浙江省初中浙派联盟2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(含解析)

这是一份浙江省初中浙派联盟2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题(含解析)，共38页。试卷主要包含了全卷共4页，有三大题，24小题，如图，在中，，的度数是等内容，欢迎下载使用。

数学试题卷
考生须知：
1．全卷共4页，有三大题，24小题．全卷满分120分．考试时间120分钟．
2．答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效．
3．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题．
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．据报道，第19届杭州亚运会的参赛运动员达到12500人，属于历史之最，12500用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．将三张正面分别印有“宸宸”，“琮琮”和“莲莲”3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状，大小，质地都相同）背面朝上，洗匀，若从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，的度数是（ ）
A．B．C．D．
6．将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后最终所得图象的函数表达式为（ ）
A．B．C．D．
7．如图1，一长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘．图2是此时的示意图，若，，水面离桌面的高度为，则此时点C离桌面的高度为（ ）
A．B．C．D．
8．如图所示，为的直径，点C、D为上任意两点，连结、、、，且与交于点E，若弧等于弧，则下列判断错误的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知二次函数，该图象经过，两点，其中，当时，x的取值范围为，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
10．已知平行四边形，点E为边上任意一点，连结并延长，与的延长线相交于点H，连结，，要算出的面积，则只需知道（ ）的面积．

A．B．C．D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．已知且，则 ．
12．一枚均匀的立方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），抛掷1次，则朝上一面的点数是2或3的倍数的概率是 ．
13．如图，中，，，，的两条中线，相交于点P，则 ．
14．已知菱形，，以点A为圆心，长为半径画圆弧交所在直线于点E，则 ．
15．在平面直角坐标系中，有一面积为20的矩形位于第一象限，双曲线与对角线交于点D，则的值为 ．
16．如图①是杭州亚运会的徽标中的钱江潮头，可近似地看成是顶点在y轴上的二次函数，如图②所示，已知，．当潮头以2个单位每秒的速度向x轴正方向移动的过程中，若记潮头起始位置所在的二次函数图象与坐标轴三个交点围成的面积为，则经过 秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
三、解答题（本大题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题8分，第22-23小题每小题10分，第24小题12分，共66分．解答需写出必要的文字说明、演算步骤）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．为提高学生的反诈意识，某学校组织学生参加了“反诈知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（不合格），B（一般），C（良好），D（优秀），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
(1)这次抽样调查共抽取______人，其中成绩为一般的学生人数______人；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)学校要从答题成绩为D的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去参加市里组织的“反诈小达人”比赛，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
19．如图，已知在中，，点D、点E分别在边和边上，连结、，且．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
20．将一个球放在圆柱形塑料管上，如右图是它的横截面，测得有关数据如图所示．
(1)求该球的半径；
(2)求阴影部分的面积．
21．近几年，随着网络的发展，“网络直播”已成为商家销售商品的一种手段．某商家在直播间销售一种进价为每件16元的商品时，经过市场调查发现，该商品每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
设销售这种商品每天的利润为W（元）
(1)求每天销售数量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)要使每天销售的利润W达到1280元，求该商品的销售单价；
(3)当销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件时，求W的最大值．
22．已知在四边形中，点E，F分别是、边上的点，与相交于点P，且与互补．
(1)如图1，若四边形为正方形，求证；
(2)如图2，若四边形为菱形，则第（1）题中的结论还成立吗，并说明理由；
(3)如图3，若四边形为平行四边形，且，，求与的数量关系（用含m，n的式子表示）．
23．根据以下素材，探究完成任务
24．已知半径为5的与平面直角坐标系交于O，B两点，二次函数的图像顶点C在上并经过O，B两点，且，如图1所示．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图2，连结，若点D为上一点，当时，求线段的长；
(3)如图3，连结，若上有一点N，连结使，连结并与的延长线交于点M，求的值．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解：的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2．C
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：，
故选：C．
3．D
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，合并同类项，熟知完全平方公式，积的乘方和合并同类项等计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选D．
4．B
【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意， 写出相应的概率． 根据题意，可以直接写出从中任意抽取 1 张，抽得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率．
【详解】解：由题可知：
