高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)期末模拟卷(含必修5，必修2)特训（学生版+解析）

这是一份高一数学下册期末考点大串讲(人教A版)期末模拟卷(含必修5，必修2)特训（学生版+解析），共18页。
考试范围：必修5，必修2 满分：120分 考试时间：90分钟
第Ⅰ卷（选择题）
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一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（2020•浙江模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是（ ）
A．22B．23C．24D．13
2．（2020•海淀区校级一模）下列不等式成立的是（ ）
A．sin12＞cs12B．（12）12＞（12）13
C．lg1213＜lg1312D．（12）13＞（13）13
3．（2020•九江三模）若直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a＝（ ）
A．32B．23C．﹣1D．2
4．（2020•韶关二模）已知x＞0，y＞0，且1x+2y=1，则x+2y的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
5．（2020•沙坪坝区校级模拟）在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．8π3B．14π3C．20π3D．32π3
6．（2020•吴忠模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝4an+m，且数列{nan}的前6项和等于321，则m的值等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
7．（2020•钦州模拟）在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点AD＝6，BC＝4，EF=2，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）
A．34B．56C．910D．1112
8．（2020春•新吴区校级期中）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α
9．（2020•龙岩模拟）若过直线3x﹣4y+2＝0上一点M向圆Γ：（x﹣2）2+（y+3）2＝4作一条切线于切点T，则|MT|的最小值为（ ）
A．10B．4C．22D．23
10．（2020•汕头二模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsA+C2=bsinA，若b=3，则2a+c的取值范围为（ ）
A．（1，3）B．（12，1）C．（3，23）D．（3，2）
11．（2020•长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（ ）
A．ℎ1sin2α+1sin2β−2cs(α−β)sinαsinβ
B．ℎ1sin2α+1sin2β+2cs(α−β)sinαsinβ
C．ℎ1cs2α+1cs2β−2cs(α−β)csαcsβ
D．ℎ1cs2α+1cs2β+2cs(α−β)csαcsβ
12．（2020•南昌三模）将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（ ）
A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12
第Ⅱ卷（非选择题）
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二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2019秋•开封期末）已知直线l的倾斜角为45°，且经过点P（﹣1，3），Q（m，1），则m的值为 ．
14．（2020•唐山二模）已知x，y满足约束条件x−y+2≥0x−2y+1≤0x+y−2≤0，若z＝x﹣y的最大值为 ．
15．（2020•来宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，A1A⊥平面ABC，四边形ACC1A1为正方形，点E在线段BC1上，且BE＝2C1E，点F为线段AB的中点，则直线A1E与直线CF所成角的余弦值为 ．
16．（2020春•浦东新区校级期中）已知数列{an}满足a1＝0，an+1=an−33an+1（n∈N*），则a2020＝ ．
三．解答题（共5小题，每小题8分，满分40分）
17．（2019秋•内江期末）已知直线l：（a+1）x+y﹣2﹣a＝0（a∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）当O（0，0）点到直线l距离最大时，求直线l的方程．
18．（2020春•淮安期中）已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，点P（3，1）．
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）求过点P的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程；
（3）若圆C的一条弦AB的中点为P，求直线AB的方程．
