重庆市南岸区第一一〇中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)

这是一份重庆市南岸区第一一〇中学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题(含解析)，共28页。试卷主要包含了作图请一律用黑色2B铅笔完成；，反比例函数一定经过的点是，估计的值应为等内容，欢迎下载使用。

数学试题
（满分：150分，时间：120分钟）
注意事项：
1．答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答；
2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成；
4．考试结束后，将试卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．
1．4的相反数是（ ）
A．B．C．4D．
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．有一个角为的平行四边形是矩形B．正方形的对角线互相垂直平分
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．平行四边形的对角线相等
3．如图，直线，是等边三角形，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，和是位似图形，点O是位似中心，若，的周长为9，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．反比例函数一定经过的点是（ ）
A．B．C．D．
6．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划12月的营业额要达到3600万元，设该公司11，12两月的营业额的月平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，每个图形都由同样大小的“△”按照一定的规律组成，其中第①个图形有5个“△”，第②个图形有10个“△”，第③个图形有15个“△”，…，则第⑦个图形中“△”的个数为（ ）
A．30B．35C．40D．46
8．估计的值应为（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
9．如图，在矩形中，，，点E为边上一点，将沿翻折到处，延长交于点G，延长交于点H，且，则的长是（ ）
A．B．C．D．
10．已知两个整式，我们在代数式中的“_”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于A，B的“三连运算”，比如就是关于A，B的一种“三连运算”．下列说法正确的个数是( )
①只存在一种关于A，B的“三连运算”使得结果为1；
②将分解因式后为；
③三连运算的解为
A．0个B．1个C．2个D．3个
三、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．
11．计算： ．
12．已知一正多边形的每个外角是，则该正多边形是 边形．
13．有4张正面分别写有数字，，1，4的卡片，它们除数字外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后，随机抽取一张卡片记下数字为a后不放回，再从余下的三张中随机再抽取一张卡片记下数字为b，则满足为非正数的概率是 ．
14．如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板的斜边保持水平并且边与点B在同一直线上，已知两条边，，测得，，则树的高度为 m．

15．如图，在四边形中，对角线相交于点E，，，，，则 ．
16．若关于x的方程的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
17．如图，的顶点A在函数的图象上，，过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交于点P、Q．若四边形的面积为6，则k的值为 ．
18．对任意一个三位数k，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为快乐数”、例如，，因为，所以是“快乐数”．则最大的“快乐数”是 ：若一个“快乐数”（、b、，a、b、c为自然数），且使关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，且，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共2个小题，19题8分，20题10分，共18分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）．
19．计算：
(1)
(2)
20．如图，在四边形中，，连接，．
(1)尺规作图：作线段的垂直平分线交 于点E，交于点F，连接（不下结论、不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作图中，证明四边形为菱形，完成下列填空．
证明：∵垂直平分．
∴ ① ，
∴．
∵
∴，．
∴． ②
∴．
∴ ③ ；即．
∵．
∴．
又∵ ④
∴四边形是 ⑤
∵ ⑥
∴四边形为菱形．
四、解答题（本大题共6个小题，每题10分，共60分），解题时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线）．
21．重庆市红色旅游景点众多，例如歌乐山烈士陵园、红岩革命纪念馆、刘伯承同志纪念馆、聂荣臻元帅陈列馆等等，某学校为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各50名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图（数据分组为A组：，B组：，C组：，D组：，x表示问卷测试的分数，大于20分为优秀），其中男生得分处于C组的得分情况分别为：21，22，22，22，22，22，23，23，24，24，24，25，25，25．
男生、女生得分的平均数、中位数、众数、优秀人数百分比如表所示：
(1)填空：______，______，并补全条形统计图．
(2)根据以上数据，你认为男生和女生对重庆历史文化了解哪个更好？请说明理由（一条即可）．
(3)已知该校初三年级共有男生450人，女生400人，请估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组的总人数．
22．车厘子，含铁量是水果之首，营养丰富，深受消费者喜爱.某超市准备花10 000元购进一批车厘子，实际购买时，由于在原进价的基础上打了八折，结果用同样的钱比预期多购进了100斤.
(1)车厘子的实际进价为每斤多少元?
(2)若该品种的车厘子市场售价为40元/斤，可售出200斤，根据销售经验，降低售价会促进销量的增加，即售价每斤降价1元，销量相应增加20斤，超市决定将部分车厘子降价促销，当售价定为多少元时，可使促销部分的车厘子获利4 500元?
23．如图1，为等边三角形，，点D从B点出发，以每秒1个单位长度沿着运动到A点停止，作交直线于E，设，点D的运动时间为x．
(1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围：
(2)在图2的平面直角坐标系中画出y的图象，并写出函数y的一条性质；
(3)写出时x的值．
24．如图，正方形中，E为上一点，过B作于G，延长至点F使
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
25．如图，一次函数与反比例函数在第一象限交于、两点，点P是x轴负半轴上一动点，连接PM，PN．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)若的面积为，求点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点E为直线上一点，点F为y轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得四边形是平行四边形?若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在中，，，于D，点E为线段上一动点，连接、．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．
(1)如图①，当点B、E、F共线时，取的中点G，连接，求的长；
(2)如图②，连接，求证：；
(3)如图③，当点E在直线上运动时，取的中点Q，连接，将沿翻折，点A落在点处，连接，当最大时，直接写出此时点A到的距离．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义作答即可.
【详解】4的相反数是
故选D
2．D
【分析】本题考查的是矩形，菱形的判定，正方形，平行四边形的性质，真假命题的判定，熟记特殊四边形的判定与性质是解本题的关键，根据判定方法与性质逐一分析判断即可．
【详解】解：有一个角为的平行四边形是矩形，是真命题，故A不符合题意；
正方形的对角线互相垂直平分，真命题，故B不符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，真命题，故C不符合题意；
平行四边形的对角线不一定相等，故D符合题意；
故选D
3．B
【分析】此题考查等边三角形的性质，关键是根据等边三角形的性质得出解答．
根据等边三角形的性质得出，进而利用平行线的性质和三角形的内角和定理解答即可．
【详解】解：如图所示
是等边三角形，
∥
故选：Ｂ
4．A
【分析】本题考查的是位似变换的概念，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．
根据位似图形的概念，，，根据相似三角形的周长比等于相似比即可解答．
【详解】解：和是位似图形，
，，
，
，
的的周长是9，
的周长是
故选：A
5．B
【分析】本题考查反比例函数图像与性质，将选项中各点的坐标代入验证即可得到答案，熟记反比例函数的性质是解决问题的关键．
【详解】解：A、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
B、，则反比例函数经过该点，符合题意；
C、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
D、，则反比例函数不经过该点，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】利用该公司12月的营业额和该公司10月份的营业额，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．B
【分析】本题主要考查图形的变化规律，由题意不难求得第n个图中“△”的个数为：，则可求第⑦个图形中“△”的个数．
【详解】解：∵第①个图形有5个“△”，
第②个图形有10个“△”，
第③个图形有15个“△”，
…，
∴第n个图形中“△”的个数为：，
∴第⑦个图形中“△”的个数为：．
故选：B．
8．C
【分析】直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：，
∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查矩形的判定与性质、翻折性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，综合运用相关知识求解是解答的关键．
过E作于M，根据矩形性质和折叠的性质，结合勾股定理求得 ，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】过E作于M，则，

