2023-2024学年河南省商丘五中八年级（上）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年河南省商丘五中八年级（上）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（ ）
A．a≠0B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
2．下列各题计算中，正确的是（ ）
A．＝a﹣bB．﹣＝﹣a
C．÷（﹣）＝2﹣D．（2+）（2﹣）＝1
3．已知反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），（x2，y2）．若x1＜x2，则y1﹣y2的值（ ）
A．一定是正数
B．一定是负数
C．可能是零
D．可能是正数，也可能是负数
4．如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
5．如果实数x，y满足，那么点（x，y）在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上
6．对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①当b＝a+c时，则方程ax2+bx+c＝0一定有一根为x＝﹣1；②若ab＞0，bc＜0，则方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0；④若b＝2a+3c，则方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的是（ ）
A．①②B．①③C．①②④D．②③④
二、填空题
7．的有理化因式是 ．
8．已知函数，那么 ．（填“＞”、“＝”或“＜”）
9．已知直角三角形的两条直角边长为6，8，那么斜边上的中线长是 ．
10．正比例函数y＝（k+1）x图象经过点（1，﹣1），那么k＝ ．
11．一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2（x+1）的根是 ．
12．关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
13．已知直线y＝a分别交函数y＝（x＞0）与函数y＝（x＞0）的图象于A，B两点，若在函数图象上存在点C，使得△ABC恰为等边三角形，则△ABC的面积为 ．
14．一辆汽车，新车购买价20万元，第一年使用后折旧20%，以后该车的年折旧率有所变化，但它在第二，三年的年折旧率相同．已知在第三年年末，这辆车折旧后价值11.56万元，如果设这辆车第二、三年的年折旧率为x，那么根据题意，列出的方程为 ．
15．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝ °．
16．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为E，则DE＝ cm．
17．对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n＝，计算（3※2）×（8※12）的结果为 ．
18．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，点D是直线BC上动点，连接AD，在直线AD的右侧作等边△ADE，连接CE，当线段CE的长度最小时，线段CD的长度为 ．
三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．解下列方程：
（1）；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1．
21．如反比例函数的图象经过点A（2，1），点B（a﹣1，2）也在反比例函数图象上．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求A、B两点间的距离．
22．证明：直角三角形的两个锐角互余．（在下列方框内画出图形）
已知： ．
求证： ．
证明：
23．一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，
（1）这个梯子的顶端距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4米到A′，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
24．如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长；
（2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB．
25．某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．
（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是 吨；
（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？
26．如图，在直角坐标平面内，点O是坐标原点，点A坐标为（3，4），将直线OA绕点O顺时针旋转45°后得到直线y＝kx（k≠0）．
（1）求直线OA的表达式；
（2）求k的值；
（3）在直线y＝kx（k≠0）上有一点B，其纵坐标为1．若x轴上存在点C，使△ABC是等腰三角形，请直接写出满足要求的点C的坐标．
27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP＝x．
（1）用含x的代数式表示线段DG的长；
（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；
（3）若△PEF为直角三角形，求出BP的长．