从中任意抽取 1 张， 抽得卡片上的图案恰好为 “莲莲”的概率是 ，
故选∶ B．
5．C
【分析】本题考查了圆周角定理．直接由圆周角定理“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
6．A
【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”即可解答．
【详解】解：将二次函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后最终所得图象的函数表达式为，
故选：A．
7．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P；根据题意易得，通过证明，求出，再根据勾股定理求出，最后根据，即可求解．
【详解】解：过点C作桌面的垂线，垂足为点M，交于点N；过点B作桌面的垂线，垂足为点P，
∵水面离桌面的高度为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∴，
即此时点C离桌面的高度为．
故选：C．
8．D
【分析】证明是的中位线，根据三角形中位线的性质可判定A、B；由垂径定理的推论，，即可由直角三角形面积计算出，即可判定C；根据相似三角形所要条件，可判定D．
【详解】解：A、∵，O是圆心，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，即，
故此选项不符合题意；
B、∵是的中位线，
∴，即，
故此选项不符合题意；
C、∵，O是圆心，
∴，，
∴
故此选项不符合题意
D、∵，，
∴不能得到，
故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理的推论，三角形中位线性质，相似三角形的判定，三角形的面积．熟练掌握垂径定理的推论是解题的关键．
9．D
【分析】本题考查二次函数图象性质，先求出抛物线的对称轴为直线，开口向上，再根据抛物线的增减性质逐项判定即可．
【详解】解：∵当时，x的取值范围为，
∴，是方程的两根，
即抛物线与直线交点的横坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵
∴抛物线开口向上，
A、若，
∴或，
当时，
∴，
当时，则点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
B、若，
∴或，
当时，
∴，
当时，则点关于直线的对称点为，
∴，
∴，
故此选项不符合题意；
C、若，
∵，
∴当时，则，当时，
∵，
∴，
∴
故此选项不符合题意；
D、若，由C可得，
故此选项符合题意；
故选：D．
10．C
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线间的距离，三角形的面积．熟练掌握同底等高的两三角形面积相等是解题的关键．
连接，根据平行四边形性质得，，根据平行线间的距离相等和同底等高的两三角形面积相等，得到，，从而得出即可求解．
【详解】解：连接，如图，

∵
∴，，
∴与的边的高相等， 与的边的高相等，
∴，，
∴
即
∴，
∴要算出的面积，则只需知道的面积．
故选：C．
11．2
【分析】此题主要考查了代数式求值． 把代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
，
．
故答案为：2．
12．
【分析】此题考查了概率的计算，明确概率的意义是解题的关键．概率等于所求情况数与总情况数的比，直接得出点数是2或3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】解：一枚均匀的立方体骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一次，总的结果数为6，朝上一面的点数是2或3的倍数有2，3，4，6，四种结果，所以朝上一面的点数是2或3的倍数的概率是．
故答案为：
13．
【分析】先根据，求出，再由勾股定理求出，根据直角三角形的性质求得，然后由重心性质求解即可．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
由勾股定理，得，
∵是边的中线，
∴，
∵的两条中线，相交于点P，
∴P是的重心，
∴
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数，勾股定理，直角三角形的性质，重心性质，求出长是解题的关键．
14．或##75或15
【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，根据题意画图形数关键；
根据题意画出图形，先求出，结合菱形的性质，进行分类讨论：点E在的延长线上时，点E在的延长线上时，即可进行解答．
【详解】解：连接交于点O
∵菱形，，
∴，，
∴，
∴，
点E在的延长线上时，如图，
∵，
∴，
点E在的延长线上时，如图，
∵,
∴，
故答案为：或．
15．
【分析】本题考查了矩形的性质，反比例函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，过点D作轴于点E，根据矩形面积公式易得，设，则，则，设，通过证明，推出，则，进而得出，即可求解．
【详解】解：过点D作轴于点E，
∵面积为20，
∴，则，
设，则，
∴，
∵点D在图象上，
∴设，
∵四边形是矩形，
∴轴，
∵，
∴，
∴，即，
整理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数图象的平移，待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键．
先用待定系数法求出平移前的解析式为，然后设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．则平移后抛物线解析式为，然后分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，分别求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，，，
设抛物线线解析式为，
把代入，得，
∴，
设经过t秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
则，，
∴平移后抛物线解析式为，
分两种情况：①当平移后，二次函数图象与y轴正半轴相交于点时，如图，
由平移的性质，得，
∵，
∴，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：（负值不符合题意，已舍去），
②当平移后，二次函数图象与y轴负半轴相交于点时，如图，
同理可得，
∴，
把代入，得
解得：（负值不符合题意，已舍去），
综上，经过秒或秒后，潮头所在的抛物线与坐标轴的三个交点围成的面积恰好为面积的一半．
故答案为：或．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查实数混合运算，二次根式混合运算，分式加法运算．
（1）先计算乘方、化简二次根式、去绝对值符号，再合并同类二次根式即可；
（2）先变形为，再根据同分线分式加减法计算即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)50，12
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出D等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整；