四边形是矩形，
，
，
沿翻转到处，
，，
，
设，则，
在中，根据勾股定理得
则，
，
，
，
解得：
故选：A．
10．C
【分析】本题考查因式分解与方程，掌握因式分解与解方程便可解决问题．找到两种关于A、B的“三连运算”使得结果为1，可判断①，利用因式分解可判断②，利用已知建立方程，解出方程可判断③，从而可以得到答案．
【详解】解：，
，故①不符合题意；
，即故②符合题意；
∵，
∴，即，
∴，
∴，故③符合题意．
故选：C．
11．##
【分析】先分别化简负整数指数幂和绝对值，然后再计算．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查负整数指数幂及实数的混合运算，掌握运算法则准确计算是解题关键．
12．十
【分析】根据正多边形的外角和等于，即可求解．
【详解】正多边形的外角和等于，当每个外角是时，其边数为：
∴该正多边形是十边形．
故答案为：十
【点睛】本题考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件结果数目m，然后利用概率公式计算事件的概率．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能得结果，其中为非正数的有6种结果．
所有满足为非正数的概率是．
故答案为：．
14．9
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型．利用和相似求得的长后加上的长即可求得树高．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：9．
15．
【分析】此题考查了勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解决此类问题的关键．通过过点A作于点F，作含30度角的直角三角形，计算求解即可．
【详解】解：过点A作于点F，
∵，
∴，
在中，，
∵，
，
，
，
，
∴，
在中，，
，
，
，
，
，
∴．
故答案为．
16．3
【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，根据一元一次不等式组的解集情况求参数，先解分式方程得到，根据分式方程的解无解和分式有意义的条件求出且，再分别求出两个不等式的解集，根据不等式组无解求出，据此确定a的取值范围，从而确定符合题意的整数a，最后求和即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵关于x的方程的解为负数，
∴且，
∴且；
解不等式①得，
解不等式②得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
∴且，
∴满足条件的整数a的值为1和2，
∴所有满足条件的整数a的值之和是，
故答案为：3．
17．
【分析】本题考查反比例函数图像与解三角形的综合应用，反比例函数k的几何意义，根据平面几何知识得，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出，进而可求出的面积，则k的值可求出得选项．
【详解】解：，
，
又 M、N是的三等分点，
，
，
又四边形的面积为6，
，
解得，
又，
，
．
由函数图象可知：，
，
故答案为：．
18．
【分析】本题考查了新定义下的实数运算，一元二次方程根的判别式．理解题意，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据“快乐数”的定义，可求最大的“快乐数”， 由，可得，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，可得，即，进而可求，由，、b、，a、b、c为自然数，可求，然后作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴是最大的“快乐数”，
∵，
∴，
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，即，
∵，，
∴，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∵、b、，a、b、c为自然数，
∴，
∴k的值为，
故答案为：；．
19．(1)
(2)
【分析】原式利用单项式乘多项式法则，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果；
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】此题考查了分式的混合运算，单项式乘多项式，以及完全平方公式，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.
20．(1)画图见解析
(2)①；②；③；④；⑤平行四边形；⑥
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；
（2）先证明，再证，得到，再证明，接着证明四边形是平行四边形即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵垂直平分
，，
，
即
∵
∴四边形是平行四边形．
∵．
∴四边形为菱形．
故答案为：①；②；③；④；⑤平行四边形；⑥．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形两锐角互余等等，熟知线段垂直平分线的性质与作图方法是解题的关键．
21．(1)；
(2)生了解更好，理由见解析
(3)246人
【分析】本题考查了扇形统计图，条形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是理解题意，正确读懂统计图．
（1）利用中位数的定义即可求得m的值；利用女生得分的条形图求得女生得分为优秀的人数，进而求得优秀率n的值；
（2）利用中位数的特点即可求解；
（3）用样本中男生和女生各自C组所占的百分比乘以各自的总人数，然后相加即可求解．
【详解】（1）解：把男生得分从低到高排列，处在第25名和第26名的分数为24分，25分，
∴男生成绩的中位数为分，
∴；
，
∴女生优秀人数所占百分比为，
∴，
故答案为：；；
（2）解：男生了解更好，理由如下：
从中位数来看，男生得分的中位数分大于女生得分的中位数23分，
∴男生对历史文化了解更好；
（3）解：人，
∴估计该校初三年级参加问卷测试成绩处于C组的总人数为246人．
22．(1)每斤20元
(2)35元
【详解】（1）设原进价为每斤x元，则实际购买时，车厘子每斤0.8x元.
根据题意，得-100，解得x=25.
经检验，x=25是原方程的解，
0.8x=0.8×25=20.
答：车厘子的实际进价为每斤20元.
（2）设售价定为m元时，可使促销部分的车厘子获利4 500元.
根据题意，得（m-20）[200+20（40-m）]=4 500，
化简整理，得m2-70m+1 225=0，
解得m=35.
答：当售价定为35元时，可使促销部分的车厘子获利4 500元.
23．(1)
(2)作图见解析，当时，y取最小值3(答案不唯一)
(3)或.
【分析】本题考查三角形综合应用，涉及一次函数及图象，解题关键是分类讨论思想的应用．
（1）根据题意，，，可得，，分两种情况：当时，可得；当时，，可得．
（2）描点在顺次连接可得函数图象，由图象可得函数一条性质．
（3）观察图象可得答案．
【详解】（1）解：根据题意得：，，
，
当，如图
当时，如图