2023-2024学年河南省商丘五中八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选B．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a＝0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b＝0或c＝0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程．
2．【分析】利用二次根式的性质对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据平方差公式对D进行判断．
【解答】解：A、原式＝|a﹣b|，所以A选项错误；
B、a＜0，原式＝﹣（﹣a）＝a，所以B选项错误；
C、原式＝＝2（+）＝6+2，所以C选项错误；
D、原式＝4﹣3＝1，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．【分析】由于自变量所在象限不定，那么相应函数值的大小也不定．
【解答】解：∵函数值的大小不定，若x1、x2同号，则y1﹣y2＜0；
若x1、x2异号，则y1﹣y2＞0．
故选：D．
【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内．
4．【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
5．【分析】根据题意得出x、y异号，且y＞0，进而得出点的位置．
【解答】解：由实数x，y满足，
可得x、y一定异号，并且y＞0，
则x＜0或者x、y中有一个为0或都为0，
故点（x，y）在第二象限或坐标轴上．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出x，y的符号是解题关键．
6．【分析】根据一元二次方程根的意义及根的判别式，逐项分析判断即可．
【解答】解：对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
Δ＝b2﹣4ac，
①将x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0，得a﹣b+c＝0，即b＝a+c．故①正确．
②若ab＞0，bc＜0，则ac＜0，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根．故②正确．
③将x＝c代入方程ax2+bx+c＝0，得ac2+bc+c＝0，得c＝0或ac+b+1＝0．故③错误．
④若b＝2a+3c，Δ＝b2﹣4ac＝4（a+c）2+5c2＞0，∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．故④正确．
所以正确的是①②④，故选：C．
【点评】本题综合考查了一元二次方程根的意义及利用根的判别式判断方程的根的情况．
二、填空题
7．【分析】找出已知二次根式的有理化因式即可．
【解答】解：的有理化因式是（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】此题考查了分母有理化，弄清有理化因式的找法是解本题的关键．
8．【分析】先求出＝，＝，再利用平方法判断出＞，即可得出结论．
【解答】解：∵已知函数，
∴＝＝，＝＝，
∴（）2＝2，（）2＝，
∵2＞，
∴＞，
∴＞，
故答案为：＞．
【点评】此题是函数值问题，主要考查了无理数的比较大小的方和分母有理化，比较＞是解本题的关键．
9．【分析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
【解答】解：由勾股定理得，斜边＝＝10，
所以，斜边上的中线长＝×10＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
10．【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：∵正比例函数y＝（k+1）x的图象过点（1，﹣1），
∴﹣1＝k+1，
解得：k＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据一次函数图象上点的坐标特征得出关于k的一元一次方程是解题的关键．
11．【分析】本题应对方程进行变形，将等号右边的式子移向到等号左边，然后提取公因式x+1，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：原方程变形为：（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0
即（x+1）（x﹣1﹣2）＝0
∴（x+1）（x﹣3）＝0
∴x1＝﹣1，x2＝3
故本题的答案为x1＝﹣1，x2＝3
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
12．【分析】由题意可得Δ＞0且m≠0，然后解不等式即可．
【解答】解：由题意得：Δ＞0，
∴（﹣2）2﹣4m×1＞0，
整理得：m＜1．
又∵m≠0，
∴实数m的取值范围是m＜1且m≠0．
故答案为：m＜1且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
13．【分析】表示出A、B的坐标，然后根据题意得出C的横坐标为 ，分两种情况讨论，利用等边三角形的性质得到关于a的方程，解方程求得a的值，进一步求得△ABC的面积．
【解答】解：∵直线y＝a分别交函数 与函数 的图象于A，B两点，
∴，
∵△ABC恰为等边三角形，
∴C的横坐标为 ，
若点C在 上，此时点C的坐标为 ，
∵AC＝AB，
∴AC2＝AB2，
即（﹣）2+（﹣a）2＝（﹣ ）2，
解得，
∴S△ABC＝×（）2＝•＝，
若点C在 上，此时点C的坐标为（，），
∵AC＝AB，
∴AC2＝AB2，
即 ，
解得 ，
∴S△ABC＝×（）2＝•＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，能够理解题意，得到关于a的方程是解题的关键．
14．【分析】设这辆车第二、三年的年折旧率为x，则第二年这就后的价格为20（1﹣20%）（1﹣x）元，第三年折旧后的而价格为20（1﹣20%）（1﹣x）2元，与第三年折旧后的价格为11.56万元建立方程．
