2025届陕西省宝鸡市北崖中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】

这是一份2025届陕西省宝鸡市北崖中学数学九年级第一学期开学综合测试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）直线l1：y=ax+b与直线l2：y=mx+n在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式ax+b＜mx+n的解集为（ ）
A．x＞﹣2B．x＜1C．x＞1D．x＜﹣2
2、（4分）某正比例函数的图象如图所示，则此正比例函数的表达式为（）
A．y=xB．y=xC．y=-2xD．y=2x
3、（4分）下列说法正确的是（ ）
A．四条边相等的平行四边形是正方形
B．一条线段有且仅有一个黄金分割点
C．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
D．位似图形一定是相似图形
4、（4分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥﹣2B．x＞﹣2C．x≥2D．x≤2
5、（4分）下列各式中，不是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）甲、乙两名同学在初二下学期数学6章书的单元测试中，平均成绩都是86分，方差分别是，，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．甲和乙一样D．无法确定
7、（4分）在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝﹣2x﹣2平移后，得到直线l2：y＝﹣2x+4，则下列平移作法正确的是（ ）
A．将l1向右平移3个单位长度B．将l1向右平移6个单位长度
C．将l1向上平移2个单位长度D．将l1向上平移4个单位长度
8、（4分）一次函数y=kx+b，当k<0，b<0时，它的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若x-y=，xy=，则代数式（x-1）（y+1）的值等于_____．
10、（4分）已知a+ = ,则a-=__________
11、（4分）如图，菱形ABCD的对角线AC＝3cm，BD＝4cm，则菱形ABCD的面积是_____．
12、（4分）如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为__________．
13、（4分）分解因式：x2y﹣y3＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）某中学初二年级抽取部分学生进行跳绳测试，并规定：每分钟跳次以下为不及格；每分钟跳次的为及格；每分钟跳次的为中等；每分钟跳次的为良好；每分钟跳次及以上的为优秀.测试结果整理绘制成如下不完整的统计图.请根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加这次跳绳测试的共有 人；
(2)补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，“中等”部分所对应的圆心角的度数是 ；
(4)如果该校初二年级的总人数是人，根据此统计数据，请你估算该校初二年级跳绳成绩为“优秀”的人数.
15、（8分）如图①，在△ABC中，AB=AC，过AB上一点D作DE∥AC交BC于点E，以E为顶点，ED为一边，作∠DEF=∠A，另一边EF交AC于点F．
（1）求证：四边形ADEF为平行四边形；
（2）当点D为AB中点时，判断▱ADEF的形状；
（3）延长图①中的DE到点G，使EG=DE，连接AE，AG，FG，得到图②，若AD=AG，判断四边形AEGF的形状，并说明理由．
16、（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE交AC于点F，连接DF.
(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；
(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；
(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使∠EFD＝∠BCD，并说明理由．
17、（10分）如图，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点C的坐标为（﹣5，4），点D在y轴的正半轴上，经过点A的直线y＝x﹣1与y轴交于点E，将直线AE沿y轴向上平移n（n＞0）个单位长度后，得到直线l，直线l经过点C时停止平移．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
（2）若直线l交y轴于点F，连接CF，设△CDF的面积为S（这里规定：线段是面积为0的三角形），求S与n之间的函数关系式，并写出n的取值范围；
（3）易知AE⊥AD于点A,若直线l交折线AD﹣DC于点P，当△AEP为直角三角形时，请直接写出n的取值范围．
18、（10分）实践与探究
如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点坐标为。直线与直线相交于点，点的横坐标为1。
（1）求直线的解析式；
（2）若点是轴上一点，且的面积是面积的，求点的坐标；
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）八年级（4）班有男生24人，女生16人，从中任选1人恰是男生的事件是_______事件（填“必然”或“不可能”或“随机”）.
20、（4分）一个装有进水管出水管的容器，从某时刻起只打开进水管进水，经过一段时间，在打开出水管放水，至15分钟时，关停进水管.在打开进水管到关停进水管这段时间内，容器内的水量y(升)与时间x（分钟）之间的关系如图所示，关停进水管后，经过_____________分钟，容器中的水恰好放完.
21、（4分）观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图5中挖去三角形的个数为______
22、（4分）已知正比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，2），则正比例函数的解析式为 ．
23、（4分）若分式方程无解，则__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）已知：如图，在正方形ABCD中，E为DC上一点，AF平分∠BAE且交BC于点F.

求证：BF+DE=AE.
