新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿瓦提县塔木托格拉克镇中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)

这是一份新疆维吾尔自治区阿克苏地区阿瓦提县塔木托格拉克镇中学2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含解析)，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）
1．观察下列银行标志，从图案看既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）.
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A．B．k＜1且k≠0C．k≥﹣1且k≠0D．且
3．把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是（ ）
A．B．C．D．
4．一台印刷机每年可印刷的书本数量y(万册)与它的使用时间x(年)成反比例关系，当x＝2时，y＝20，则y与x的函数图象大致是( )
A．B．C．D．
5．下列事件中，属于不确定事件的是（ ）
A．抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面
B．投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点
C．太阳从东方升起
D．用长度分别是的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形
6．如图，点在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
7．二次函数与一次函数在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）.
A．B．C．D．
8．如图，在中，，在平面内将绕点旋转到位置，若，则的度数是（ ）
A．10°B．12°C．14°D．16°
9．如图，将两个等腰直角三角形如图摆放，D为AB边的中点，E、F分别在腰AC、BC上（异于端点），当△MND绕着D点旋转时，设DE+DF=x，AB=10，△CEF的面积为y，则y与x之间的函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
10．已知方程，当 时，是关于x的一元二次方程．
11．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形，拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.小颖将一粒米随机地撒在如图所示的正方形（“赵爽弦图”）地板上（落在大正方形外的除外）.若直角三角形的两直角边长之积为，大正方形的面积为，那么米粒最终停留在小正方形区域内的概率是 .
12．如图，☉O的直径AB⊥CD弦，∠1＝2∠2，则tanD＝ ．
13．若点关于原点的对称点B的坐标是，则 ．
14．如图，直线与抛物线交于A，B两点，其中点，点，不等式的解集为 ．
15．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽AB为3米，拱桥最高点C离水面的距离CO也为3米，则当水位上升1米后，水面的宽度为 米．
三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明过程或演绎步骤．）
16．解方程
(1)；
(2)．
17．如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．
(1)请直接写出点A关于y轴对称的点的坐标；
(2)将绕坐标原点O逆时针旋转90°，画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；
(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
18．如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．
19．琳琳有4盒外包装完全相同的糖果，其中有2盒巧克力味的，1盒牛奶味的，1盒水果味的，她准备和好朋友分享糖果．
(1)若琳琳随机打开1盒糖果，恰巧是牛奶味的概率是______；
(2)若琳琳从这4盒中随机挑选两盒打开，请用列表或画树状图法打开的两盒都是巧克力味的概率．
20．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离为，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为，测得底部处的俯角为，求甲、乙建筑物的高度和（结果取整数）．参考数据：，．
21．某商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价．且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．

(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大．
22．如图，在中，，的平分线交于点D，点E在上，以为直径的经过点D．求证：
(1)是的切线；
(2)若，求半径的长．
23．已知：二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的对称轴上有一动点P，求出使的值最小时点P的坐标；
(3)在第三象限中的抛物线上是否存在一点Q，使的面积最大？若存在，求出Q点的坐标及面积的最大值；若不存在，说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了轴对称图形、中心对称图形的识别．熟练掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转后能与自身重合，这个图形是中心对称图形是解题的关键．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，第一个图案不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；
第二个图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
第三个图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；
第四个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；
故选：B．
2．D
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且△，
解得且．
故选：D．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
3．C
【分析】根据抛物线平移的规律，左加右减自变量，上加下减常数项进行整理即可．
【详解】解：图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，
得，
故选：C．
【点睛】本题主要考查抛物线的平移规律，熟练地掌握图象的平移规律是解决问题的关键．
4．C
【详解】设y=（k≠0），根据当x=2时，y=20，求出k，即可得出y与x的函数图象．
解：设y=（k≠0），
∵当x=2时，y=20，
∴k=40，
