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    2025届浙江省宁波市四校九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】

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    这是一份2025届浙江省宁波市四校九年级数学第一学期开学质量检测试题【含答案】,共20页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、(4分)如图,中,,,将绕点逆时针旋转得到,若点的对应点落在边上,则旋转角为( )
    A.B.C.D.
    2、(4分)对角线相等且互相平分的四边形是( )
    A.一般四边形B.平行四边形C.矩形D.菱形
    3、(4分)如图,正方形ABCD的边长为8,点M在边DC上,且,点N是边AC上一动点,则线段的最小值为
    A.8
    B.
    C.
    D.10
    4、(4分)已知,则下列不等式一定成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    5、(4分)若一组数据的方差是3,则的方差是( )
    A.3B.6C.9D.12
    6、(4分)下列计算正确的是( )
    A.=﹣3B.C.5×5=5D.
    7、(4分)在△ABC中,若底边长是a,底边上的高为h,则△ABC的面积,当高h为定值时,下列说法正确的是( )
    A.S,a是变量;,h是常量
    B.S,a,h是变量;是常量
    C.a,h是变量;S是常量
    D.S是变量;,a,h是常量
    8、(4分)某校规定学生的平时作业,期中考试,期末考试三项成绩分别是按30%、30%、40%计人学期总评成绩,小明的平时作业,期中考试,期末考试的英语成绩分别是93分、90分、96分,则小明这学期的总评成绩是( )
    A.92B.90C.93D.93.3
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、(4分)分式方程有增根,则的值为__________。
    10、(4分)如图,∠A=90°,∠AOB=30°,AB=2,△可以看作由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的,则点与点B的距离为_______.
    11、(4分)已知圆锥的侧面积为6兀,侧面展开图的圆心角为60º,则该圆锥的母线长是________。
    12、(4分)若关于x的方程产生增根,那么 m的值是______.
    13、(4分)已知一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴,且y随x的增大而减小,请写出符合上述条件的一个解析式:_____.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、(12分)某校八年级同学参加社会实践活动,到“庐江农民创业园”了解大棚蔬菜生长情况.他们分两组对西红柿的长势进行观察测量,分别收集到10株西红柿的高度,记录如下(单位:厘米)
    第一组:32 39 45 55 60 54 60 28 56 41
    第二组:51 56 44 46 40 53 37 47 50 46
    根据以上数据,回答下列问题:
    (1)第一组这10株西红柿高度的平均数是 ,中位数是 ,众数是 .
    (2)小明同学计算出第一组方差为S12=122.2,请你计算第二组方差,并说明哪一组西红柿长势比较整齐.
    15、(8分)为积极响应“弘扬传统文化”的号召,某学校组织全校1200名学生进行经典诗词诵读活动,并在活动之后举办经典诗词大赛,为了解本次系列活动的持续效果,学校团委在活动启动之初,随机抽取40名学生调查“一周诗词诵背数量”,根据调查结果绘制成的统计图如图所示.
    大赛结束后一个月,再次抽查这部分学生“一周诗词诵背数量”,绘制成统计表如下:
    请根据调查的信息分析:
    (1)求活动启动之初学生“一周诗词诵背数量”的中位数;
    (2)估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数;
