2023-2024学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市绿园区九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若二次根式 x+3在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≥−3B. x≥3C. x≤−3D. x>−3
2.二次函数y=−4(x−2)2−5的顶点坐标是( )
A. (−2,5)B. (2,5)C. (−2,−5)D. (2,−5)
3.下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 28B. 24C. 12D. 8
4.如图，在△ABC中，DE//BC，AD=9，DB=3，CE=2，则AE的长为( )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
5.如图，在平面直角坐标系中，将点A(3,2)绕原点O逆时针旋转90∘得到点B，则点B的坐标为( )
A. (−2,3)
B. (−3,2)
C. (−2,−3)
D. (−1,3)
6.如图，△ABC与△DEF位似，其位似中心为点O，且D为AO的中点，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A. 2：1B. 4：1C. 3：1D. 9：1
7.电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC=5，∠ACB=52∘，则拉线AC的长为( )
A. 5tan52∘
B. 5cs52∘
C. 5⋅cs52∘
D. 5sin52∘
8.若抛物线y=x2+bx+c的对称轴为y轴，且点P(2,6)在该抛物线上，则c的值为( )
A. −2B. 0C. 2D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9. (−2)4=______.
10.计算： 8÷ 18=______.
11.已知关于x的一元二次方程x2−a=0有一个根为x=2，则a的值为______.
12.若关于x的方程x2−2x+m=0有实数根，则m的取值范围为______ .
13.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上，如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是______.
14.如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1.5米后，水面的宽度为______米．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算： 2+ 8− 12.
16.(本小题6分)
解方程：2x2−4x=6−3x.
17.(本小题6分)
某厂一月份产值为64万元，计划三月份产值要达100万元.若每个月的平均增长率相同，求平均增长率是多少.
18.(本小题7分)
在一个不透明的盒子中放有三张卡片，分别标记为A、B、C，每张卡片除了标记不同外，其余均相同．某同学第一次从盒子中随机抽取一张卡片，卡片放回，第二次又随机抽取一张卡片，请用画树状图(或列表)的方法，求两次抽取的卡片都是A的概率．
19.(本小题7分)
图①、图②均为5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在图①、图②中各画一个与△ABC相似(相似比不为1)，且不全等的三角形.(要求三角形的顶点都在格点上)
20.(本小题7分)
如图，CA⊥AD，ED⊥AD，点B是线段AD上的一点，且CB⊥BE.已知AB=8，AC=6，DE=4.
(1)证明：△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
21.(本小题8分)
如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C.
(1)求A，B，C，D的坐标；
(2)求四边形ABCD的面积．
22.(本小题9分)
角平分线性质定理描述了角平分线上的点到两边距离的关系，小明发现将角平分线放在三角形中，还可以得出一些线段比例的关系．
请完成下列探索过程：
【研究情景】
如图1，在△ABC中，∠ABC的角平分线交AC于点D.
【初步思考】
(1)若AB=4，BC=7，则S△ABDS△CBD=______；
【深入探究】
(2)请判断ABBC和ADCD之间的数值关系，并证明；
【应用迁移】
(3)如图2，△ABC和△ECD都是等边三角形，△ABC的顶点A在△ECD的边ED上，CD交AB于点F，若AE=4，AD=2，求△CFB的面积．
23.(本小题10分)
如图，在Rt△ABC中，∠A=90∘，AC=3，AB=4，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，点Q为线段AP的中点，过点P向上作PM⊥AB，且PM=3AQ，以PQ、PM为边作矩形PQNM.设点P的运动时间为t(t>0)秒.
(1)线段MP的长为______ (用含t的代数式表示).
(2)当点N恰好落在边BC上时，求t的值.
(3)当点N在△ABC内部时，设矩形PQNM与△ABC重叠部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式.
(4)当点M恰好落在△ABC的角平分线上时，直接写出t的值.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,−3)，(2,5).点A在抛物线上，且点A的横坐标为m.
(1)求该抛物线对应的函数表达式.
(2)求点A关于抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)的对称轴对称的点A′的坐标(用含m的代数式表示).
(3)当点A在x轴上方时，直接写出m的取值范围.