19．（2020•江西模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(tanAtanC+1)−9b=0．
（1）求csA的值；
（2）若点D在边BC上，AD平分角A，且AD=5，求1b+1c的值．
20．（2020•太原三模）已知{an}是公差为1的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2=12，anbn+1+bn+1＝nbn．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=12nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
21．（2020•衡阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝23，AB＝AD＝2．
（1）若PC＝4，求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）若PB＝3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由．
题号
一
二
三
总分
得分
评卷人
得 分


评卷人
得 分


评卷人
得 分


2019-2020学年高一数学下学期期末模拟卷
（人教A版）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（2020•浙江模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最短的棱与最长的棱长度之比是（ ）
A．22B．23C．24D．13
【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：
如图所示：
所以最短的棱长为AB=12+12=2，最长的棱长为AC=22+22+12=3，
所以最短的棱长与最长的棱长的比值为：23．
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图之间的转换，几何体的棱长公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础性题．
2．（2020•海淀区校级一模）下列不等式成立的是（ ）
A．sin12＞cs12B．（12）12＞（12）13
C．lg1213＜lg1312D．（12）13＞（13）13
【解答】解：A.12＜π4，∴sin12＜cs12，故A错误；
B.12＞13，∴(12)12＜(12)13，故B错误；
C.lg1213＞lg1212=1，lg1312＜lg1313=1，
∴lg1213＞lg1312，故C错误；
D.y=x13在R上单调递增，且12＞13，
∴(12)13＞(13)13，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了正弦函数和余弦函数的图象，指数函数、对数函数和幂函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
3．（2020•九江三模）若直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a＝（ ）
A．32B．23C．﹣1D．2
【解答】解：根据题意，直线x+（a﹣1）y+1＝0与直线ax+2y﹣1＝0互相垂直，
则有a+2（a﹣1）＝0，解得a=23，
故选：B．
【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线垂直的判断方法，属于基础题．
4．（2020•韶关二模）已知x＞0，y＞0，且1x+2y=1，则x+2y的最小值是（ ）
A．7B．8C．9D．10
【解答】解：根据题意，若x＞0，y＞0，且1x+2y=1，
则x+2y＝（x+2y）（1x+2y）＝5+2yx+2xy≥5+2×2yx×2xy=5+4＝9，
当且仅当x＝y＝3时，等号成立，
故x+2y的最小值是9；
故选：C．
【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，注意“1”的代换，属于基础题．
5．（2020•沙坪坝区校级模拟）在边长为2的菱形ABCD中，BD=23，将菱形ABCD沿对角线AC折起，使得平面ABC⊥平面ACD，则所得三棱锥A﹣BCD的外接球表面积为（ ）
A．8π3B．14π3C．20π3D．32π3
【解答】解：∵在边长为2的菱形ABCD中，BD=23；
如图，
由已知可得，△ABC与△ACD均为等边三角形，
取AC中点G，连接BG，DG，则BG⊥AC，
∴DG=3⇒cs∠GDA=32⇒∠GDA=π6⇒∠ADC=π3；
∵二面角B﹣AC﹣D为直二面角，则BG⊥平面ACD，
分别取△BCD与△ABD的外心E，F，过E，F分别作两面的垂线，相交于O，
则O为三棱锥A﹣BCD的外接球的球心，
由△BCA与△ACD均为等边三角形且边长为2，
可得OE＝OF=13DG=33．
∴DE＝DG﹣GE=233．
∴OD=OE2+ED2=(33)2+(233)2=153．
∴三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为4π×R2＝4π×（153）2=20π3．
故选：C．
【点睛】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．
6．（2020•吴忠模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝4an+m，且数列{nan}的前6项和等于321，则m的值等于（ ）
A．﹣1B．﹣2C．1D．2
