2021-2022学年四川省南充市阆中市阆中中学校高二下学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年四川省南充市阆中市阆中中学校高二下学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．抛物线的焦点到准线的距离是（       ）

A．8 B．4 C． D．

【答案】A

【分析】根据抛物线方程求得，由此求得正确答案.

【详解】抛物线方程为，

所以，

所以抛物线的焦点到准线的距离是.

故选：A

2．已知函数，则该函数的导函数（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合导数的四则运算法则以及基本初等函数的导数公式即可求得.

【详解】由题可得，

故选：B

3．与双曲线有相同的焦点，且短半轴长为的椭圆方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得双曲线的焦点坐标以及焦点所在坐标轴，然后求得椭圆的，从而求得椭圆方程.

【详解】双曲线的焦点在轴上，且焦点为，

所以椭圆的焦点在轴上，且，

依题意，椭圆短半轴，则，

所以椭圆的方程为.

故选：B

4．函数在上是减函数，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可得在恒成立，进而有，结合指数函数的单调性即可得出结果.

【详解】由题意知，

在恒成立，

得，

又函数在上单调递减，

所以，

.

故选：D．

5．“”是“曲线是焦点在x轴上的双曲线”的（       ）

A．充要条件 B．既不充分也不必要条件

C．必要不充分条件 D．充分不必要条件

【答案】C

【分析】由曲线是焦点在x轴上的双曲线可得出的范围，根据范围由充分必要关系即可得解.

【详解】若曲线是焦点在x轴上的双曲线，

则且，则，

根据范围可知必有，反之不成立，

所以“”是“曲线

是焦点在x轴上的双曲线”的必要不充分条件，

故选：C.

6．过抛物线E：y2＝2x焦点的直线交E于A，B两点，线段AB中点M到y轴距离为1，则|AB|＝（       ）

A．2 B． C．3 D．4

【答案】C

【解析】设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，求出，即得解.

【详解】

设焦点为F，过A，B，M分别作准线的垂线，垂足为A′，B′，M′，

则有|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，|AA′|+|BB′|＝2|MM′|，

∵M到y轴距离为1，

∴，

∴|AB|＝|AF|+|BF|＝2|MM′|＝3．

故选：C．

【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．已知函数，则的单调递减区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出函数导数，令即可求出.

【详解】，令，解得，

所以的单调递减区间为.

故选：B.

8．已知双曲线M：的焦点到其渐近线的距离为4，则双曲线M的渐近线的方程是（       ）

A． B． C． D．y＝±2x

【答案】C

【分析】表达出焦点及渐近线方程，利用点到直线距离列出方程，求出渐近线方程.

【详解】的焦点为，渐近线方程为：，则，解得：，所以渐近线方程为：

故选：C

9．设函数f（x）在R上可导，其导函数为，且函数f（x）在x=2处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根极值与导函数的关系确定在附近的正负，得的正负，从而确定正确选项．

【详解】由题意，（与2接近位置）时，，，（与2接近位置）时，，，只有C符合．

故选：C．

10．函数至多两个零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将函数至多两个零点，转化为方程至多有两个根，令，利用导数法求解.

【详解】因为函数至多两个零点，

所以方程至多有两个根，

令，则，

令，得或，

当或时，，当时，，

所以当时，取得极小值-4，当时，取得极大值4，

所以实数的取值范围是，

故选：C

11．已知函数存在极值点，则实数的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的定义域及导数，函数存在极值点则方程在上有解，分类讨论函数单调性从而确定极值点.

【详解】的定义域为，，

对于一元二次方程，，函数存在极值点则方程在上有解，或，方程的根为，

①当时，恒成立，在上单调递减且无极值点；

②当时，在及时，，函数单调递减；在时，，函数单调递增，则函数有2个极值点；

③当时，，所以时，，函数单调递减且无极值点.

综上所述，.

故选：A

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，属于中档题.

12．已知，是椭圆：的左右焦点，若椭圆上存在一点使得，则椭圆的离心率的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据椭圆的性质求出的范围，代入即可求出离心率的取值范围.

