高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第6讲一元二次不等式及其解法(知识点串讲)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)第6讲一元二次不等式及其解法(知识点串讲)特训（学生版+解析），共10页。

【知识梳理】
1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集
(1)当a＞0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(b,a)))))；
(2)当a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(b,a))))).
2．“三个二次”的关系
3、解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【考点精炼】
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．(全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( )
A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
【知识梳理】
4、解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【考点精炼】
考点二、含参数的一元二次不等式问题
例2．(2019·山东烟台检测)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
练习、解不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
【知识梳理】
5、分式不等式的解法
(1)
(2)
【考点精炼】
考点三、解分式不等式
例3．(2019·山东临沂月考)不等式eq \f(x－1,2x＋1) ≤0的解集为( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)
D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)
【知识梳理】
6、恒成立结论
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
(2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
【考点精炼】
考点四、形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
例4、(2019·甘肃张掖月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________.
练习、(2019·山东莱芜检测)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
考点五、形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围
例5、设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
练习、若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________.
考点六、形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
例6、对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________.
考点七、成立问题
例7、(2019·河南洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，1))
C．(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(23,5)))
练习、若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0]
判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅
第6讲 一元二次不等式及其解法
【知识梳理】
1．一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集
(1)当a＞0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＞\f(b,a)))))；
(2)当a＜0时，解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＜\f(b,a))))).
2．“三个二次”的关系
3、解一元二次不等式的步骤
(1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式；
(2)计算相应的判别式；
(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根；
(4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集．
【考点精炼】
考点一：解不含参数的一元二次不等式
例1．(全国卷Ⅲ)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x＞0}，则S∩T＝( )
A．[2，3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
【答案】 D [因为S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≥3或x≤2}，又T＝{x|x＞0}，所以S∩T＝(0，2]∪[3.＋∞)．]
练习．(2019·广东肇庆月考)不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.(用区间表示)
【答案】(－4，1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集为(－4，1)．]
【知识梳理】
4、解含参数的一元二次不等式的步骤
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
【考点精炼】
考点二、含参数的一元二次不等式问题
例2．(2019·山东烟台检测)关于x的不等式ax－b＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1，3)
C．(－1，3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】C [由题意知，a＜0且eq \f(b,a)＝1，即a＝b，故不等式(ax＋b)(x－3)＞0即为(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3.]
练习、解不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
所以当a>1时，解集为eq \f(1,a)当a＝1时，解集为∅；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)【知识梳理】
5、分式不等式的解法
(1)
(2)
【考点精炼】
考点三、解分式不等式
例3．(2019·山东临沂月考)不等式eq \f(x－1,2x＋1) ≤0的解集为( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)
D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)
【答案】A [不等式eq \f(x－1,2x＋1) ≤0⇔，解得－eq \f(1,2)＜x≤1，
∴不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).]
【知识梳理】
6、恒成立结论
(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是：a>0且b2－4ac<0(x∈R)．
(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是：a<0且b2－4ac<0(x∈R)．
7、一元二次不等式恒成立问题的求解思路
(1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．
(2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(参数m∈[a，b])的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．
【考点精炼】
考点四、形如f(x)≥0(x∈R)求参数的范围
例4、(2019·甘肃张掖月考)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________.
【答案】(－2，2] [当a－2＝0，即a＝2时，不等式即为－4<0，对一切x∈R恒成立，
当a≠2时，则有
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<2，,－2综上，可得实数a的取值范围是(－2，2]．]
练习、(2019·山东莱芜检测)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】[－1，4] [x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，由条件可知，只需a2－3a≤4，即－1≤a≤4成立即可．]
考点五、形如f(x)≥0(x∈[a，b])求参数的范围
例5、设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解 要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6＜0，
在x∈[1，3]上恒成立．
有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，x∈[1，3]．
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0.
所以m＜eq \f(6,7)，则0＜m＜eq \f(6,7).
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6. 所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是meq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(0方法二 因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜eq \f(6,x2－x＋1).
因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1，3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m＜eq \f(6,7) 即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是{meq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(0练习、若不等式x2＋mx－1<0对于任意x∈[m，m＋1]都成立，则实数m的取值范围是________.
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0)) [由题意，得函数f(x)＝x2＋mx－1在[m，m＋1]上的最大值小于0，又抛物线f(x)＝x2＋mx－1开口向上，所以只需
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2m2－1<0，,2m2＋3m<0，))解得－eq \f(\r(2),2)考点六、形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])求x的范围
例6、对任意的k∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是__________.
【答案】{x|x<1或x>3} [对任意的k∈[－1，1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1，1]时恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－5x＋6>0，,x2－3x＋2>0，))
解得x<1或x>3.]
考点七、成立问题
例7、(2019·河南洛阳诊断)若不等式x2＋ax－2>0在区间[1，5]上有解，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞)) B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，1))
C．(1，＋∞) D．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(23,5)))
【答案】A [由Δ＝a2＋8>0知方程恒有两个不等实根，又因为x1x2＝－2<0，所以方程必有一正根，一负根，对应二次函数图象的示意图如图．
所以不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f(5)>0，解得a>－eq \f(23,5).]
练习、若不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )
A．(－3，0) B．[－3，0)
C．[－3，0] D．(－3，0]
【答案】D [当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)))<0，))解得－3综上，满足不等式2kx2＋kx－eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立的k的取值范围是(－3，0]．]判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根
有两个相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两个相等实根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠－\f(b,2a)))
R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅
∅