高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第7讲基本不等式(专题测试)特训（学生版+解析）

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1．（2020•黔东南州模拟）若lg2x+lg4y＝1，则x2+y的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2
2．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（2020•温岭市校级模拟）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（ ）
A．2B．2C．5D．4
4．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
5．（2020•大观区校级模拟）如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）
A．最小长度为8B．最小长度为4
C．最大长度为8D．最大长度为4
6．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
7．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
8．（2019秋•常州期末）在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．（x∈R且x≠0）B．
C．y＝3x+3﹣x（x∈R）D．）
9．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
10．（2019秋•龙岩期中）已知实数a，b满足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题（共4小题）
11．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为 ．
12．（2020•嘉兴模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为 ，的最小值为 ．
13．（2020•和平区模拟）已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为 时，a+b＝ ．
14．（2020•汉中一模）已知函数f（x）＝lga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，则的最小值为 ．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•3月份模拟）已知实数x、y、z满足x﹣2y+z＝4．
（1）求x2+y2+z2的最小值；
（2）若y＝x+z，求xz的最大值．
16．（2019秋•葫芦岛期末）设a，b是正实数，求证：
（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；
（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．
17．（2019秋•南山区校级期末）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．
（1）求u＝lgx+lgy的最大值；
（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．
第7讲 基本不等式（专题测试）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2020•黔东南州模拟）若lg2x+lg4y＝1，则x2+y的最小值为（ ）
A．2B．2C．4D．2
【解析】解：因为lg2x+lg4y＝lg4x2+lg4y＝lg（x2y）＝1，
∴x2y＝4（x＞0，y＞0），
则x2+y≥2＝4，当且仅当x2＝y＝2时等号成立，则x2+y的最小值为4．
故选：C．
【点睛】本题考查了对数的运算法则与基本不等式的性质应用，属于基础题．
2．（2020春•西城区校级月考）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，则α+β的最小值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解析】解：∵a＞0，b＞0，a+b＝1，若α＝，
∴α+β＝a+b++＝1+＝3+≥3+2＝5，
当且仅当，也即当a＝b＝时，α+β取最小值5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
3．（2020•温岭市校级模拟）若正实数a，b，满足a+b＝1，则+的最小值为（ ）
A．2B．2C．5D．4
【解析】解：根据题意，若正实数a，b，满足a+b＝1，
则+＝+＝++3≥2×+3＝5，
当且仅当b＝3a＝时等号成立，
即+的最小值为5；
故选：C．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的形式，属于基础题．
4．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x，y满足x+y＝1，且≥m，则m的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【解析】解：根据题意，正数x，y满足x+y＝1，
则＝+＝（y+1）+﹣4+（x+1）+﹣4＝（+）﹣5，
又由+＝（+）[（x+1）+（y+1）]＝[8++]≥，
当且仅当x＝y＝时等号成立，
则＝（+）﹣5≥﹣5＝，即的最小值为，
若≥m，则m的最大值为；
故选：B．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意对的变形，属于基础题．
5．（2020•大观区校级模拟）如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）
A．最小长度为8B．最小长度为4
C．最大长度为8D．最大长度为4
【解析】解：设BC＝a，CD＝b，则ab＝4，
所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a+b＝2a+，
当且仅当2a＝即a＝时取等号，此时长度取得最小值4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
6．（2019秋•淮安期末）函数y＝2x+（x＞1）的最小值是（ ）
A．2B．4C．6D．8
【解析】解：因为y＝2x+（x＞1），
＝2（x﹣1）++2＝6，
当且仅当2（x﹣1）＝即x＝2时取等号，此时取得最小值6．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
7．（2020•德阳模拟）已知x，y为正实数，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
【解析】解：∵x，y为正实数，
∴
＝+（1+）﹣1
≥2﹣1＝4﹣1＝3，
当且仅当即x＝3y时“＝”成立，
故选：D．
