上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末(一模）数学试题（含解析）

这是一份上海市松江区2023-2024学年九年级上学期期末(一模）数学试题（含解析），共26页。试卷主要包含了下列条件中，不能判定的是，若，则 等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；没有特殊说明，几何题均视为在同一个平面内研究问题．
2．答题时，务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明．或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．下列函数中，属于二次函数的是（）
A．B．C．D．
2．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=，BC=m，那么AB的长为（ ）
A．；B．；C．；D．．
3．关于二次函数的图像，下列说法正确的是（）
A．开口向上B．经过原点
C．对称轴右侧的部分是下降的D．顶点坐标是
4．下列条件中，不能判定的是（）
A．，；B．，C．D．
5．如图，在中，，斜边上的高，矩形的边在边上，顶点G、F分别在边、上，如果正好经过的重心，那么的积等于（ ）
A．4B．1C．D．
6．某同学对“两个相似的四边形”进行探究．四边形和四边形是相似的图形，点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别是对应顶点，已知．该同学得到以下两个结论：①四边形和四边形的面积比等于；②四边形和四边形的两条对角线的和之比等于k．对于结论①和②，下列说法正确的是（）
A．①正确，②错误B．①错误，②正确C．①和②都错误D．①和②都正确
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．若，则 ．
8．、两地的实际距离米，画在地图上的距离为5厘米，则地图上的距离与实际距离的比是 ．
9．某印刷厂一月份印书50万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为x，那么三月份的印书量y（万册）与x的函数解析式是 ．
10．已知点P是线段的黄金分割点，且，如果，那么 ．
11．在直角坐标平面中，将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是 ．
12．如果一个二次函数图像的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的．请写出一个符合条件的函数解析式： ．
13．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从A点向上行驶了50米，到达B点，那么此时该小车上升的高度为 米．
14．如图，梯形中，，且，若，．请用，来表示 ．
15．如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么 ．
16．如图，在梯形中，，点E是的中点，、的延长线交于点F，如果，那么 ．
17．在中，，点D、E分别是边、的中点，与相交于点O，如果是等边三角形，那么 ．
18．如图，在矩形中，，，将边绕点A逆时针旋转，点B落在处，连接、，若，则 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．二次函数的图像上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如下表．
(1)由表格信息，求出该二次函数解析式，并写出该二次函数图像的顶点D的坐标；
(2)如果该二次函数图像与y轴交于点A，点是图像上一点，求的面积．
20．如图，在中，点D、E、F分别在边、、上，连接、．已知，，，．
(1)求的值；
(2)若的面积为16，求四边形的面积．
21．已知：如图，中，，，，于D．
(1)求的长；
(2)如果点E是边的中点，求大小．
22．如图，A处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达B处，这时在A处的正东方向200米的C处测得B的仰角为（、B、C在同一平面内）．求A、B之间的距离．（结果精确到1米，）
23．已知：如图，在中，点D、E分别在边、上，，．求证：
(1)；
(2)
24．在平面直角坐标系中，抛物线的图像经过原点、点，此抛物线的对称轴与x轴交于点C，顶点为B．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)如果该抛物线与x轴负半轴的交点为D，且的正切值为2，求a的值；
(3)将这条抛物线平移，平移后，原抛物线上的点A、B分别对应新抛物线上的点E、P．联结，如果点P在y轴上，轴，且，求新抛物线的表达式．
25．在中，．点D是射线上一点（不与A、C重合），点F在线段上，直线交直线于点E，．
(1)如图，如果点D在的延长线上
①求证：；
②联结，如果，，求的长．
(2)如果，求：的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．
根据二次函数的定义选择正确的选项即可．
【详解】A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B、符合二次函数的定义，是二次函数，故此选项符合题意；
C、是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D、不是二次函数，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．C
【详解】试题分析：解直角三角形得出sinA=，代入求出即可．
在Rt△ACB中，BC=m，∠A=α，
∴sinA=，
∴AB=
故选C．
考点：锐角三角函数的定义．
3．C
【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系；
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
【详解】，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，
∴时，随增大而减小，对称轴右侧的部分是下降的，
把代入得
∴抛物线经过，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了平面向量的平行，熟记平面向量平行的定义是解题的关键．
根据平面向量的相关定义逐一判断即可．
【详解】解：∵，
，
由不能得到，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，设的重心是，连接，延长交于，由三角形的重心的性质可得，再结合矩形的性质和平行线分线段成比例及余角的性质证明，即可推出．
【详解】解：设的重心是，连接，延长交于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，，，
，
．
故选：B．
6．D
【分析】本题考查的是相似多边形的性质，熟记相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方是解题的关键；
根据相似多边形的对角线的比等于相似比、面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】∵四边形和四边形是相似的图形，，
∴四边形和四边形是相似比为，
∴四边形和四边形的面积比等于，四边形和四边形的两条对角线之比等于，
∴四边形和四边形的两条对角线的和之比等于，则①和②都正确，
故选：D．
7．
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
利用比例的性质进行计算，即可解答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
8．
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离，直接求出即可．
【详解】解：250米厘米，
∴比例尺；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了比例尺，掌握比例尺的计算方法，注意在求比的过程中，单位要统一．
9．或
【详解】因为一月份印书50万册，每月印书量的增长率都为x，所以二月份印书
三月份印书
【点睛】一元二次方程的实际应用是常考内容，解题关键是要读懂题目的信息，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程再求解，属于中档题．
10．
【分析】本题考查了黄金分割点的应用，把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为黄金分割；根据黄金分割点的定义列方程是解题的关键．
【详解】解：设长为x，则长为，
列方程得：，
解得：，（舍去）
∴长为，
故答案为：．
11．
【分析】此题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数的平移规律：括号内左加右减，括号外上加下减求解即可．
【详解】解：将抛物线，先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是，
故答案为：．
12．，答案不唯一
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．
由于二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为正数，由此可以确定函数解析式不唯一．
【详解】解：∵二次函数的顶点在x轴上，且在y轴的右侧部分是上升的，
∴这个二次函数的二次项系数为正数，
∴符合条件的函数有，答案不唯一．
答案为：，答案不唯一．
13．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
设小车上升的高度为米，根据坡度的概念得到米，再根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】设小车上升的高度为米，斜坡的坡度为，
∴米，
由勾股定理得：，
解得：(负值舍去)，
∴小车上升的高度为米，
故答案为：．
14．
【分析】此题考查了平面向量，根据平行四边形法则得到，即可用、表示．
【详解】∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
15．2
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．
先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再将代入求出，即可求解．
【详解】解：∵，
解得．
故答案为：2．
16．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.过点作的垂线交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，可得四边形为矩形，则，由题意可得，证明，则，即，将化简为，即可得出答案.
【详解】过点作的垂线交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，
，
∴，
∴四边形为矩形，
，
∵点是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质以及特殊角的三角函数值，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
过点作于点， 过点作于点，连接，根据是等边三角形，得出，，设，根据点D、E分别是边、的中点，得出，，，证明，得出，，根据，得出，，证明从而得出，
再求出，即可求解；
【详解】过点作于点， 过点作于点，连接，
∵是等边三角形，
，，
设，
点D、E分别是边、的中点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
故答案为：
18．
【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，矩形的性质，旋转的性质，解答该题的关键是掌握以上知识点；
过A作，设证明，根据相似三角形的性质得出，再运用勾股定理列方程解答即可；
【详解】将边绕点A逆时针旋转，如图所示，过A作，
则，
设
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
（负值舍去），
故答案为：．
19．(1)，顶点D的坐标为
(2)
【分析】本题考查二次函数的解析式，二次函数的图像和性质，掌握待定系数法是解题的关键．
（1）运用待定系数法求出函数解析式，并配方找到顶点坐标即可；
（2）求出直线的解析式，过点D作轴交于点E，得到点E的坐标，根据计算即可．
【详解】（1）解：把、、代入得：
，解得，
∴函数关系式为：，
，
∴顶点D的坐标为；
（2）解：当时，，
∴点P的坐标为，
设直线的解析式为，把点和代入得：
，解得：，
∴解析式为，
过点D作轴交于点E，
当时，，
∴点E的坐标为，
∴，
∴．
20．(1)
(2)6
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质：
（1）根据平行线分线段成比例求解即可；
（2）证明，，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求得和的面积，再根据四边形的面积为求解即可．
【详解】（1）解：，，
，，
，
又，，
；
（2）解：，，
，
，
，
与的相似比是：，
，
的面积为16，
，
，
，
由（1）知，
∴，
，
，
四边形的面积为．
21．(1)13
(2)
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形性质和判定，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由锐角的正弦求出长，证明是的中位线．
（1）由锐角的正弦求出长，由勾股定理求出长，得到长，由勾股定理即可求出长．
（2）过作，由相似三角形性质，推出，得到是的中位线，因此，求出，即可求出．
【详解】（1）解：∵
（2）解：过作于，
，
点E是边的中点，
∴是的中位线，
22．、之间的距离约为141米
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；
过点作，垂足为，根据题意可得：米，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，
∴，
在中，，
∴(米)，
在中，(米)，
∴、之间的距离约为141米．