25、（10分）总书记说：“读可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同，求进馆人次的月平均增长率．
26、（12分）如图，在▱ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长与DC的延长线交于F．
（1）求证：CF=CD；
（2）若AF平分∠BAD，连接DE，试判断DE与AF的位置关系，并说明理由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
由图象可以知道，当x=1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式ax+b＜mx+n解集．
【详解】
解：观察图象可知，当x＜1时，ax+b＜mx+n，
∴不等式ax+b＜mx+n的解集是x＜1
故选B．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，根据交点得到相应的解集是解决本题的关键．
2、A
【解析】
本题可设该正比例函数的解析式为y=kx，然后结合图象可知，该函数图象过点A（-2，1），由此可利用方程求出k的值，进而解决问题．
【详解】
解：正比例函数的图象过点M(−2,1)，
∴将点(−2,1)代入y=kx，得：
1=−2k，
∴k=﹣，
∴y=﹣x，
故选A．
本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，牢牢掌握该法求函数解析式是解答本题的关键．
3、D
【解析】
直接利用位似图形的性质以及矩形、菱形的判定方法分别分析得出答案．
【详解】
解：A、四条边相等的平行四边形是菱形，故此选项错误； B、一条线段有且仅有一个黄金分割点不正确，一条线段有两个黄金分割点，故此选项错误； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项错误； D、位似图形一定是相似图形，正确．
故选：D．
此题主要考查了位似图形的性质以及矩形、菱形的判定方法，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
4、C
【解析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，就可以求解．
【详解】
解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥1．
故选：C．
本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
5、D
【解析】
根据最简二次根式的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式进行分析即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，不符合题意；
D、不是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
此题主要考查了最简二次根式，关键是掌握最简二次根式的条件．
6、A
【解析】
方差决定一组数据的稳定性，方差大的稳定性差，方差小的稳定好．
【详解】
∵，
∴
∴甲同学的成绩比较稳定
故选：A．
本题考查了方差与稳定性的关系，熟知方差小，稳定性好是解题的关键．
7、A
【解析】
利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可．
【详解】
∵将直线l1：y=-2x-2平移后，得到直线l2：y=-2x+4，
∴-2（x+a）-2=-2x+4，
解得：a=-3，
故将l1向右平移3个单位长度．
故选A．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键．
8、B
【解析】
根据一次函数的性质可得出结论.
【详解】
解：因为 一次项系数 则随的增大而减少，函数经过二，四象限；
常数项 则函数一定经过三、四象限；
因而一次函数的图象一定经过第二、三、四象限．
故选B．
本题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握函数的性质是解题关键.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、2-2
【解析】
解：
∵=,
原式
故答案为:
10、
【解析】
通过完全平方公式即可解答.
【详解】
解：已知a+ = ，
则= =10，
则= =6，
故a-=.
本题考查完全平方公式的运用，熟悉掌握是解题关键.
11、11cm1
【解析】
利用菱形的面积公式可求解．
【详解】
解：因为菱形的对角线互相垂直平分，
∵AC＝cm，BD＝cm，
则菱形ABCD的面积是cm1．
故答案为11cm1．
此题主要考查菱形的面积计算，关键是掌握菱形的面积计算方法．
12、1
【解析】
过点D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠A=10°，再根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，根据角平分线的定义求出∠CBD=10°，根据直角三角形10°角所对的直角边等于斜边的一半求出BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解．
【详解】
如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=90°-60°=10°，
∴DE=AD=×6=1，
又∵BD平分∠ABC，
∴CD=DE=1，
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD=10°，
∴BD=2CD=2×1=6，
∵P点是BD的中点，
∴CP=BD=×6=1．
故答案为：1．
此题考查含10度角的直角三角形，角平分线的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
13、y（x+y）（x﹣y）．
【解析】
试题分析：先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．
解：x2y﹣y3
=y（x2﹣y2）
=y（x+y）（x﹣y）．
故答案为y（x+y）（x﹣y）．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1)50；(2)见解析；(3)72°；(4)96人.
【解析】
（1）利用条形统计图以及扇形统计图得出良好的人数和所占比例，即可得出全班人数；
（2）利用（1）中所求，结合条形统计图得出优秀的人数，进而求出答案；
（3）利用中等的人数，进而得出“中等”部分所对应的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体进而利用“优秀”所占比例求出即可．
【详解】
(1)由扇形统计图和条形统计图可得：
参加这次跳绳测试的共有：20÷40%=50(人)；
故答案为：50；
(2) 由(1)的优秀的人数为：50−3−7−10−20=10人，
(3) “中等”部分所对应的圆心角的度数是：×360°=72°，
故答案为：72°；
(4)全年级优秀人数为：（人）.