【解答】解：依题意得：当n＝1时，有2S1＝4a1+m，解得：a1=−m2；
当n≥2时，由2Sn＝4an+m⇒2Sn﹣1＝4an﹣1+m，
两式相减可得：2an＝4an﹣4an﹣1，
即：an＝2an﹣1，
故an＝a1•2n﹣1＝﹣m•2n﹣2，nan＝﹣mn•2n﹣2，
故数列{nan}的前6项和为−m4（1×21+2×22+3×23+…+6×26）．
令X＝1×21+2×22+3×23+…+6×26①，则2X＝1×22+2×23+…+6×27②，
由①﹣②可得：﹣X＝21+22+23+…+26﹣6×27=2(1−26)1−2−6×27＝﹣5×27﹣2，
则X＝642，
∴321=−m4×642=−321m2，
解得：m＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及前n项和的求法，属于基础题．
7．（2020•钦州模拟）在四面体ABCD中，E，F分别为棱AC，BD的中点AD＝6，BC＝4，EF=2，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（ ）
A．34B．56C．910D．1112
【解答】解：如图所示，取CD的中点，连接EG，FG，则FG∥BC，EG∥AD．
则∠EGF为异面直线AD与BC所成角或补角，
∵FG=12BC＝2，EG=12AD＝3，
∴cs∠EGF=4+9−22×2×3=1112．
∴异面直线AD与BC所成角的余弦值为1112．
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理、异面直线所成的角、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（2020春•新吴区校级期中）已知两条直线m，n和平面α，那么下列命题中的真命题为（ ）
A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥n，n⊂α，则m∥αD．若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α
【解答】解：由两条直线m，n和平面α，知：
对于A，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故A错误；
对于B，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，故C错误；
对于D，若m∥n，m∥α，则由线面平行的性质定理得n∥α或n⊂α，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
9．（2020•龙岩模拟）若过直线3x﹣4y+2＝0上一点M向圆Γ：（x﹣2）2+（y+3）2＝4作一条切线于切点T，则|MT|的最小值为（ ）
A．10B．4C．22D．23
【解答】解：圆Γ：（x﹣2）2+（y+3）2＝4的圆心坐标为（2，﹣3），半径为2．
要求|MT|的最小，则圆心到直线3x﹣4y+2＝0的距离最小，为|6+12+2|32+(−4)2=4．
∴|MT|的最小值为42−4=23．
故选：D．
【点睛】本题考查圆的切线方程，考查直线与圆的位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是基础题．
10．（2020•汕头二模）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsA+C2=bsinA，若b=3，则2a+c的取值范围为（ ）
A．（1，3）B．（12，1）C．（3，23）D．（3，2）
【解答】解：∵A+B+C＝π，∴A+C＝π﹣B，
∵acsA+C2=bsinA，
∴acsπ−B2=bsinA，即asinB2=bsinA，
由正弦定理知，asinA=bsinB，
∴sinAsinB2=sinBsinA，即sinB2=sinB=2sinB2csB2，
∴csB2=12，B=2π3．
由正弦定理知，asinA=bsinB=csinC，
∴asinA=csinC=3sin2π3=2，
∴a＝2sinA，c＝2sinC，
∴2a+c＝4sinA+2sinC＝4sinA+2sin（π﹣A−2π3）＝4sinA+2（sinπ3csA−csπ3sinA）
＝3sinA+3csA＝23sin（A+π6），
∵B=2π3，
∴A∈（0，π3），
∴A+π6∈(π6，π2)，sin（A+π6）∈(12，1)，
∴2a+c的取值范围为(3，23)．
故选：C．
【点睛】本题考查解三角形与三角恒等变换的综合，采用了边化角的思维，熟练掌握正弦定理、辅助角等相关公式是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．（2020•长春四模）如图，为测量某公园内湖岸边A，B两处的距离，一无人机在空中P点处测得A，B的俯角分别为α，β，此时无人机的高度为h，则AB的距离为（ ）
A．ℎ1sin2α+1sin2β−2cs(α−β)sinαsinβ
B．ℎ1sin2α+1sin2β+2cs(α−β)sinαsinβ
C．ℎ1cs2α+1cs2β−2cs(α−β)csαcsβ
D．ℎ1cs2α+1cs2β+2cs(α−β)csαcsβ
【解答】解：如图所示，
由题意作PE∥AB，可得∠APE＝α，∠BPE＝β，∠APO=π2−α，则∠APB＝α﹣β，∠ABP＝β，
在△AOP中，PA=ℎcs(π2−α)=ℎsinα，
在△PAB中，∠B＝β，∠APB＝α﹣β，
由正弦定理ABsin∠APB=PAsinB，
解得AB=sin(α−β)sinβ⋅ℎsinα=h•sin(α−β)sinα⋅sinβ；
