上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）

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1．本试卷共25题，试卷满分150分，建议考试时间100分钟．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．下列函数中，是二次函数的是（）
A．B．C．D．
2．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（）
A．B．C．D．
3．已知，，且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（）
A．B．C．D．
4．如果两个相似三角形的周长比为1：4，那么它们的对应角平分线的比为（）
A．1：4B．1：2C．1：16D．
5．下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是（）
A．该函数图像经过原点B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下D．该函数图像可由函数的图像平移得到
6．下列命题中，说法正确的是（）
A．如果一个直角三角形中有两边之比为1：2，那么所有这样的直角三角形一定相似
B．如果一个等腰三角形中有两边之比为1：2，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为1：2，那么所有这样的直角三角形一定相似
D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为1：2，那么所有这样的等腰三角形一定相似
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．如果，那么__________．
8．计算：__________．
9．已知线段，P是线段的黄金分割点，，那么线段的长度等于__________．
10．如果点G是的重心，且，那么边上的中线长为__________．
11．已知在中，，，，那么的长为__________．
12．如图，是边长为3的等边三角形，D、E分别是边、上的点，，如果，那么__________．
13．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了__________米．
14．在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是__________．
15．已知点、都在二次函数的图像上，那么m、n的大小关系是：m__________n（填“>”“=”或“<”）．
16．如图，正方形的边在的直角边上，顶点E、F分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为__________．
17．平行于梯形两底的直线与梯形的两腰相交，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形中，，，，点E、F分别在边、上，且是梯形的“比例中线”，那么的值为__________．
18．在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为__________．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（本题满分10分）
计算：．
20．（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，．
（1）求的值；
（2）联结，如果，，试用、表示向量．
21．（本题满分10分，其中每小题各5分）
如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，．
（1）求的面积；
（2）求的正弦值．
22．（本题满分10分）
上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】
如图1，在中，，；
然后延长到点D，使，联结．
图1
（1）__________．
（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________．
（3）__________．
【知识迁移】
如图2，在中，，．然后延长到点D，使，联结．
请用习题中求的方法求．
图2
【拓展应用】
如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，联结、交于点P．求证：．
图3
23．（本题满分12分，其中每小题各6分）
已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，且．
（1）求证：；
（2）点F在的延长线上，联结，．求证：．
24．（本题满分12分，其中每小题各4分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．
（1）求抛物线M的表达式和点C的坐标；
（2）点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标；
（3）将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．
25．（本题满分14分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）
如图，已知正方形的边长为6，点E是射线上一点（点E不与点B、C重合），过点A作，交边的延长线于点F，直线分别交射线、射线于点M、N．
备用图备用图
（1）当点E在边上时，如果，求的余切值；
（2）当点E在边延长线上时，设线段，，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）当时，求的面积．2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：
先作，其中，；然后延长到点D，使，联结．
（1）．
（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），，
（3）．