【解答】解：设这辆车第二、三年的年折旧率为x，由题意，得
20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
故答案为：20（1﹣20%）（1﹣x）2＝11.56．
【点评】一道折旧率问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题时设出折旧率，表示出第三年的折旧后价格并运用价格为11.56万元建立方程是关键．
15．【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．【分析】首先根据勾股定理求得AC＝6cm；然后利用角平分线的性质求得ED＝CD，设ED＝CD＝x；最后在直角△AED中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】解：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，则由勾股定理得到：AC＝＝＝6（cm）．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD⊥BC，
∴ED＝CD，设ED＝CD＝x（x＞0），
在直角△AED中，AD2＝AE2+ED2，即（6﹣x）2＝（10﹣8）2+x2．
解得x＝．
即DE＝cm．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，解题时，利用了方程思想来求得的相关线段的长度．
17．【分析】根据新定义把所求的式子化为二次根式的和、积的形式，根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（3※2）×（8※12）
＝（﹣）×（+）
＝（﹣）×2（+）
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，正确理解新定义的运算、掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
18．【分析】以AC为边作等边△ACF，连接DF，可证△ACE≌△AFD，可得CE＝DF，则DF⊥CB时，DF的长最小，即DE的长最小，即可求解．
【解答】解：如图，以AC为边作等边△ACF，连接DF，
∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，AB＝8，
∴AC＝4，
∵△ACF是等边三角形，
∴CF＝AC＝AF＝4，∠BCF＝60°，
∵△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠FAC＝∠DAE＝60°，
∴∠FAD＝∠CAE，
在△ACE和△AFD中，
，
∴△ACE≌△AFD（SAS）
∴CE＝DF，
∴DF⊥BC时，DF的长最小，即CE的长最小，
∵∠FCD'＝90°﹣60°＝30°，D'F⊥CB，
∴CD'＝CF＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、解答题
19．【分析】（1）先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可；
（2）利用平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝4﹣2+
＝3；
（2）原式＝5+9﹣24
＝﹣10．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．【分析】（1）用配方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
解得：，；
（2）（x+3）（x﹣1）＝x﹣1，
（x+3）（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+3﹣1）＝0，
（x﹣1）（x+2）＝0，
x﹣1＝0或x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
21．【分析】（1）设出反比例解析式，将A坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）将点B（a﹣1，2）代入反比例解析式即可求出a的值，然后根据勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）设反比例解析式为y＝，
将A（2，1）代入得：k＝2，
即反比例解析式为y＝；
（2）将点B（a﹣1，2）代入反比例解析式得：2a﹣2＝2，
解得：a＝2，
∴B（1，2），
∴AB＝＝，
∴A、B两点间的距离为．
【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
22．【分析】由三角形的内角和定理可求解．
【解答】解：如图，
已知：在△ABC中，∠C＝90°
求证：∠A与∠B互余
证明：∵∠A+∠B+∠C＝180°，且∠C＝90°
∴∠A+∠B＝90°
∴∠A与∠B互余
故答案为：在△ABC中，∠C＝90°；∠A与∠B互余
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用三角形内角和定理是本题的关键．
23．【分析】（1）利用勾股定理直接得出AB的长即可；
（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意得：AC＝25米，BC＝7米，
AB＝＝24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′＝20米，
BC′＝＝15（米），
则：CC′＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．
24．【分析】（1）先根据轴对称的性质可得ME＝PE，FN＝PF，再根据三角形的周长公式即可得；
（2）先根据轴对称的性质可得，，从而可得Q＝PR，再根据角平分线的判定定理即可得证．
【解答】（1）解：∵点P与点M关于OA对称，
∴ME＝PE．
同理：FN＝PF．