此题主要考查了扇形统计图以及条形统计图和利用样本估计总体等知识，利用已知图形得出正确信息是解题关键．
15、（1）证明见解析；（2）▱ADEF的形状为菱形，理由见解析；（3）四边形AEGF是矩形，理由见解析.
【解析】
(1)根据平行线的性质得到∠BDE=∠A，根据题意得到∠DEF=∠BDE，根据平行线的判定定理得到AD∥EF，根据平行四边形的判定定理证明；
(2)根据三角形中位线定理得到DE=AC，得到AD=DE，根据菱形的判定定理证明；
(3)根据等腰三角形的性质得到AE⊥EG，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明．
【详解】
(1)证明：∵DE∥AC，
∴∠BDE=∠A，
∵∠DEF=∠A，
∴∠DEF=∠BDE，
∴AD∥EF，又∵DE∥AC，
∴四边形ADEF为平行四边形；
(2)解：□ADEF的形状为菱形，
理由如下：∵点D为AB中点，
∴AD=AB，
∵DE∥AC，点D为AB中点，
∴DE=AC，
∵AB=AC，
∴AD=DE，
∴平行四边形ADEF为菱形，
(3)四边形AEGF是矩形，
理由如下：由(1)得，四边形ADEF为平行四边形，
∴AF∥DE，AF=DE，
∵EG=DE，
∴AF∥DE，AF=GE，
∴四边形AEGF是平行四边形，
∵AD=AG，EG=DE，
∴AE⊥EG，
∴四边形AEGF是矩形．
故答案为：(1)证明见解析；(2)菱形；(3)矩形.
本题考查的是平行四边形、矩形、菱形的判定，掌握它们的判定定理是解题的关键．
16、（1）证明见解析（2）证明见解析（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD
【解析】
（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAC=∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF得出∠AFB=∠AFD，最后进行简单的推算即可；
（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC=∠ACD，最后判断出四边相等；
（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．
【详解】
(1)证明：在△ABC和△ADC中，

∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中,

∴△ABF≌△ADF(SAS)，
∴∠AFB=∠AFD，
∵∠CFE=∠AFB，
∴∠AFD=∠CFE，
∴∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
(2)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，
∴AB=CB=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形；
(3)BE⊥CD时，∠BCD=∠EFD；理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，
∵CF=CF，
∴△BCF≌△DCF，
∴∠CBF=∠CDF，
∵BE⊥CD，
∴∠BEC=∠DEF=90°，
∴∠BCD=∠EFD.
17、（1）A（2，0），B（-3，0）；（2）当0≤n≤1时，S=10-2n；当1＜n≤时，S=2n-10；（3）n=或0≤n≤1．
【解析】
（1）令y=0，则x-1=0，求A（2，0），由平行四边形的性质可知AB=1，则B（-3，0）；
（2）易求E（0，-1），当l到达C点时的解析式为y=x+，当0≤n≤1时，S=×4×（1-n）=10-2n；当1＜n≤时，S=×4×（n-1）=2n-10；
（3）由点可以得到AD⊥AE；当P在AD上时，△AEP为直角三角形，0≤n≤1；当P在CD上时，△AEP为直角三角形，则PE⊥AE，设P（m，4），可得=-2，求出P（-，4），此时l的解析式为y=x+，则n=．
【详解】
（1）令y=0，则x-1=0，x=2，
∴A（2，0），
∵C的坐标为（-1，4），四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=1，
∴OB=AB-OA=3，∴B（-3，0）；
（2）当x=0时，y＝x﹣1=-1，所以E（0，-1），
∵直线AE沿y轴向上平移得到l，当l到达C点时的解析式为y=x+，
此时l与y轴的交点为（0，），
当0≤n≤1时，S=×4×（1-n）=10-2n；
当1＜n≤时，S=×4×（n-1）=2n-10；
（3）∵D（0，4），A（2，0），E（0，-1），
∴AD=2，AE=，ED=1，
∴AD2+AE2=ED2，
∴AD⊥AE，
当P在AD上时，△AEP为直角三角形，
∴0≤n≤1；
当P在CD上时，△AEP为直角三角形，
则PE⊥AE，
设P（m，4），
∴=-2，
∴m=-，
∴P（-，4），
∴此时l的解析式为y=x+，
∴n=；
综上所述：当△AEP为直角三角形时，n=或0≤n≤1．
本题是一次函数的综合题；熟练掌握①平行四边形的性质求点的坐标；②动点中求三角形面积；③利用直角三角形的性质解决直线解析式，进而确定n 的范围是解题的关键．
18、（1）；（2）点的坐标为或
【解析】
（1）先求出C点坐标，再利用待定系数法确定函数关系式即可求解；
（2）先求出A点坐标，再过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，设点的坐标为，根据三角形的面积即可列出式子求解；
【详解】
解：（1）∵点在上，且横坐标是1，
∴把代入中，得，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，将点的坐标代入得
解得
∴直线的解析式为；
（2）∵点是直线与轴的交点，
∴把代入中得，，∴点坐标为，
过点作轴，垂足为点；过点作轴，垂足为点，
由点的坐标为可得，，
设点的坐标为，
依题意得，，
即，
解得，，
∴点的坐标为或；
此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知一次函数的的性质及三角形的面积求解.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、随机
【解析】
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件． 可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件． 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．即可解答
【详解】
从中任选一人，可能选的是男生，也可能选的是女生，故为随机事件
此题考查随机事件，难度不大
20、13.5
【解析】
从图形中可得前6分钟只进水，此时可计算出进水管的速度，从第6分到第15分既进水又出水，且进水速度大于出水速度， 根据此时进水的速度=进水管的速度-出水管的速度即可计算出出水管的出水速度，即可解答
【详解】
从图形可以看出
进水管的速度为：60÷6=10（升/分），
出水管的速度为：10-(90-60)÷(15-6)= （升/分），
关闭进水管后，放水经过的时间为：90÷=13.5（分）.
