四川省南充市阆中中学校2024-2025学年高一上学期9月检测数学试题（解析版）

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姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 若集合中的元素是的三边长，则一定不是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.
根据集合元素的互异性，在集合中，必有，
故一定不是等腰三角形；
故选：D.
2. 设集合，则下列关系中成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分，讨论计算即可.
∵的定义域为
∴在上恒成立，
∴当时，显然适合；
当时，，解得：，
综上，，即，又
∴
故选：A
【点睛】结论点睛：二次型不等式恒成立问题，注意对二次项系数的分类讨论,体会“三个二次”的关系.
3. 定义，，，设集合A＝{0，1}，集合B＝{1，2，3}，则A*B集合的真子集的个数是（ ）
A. 14B. 15C. 16D. 17
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合A*B＝{1，2，3，4}，由公式求出集合A*B真子集的个数
∵A＝{0，1}，B＝{1，2，3}，
∴A*B＝{Z|Z＝xy+1，x∈A，y∈B}＝{1，2，3，4}，
则A*B集合的真子集的个数是24﹣1＝15个，
故选：B
4. 满足{a，b}⊆M⫋{a，b，c，d，e}的集合M的个数是（ ）个
A. 2B. 4C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】利用列举法，列举出所有符合条件的集合，由此确定集合的个数.
满足条件的M有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}，共7个．
故选：C
【点睛】本小题主要考查根据包含关系求集合，属于基础题.
5. 设全集，集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出集合，然后根据集合并集补集运算求解.
因为，，所以，因为，所以.
故选：D.
6. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A. 3,4B. C. 0,4D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象知阴影部分表示的集合为，再根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.
由图知，阴影部分表示的集合为，
又，所以或，又，
所以，
故选：B.
7. 设集合，若，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式可得集合，再由子集运算求出结果即可；
由题可知，
由，可得，
所以．
故选：A.
8. 王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其诗作《从军行》中的诗句“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”传诵至今．由此推断，其中最后一句“返回家乡”是“攻破楼兰”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，按照充分条件、必要条件的定义即可判断
由题意，“不破楼兰终不还”即“不破楼兰”是“不还”的充分条件，即“不破楼兰”可以推出“不还”，但是反过来“不还”的原因有多种，比如战死沙场；
即如果已知“还”，一定是已经“破楼兰”，所以“还”是“破楼兰”的充分条件
故选：A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列各组对象可以组成集合的是（）
A. 数学必修第一册课本中所有的难题
B. 小于8的所有质数
C. 直角坐标平面内第一象限的一些点
D. 周长为10 cm的三角形
【答案】BD
【解析】
【分析】根据集合的定义和集合元素的特征逐个分析判断.
对于A，“难题”的标准不确定，因而不能构成集合，所以A错误，
对于B，小于8的所有质数能构成集合，所以B正确，
对于C，“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合，所以C错误，
对于D，周长为10 cm的三角形具有确定性，能构成集合，所以D正确，
故选：BD
10. 在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4. 下列结论正确的是（）
A. 2 022∈[2]B. －3∈[3]
C. D. 整数a，b属于同一个“类”的充要条件是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据“类”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.
，所以，A选项正确.
，所以，B选项错误.
整数是由的倍数、的倍数加、的倍数加、的倍数加、的倍数加所构成，
所以，C选项正确.
当属于同一个“类”时，设，
所以；
当时，，所以，，
即被除所得余数和被除所得余数相等，也即属于同一个“类”.
综上所述，整数a，b属于同一个“类”的充要条件是，D选项正确.
故选：ACD
11. 非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（）
A. B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
12. 设U为全集，下面三个命题中为真命题的是（）
A. 若，则；B. 若，则；
C. 若，则；D. 若，则.
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用集合间的基本关系及交并补的概念与运算计算即可.
对于A，若，则成立，即A正确；
对于B，若，则成立，即B正确；
对于C，不妨设，有，但不成立，即C错误；
对于D，若，则集合A、集合B中均没有元素，即D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分
13. 设，若，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，即可根据分别求解.
】由可得,
由于,故,
因此，
，
，
故实数的取值集合为，
故答案为：
14. 已知集合中元素满足：，且，又集合中恰有三个元素，则整数______，集合中的元素是________．
【答案】 ①. 6 ②. 3，4，5
【解析】
【分析】根据集合元素的特征和的范围可得，进而可得集合的元素.
