2022-2023学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了填空题，选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期中数学试卷
一、填空题（12×3＝36）：
1．方程的解为 　　．
2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．
3．若，则　　．
4．“”是“”的 　　条件．（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空）
5．不等式的解集为　　．
6．满足，，2，3，4，的集合共有 　　个．
7．，，，则的最小值是　　．
8．已知集合有且仅有两个子集，则实数　　．
9．不等式的解集是，则不等式的解集是　　．
10．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　　．
11．当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则　　
12．已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　　．
二、选择题（4×3＝12）：
13．下列表示同一集合的是　　
A．， B．，
C．，，， D．，，
14．下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
15．函数的最小值及取得最小值时的值分别是　　
A．1，， B．3，0 C．3，， D．2，，
16．当一个非空数集满足“如果、，则、、，且时，”时，我们称是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是　　
①0是任何数域中的元素；②若数域中有非零元素，则；③集合，是一个数域；④有理数集是一个数域．
A．1 B．2 C．3 D．4
三、解答题（8+8+10+12+14＝52）：
17．（8分）试比较与的值的大小．
18．（8分）若，是方程，，的两个根．
（1）求实数的取值范围；
（2）用表示．
19．某辆汽车以速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为．
（1）欲使每小时的油耗不超过，求的取值范围；
（2）求该汽车每小时的油耗的最小值（结果精确到．
20．（12分）已知关于的不等式，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，试求不等式的解集；
（3）若原不等式的解集中所含整数最少，求中的最小整数，以及实数的取值范围．
21．对正整数，记，2，3，，，．
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14．

2022-2023学年上海市浦东新区新川中学高一（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（12×3＝36）：
1．方程的解为 　4　．
解：由得，所以．
故答案为：4．
2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 　　．
解：根据真数大于0得，解得．
故答案为：．
3．若，则　32　．
解：，
，
，
．
故答案为：32．
4．“”是“”的 　必要不充分条件　条件．（请用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”填空）
解：由，当时，则；当时，则．
因为，所以，所以．
故“”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分条件．
5．不等式的解集为　　．
解：由得，
则，即，解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：．
6．满足，，2，3，4，的集合共有 　7　个．
解：，，2，3，4，，
则满足条件的集合有：，，，2，，，2，，，2，，，2，3，，，2，3，，，2，4，
共7个．
故答案为：7．
7．，，，则的最小值是　　．
解：，，，
（当且仅当，即时取“” ．
故答案为：．
8．已知集合有且仅有两个子集，则实数　或　．
解：集合有且仅有两个子集，方程有一个解或两个相同的实数根即可，
当时，，符合题意；
当时，△；
所以实数或．
故答案为：或．
9．不等式的解集是，则不等式的解集是　，　．
解：不等式的解为，
一元二次方程的根为，，
根据根与系数的关系可得：，所以，；
不等式即不等式，
整理，得，即，解之得
不等式的解集是，
故答案为：，
10．若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 　，　．
解：当时，不等式化为对于任意实数都成立，因此满足题意；
当时，要使关于的不等式的解集为，
则，
解得．
综上，的取值范围为，，
故答案为：，．
11．当时，可以得到不等式，，，由此可以推广为，则　　
解：时可得到不等式，，，
在位置出现的数恰好是分母的指数的指数次方

故答案为：
12．已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是 　1或　．
解：当时，当，时，则，，
当，时，则，，
即当时，；当时，，即；
当时，，当时，，即，
，解得．