∴△PEF的周长＝EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15；
（2）证明：∵PN＝PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴，，
∴PQ＝PR．
又∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
【点评】本题考查了轴对称的性质、角平分线的判定定理，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．
25．【分析】（1）因为每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，可求出当每吨售价是240元时，此时的月销售量是多少吨．
（2）设当售价定为每吨x元时，根据当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨，且该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，以9000元作为等量关系可列出方程求解．
【解答】解：（1）45+×7.5＝60；（2分）
（2）设当售价定为每吨x元时，
由题意，可列方程（x﹣100）（45+×7.5）＝9000．（2分）
化简得x2﹣420x+44000＝0．
解得x1＝200，x2＝220．（6分）
当售价定为每吨200元时，销量更大，
所以售价应定为每吨200元．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是找出降价10元，却多销售7.5吨的关系，从而列方程求解．
26．【分析】（1）利用待定系数法可求解；
（2）过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F，由“AAS”可证△AOE≌△DAF，可得OE＝AF＝4，AF＝DF＝3，进而可得点D坐标，代入解析式可求k的值；
（3）分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质和两点距离公式可求解．
【解答】解：（1）设直线OA解析式为y＝ax，
∵点A（3，4），
∴4＝3a，
∴a＝，
∴直线OA解析式为y＝x；
（2）如图，过点A作AD⊥OA，交直线y＝kx于D，作EF⊥y轴于E，过点D作DF⊥EF于F，
∵∠AOD＝45°，∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠ADO＝45°，
∴AO＝AD，
∵EF⊥EO，EF⊥DF，
∴∠AEO＝∠AFD＝90°，
∴∠OAE+∠AOE＝90°＝∠EAO+∠FAD，
∴∠AOE＝∠DAF，
∴△AOE≌△DAF（AAS），
∴OE＝AF＝4，AF＝DF＝3，
∴点D（7，1），
∴1＝7k，
∴k＝；
（3）∵k＝，
∴y＝x，
当y＝1时，x＝7，
∴点B（7，1）；
设点C（x，0），
∵点C（x，0），点B（7，1），点A（3，4），
∴AB2＝（7﹣3）2+（1﹣4）2＝25，
AC2＝（3﹣x）2+16，BC2＝（7﹣x）2+1，
若AB＝AC时，
∴25＝（3﹣x）2+16，
解得：x＝0或6，
∴点C（0，0）或（6，0）；
当AB＝BC时，
∴25＝（7﹣x）2+1，
∴x＝7±2，
∴点C（7+2，0）或（7﹣2，0）；
当AC＝BC时，
∴（3﹣x）2+16＝（7﹣x）2+1，
∴x＝，
∴点C（，0），
综上所述：点C坐标为（7+2，0）或（7﹣2，0）或（0，0）或（6，0）或（，0）．
【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
27．【分析】（1）首先证明BG＝2BP，BD＝BC＝1，则DG＝2x﹣1，根据点G在线段CD上，所以求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，即可解题．
（2）根据勾股定理求出GP，证△EDG∽△BPG得＝，代入即可求出DE，由PF∥AC，得到＝，求出DF，根据三角形的面积公式即可求出答案．
（3）分两种情形：①当∠FEP＝90°时，由EF∥AB，得出＝，代入即可求出x．②当∠PFE＝90°时，由△BPF是等边三角形，求出∠EFD＝30°＝∠PGD，根据等腰三角形的性质得到DF＝DG，代入即可求出x．
【解答】解：（1）∵PG⊥AB
∴△BPG为直角三角形，
∵∠BGP＝90°﹣∠B＝30°，
∴BG•sin∠BGP＝BP，
∴BG＝2BP；
∵BD＝BC＝1，
∴DG＝2x﹣1，
∵点G在线段CD上，
∴求G与D、C重合时x的值即可确定自变量x的取值范围，
当G与D点重合时，BG＝BC＝1，∴2x﹣1＝0，即x＝，
当G与C点重合时，DG＝1，
∴2x﹣1＝1，即x＝1，
故x的取值范围为≤x≤1．
综上所述，DG＝2x﹣1（≤x≤1）．
（2）∵AD⊥BC，GP⊥AB，
由勾股定理得：GP＝＝x，
∴∠ADC＝∠GPB＝90°，
∵∠PGB＝∠PGB，
∴△EDG∽△BPG，
∴＝，
∴＝，
解得：DE＝x﹣，
∵PF∥AC，
∴＝，
∴BP＝BF＝x，
∴DF＝1﹣x，
∴s＝DE•DF＝•（x﹣）•（1﹣x）＝﹣x2+x﹣（≤x≤1）．
（3）解：①当∠FEP＝90°时，
∴EF∥AB，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝，
②当∠PFE＝90°时，
∵△BPF是等边三角形，
∴∠BFP＝60°，
∴∠EFD＝30°＝∠PGD，
∴EF＝EG，
∵AD⊥BC，
∴DF＝DG，
即1﹣x＝2x﹣1，
解得：x＝，
∴BP的长是或，
答：以P、E、F为顶点的三角形与△EDG相似，BP的长是或．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查对等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，二次函数等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键，题型较好，有一定的难度，用的数学思想是分类讨论思想．