(4)若此抛物线在点A及点A左侧部分的最低点的纵坐标为1−2m，求m的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：若二次根式 x+3在实数范围内有意义，
则x+3≥0，
解得：x≥−3.
故选：A.
根据二次根式的概念，形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵y=4(x−2)2−5，
∴顶点坐标为(2,−5)，
故选：D.
由抛物线顶点解析式可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为(h,k).
3.【答案】D
【解析】解：A、 28=2 7，故A不符合题意；
B、 24=2 6，故B不符合题意；
C、 12=2 3，故C不符合题意；
D、 8=2 2，故D符合题意．
故选：D.
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，由此即可判断．
本题考查同类二次根式，关键是掌握同类二次根式的定义．
4.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，AD=9，DB=3，CE=2，
∴ADDB=AEEC，
∴93=AE2，
解得AE=6.
故选C.
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．
本题考查平行线分线段成比例．
5.【答案】A
【解析】解：点(3,2)绕原点O逆时针旋转90∘，得到的点的坐标为(−2,3).
故选：A.
把点绕原点旋转的问题转化为直角三角形旋转的问题，画出图形可解决问题．
本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30∘，45∘，60∘，90∘，180∘.
6.【答案】B
【解析】解：∵△ABC与△DEF位似，
∴DF//AC，△ABC∽△DEF，
∴△ODF∽△OAC，
∴DFAC=ODOA=12，
∴△DEF与△ABC的面积比=(12)2=14，
∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，
故选：B.
根据位似图形的概念得到DF//AC，△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似的两个三角形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵∠ABC=90∘，∠ACB=52∘，BC=5，
∴cs52∘=BCAC=5AC，
∴AC=5cs52∘
故选：B.
直接利用锐角三角函数关系得出cs52∘=BCAC，进而得出答案．
此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．
8.【答案】C
【解析】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为y轴，
∴b=0，
∵点P(2,6)在该抛物线上，
∴6=4+c，
解得：c=2.
故选：C.
直接利用二次函数的性质得出b=0，再利用图象上点的坐标得出答案．
此题主要考查了二次函数的性质，正确得出b的值是解题关键．
9.【答案】4
【解析】解： (−2)4=22=4.
故答案为：4.
利用二次根式的化简的法则进行求解即可．
本题主要考查二次根式的化简，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
10.【答案】23
【解析】解： 8÷ 18= 818= 49=23，故答案为：23.
根据二次根式的除法，即可解答．
本题考查了二次根式的除法，解决本题的关键是熟记二次根式的除法法则．
11.【答案】4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−a=0有一个根为x=2，
∴22−a=0，
解得：a=4，
故答案为：4.
把x=2代入方程得出4−a=0，再求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的解和解一元一次方程等知识点，能熟记一元二次方程的解的定义是解此题的关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．
12.【答案】m≤1
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×1×m≥0，
解得：m≤1.
故答案为：m≤1.
根据判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×1×m≥0，然后解不等式即可．
本题主要考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac，当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
13.【答案】59
【解析】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面积，
∴小球停在阴影部分的概率是59，
故答案为：59.
根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件(A)；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件(A)发生的概率．
14.【答案】2 7
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是把实际问题转化为二次函数问题解决．
根据二次函数图象和性质即可求解．
【解答】
解：如图：
以拱顶到水面的距离为2米时的水面为x轴，拱顶所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
根据题意设二次函数解析式为：y=ax2+2，
把A(2,0)代入，得：
a=−12，
所以二次函数解析式为：y=−12x2+2，
当y=−1.5时，−12x2+2=−1.5
解得x=± 7.
所以水面的宽度为2 7.
故答案为2 7.
15.【答案】解：原式= 2+2 2− 22
=5 22.
【解析】直接化简二次根式，进而合并同类二次根式得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
16.【答案】解：2x2−4x=6−3x，
2x(x−2)+3(x−2)=0，
(2x+3)(x−2)=0，
2x+3=0或x−2=0，
解得x1=−32，x2=2，
所以，原方程的解为x1=−32，x2=2.
【解析】利用因式分解法解此方程，即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握和运用解一元二次方程的方法是解决本题的关键．
17.【答案】解：设增长率为x.