    (3)选择适当的统计量,至少从两个不同的角度分析两次调查的相关数据,评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
    16、(8分)化简:
    (1)2ab﹣a2+(a﹣b)2
    (2)
    17、(10分)(1)计算并观察下列各式:
    第个: ;
    第个: ;
    第个:;
    ······
    这些等式反映出多项式乘法的某种运算规律.
    (2)猜想:若为大于的正整数,则;
    (3)利用(2)的猜想计算;
    (4)拓广与应用.
    18、(10分)在△ABC中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC的长.
    B卷(50分)
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、(4分)函数中,自变量x的取值范围是___________.
    20、(4分)如图,在▱ABCD中,AD=8,点E、F分别是BD、CD的中点,则EF=_____.
    21、(4分)分解因式:______________。
    22、(4分)计算· (a≥0)的结果是_________.
    23、(4分)如图,函数y=3x和y=kx+6的图象相交于点A(a,3),则不等式3x≤kx+6的解集为_____.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(8分)如图,四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在OA,OC上.
    (1)给出以下条件;①OB=OD,②∠1=∠2,③OE=OF,请你从中选取两个条件证明△BEO≌△DFO;
    (2)在(1)条件中你所选条件的前提下,添加AE=CF,求证:四边形ABCD是平行四边形.
    25、(10分)我市某校为了创建书香校园,去年购进一批图书.经了解,科普书的单价比文学书的单价多4元,用12000元购进的科普书与用8000元购进的文学书本数相等.
    (1)文学书和科普书的单价各多少钱?
    (2)今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用10000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书550本后至多还能购进多少本科普书?
    26、(12分)如图,AC是正方形ABCD的对角线,点O是AC的中点,点Q是AB上一点,连接CQ,DP⊥CQ于点E,交BC于点P,连接OP,OQ;
    求证:(1)△BCQ≌△CDP;(2)OP=OQ.
    参考答案与详细解析
    一、选择题(本大题共8个小题,每小题4分,共32分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求)
    1、C
    【解析】
    先根据等腰三角形的性质求得∠ABC=∠C=70°,继而根据旋转的性质即可求得答案.
    【详解】
    ∵AB=AC,∠A=40°,
    ∴∠ABC=∠C=(180°-∠A)=×140°=70°,
    ∵△EBD是由△ABC旋转得到,
    ∴旋转角为∠ABC=70°,
    故选C.
    本题考查了等腰三角形的性质,旋转的性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.
    2、C
    【解析】
    由对角线互相平分,可得此四边形是平行四边形;又由对角线相等,可得是矩形;
    【详解】
    ∵四边形的对角线互相平分,
    ∴此四边形是平行四边形;
    又∵对角线相等,
    ∴此四边形是矩形;
    故选B.
    考查矩形的判定,常见的判定方法有:
    1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.
    2.对角线相等的平行四边形是矩形.
    3.有三个角是直角的四边形是矩形.
    3、D
    【解析】
    要使DN+MN最小,首先应分析点N的位置.根据正方形的性质:正方形的对角线互相垂直平分.知点D的对称点是点B,连接MB交AC于点N,此时DN+MN最小值即是BM的长.
    【详解】
    解:根据题意,连接BD、BM,则BM就是所求DN+MN的最小值,