由题意知，
又，，且集合P中恰有三个元素，所以，
此时集合P中的元素是3，4，5．
故答案为：6；3，4，5.
15. 由实数x，－x，|x|，及－所组成的集合，最多含有________个元素.
【答案】2
【解析】
【分析】化简根式可知不论x取何值所给实数最多只能写成两种形式.
因为|x|＝±x，,，所以不论x取何值，最多只能写成两种形式：x，－x，故集合中最多含有2个元素.
故答案为：2
【点睛】本题考查根式的化简、集合的概念，属于基础题.
16. 已知集合，或.若，则实数的取值范围是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意，若，则，分情况讨论，进而求解，得出答案．
已知集合，或.
若，则，
当，即时，满足条件；
当时，即当时，若，则或，
解得（舍）或，
综上，实数的取值范围是或.
故答案为：或.
四、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 用描述法表示下列集合．
（1）所有不在第一、三象限的点组成的集合；
（2）所有被3除余1的整数组成的集合；
（3）使有意义的实数x组成的集合．
（4）方程的解集．
【答案】（1）
（2）
（3）且
（4）
【解析】
【分析】（1）根据点的特点得出解集；
（2）根据被3除余1的整数可表示为得出解集；
（3）解不等式即可；
（4）解方程得出解集.
【小问1】
∵不在第一、三象限的点分布在第二、四象限或坐标轴上，
∴所有不在第一、三象限的点组成的集合为．
【小问2】
∵被3除余1的整数可表示为，∴所有被3除余1的整数组成的集合为
．
【小问3】
要使有意义．则．解得且．
∴使有意义的实数x组成的集合为且．
【小问4】
由，解得．∴方程的解集为．
18. 已知集合，若，求实数a的取值集合．
【答案】
【解析】
【分析】让集合中每个元素等于1，求出值，然后检验是否符合互异性即可得
解：因为，所以
①若，解得，此时集合为，元素重复，所以不成立，即
②若，解得或，当时，集合为，满足条件，即成立．
当时，集合为，元素重复，所以不成立，即
③若，解得或，由①②知都不成立．
所以满足条件的实数的取值集合为
19. 已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）若B⊆A，求实数a的取值范围．
【答案】（1）A∩B＝∅
（2）（﹣∞，）
【解析】
【分析】（1）利用交集及其运算求解即可．
（2）利用集合间的关系列出不等式组，求解即可．
【小问1】
当a＝2时，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝∅．
【小问2】
若B⊆A，
①当B＝∅时，则a+2＞3a，∴a＜1，
②当B≠∅时，则，∴1≤a，
综上，实数a的取值范围为（﹣∞，）．
20. 已知集合，或，全集合．
（1）当时，求；
（2）若，，求实数取值范围．
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）代入，然后直接求即可；
（2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解.
【小问1】
当时，，又或，
或；
【小问2】
若，则，
又，
由得，
，
解得.
21. 设，，且.
（1）求的值及集合，；
（2）设全集，求；
（3）写出的所有子集.
【答案】（1）；，
（2）
（3），，，,．
【解析】
【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与；
（2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求；
（3）找出所求集合的所有子集即可．
【小问1】
根据题意得：，，
将代入中的方程得：，即，
则，；
【小问2】
全集，，
；
【小问3】
的所有子集为，，，．
22. 已知集合
（1）判断8，9，10是否属于集合A；
（2）已知集合，证明：“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
（3）写出所有满足集合A的偶数.
【答案】（1），，
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）由，即可证，若，而，列方程组判断是否存在整数解，即可判断10是否属于A.
（2）由，结合集合A的描述知，由（1），而，即可证结论；
（3）由集合A的描述：，讨论m，n同奇或同偶、一奇一偶，即可确定的奇偶性，进而写出所有满足集合A的偶数.
【小问1】
，，故，，
假设，，则，且，
由，得或，显然均无整数解，
∴，
综上，有：，，；
【小问2】
集合，则恒有，
∴，即一切奇数都属于A，即，则必有；
又，而，即，推不出，
∴“”的充分条件是“”；但“”不是“”的必要条件；
【小问3】
集合，，
①当m，n同奇或同偶时，均为偶数，为4的倍数；
②当m，n一奇一偶时，均为奇数，为奇数，
综上，所有满足集合A的偶数为．
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据集合的性质，应用因式分解、恒等转化、代数式的奇偶性讨论，判断元素与集合的关系，证明条件间的充分、必要关系，确定满足条件的数集.