∴y=，
则y与x的函数图象大致是C，
故选C．
5．A
【分析】根据事件发生的可能性大小来判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A.抛一枚硬币，前2次都是反面，第3次是正面，此事件是随机发生的，即不确定事件；
B.投掷一枚骰子，朝上面出现的点数是7点，是属于不可能事件；
C.太阳从东方升起，是必然事件；
D.用长度分别是的细木条首尾顺次相连可组成一个三角形，是必然事件；
故选：A．
【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随件事件的概念；必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即为随机事件，是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．也考查了三角形三边关系．
6．C
【分析】根据圆周角定理求得，根据三角形内角和定理以及等边对等角求得，即可求解．
【详解】解：∵点在上，，
∴，
∵，
∴，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，等边对等角，掌握圆周角定理是解题的关键．
7．D
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系是解题的关键．
先根据二次函数的图象确定各选项中的正负，然后判断各选项中对应的一次函数图象经过的象限，最后作答即可．
【详解】解：A中二次函数，，则一次函数经过第一、二、四象限，A中一次函数图象不符，故不符合要求；
B中二次函数，，则一次函数经过第一、三、四象限，B中一次函数图象不符，故不符合要求；
C中二次函数，，则一次函数经过第一、二、三象限，C中一次函数图象不符，故不符合要求；
D中二次函数，，则一次函数经过第一、二、四象限，D中一次函数图象相符，故符合要求；
故选：D．
8．C
【分析】A'B'⊥BC，垂足为O点，如图，先根据旋转的性质得到∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，则利用等腰三角形的性质得到∠CA′A＝∠A＝52°，则根据平角的定义计算出∠B′A′B＝76°，然后利用互余即可得出∠B的度数．
【详解】解：如图所示，A'B'⊥BC，垂足为O点，
∵△ABC绕点C旋转到△A'B'C位置，
∴∠A＝∠CA′B′＝52°，CA＝CA′，
∵CA＝CA′，
∴∠CA′A＝∠A＝52°，
∴∠B′A′B＝180°−∠CA′A−∠CA′B′＝180°−52°−52°＝76°，
∵A'B'⊥BC，
∴∠A′OB＝90°，
∴∠B＝90°−∠B′A′B＝90°−76°＝14°，
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，涉及到垂直定义、等腰三角形性质和直角三角形两个锐角互余等知识点，熟练根据图形运用旋转的性质解题是解决问题的关键．
9．D
【分析】连接CD，易证△CED≌△BFD，则四边形CEDF的面积=×S△ACB，DE=DF，S△EDF=×（x）2，于是△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF，根据函数关系式即可作出判断．
【详解】解：连接CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，D为AB边的中点，
∴∠ECD=∠B=45°，CD=AD=BD，∠CDB=90°，
∵∠MDN=90°，
∴∠EDC=∠FDB，
在△CED和△BFD中，，
∴△CED≌△BFD（ASA），
∴四边形CEDF的面积=S△ACB=S△CDB=×BD2=×52=，DE=DF，
∵DE+DF=x，
∴S△EDF=×（x）2=x2，
∴△CEF的面积y=四边形CEDF的面积-S△EDF=-x2(5)，
图象是一段开口向下的抛物线，观察四个选项，只有选项D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，证明△CED≌△BFD，求出二次函数的解析式是解此题的关键．
10．
【分析】根据一元二次方程的定义进行求解即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键：一般地，形如，a，b，c是常数的方程叫做一元二次方程．
11．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知两直角边长之积为，大正方形的面积为，可以得出小正方形的面积，进而求出答案．
【详解】解：由题意可得，小正方形的面积为，
米粒最终落在小正方形区域内的概率为.
故答案为.
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关键．
12．
【分析】求出∠D=∠DCB，设∠2=x°，求出∠1=2x°，∠2=∠OBC=x°，∠COA=∠2+∠OBC=2x°，根据三角形内角和定理求出x，求出∠DCO，设OE=CE=a，根据勾股定理求出OC=a，求出OB=OC=a，再解直角三角形即可．
【详解】解：设AB交CD于E，
∵CD⊥AB，AB过O，
∴CE=DE，
∴BC=BD，
∴∠D=∠DCB，
设∠2=x°，则∠1=2x°，
∵OC=OB，
∴∠2=∠OBC=x°，
∴∠COA=∠2+∠OBC=x°+x°=2x°，
∴∠1=∠EOC=2x°，
∵AB⊥CD，
∴∠CEO=90°，
∴2∠1=90°，
∴∠1=∠COE=45°，
∴CE=OE，
设OE=CE=a，则OC=，
∴OB=OC=，
∴BE=OB+OE==
∴= =
故答案为：+1．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，垂径定理，等腰三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，能求出OC的长是解此题的关键．
13．
【分析】关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，据此作答即可．
【详解】∵点关于原点的对称点B的坐标是，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了关于原点对称的两个点的坐标特征，掌握关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，是解答本题的关键．
14．2x>2
【分析】观察图像，找到抛物线的图像在直线的下方的部分图像，由此可知不等式的解集．
【详解】解：如下图所示，当2当2不等式的解集为：2故答案为：2【点睛】此题考查了二次函数与不等式，根据两个函数图像的上、下位置关系找出不等式的解集是解此题的关键．
15．
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，然后求出函数的解析式，然后令y＝1求出相应的x的值，则水面的宽就是此时两个x的差的绝对值．
【详解】解：如右图所示，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为：y＝ax2+3，
∵函数图像过点A（﹣，0），
∴0＝a（﹣）2+3，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3，
当y＝1时，1＝﹣x2+3，
解得：x1＝，x2＝﹣，
∴水面的宽度是：米．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解答此类问题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，根据函数值求出相应的x的值．