（3）根据题意，可以画出相应的树状图，然后计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率即可．
【详解】（1）解：由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：（人，
，
（2）解：由（1）知，，
等级为D的有：（人，
补充完整的条形统计图如图所示，
（3）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）先利用等腰三角形的性质得出，再根据三角形的内角和以及判断出，进而得出，从而证明，即可得出结论；
（2）证明，得，即．把，代入即可求得，由即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
，
，
，
，又，
，
；
（2）解：∵，
∴，
∵
，
∵，
，
，即．
，，
，
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查的是圆的知识、垂径定理的应用及勾股定理，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．过点作，连接，根据垂径定理和勾股定理即可求解；根据扇形的面积公式和三角形的面积公式解答即可．
【详解】（1）解：过点作，连接，
根据垂径定理，由，得，
设半径为，则，
，
，
在中，
，
，
该球的半径为2；
（2）解：，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
21．(1)
(2)24元每件或32元每件
(3)W最大值为1400元
【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，求出函数关系式和熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案
（3）先根据销售单价不低于30元，且每天销售量超过60件，求得，再根据（2）中所求函数解析式，利用函数性质求解即可．
【详解】（1）解：设商品每天的销售量（件与销售单价（元满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故与之间的函数关系式为：；
（2）解：
．
当元时，代入，得，．
故当定价为24元每件或32元每件时，商家可获利1280元；
（3）解：每天销售商品的数量超过60件，所以，解得．
又销售单价不低于30元每件，
．
，
∴抛物线对称轴为直线，
又∵，
∴当时，w随x增大而减小，
当时，W有最大值，最大值为1400元．
22．(1)见解析
(2)成立．理由见解析
(3)．理由见解析
【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证；
（2）在AF上找一点M，使．证明，即可得出结论；
（3）在AD的延长线上找一点N，使得．证明，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为正方形，
∴，
与互补，
．
，
．
，
；
（2）解：成立．理由如下：
如图1，在AF上找一点M，使．
菱形，
，
与互补，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
，
．
，
，即；
（3）解：．理由如下：
如图2，在AD的延长线上找一点N，使得．
与互补，
，
．
，
．
∵四边形为平行四边形
∴，，
，
，
．
，
，
．
，
，
，
．
∴.
【点睛】本题考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握特殊四边形的性质是解题的关键．
23．任务1：米；任务2：平方米；任务3：米
【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题；根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式求出矩形长与宽的关系是解题关键．
（1）作交于点H，与的交点为，设正方形边长为，
由的即可求解．
（2）设矩形，根据矩形的面积公式求解并整理，再利用二次函数的最值问题进行求解即可．
（3）设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，则可得表达式，再利用二次函数的最值问题进行分类讨论求解即可．
【详解】解：任务1：作交于点H，与的交点为，如图：
设正方形边长为，
四边形是正方形，在边上，
，
，
，
由，
可得，
解得．
正方形的边长为米．
任务2：设，
可得，即．
矩形面积为，
故矩形的最大面积为：平方米．
任务3：设开辟的矩形土地上供学生种菜的面积为，则
，
当时，时取到最大值，时取到最小值，
开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，
解得，（舍去）；
当时，时取到最大值，时取到最小值，
解得（舍去）；
故当米时，符合题意．
24．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）连接，，过点A作于D，先根据垂径定理与抛物线的对称性质，求出点，再用待定系数法求解即可；
（2）分两种情况：①当点D在优弧上，②当点D在劣弧上时，分别求解即可；
（3）连接，过点B作于H，过点N作于D，求得，连接交于E，过点E作于F，求得，从而求得，设，则，，即可求得，即可求得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
连接，，过点A作于D，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∵C是抛物线的顶点，O、B是抛物线与x轴的交点，
∴点C在直线上，
∴，
∴，
设抛物线解析式为，
把代入，解得，
∴设抛物线解析式为；
（2）解：分两种情况：①当点D在优弧上，即点 时，如图，连接、、，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，
过点B作于，
在中，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
②当点D在劣弧上时，
同理可得，
综上，线段OD的长或；
（3）解：连接，过点B作于H，过点N作于D，如图，
∵，，，
∴四边形为矩形，，
∴，
∴，
∴四边形为等腰梯形，
∴，
∵，
∴，
过点A作于G，
∴，，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴在中，，
∴，
∴，
∴，
连接交于E，过点E作于F，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题属二次函数与圆综合题目，主要考查了用待定系数法求抛物线解析式，二次函数的图象性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，三角形等知识，综合性较强，难度较大，属中考压轴题目．
销售单价x／元
…
25
26
27
…
每天销售数量y／件
…
150
140
130
…
设计路的宽度
材料1
为培养学生劳动实践能力，某研学基地计划在一块形状为三角形的土地上开辟出一块矩形土地（如图所示）供种菜使用，其中米，边上的高为米，要求长方形的一边在上，其余两个顶点分别在上．
材料2
为了方便学生使用，计划在开辟出来的长方形土地上建造三条如图所示的宽均为a（）米的道路（图中阴影部分）
问题解决
任务1
若所开辟的土地为正方形，求该正方形的边长；
任务2
若所开辟的土地为矩形，求矩形的最大面积；
任务3
当时，若开辟的矩形土地上供学生种菜的面积最大值与最小值之差恰好为6平方米，求此时路宽a的值．