    在Rt△BCM中,BC=8,CM=6
    根据勾股定理得:BM= ,
    即DN+MN的最小值是10;
    故选:D.
    本题考查了轴对称问题以及正方形的性质,难点在于确定满足条件的点N的位置:利用轴对称的方法.然后熟练运用勾股定理.
    4、C
    【解析】
    根据不等式的性质对选项进行逐一判断即可得到答案.
    【详解】
    解:A、因为, 不知道是正负数或者是0,不能得到,则A选项的不等式不成立;
    B、因为,则,所以B选项的不等式不成立;
    C、因为,则,所以C选项的不等式成立;
    D、因为,则,所以D选项的不等式不成立.
    故选C.
    本题考查了不等式的性质,解题的关键是知道不等式两边同加上(或减去)一个数,不等号方向不变;不等式两边同乘以(或除以)一个正数,不等号方向不变;不等式两边同乘以(或除以)一个负数,不等号方向改变.
    5、D
    【解析】
    先根据的方差是3,求出数据的方差,进而得出答案.
    【详解】
    解:∵数据x1,x2,x3,x4,x5的方差是3,
    ∴数据2x1,2x2,2x3,2x4,2x5的方差是4×3=12;
    ∴数据的方差是12;
    故选:D.
    本题考查了方差的定义.当数据都加上一个数时,平均数也加这个数,方差不变,即数据的波动情况不变;当数据都乘以一个数时,平均数也乘以这个数,方差变为这个数的平方倍.
    6、D
    【解析】
    根据二次根式的性质对A进行判断;根据二次根式的加减运算对B进行判断;根据二次根式的乘法法则对C进行判断;根据二次根式的除法法则对D进行判断.
    【详解】
    A、原式=3,所以A选项错误;
    B、与不能合并,所以B选项错误;
    C、原式=25,所以C选项错误;
    D、原式==2,所以D选项正确.
    故选D.
    本题考查了二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后合并同类二次根式即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
    7、A
    【解析】
    因为高h为定值,所以h是不变的量,即h是常量,所以S,a是变量,,h是常量.
    故选A.
    8、D
    【解析】
    小明这学期总评成绩是平时作业、期中练习、期末考试的成绩与其对应百分比的乘积之和.
    【详解】
    解:小明这学期的总评成绩是93×30%+90×30%+96×40%=93.3(分)
    故选:D.
    本题主要考查加权平均数的计算,掌握加权平均数的定义是解题的关键.
    二、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    9、3
    【解析】
    方程两边都乘以最简公分母(x-1)(x+1)把分式方程化为整式方程,再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值,求出增根,然后代入进行计算即可得解.
    【详解】
    解:∵分式方程有增根,
    ∴x-1=0,x+1=0,
    ∴x1=1,x1=-1.
    两边同时乘以(x-1)(x+1),原方程可化为x(x+1)-(x-1)(x+1)=m,
    整理得,m=x+1,
    当x=1时,m=1+1=3,
    当x=-1时,m=-1+1=0,
    当m=0时,方程为=0,
    此时1=0,
    即方程无解,
    ∴m=3时,分式方程有增根,
    故答案为:m=3.
    本题考查对分式方程的增根,解一元一次方程等知识点的理解和掌握,理解分式方程的增根的意义是解题关键.
    10、1
    【解析】
    【分析】根据图形旋转的性质可得出△AOB≌△A′OB′,再由全等三角形的性质可得出∠A′OB′=30°,AB=1,再根据全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△A′OB,由全等三角形的性质即可得出结论.
    【详解】连接A′B,
    ∵△A′OB′可以看作是由△AOB绕点O逆时针旋转60°得到的,
    ∴△AOB≌△A′OB′,
    ∴OA=OA′,∠A′OA=60°,
    ∵∠AOB=30°,
    ∴∠A′OB=30°,
    在△AOB与△A′OB中,