（2）当时，，
当时，，
当时，，
画出函数图象如下：

由图象可知，当时，y取最小值3(答案不唯一)
（3）观察图象可得，时，或.
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）过C点作于H点，根据已知条件可证明，所以，，又因为，所以可得，进而证明；
（3）在中，分别求出即可解决问题；
【详解】（1）∵是正方形，
∴，
∴，
在三角形中，
∵，
∴
；
（2）过点C作，
，
，
∵是正方形，
∴，
由（1），
∴，
．
在三角形中，，
，
∴．
（3）在三角形中，
，
∴，
∴．
，
．
，
，
，
，
∴，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定以及勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质并证明是解答本题的关键．
25．(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为；
(2)
(3)存在，
【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用点坐标平移的规律：左减右加纵不变，上加下减横不变解决问题．
（1）先把点M坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点N坐标，再把点M和点N坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）由，即可求解；
（3）是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，则点向右平移个单位向下平移个单位得到点，进而求解．
【详解】（1）解：∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
在中，当时，，
∴，
∵，在一次函数图像上，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：设直线交轴于点，
当时，，解得：
∴点，
设点，
∵的面积为，
∴，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
（3）解：设直线的解析式为，
把，代入中得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设点，
∵是平行四边形的边，且点向右平移个单位向下平移个单位得到点，点在轴上，
∴点向右平移个单位向下平移个单位得到点，
∴
∴，
∴点的坐标为．
26．(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】本题考查了等腰三角形和直角三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解决此题题的关键
（1）连接可推出是直角三角形的斜边上的直线，进而得出结果．
（2）将绕点C逆时针旋转至，连接，可得出，，，从而，进而得出，从而A、D、G共线，进一步得出结论．
（3）连接，可推出，从而当B、Q、共线时，最大，此时在的延长线，作于R，利用，代入数据即可．
【详解】（1）如图连接，
将线段绕点C顺时针旋转得到线段，
G是的中点
（2）证明：如图
将绕点C逆时针旋转至，连接，
，，
，点D是的中点
、D、G共线
（3）连接
，
当B、Q、共线时，最大，此时在的延长线
如图，作于R
此时点A到的距离为
组别
平均数
中位数
众数
优秀人数所占百分比
男
20
m
22
女
20
23
20
n