浙江省杭州市拱墅区杭州树兰中学2024-2025学年上学期10月月考八年级数学试题

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二、填空题（本题有6题，每小题3分，共18分）
11． 12 12． 50° 13． 117
14． 中线 15． 120° 16． 2或3
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17． （本题8分）解：①∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-72°-30°=78°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=39°；…………………………………………4分
②∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°-∠B=18°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=39°-18°=21°． ………………………8分
18． （本题8分）
解：(1)如图，线段BD就是所求作的图形；
……………………………………4分
(2)因为∠ACB=90°
所以∠A+∠ABC=90°
因为∠ABC=2∠A
所以∠A=30°，∠ABC=60°，
又因为BD平分∠ABC
所以∠ABD=12∠ABC=30°，
因为∠ADB+∠A+∠ABD=180°
所以∠ADB=180°-30°-30°=120°． …………………………………8分
19． (本题满分8分)
证明：∵∠1=∠2，
∵∠DAC+∠1=∠2+∠DAC，
∴∠BAC=∠DAE．…………………………………………3分
在△ABC和△ADE中，
∠B=∠D,AB=AD,∠BAC=∠DAE,
∴△ABC≌△ADE(ASA)．…………………………………………7分
∴BC=DE．…………………………………………8分
20． （本题8分）
（1）如图所示，点P即为所求．…………………………………………4分
（2）如图所示，点Q即为所求．…………………………………………8分
21．（本题8分）
（1）解：答案不唯一，如：如果BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∠1+∠2=90∘，那么AB//CD．……4分
（2）这个命题是真命题，理由如下：
BE平分∠ABD，∴∠1=12∠ABD．
∵DE平分∠BDC，∴∠2=12∠BDC．
∵∠1+∠2=90∘
∴∠ABD+∠BDC=180∘，∴AB/​/CD．……………………………………8分
22．（本题10分）
解：设等腰三角形的腰长为x，底边长为y。因为中线把等腰三角形的周长分为了 15 厘米和 6 厘米两部分，所以有两种情况。
第一种情况是： 2x+x=15， x+y=6
2x+x=15，解得x=5
将x=5代入x+y=6，得5+y=6，解得y=1
此时，三角形的三边长分别为 10 厘米、10 厘米、1 厘米。………………………5分
第二种情况是：2x+x=6， x+y=15
2x+x=6，解得x=2
将x=2代入x+y=15，得2+y=15，解得y=13
此时，三角形的三边长分别为 4 厘米、4 厘米、13 厘米。但是，由于4+4<13，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况要舍去。
综上所述，等腰三角形的底边长为 1 厘米。………………………10分
23．（本题10分）
解：（1）由．
，
，
．
又，
，
，，
，
即，，之间的数量关系为……………………5分
（2）不会改变
理由：，
，
．
又，，
，
，，
，
即（1）中的数量关系不会改变．……………………10分
24．（本题12分）
解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝30°，
故答案为：30°…………………………………………2分
（2）∠AOC＝60°，∠ACB＝80°，
∴∠CAO＝20°，
∴∠AOC＝3∠OAC，
∴△AOC为“智慧三角形”；…………………………………………6分
（3）∵△ABC为“智慧三角形”，
∠ABO＝30°，
∴∠BAC+∠BCA＝150°，∠ACB＞60°，∠BAC＜90°，
Ⅰ、当∠ABC＝3∠BAC时，∠BAC＝10°，
∴∠OAC＝80°，
Ⅱ、当∠ABC＝3∠ACB时，
∴∠ACB＝10°
∴此种情况不存在，
Ⅲ、当∠BCA＝3∠BAC时，
∴∠BAC+3∠BAC＝150°，
∴∠BAC＝37．5°，
∴∠OAC＝52．5°，
Ⅳ、当∠BCA＝3∠ABC时，
∴∠BCA＝90°，
∴∠BAC＝60°，
∴∠OAC＝90°﹣60°＝30°，
Ⅴ、当∠BAC＝3∠ABC时，
∴∠BAC＝90°，
∴∠OAC＝0°，
Ⅵ、当∠BAC＝3∠ACB时，
∴3∠ACB+∠ACB＝150°，
∴∠ACB＝37.5°，
∴此种情况不存在，
当△ABC为“智慧三角形”时，∠OAC的度数为80°或52．5°或0°或30°．………12分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
B
D
A
C
D
A
B
D