此题考查一次函数的应用，函数图象，解题关键在于看懂图象中的数据
21、1
【解析】
根据题意找出图形的变化规律，根据规律计算即可．
【详解】
解：图1挖去中间的1个小三角形，
图2挖去中间的（1+3）个小三角形，
图3挖去中间的（1+3+32）个小三角形，
…
则图5挖去中间的（1+3+32+33+34）个小三角形，即图5挖去中间的1个小三角形，
故答案为1．
本题考查的是图形的变化，掌握图形的变化规律是解题的关键．
22、y=﹣1x
【解析】
试题分析：根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，把点A的坐标代入函数解析式求出k值即可得解：
∵正比例函数y=kx的图象经过点A（﹣1，1），
∴﹣k=1，即k=﹣1．
∴正比例函数的解析式为y=﹣1x．
23、1
【解析】
先把m看作已知，解分式方程得出x与m的关系，再根据分式方程无解可确定方程的增根，进一步即可求出m的值.
【详解】
解：在方程的两边同时乘以x－1，得 ，
解得.
因为原方程无解，所以原分式方程有增根x=1，即，解得m=1.
故答案为1.
本题考查了分式方程的解法和分式方程的增根，正确理解分式方程无解与其增根的关系是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、详见解析
【解析】
根据正方形的性质，将△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示；
可得F′，D，E，C四点共线，根据平行线的性质以及全等三角形的性质，利用等量代换，可得∠AF′D=∠F′AE，即得AE=EF′=DF′+DE，再由DF′=BF，即可得证.
【详解】
证明：∵ABCD是正方形，
∴△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°，
∴F′，D，E，C四点共线.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1，
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB，
∴∠AF′D=∠F′AE，
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF，
∴BF+DE=AE.
本题考查角平分线、平行线的性质、全等三角形的性质，以及等量代换的思想，解题的关键是找出合适的辅助线.
25、进馆人次的月平均增长率为50%
【解析】
先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于608，列方程求解．
【详解】
设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：
128+128(1+x)+128(1+x)2=608，
化简得：4x2+12x-7=0，
∴(2x-1)(2x+7)=0，
∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为50%．
本题属于一元二次方程的应用题，列出方程是解题的关键．本题难度适中，属于中档题．
26、（1）见解析（2）DE⊥AF
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得到AB∥CD，从而可得到AB∥DF，根据平行线的性质可得到两组角相等，已知点E是BC的中点，从而可根据AAS来判定△BAE≌△CFE，根据全等三角形的对应边相等可证得AB=CF，进而得出CF=CD；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出AE=EF，再利用角平分线的性质以及等角对等边求出DA=DF，利用等腰三角形的性质求出即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∵点F为DC的延长线上的一点，
∴AB∥DF，
∴∠BAE=∠CFE，∠ECF=∠EBA，
∵E为BC中点，
∴BE=CE，
则在△BAE和△CFE中，
，
∴△BAE≌△CFE（AAS），
∴AB=CF，
∴CF=CD；
（2）解：DE⊥AF，
理由：∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵∠BAF=∠F，
∴∠DAF=∠F，
∴DA=DF，
又由（1）知△BAE≌△CFE，
∴AE=EF，
∴DE⊥AF．
【点评】此题主要考查学生对平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，证明线段相等的常用方法是证明三角形全等．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分