64×(1+x)2=100，
∵1+x>0，
∴1+x=0.8，
∴x=0.2=20%.
答：平均增长率是20%.
【解析】等量关系为：一月份的产值×(1+增长率)2=三月份的产值，把相关数值代入求合适的解即可．
考查一元二次方程的应用；得到三月份产值的等量关系是解决本题的关键．
18.【答案】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两次抽取的都是A的有1种情况，
∴两次抽取的都是A的概率为：19.
【解析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次抽取的都是A的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了概率公式与列表法或树状图法求概率．列表法或树状图法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
19.【答案】解：如图，△DEF即为所求．

【解析】根据相似三角形的判定以及题目要求作出图形即可．
本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题．
20.【答案】(1)证明：∵CA⊥AD，ED⊥AD，CB⊥BE，
∴∠A=∠CBE=∠D=90∘，
∴∠C+∠CBA=90∘，∠CBA+∠DBE=90∘，
∴∠C=∠DBE，
∴△ABC∽△DEB；
(2)解：∵△ABC∽△DEB，
∴ACBD=ABDE，
∴6BD=84，
∴BD=3.
【解析】(1)利用同角的余角相等得∠C=∠DBE，可证明结论；
(2)根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题主要考查了相似三角形的性质和判定，利用同角的余角相等得∠C=∠DBE是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)∵y=x2−2x−3=(x−3)(x+1)=(x−1)2−4，
∴当y=0时，x1=3，x2=−1，当x=0时，y=−3，该函数的顶点坐标为(1,−4)，
∴点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(0,−3)；
(2)连接OC，如右图所示，
∵点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，点C的坐标为(1,−4)，点D的坐标为(0,−3)，
∴四边形ABCD的面积是：S△AOD+S△ODC+S△OCB=3×12+3×12+3×42=9.
【解析】(1)根据题目中的函数解析式可以求得A，B，C，D的坐标；
(2)根据(1)中求得的点A，B，C，D的坐标，可以求得四边形ABCD的面积．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
22.【答案】47
【解析】解：(1)过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，
∵BD平分∠BAC，
∴DM=DN，
∵S△ABD=12AB⋅DM，S△CBD=12BC⋅DN，
∴S△ABDS△CBD=ABBC=47；
故答案为：47；
(2)ADCD=ABBC.理由如下：
如图2，过点C作CE//BD交AB的延长线于点E，
∵CE//BD，
∴ADCD=ABBE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵CE//BD，
∴∠ABD=∠E，∠CBD=∠BCE，
∴∠E=∠BCE，
∴BE=BC，
∴ADCD=ABBC；
(3)如图3，过点C作CH⊥DE于点H，过点F作FG⊥BC于点G，
∵AE=4，AD=2，
∴DE=AE+AD=4+2=6，
∵△ECD是等边三角形，CH⊥DE，
∴EH=DH=3，CE=DE=6，
∴CH= CE2−EH2= 62−32=3 3，
∵AH=DH−AD=3−2=1，
∴AC= AH2+CH2= 12+(3 3)2=2 7，
∵△ABC和△ECD都是等边三角形，
∴∠ACB=∠DCE=60∘，BC=AB=AC=2 7，
∴∠BCD+∠ACD=60∘，∠ACE+∠ACD=60∘，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△CBF∽△CEA，
∴BFAE=CFAC，
∵∠ACF=∠DCA，∠CAF=∠CDA=60∘，
∴△CAF∽△CDA，
∴CFAC=AFAD，
∴BFAE=AFAD，即BF4=AF2，
∴BFAF=2，
∵BF+AF=AB=2 7，
∴BF=23×2 7=4 73，
∵∠B=60∘，FG⊥BC，
∴∠BFG=30∘，
∴BG=12BF=12×4 73=2 73，
∴FG= BF2−BG2= (4 73)2−(2 73)2=2 213，
∴S△CFB=12BC⋅FG=12×2 7×2 213=14 33.
