
(2)根据(1)得到BQ=PC,然后连接OB,根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件,然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题.
【详解】
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,
∴∠2+∠3=90°,
又∵DP⊥CQ,
∴∠2+∠1=90°,
∴∠1=∠3,
在△BCQ和△CDP中,
∴△BCQ≌△CDP;
(2)连接OB,
由(1)△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°,AB=BC,
∵点O是AC中点,
∴BO=AC=CO,∠4=∠ABC=45°=∠PCO,
在△BOQ和△COP中,
∴△BOQ≌△COP,
∴OQ=OP.
解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,利用它们构造证明全等三角形的条件,然后通过全等三角形的性质解决问题.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
一周诗词诵背数量
3首
4首
5首
6首
7首
8首
人数
1
3
5
6
10
15
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