又1sin2α+1sin2β−2cs(α−β)sinαsinβ═sin2α+sin2β−2sinαsinβ(csαcsβ+sinαsinβ)sin2αsin2β
=(sin2α−sin2αsin2β)−2sinαsinβcsαcsβ+(sin2β−sin2αsin2β)sin2αsin2β
=sin2αcs2β−2sinαcsβcsαsinβ+cs2αsin2βsin2αsin2β
=sin2(α−β)sin2αsin2β，
又α﹣β∈（0，π2），且α、β∈（0，π2），
所以sin(α−β)sinαsinβ＞0，
所以AB＝h•1sin2α+1sin2β−2cs(α−β)sinαsinβ．
故选：A．
【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
12．（2020•南昌三模）将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（ ）
A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12
【解答】解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，
f（32k）＝3k﹣3k＝0．
∴数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1．
故选：B．
【点睛】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题．
二．填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2019秋•开封期末）已知直线l的倾斜角为45°，且经过点P（﹣1，3），Q（m，1），则m的值为 ﹣3 ．
【解答】解：由于直线l的倾斜角为45°，且经过点P（﹣1，3），Q（m，1），
故有tan45°＝1=1−3m+1，∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，斜率公式的应用，属于基础题．
14．（2020•唐山二模）已知x，y满足约束条件x−y+2≥0x−2y+1≤0x+y−2≤0，若z＝x﹣y的最大值为 0 ．
【解答】解：x，y满足约束条件x−y+2≥0x−2y+1≤0x+y−2≤0的对应的平面区域如图：（阴影部分）．
由z＝x﹣y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，
由平移可知当直线y＝x﹣z，经过点B时，
直线y＝x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，
由x+y−2=0x−2y+1=0，解得B（1，1）代入z＝x﹣y得z＝0，
即z＝x﹣y的最大值是0，
故答案为：0．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
15．（2020•来宾模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等边三角形，A1A⊥平面ABC，四边形ACC1A1为正方形，点E在线段BC1上，且BE＝2C1E，点F为线段AB的中点，则直线A1E与直线CF所成角的余弦值为 64 ．
【解答】解：过点A1作A1F1∥CF且A1F1＝CF，连接EF1，
则∠EA1F1为直线A1E与直线CF所成的角．
过E点作EG⊥B1C1，垂足为G点，取B1C1的中点H，连接A1H，A1G，GF1，F1C1，
不妨设AB＝2，则A1F1=3，A1E=EG2+A1G2=49+289=423，
F1E=F1G2+GE2=199+49=233，
故cs∠EA1F1=A1F12+A1E2−EF122A1F1⋅A1E=3+329−2392×423×3=64．
故答案为：64．
【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与计算能力，是中档题．
16．（2020春•浦东新区校级期中）已知数列{an}满足a1＝0，an+1=an−33an+1（n∈N*），则a2020＝ 0 ．
【解答】解：数列{an}满足a1＝0，an+1=an−33an+1（n∈N*），
可得a2=0−33×0+1=−3，
a3=−3−33×(−3)+1=3，
a4=3−33×3+1=0，…
所以数列是周期数列，周期为3，
所以a2020＝a3×673+1＝a1＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列的项的求法，判断数列是周期数列是解题的关键．
三．解答题（共5小题，每小题8分，满分40分）
17．（2019秋•内江期末）已知直线l：（a+1）x+y﹣2﹣a＝0（a∈R）．
（1）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）当O（0，0）点到直线l距离最大时，求直线l的方程．
【解答】解：（1）直线l：（a+1）x+y﹣2﹣a＝0，取x＝0，y＝a+2，
取y＝0，x=a+2a+1，
即a+2=a+2a+1，解得a＝﹣2或a＝0，
故直线方程为﹣x+y＝0或x+y﹣2＝0．
（2）l：（a+1）x+y﹣2﹣a＝0变换得到a（x﹣1）+x+y﹣2＝0，
故过定点A（1，1），
当直线l与AO垂直时，距离最大．
kOA＝1，故k＝﹣1，解得a＝0，
故所求直线方程为x+y﹣2＝0．
【点睛】本题考查了直线的截距、相互垂直时斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18．（2020春•淮安期中）已知圆C的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，点P（3，1）．