(1)过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥BC于点N，运用角平分线性质可得DM=DN，再利用三角形面积公式即可求得答案；
(2)过点C作CE//BD交AB的延长线于点E，运用平行线分线段成比例和等腰三角形的判定和性质即可；
(3)过点C作CH⊥DE于点H，过点F作FG⊥BC于点G，运用勾股定理可求出CH，AC，再证明△CBF∽△CEA，利用相似三角形性质即可求出BF，再运用勾股定理求出FG，即可运用三角形面积公式求得答案．
本题是三角形综合题，主要考查了角平分线性质，等边三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，勾股定理，三角形面积公式等；熟练掌握相似三角形的判定和性质，勾股定理等相关知识是解题关键．
23.【答案】3t
【解析】解：(1)由题意AP=2t，AQ=PQ=t，
∵PM=3PQ，
∴PM=3t.
故答案为：3t；
(2)如图，当点N落在BC上时，
∵NQ//AC，
∴NQAC=BQBA，
∴3t3=4−t4，
解得t=45.
(3)如图3−1中，当0如图3−2中，当23S=S矩形PQNM−S△EFM=3t2−12⋅[3t−34(4−2t)]⋅43[3t−34(4−2t)]=−212t2+18t−6，
综上所述，S=3t2(0(4)如图4−1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E.
∵∠FAB=∠FEB=90∘，∠FBA=∠FBE，BF=BF，
∴△BFA≌△BFE(AAS)，
∴AF=EF，AB=BE=4，设AF=EF=x，
∵∠A=90∘，AC=3，AB=4，
∴BC= AC2+AB2=5，
∴EC=BC−BE=5−4=1，
在Rt△EFC中，则有x2+12=(3−x)2，
解得x=43，
∵PM//AF，
∴PMAF=PBBA，
∴3t43=4−2t4，
∴t=411；
如图4−2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F.
同法可证：△ECA≌△ECF(AAS)，
∴AE=EF，AC=CF=3，设AE=EF=y，
∴BF=5−3=2，
在Rt△EFB中，则有x2+22=(4−x)2，
解得x=32，
∵PM//AC，
∴PMAC=PEAE，
∴3t3=32−2t32，
解得t=37.
综上所述，满足条件的t的值为411或37.
(1)根据路程，速度，时间的关系以及已知条件解决问题即可．
(2)根据平行线分线段成比例得出比例式求解即可．
(3)分两种情形：如图3−1中，当0(4)分2种情形：如图4−1中，当点M落在∠ABC的角平分线BF上时，满足条件．作FE⊥BC于E.如图4−2中，当点M落在∠ACB的角平分线上时，满足条件作EF⊥BC于F.分别求解即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24.【答案】解：(1)把(0,−3)，(2,5)代入y=x2+bx+c，
得c=−34+2b+c=5，
解得b=2c=−3，
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2+2x−3；
(2)∵y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线y=x2+2x−3的对称轴是直线x=−1，
设点A′的横坐标为n，由题意，得n−(−1)=−1−m，
∴n=−2−m，
∵A(m,m2+2m−3)，
∴A′(−2−m,m2+2m−3)；
(3)令y=0，则x2+2x−3=0，
解得x1=−3，x2=1，
∴抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(1,0)，
∵点A在x轴上方，
∴m的取值范围为m>1或m<−3；
(4)∴y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴抛物线顶点为(−1,−4)，
当m≥−1时，在点A左侧的图象顶点为最低点，
即1−2m=−4，
解得m=52；
当m<−1时，y随x的增大而减小，
∴A为最低点，
即当x=m时，y=m2+2m−3=1−2m，
解得m1=2 2−2(舍去)，m2=−2 2−2，
综上所述，m的值为52或−2 2−2.
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)求得抛物线的对称轴，设点A′的横坐标为n，根据抛物线的对称性得n−(−1)=−1−m，即可得出n=−2−m，从而得出点A′的坐标(−2−m,m2+2m−3)；
(3)求出抛物线与x轴的交点为(−3,0)，(1,0)，再由点A在x轴上方，求m的范围即可；
(4)当m≥−1时，在点A左侧的图象顶点为最低点，1−2m=−4，解得m=52，当m<−1时，y随x的增大而减小，A为最低点，m2+2m−3=1−2m，解得m1=2 2−2(舍去)，m2=−2 2−2.
本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．