16．(1)
(2)，
【分析】（1）利用因式分解法即可求解；
（2）利用配方法即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
，
即：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程的知识，掌握因式分解法和配方法是解答本题的关键．
17．(1)
(2)图形见详解，
(3)、、
【分析】（1）关于y轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，据此作答即可；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，并写出点B的对应点的坐标；
（3）分别以、、为对角线，画出图形，结合图形即可写出第四个顶点D的坐标．
【详解】（1）∵关于y轴对称的两点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，
又∵，
∴点A关于y轴对称的点的坐标为：；
（2）分别作出点A、B、C绕坐标原点O逆时针旋转90°后的点，然后顺次连接，如图，
即即为所求，
根据图形可得：点B的对应点的坐标为：；
（3）分别以、、为对角线，画出平行四边形，如图，
结合图形可知：第四个顶点D的坐标为：、、．
【点睛】本题考查了根据旋转变换作图，轴对称的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
18．（1）；（2）x＞1；（3）P（﹣，0）或（，0）
【详解】分析：（1）求得A（1，3），把A（1，3）代入双曲线y=，可得y与x之间的函数关系式；
（2）依据A（1，3），可得当x＞0时，不等式x+b＞的解集为x＞1；
（3）分两种情况进行讨论，AP把△ABC的面积分成1：3两部分，则CP=BC=，或BP=BC=，即可得到OP=3﹣=，或OP=4﹣=，进而得出点P的坐标．
详解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，
∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，
∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），
∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，
∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，
∴b=，
∴y2=x+，
令y2=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），
∴BC=7，
∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，
∴CP=BC=，或BP=BC=
∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，
∴P（﹣，0）或（，0）．
点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
19．(1)
(2)
【分析】（1）4盒外包装完全相同的糖果中有1盒牛奶味的，随机打开1盒糖果恰巧是牛奶味的概率，用1除以4，即得；
（2）从4盒外包装完全相同的糖果中随机挑选两盒打开，列表写出共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒糖果都是巧克力味的概率，用2除以12，即得．
【详解】（1）；
故答案为：；
（2）用Q1 、Q2表示巧克力味的，N表示牛奶味的，S表示水果味的，列表如下：
共12种等可能结果，其中两盒都是巧克力味的结果有2种，随机挑选两盒都是巧克力味的概率为：．
【点睛】本题主要考查了求概率，解决问题的关键是熟练掌握概率的定义，简单概率的计算，用列表法或树状图法求概率．
20．甲、乙建筑物的高度和分别为和
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用——仰角、俯角．熟练掌握矩形的判定与性质，解直角三角形的应用是解题的关键．
如图，过作于，则四边形是矩形，，由题意知，，根据，，，计算求解即可．
【详解】解：如图，过作于，则四边形是矩形，
∴，
由题意知，，
在中，，
在中，，
∴，
∴甲、乙建筑物的高度和分别为和．
21．(1)；
(2)每件销售价为20元时，每天的销售利润最大．
【分析】本题主要考查二次函数的应用．
（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；
（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．
【详解】（1）解：设与的函数解析式为，
将、代入，得：，
解得：，
所以与的函数解析式为；
（2）解：根据题意知，
，
，
∴当时，随的增大而增大，
，
∴当时，取得最大值，最大值为200，
答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元．
22．(1)见解析
(2)5
【分析】（1）连接，证，得出即可得出结论；
（2）连接DE，，证，求得，再利用勾股定理求得，再证明，根据线段比例关系即可得出结论．
【详解】（1）证明：连接OD，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，，
∵，
∴，
∵为的直径，的平分线交于点D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴的半径长为5．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23．(1)
(2)
(3)，的最大面积为：
【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）先求出B点坐标，再证明当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，接着求出直线的解析式为：，问题随之得解；
（3）设Q点坐标为：，且，，即有：，，，根据，可得，问题随之得解．
【详解】（1）代入、可得：
，
解得：，
即解析式为：；
（2）令，可得：，
解得：，，
∴B点坐标为：，
抛物线的对称抽为：，
即A、B两点关于直线对称，
抛物线的对称轴上有一动点P，如图，
∴，
∴，
即当P、D、B三点共线时，最小，最小值为BD，
如图，
∵，，
设直线的解析式为：，
∴有：，
∴，
∴直线的解析式为：，
∴当时，，
∴P点坐标为：；
（3）存在，理由如下：
令，可得：，
∴C点坐标为：，
∴，
∵，
∴，
如图，
设Q点坐标为：，且，，
即有：，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
整理得：，
∴当时，有最大值，最大值为：，
∴，
∴Q点坐标为：，
即：Q点坐标为：，的最大面积为：．
【点睛】本题是二次函数的综合题，难度中等，考查了二次函数的图象与性质，轴对称，待定系数法求解抛物线解析式，二次函数的最值等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
糖果味道
Q1
Q2
N
S
Q1
——————
Q1Q2
Q1N
Q1S
Q2
Q2Q1
——————
Q2N
Q2S
N
NQ1
NQ2
——————
NS
S
SQ1
SQ2
SN
——————