    ∴△AOB≌△A′OB,
    ∴A′B=AB=1,
    故答案为:1.
    【点睛】本题考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.
    11、6
    【解析】
    根据扇形的面积计算公式:,把相应数值代入即可.
    【详解】
    解:设母线长为r,圆锥的侧面展开后是扇形,侧面积=6π,
    ∴r=6cm,
    故答案是6cm.
    本题考查了圆锥的计算,利用了扇形的面积公式求解,解题的关键是牢记圆锥的有关公式,难度不大.
    12、1
    【解析】
    分式方程去分母转化为整式方程,根据分式方程有增根得到x-2=0,将x=2代入整式方程计算即可求出m的值.
    【详解】
    分式方程去分母得:x−1=m+2x−4,
    由题意得:x−2=0,即x=2,
    代入整式方程得:2−1=m+4−4,
    解得:m=1.
    故答案为:1.
    此题考查分式方程的增根,解题关键在于掌握分式方程中增根的意义.
    13、
    【解析】
    试题解析:∵一次函数y=kx+b的图象交y轴于正半轴,
    ∴b>0,
    ∵y随x的增大而减小,
    ∴k<0,
    例如y=-x+1(答案不唯一,k<0且b>0即可).
    考点:一次函数图象与系数的关系.
    三、解答题(本大题共5个小题,共48分)
    14、 (1)47,49.5,60;(2)第二组西红柿长势比较整齐.
    【解析】
    (1)根据平均数的计算公式进行计算求出第一组这10株西红柿高度的平均数,再根据中位数和众数的定义即可得出答案;
    (2)先求出第二组方差,再根据方差的定义,方差越小数据越稳定即可求解.
    【详解】
    解:(1)平均数:(32+39+45+55+60+54+60+28+56+41)=47,
    中位数:49.5
    众数:60
    故答案为:47,49.5,60;
    (2)第二组数据的平均数为:47,
    S22=(16+81+9+1+49+36+100+0+9+1)=30.2
    因为S12>S22,
    所以,第二组西红柿长势比较整齐.
    本题考查方差的定义,它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.也考查了平均数,中位数与众数.熟练掌握方差公式是解决本题的关键.
    15、 (1)6;(2) 930人;(3) 经典诗词诵背系列活动效果好,理由见解析
    【解析】
    (1)根据中位数的定义进行解答,即中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后,最中间的那个数(或最中间两个数的平均数);
    (2)用总人数乘以大赛后一个月该校学生一周诗词诵背6首(含6首)以上的人数所占的百分比即可;
    (3)根据活动初的平均数、中位数与活动后的平均数、中位数进行比较,即可得出答案.
    【详解】
    (1)∵把这些数从小到大排列,最中间的数是第20和21个数的平均数,则中位数是(首);
    (2)根据题意得:
    (人),
    估计大赛后一个月该校学生一周诗词背6首(含6首)以上的人数为930人.
    (3)①活动初40名学生平均背诵首数为(首),
    活动1个月后40名学生平均背诵首数为(首);
    ②活动初学生一周诗词诵背数量中位数为6,活动一个月后学生一周诗词诵背数量中位数为7;
    根据以上数据分析,该校经典诗词诵背系列活动效果好.
    考查条形统计图、用样本估计总体、统计量的选择,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答.
    16、(1)b2;(2).
    【解析】
    (1)利用完全平方公式展开,然后再合并同类项即可;
    (2)利用分式的基本性质通分,约分,然后再根据同分母的分式的加法法则计算即可.
    【详解】
    (1)原式= ;
    (2)原式=