23．(1)见详解
(2)见详解
【分析】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理解答即可；
（2）利用三角形的内角和定理的推论和相似三角形的判定定理得到，利用相似三角形的性质得到，再证明，利用相似三角形的性质和等量代换的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
∵，
∴，
24．(1)直线
(2)
(3)
【分析】该题主要考查了二次函数综合，涉及知识点主要有解直角三角形，二次函数的图象和性质，全等三角形的性质和判断，函数平移等知识点，解题的关键是掌握以上知识点；
（1）将、代入解析式再求解即可；
（2）过A作轴，根据求解即可；
（3）由（1）算出，，再根据点P在y轴上，轴，作轴于K ，得出 证明 得出，又结合平移得出，在中， 由列方程解出，即可求解；
【详解】（1）过
，
又过，
∴
，
∴的对称轴为直线，
（2）由（1）知，
，
∴
，
过A作轴，
，
，

（3）由（1）得，，
∴，对称轴为直线，
故，
点P在y轴上，轴，
作轴于K ，

设交y轴于L，
，
∴
又

又，
，
∴，
又由平移知，
∴，
∴，
又在中，
，
∴

，
或，
，
，
∴二次函数解析式为，
∴为，
∴新抛物线解析式为
25．(1)①见详解；②
(2)的值为1
【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
（1）①由，得，因为，所以，得，由，得，所以，则，即可证明；
②由，得，则，可证明，得，所以，而，得，所以，则，求得，于是得，求得；
（2）分两种情况，一是当点在的延长线上，联结，作交的延长线于点，可证明，得，再证明，得，则；二是当点在线段上，可证明与不相似，则不存在的情况．
【详解】（1）证明：如图1，∵，
，
，
，
，
②如图，
解得或（舍去），
（2）如图2，点在的延长线上，
联结，作交的延长线于点，则
∴，
∵，
在和中，
，
在和中，
如图3，点在线段上，
与不相似，
不存在的情况，
综上所述，的值为1．
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
?
3
…