【详解】设点，

，因为，

所以，即，

结合可得，所以.

故选：B.

二、填空题

13．双曲线的离心率__________.

【答案】

【分析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.

【详解】由已知，可得，

所以，

所以.

故答案为：

14．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________．

【答案】

【分析】恒成立，只需即可，求出，得出单调区间，进而求出，求解即可得出结论.

【详解】由，得，

又函数的定义域为，令，

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增；

故是函数的极小值点，也是最小值点，且，

要使恒成立，需，则.

故答案为：．

15．已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．

【答案】8

【分析】根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积．

【详解】由题意得，，

由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，

所以，解得，

所以四边形的面积为．

故答案为：．

16．若曲线在点处的切线与曲线相切于点，则__________.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义分别求解出在点处的切线方程以及在点处的切线方程，根据两切线重合，求解出之间的关系式，由此可化简计算出的值.

【详解】的导数为，可得曲线在点处的切线方程为，

的导数为，可得曲线在点处的切线的方程为，

由两条切线重合的条件，可得，且，

则，即有，

可得，

则.

故答案为:

三、解答题

17．已知函数在时取得极值．

(1)求的值；

(2)求在区间上的最大值与最小值．

【答案】(1)3

(2)最大值18；最小值

【分析】（1）根据极值点与极值的定义即在极值点出导函数为，求解值即可；

（2）由（1）的结论，确定出在区间的单调性，极值与最值即可.

【详解】(1)，所以，

，解得．

(2)由（1）知：，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

，

18．在四棱锥中，底面是正方形，与交于点，平面，为中点.

(1)求证：平面；

(2)求证：.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析；

【分析】（1）利用中位线的性质，可证明，由线面平行的判定定理可证出平面；（2）利用底面是正方形，得，再由线面垂直的性质定理可证明，进而证明平面，从而证明.

【详解】(1)连接，∵底面是正方形，∴为中点，又为中点，∴，又∵平面，平面，∴平面；

(2)∵底面是正方形，∴，∵平面，平面，∴，又，平面，∴平面，又平面，∴

19．如图，是直角三角形斜边上一点，.

(1)若，求角的大小；

(2)若，且，求的长.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先由正弦定理求出，结合得到，从而得到；（2）求出，进而得到角C的余弦值，再使用余弦定理求出的长.

【详解】(1)在中，由正弦定理得 ，

所以，

又

所以，.

(2)由，且知：

所以，直角三角形中，

在中，由余弦定理得

所以，.

20．设数列的前项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前项和为.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用可求得结果；

（2）由（1）可得，利用裂项相消法可求得结果.

【详解】(1)当时，；

当时，，

；

经检验：满足；

综上所述：.

(2)由（1）得：，

.

21．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．

【答案】(1)y2＝4x

(2)证明见解析

【分析】(1)把已知点坐标代入抛物线方程求得参数，即得抛物线方程；

(2)设AB：x＝my+t，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程与抛物线方程联立消元后应用韦达定理得，代入得参数值，从而可得定点坐标．

【详解】(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，

∴p＝2，

∴抛物线方程为y2＝4x．

(2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，

所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，

，同理：，

由题意：，

∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，

∴y1y2＝4，

∴﹣4t＝4，

∴t＝﹣1，

故直线AB恒过定点(﹣1，0)．

22．已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若对任意的，都有成立，求a的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求出，分别讨论不同范围下的正负，分别求单调性；

（2）对任意的，都有成立，只需任意的，，然后，结合（1）的单调性求出即可求解

【详解】(1)该函数的定义域为，

，

①当时，恒成立，函数的递增区间为；

②当时，令，解得或，

所以函数的递增区间为，递减区间为，

所以当时，函数的递增区间为；

当时，函数的递增区间为，递减区间为．

(2)对任意的，都有成立，只需任意的，，

①当时，在上是增函数，所以只需，而，所以满足题意；

②当时，，在上是增函数，

所以只需，而，所以满足题意；

③当时，，在上是减函数，

在上是增函数，所以只需即可，

而，从而不满足题意；

综上①②③可得：实数a的取值范围为．