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）求过点P的直线被圆C截得弦长最大时的直线l的方程；
（3）若圆C的一条弦AB的中点为P，求直线AB的方程．
【解答】解：（1）由圆的方程为x2+y2﹣4x﹣12＝0，
则（x﹣2）2+y2＝16
故圆心C（2，0），半径r＝4．
（2）因为直线被圆截得的弦长最大时是过圆心的直线，所以直线l过点C，
由过点P，C的斜率为kCP=1−03−2=1，
所以直线l的方程为y﹣1＝x﹣3，
故直线l的方程为x﹣y﹣2＝0．
（3）由弦AB的中垂线为CP，则kCP=1−03−2=1
所以可得kAB＝﹣1，
故直线AB的方程为：y﹣1＝（﹣1）（x﹣3）
故直线AB的方程为x+y﹣4＝0．
【点睛】本题考查圆的方程，直线的方程，以及直线与圆的位置关系，属于中档题．
19．（2020•江西模拟）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c(tanAtanC+1)−9b=0．
（1）求csA的值；
（2）若点D在边BC上，AD平分角A，且AD=5，求1b+1c的值．
【解答】解：（1）由c(tanAtanC+1)−9b=0及正弦定理可得sinC⋅sinAcsC+sinCcsAsinCcsA−9sinB=0，
即sin(A+C)csA−9sinB=0，
因为sin（A+C）＝sin（π﹣B）＝sinB，且sinB≠0，
所以csA=19；
（2）因为csA=19，所以sinA=1−cs2A=459，
因为AD平分角A，所以sin∠BAD=sin∠CAD=1−csA2=1−192=23，
由S△ABC＝S△ADB+S△ADC，可得12bcsinA=12c⋅ADsin∠BAD+12b⋅ADsin∠CAD，12bc⋅459=12c⋅5⋅23+12b⋅5⋅23，
整理得23bc=b+c，
所以1b+1c=23．
【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，以及三角形面积公式，是中档题．
20．（2020•太原三模）已知{an}是公差为1的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2=12，anbn+1+bn+1＝nbn．
（1）求数列{bn}的通项公式；
（2）设cn=12nbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）由已知得：a1b2+b2＝b1，∴a1＝1．又∵{an}是公差为1的等差数列，∴an＝n．∵anbn+1+bn+1＝nbn，
∴（n+1）bn+1＝nbn，所以数列{nbn}是常数列，∴nbn＝b1＝1，∴bn=1n；
（2）由（1）得：cn=12nbn=n•（12）n，
∴Sn＝1×12+2×（12）2+3×（12）3+…+n•（12）n①，
又12Sn＝1×（12）2+2×（12）3+3×（12）4+…+n•（12）n+1②，
由①﹣②可得：12Sn=12+（12）2+（12）3+…+（12）n﹣n•（12）n+1
=12[1−(12)n]1−12−n•（12）n+1
＝1﹣（n+2）•（12）n+1，
∴Sn＝2﹣（n+2）•（12）n．
【点睛】本题主要考查等差数列基本量的计算、数列通项公式的求法及错位相减法在数列求和中的应用，属于中档题．
21．（2020•衡阳二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB是等边三角形，BC⊥AB，BC＝CD＝23，AB＝AD＝2．
（1）若PC＝4，求三棱锥P﹣ABC的体积；
（2）若PB＝3BE，则在线段BC上是否存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．若存在，求线段BF的长；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为△PAB是等边三角形，AB＝2，
所以PB＝2．又因为PC＝4，BC=23，
所以PC2＝PB2+BC2，所以BC⊥PB．
又BC⊥AB，AB，PB⊂平面PAB，AB∩PB＝B，
所以BC⊥平面PAB．
所以三棱锥P﹣ABC的体积V=13S△PAB⋅BC=13×3⋅23=2．
（2）在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．此时BF=233．
理由如下：
如图，作EF∥PC，交BC于F，连接AF．
因为PB＝3BE，所以E是PB的三等分点，可得BF=233．
因为AB＝AD＝2，BC=CD=23，AC＝AC，
所以△ABC≌△ADC，因为BC⊥AB，所以∠ABC＝90°，
因为tan∠ACB=ABBC=223=33，
所以∠ACB＝∠ACD＝30°，所以∠BCD＝60°，
因为tan∠AFB=ABBF=2233=3，所以∠AFB＝60°，所以AF∥CD，
因为AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AF∥平面PCD．
又EF∥PC，EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．
因为AF∩EF＝F，AF、EF⊂平面AEF，所以平面AEF∥平面PCD．
所以在线段BC上存在一点F，使平面AEF∥平面PCD．此时BF=233．
【点睛】本题考查三棱锥的体积的求法，考查满足面面平行的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．