【点睛】本题考查了基本不等式的性质，注意应用性质的条件，本题是一道基础题．
8．（2019秋•常州期末）在下列函数中，最小值是2的是（ ）
A．（x∈R且x≠0）B．
C．y＝3x+3﹣x（x∈R）D．）
【解析】解：当x＜0时，y＝＜0，排除A，
∵lgx＝在1＜x＜10无解，∴大于2，但不能等于2，排除B
∵sinx＝在0＜x＜上无解，∴）大于2，但不能等于2，排除D
对于函数y＝3x+3﹣x，令3x＝t，则t＞0，y＝t+≥2＝2，（当且仅当t＝1，即x＝0时取等号）
∴y＝3x+3﹣x的最小值为2
故选：C．
【点睛】本题考察了均值定理求函数最值的方法，解题时要牢记口诀一“正”，二“定”，三“等号”，并用此口诀检验解题的正误
9．（2020•浙江模拟）对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，且使|2a+b|最大时，的最小值为（ ）
A．B．C．﹣2D．2
【解析】解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c＝0，
∴＝（a﹣）2+，由柯西不等式得，
[（a﹣）2+][22+（）2]≥[2（a﹣）+b•]2＝|2a+b|2
故当|2a+b|最大时，有＝，
∴a＝b，c＝10b2，
∴＝﹣+＝（）2﹣＝（）2﹣2，
b＝时，取得最小值为﹣2．
故选：C．
【点睛】本题考查了柯西不等式，以及二次函数的最值问题，属于中档题．
10．（2019秋•龙岩期中）已知实数a，b满足a2﹣4lna﹣b＝0，c∈R，则（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解析】解：x代换a，y代换b，则x，y满足：x2﹣4lnx﹣y＝0，即y＝x2﹣4lnx（x＞0），
以x代换c，可得点（x，﹣2x），满足2x+y＝0．
因此求（a﹣c）2+（b+2c）2的最小值，
即为求曲线y＝x2﹣4lnx上的点到直线2x+y＝0的距离的最小值的平方．
设直线2x+y+m＝0与曲线y＝x2﹣4lnx＝f（x）相切于点P（x0，y0），
f′（x）＝2x﹣，则f′（x0）＝2x0﹣＝﹣2，
解得x0＝1，∴切点为P（1，1）．
∴点P到直线2x+y＝0的距离d＝＝，
∴则（a﹣c）2+（b+c）2的最小值为（）2＝．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．
二．填空题（共4小题）
11．（2020•全国Ⅰ卷模拟）已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为 ．
【解析】解：设t＝，由题意知t≥2，
则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，
∵f'（x）＝1﹣＞0，
∴f（t）在t≥2上单调递增，
∴f（t）≥f（2）＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．
12．（2020•嘉兴模拟）已知正实数x，y满足x+2y＝3，则xy的最大值为 ，的最小值为 2 ．
【解析】解：正实数x，y满足x+2y＝3，
由基本不等式可得，3＝x+2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号，
则xy，即最大值；
∵＝＝＝2，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
13．（2020•和平区模拟）已知a＞0，b＞0，当（a+4b）2+取得最小值为 8 时，a+b＝ ．
【解析】解：因为a＞0，b＞0，
所以a+4b，当且仅当a＝4b时取等号，
所以（a+4b）2≥16ab，
则（a+4b）2+＝8，
当且仅当即a＝1，b＝时取等号，此时取得最小值8，a+b＝．
故答案为：8，
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关于是在两次基本不等式的应用中等号成立条件的检验．
14．（2020•汉中一模）已知函数f（x）＝lga（x+3）﹣1（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+4＝0上，其中mn＞0，则的最小值为 ．
【解析】解：由f（x）＝lga（x+3）﹣1知，f（x）过定点A（﹣2，﹣1）．
因为点A在直线mx+ny+4＝0上，所以2m+n＝4，
又mn＞0，所以m＞0，n＞0，
所以
＝≥＝，
当且仅当，即m＝，n＝3时取等号，
所以的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数过定点问题和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属中档题．
三．解答题（共3小题）
15．（2020•3月份模拟）已知实数x、y、z满足x﹣2y+z＝4．
（1）求x2+y2+z2的最小值；
（2）若y＝x+z，求xz的最大值．
【解析】解：由柯西不等式可得（x﹣2y+z）2≤[12+（﹣2）2+12]（x2+y2+z2），
∴x2+y2+z2，
当且仅当且x﹣2y+z＝4即x＝，y＝，z＝时取等号，
故x2+y2+z2的最小值，
（2）由y＝x+z及x﹣2y+z＝4可得x+z＝﹣4，
因为x2+z2≥2xz，
∴（x+z）2≥4xz，即xz≤4，当且仅当x＝z＝2时取等号，此时xz取得最大值4．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式及柯西不等式求解最值问题，属于基础试题．
16．（2019秋•葫芦岛期末）设a，b是正实数，求证：
（1）若a+2b＝1，求a2+b2的最小值；
（2）若a2+4b2＝1，求的最大值．
【解析】解：（1）法 一：由得，0＜b＜，
于是a2+b2＝（1﹣2b）2+b2＝5b2﹣4b+1，当b＝时，a2+b2取得最小值为，
法二：（a2+b2）（12+22）≥（ a+2b）2＝1，当且仅当a＝时等号成立，
此时a2+b2的最小值为；
（2）法一：（）2≤[a2+（2b）2][（）2+12]＝4，当且仅当＝2b时等号成立，
因为a，b是正实数，所以的最大值为2，
法二：设a＝csθ，b＝sinθ，0＜θ＜，＝csθ+sinθ＝2sin（θ+），
∵＜θ+＜，
∴当θ+＝时sin（θ+）max＝1，
的最大值为2，
【点睛】本题主要考查了利用不等式的性质求解最值或范围，要注意多种解法的灵活应用．
17．（2019秋•南山区校级期末）已知正实数x，y满足等式2x+5y＝20．
（1）求u＝lgx+lgy的最大值；
（2）若不等式+4m恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】解：（1）因为x＞0，y＞0，由基本不等式，得．
又因为2x+5y＝20，所以，xy≤10，
当且仅当，即时，等号成立．
此时xy的最大值为10．
所以u＝lgx+lgy＝lgxy≤1g10＝1．
所以当x＝5，y＝2时，u＝lgx+lgy的最大值为1；
（2）因为x＞0，y＞0，
所以，
当且仅当，即时，等号成立．
所以的最小值为．
不等式恒成立，只要，解得．
所以m的取值范围是．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值及不等式的恒成立与最值的相互转化关系的应用．