    本题主要考查整式的加减及分式的加减运算,掌握去括号,合并同类项的法则和分式的基本性质是解题的关键.
    17、 (1)、、;(2); (3); (4)
    【解析】
    (1)根据多项式乘多项式的乘法计算可得;
    (2)利用(1)中已知等式得出该等式的结果为a、b两数n次幂的差;
    (3)将原式变形为,再利用所得规律计算可得;
    (4)将原式变形为,再利用所得规律计算可得.
    【详解】
    (1)第1个:;
    第2个:;
    第3个:;
    故答案为:、、;
    (2)若n为大于1的正整数,
    则,
    故答案为:;
    (3)

    故答案为:;
    (4)

    故答案为:.
    本题考查了多项式乘以多项式以及平方差公式,观察等式发现规律是解题关键.
    18、
    【解析】
    首先过点A作AD⊥BC,根据Rt△ADC和Rt△ABD的勾股定理分别求出CD和BD的长度,从而得出BC的长度
    【详解】
    过点A作AD⊥BC,则△ADC和△ABD为直角三角形
    ∵∠C=30° AC=4cm ∴AD=2cm CD=cm
    根据Rt△ABD的勾股定理可得:BD=cm
    ∴BC=BD+CD=()cm
    本题考查直角三角形的勾股定理,解题关键在于能够构造出直角三角形.
    一、填空题(本大题共5个小题,每小题4分,共20分)
    19、且.
    【解析】
    根据二次根式的性质以及分式的意义,分别得出关于的关系式,然后进一步加以计算求解即可.
    【详解】
    根据二次根式的性质以及分式的意义可得:,且,
    ∴且,
    故答案为:且.
    本题主要考查了二次根式的性质与分式的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.
    20、1
    【解析】
    由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,可得BC=AD=8,又由点E、F分别是BD、CD的中点,利用三角形中位线的性质,即可求得答案.
    【详解】
    解:∵四边形ABCD是平行四边形,
    ∴BC=AD=8,
    ∵点E、F分别是BD、CD的中点,
    ∴EF=BC=×8=1.
    故答案为1.
    此题考查了平行四边形的性质与三角形中位线的性质.熟练掌握相关性质是解题关键.
    21、4x(x+1)(x-1)
    【解析】
    4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).
    故答案为4x(x+1)(x-1).
    22、4a
    【解析】
    【分析】根据二次根式乘法法则进行计算即可得.
    【详解】
    =
    =
    =4a,
    故答案为4a.
    【点睛】本题考查了二次根式的乘法,熟练掌握二次根式乘法法则是解题的关键.
    23、x≤1
    【解析】
    先利用正比例函数解析式确定点坐标,然后利用函数图象,写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可.
    【详解】
    解:把代入得,解得,则,
    根据图象得,当时,.
    故答案为:
    本题考查了一次函数与一元一次不等式:从函数的角度看,就是寻求使一次函数的值大于(或小于)0的自变量的取值范围;从函数图象的角度看,就是确定直线在轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合.
    二、解答题(本大题共3个小题,共30分)
    24、(1)见解析;(2)见解析.
    【解析】
    试题分析:(1)选取①②,利用ASA判定△BEO≌△DFO;也可选取②③,利用AAS判定△BEO≌△DFO;还可选取①③,利用SAS判定△BEO≌△DFO;
    (2)根据△BEO≌△DFO可得EO=FO,BO=DO,再根据等式的性质可得AO=CO,根据两条对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论.
    试题解析:
    证明:(1)选取①②,
    ∵在△BEO和△DFO中,
    ∴△BEO≌△DFO(ASA);
    (2)由(1)得:△BEO≌△DFO,
    ∴EO=FO,BO=DO,
    ∵AE=CF,
    ∴AO=CO,
    ∴四边形ABCD是平行四边形.
    点睛:此题主要考查了平行四边形的判定,以及全等三角形的判定,关键是掌握两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.
    25、(1)文学书和科普书的单价分别是8元和1元.(2)至多还能购进466本科普书.
    【解析】
    (1)设文学书的单价为每本x元,则科普书的单价为每本(x+4)元,依题意得:

    解得:x=8,
    经检验x=8是方程的解,并且符合题意.
    ∴x+4=1.
    ∴购进的文学书和科普书的单价分别是8元和1元.
    ②设购进文学书550本后至多还能购进y本科普书.依题意得
    550×8+1y≤10000,
    解得,
    ∵y为整数,
    ∴y的最大值为466
    ∴至多还能购进466本科普书.
    26、(1)见解析;(2)见解析.
    【解析】
    (1)根据正方形的性质和DP⊥CQ于点E可以得到证明△BCQ≌△CDP的全等条件;
    (2)根据(1)得到BQ=PC,然后连接OB,根据正方形的性质可以得到证明△BOQ≌△COP的全等条件,然后利用全等三角形的性质就可以解决题目的问题.
    【详解】
    证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠B=∠PCD=90°,BC=CD,
    ∴∠2+∠3=90°,
    又∵DP⊥CQ,
    ∴∠2+∠1=90°,
    ∴∠1=∠3,
    在△BCQ和△CDP中,

    ∴△BCQ≌△CDP;
    (2)连接OB,
    由(1)△BCQ≌△CDP可知:BQ=PC,
    ∵四边形ABCD是正方形,
    ∴∠ABC=90°,AB=BC,
    ∵点O是AC中点,
    ∴BO=AC=CO,∠4=∠ABC=45°=∠PCO,
    在△BOQ和△COP中,

    ∴△BOQ≌△COP,
    ∴OQ=OP.
    解答本题要充分利用正方形的特殊性质.注意在正方形中的特殊三角形的应用,利用它们构造证明全等三角形的条件,然后通过全等三角形的性质解决问题.
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