当时，当，时，则，．
当，，则，，
即当时，，当时，，即，
即当时，，当时，，即，
，解得．

当时，同理可得无解．
综上，的值为1或．
故答案为：1或．
二、选择题（4×3＝12）：
13．下列表示同一集合的是　　
A．， B．，
C．，，， D．，，
解：：集合，中的元素不为同一个点，不是同一集合，故错误；
、：集合，的元素不同，一个是数，一个是实数对，不是同一集合，故错误；
：根据集合元素的无序性，可知集合，即为同一集合，故正确；
故选：．
14．下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
解：对于选项，，又，，故错误；
对于，由，又，，故正确；
对于，特例法：，，显然不能推出，故错误；
对于，可取特例：，，不能推出，故错误；
故选：．
15．函数的最小值及取得最小值时的值分别是　　
A．1，， B．3，0 C．3，， D．2，，
解：运用含绝对值不等式的基本性质有．
当且仅当时等号成立，即为函数取得最小值的充要条件，．
故选：．
16．当一个非空数集满足“如果、，则、、，且时，”时，我们称是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是　　
①0是任何数域中的元素；②若数域中有非零元素，则；③集合，是一个数域；④有理数集是一个数域．
A．1 B．2 C．3 D．4
解：对于①，设，，令，显然有，即，故0是任意数域的元素，故①正确；
对于②，由定义可知范围最小的数域为有理数域，而2022是有理数，故，故②正确；
对于③，显然，，但是，故，不是一个数域，故③错误；
对于④，若是有理数，是有理数，则，，，都是有理数，故有理数集是一个数域，故④正确．
故选：．
三、解答题（8+8+10+12+14＝52）：
17．（8分）试比较与的值的大小．
解：，
故．
18．（8分）若，是方程，，的两个根．
（1）求实数的取值范围；
（2）用表示．
解：（1），是方程，，的两个根，
且△，求得 且，
故的范围为或．
（2）由题意，利用韦达定理可得，，，
．
19．某辆汽车以速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为．
（1）欲使每小时的油耗不超过，求的取值范围；
（2）求该汽车每小时的油耗的最小值（结果精确到．
解：（1）由题意可得，，化简可得，，解得，
，
，
故的取值范围为，．
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
故当时，油耗的最小值为．
20．（12分）已知关于的不等式，其中．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，试求不等式的解集；
（3）若原不等式的解集中所含整数最少，求中的最小整数，以及实数的取值范围．
解：（1）当时，不等式为，即，即，
解得，
即原不等式的解集；
（2）因为，
所以，
因为，所以不等式可化为，
又，当且仅当，即时取等号，
或，
即不等式的解集．
（3）因为，
所以，
当时，原不等式化为，解得，即不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，原不等式化为，
又，当且仅当，即时取等号，，
即不等式的解集，
要使原不等式的解集中所含整数最少，所以，此时不等式的解集，
又，所以，
因为，所以，所以解集中最小的整数为；
因为不等式的解集中所含整数最少，所以，解得，
所以当时解集为，解集中所含整数最少，解集中最小的整数为．
21．对正整数，记，2，3，，，．
（1）用列举法表示集合；
（2）求集合中元素的个数；
（3）若的子集中任意两个元素的和不是整数的平方，则称为“稀疏集”，证明：存在使得能分成两个不相交的稀疏集的并集，且的最大值为14．
解：（1）由题意可得，，
由，，
可得，2，，．
（2）对于集合，有．
当时，，2，，5，，2，，，5个数，
当时，，2，，5，对应有5个数，
当时，，2，，5，对应有5个数，
当时，，，1，，2，中有2个数
与时中的数重复，
当时，，2，，5，对应有5个数，
由此求得集合中元素的个数为．
（3）证明：先证当时，不能分成两个不相交的稀疏集的并集，若不然，设，为不相交的稀疏集，使，不妨设，则因，故，即，同理，，又推得，但，这与为稀疏集矛盾．
再证符合要求，当时，，，分成两个稀疏集之并集，
事实上，只要取，2，4，6，9，11，，，5，7，8，10，12，，则，为稀疏集，且．
当时，集合中除整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并集，．时，集合中除正整数外剩下的数组成集合，可分解为下面两稀疏集的并集：，．
最后，集合中的值的分配，为无理数，它与中的任何其他数之和都不是整数，因此．令，，则利是不相交的稀疏集，且，
综上，所求的最大值为14．