人教版九年级数学上册重难考点专题06实际问题与二次函数(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难考点专题06实际问题与二次函数(知识串讲+5大考点)特训(原卷版+解析)，共73页。
专题06 实际问题与二次函数 考点类型 知识串讲（一）实际问题类型（1）几何面积型（2）拱桥型（3）抛掷型（4）销售利润型（5）动点型 考点训练考点1：几何面积型典例1：（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为40m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为25m．(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边BC长为am，求鸡棚与墙垂直的一边AB的长（用含a的式子表示）(2)设鸡棚与墙垂直的一边AB的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于250m2，若可以，求出此时AB的长，若不行，请说明理由．【变式1】（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）把一块长 100m，宽 60m 的矩形空地建成停车场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全等的矩形），空白区域为停车位，且四周的 4 个出口宽度相同，其宽度不小于 28m，不大于 52m．设绿化区较长边为 xm，停车场的面积为 ym2．(1)直接写出：①用含 x 的式子表示出口的宽度为 ；② y 与 x 的函数关系式及 x 的取值范围．(2)求停车场的面积 y 的最大值；(3)预计停车场造价为100元/m2，绿化区造价为 50 元/m2．如果停车场投资不得超过 540000 元建造，直接写出 x 的取值范围．【变式2】（2023·广东·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．【变式3】（2022秋·江苏淮安·九年级校考期中）如图1，用60m长的护栏全部建造一个靠墙（墙的长度不限）的矩形养牛场，已知此矩形养牛场的面积为ym2，且与墙垂直的边长为xm．(1)此矩形与墙平行的边长为 m（用x来表示）；(2)求y与x之间的函数表达式，并求出此矩形面积的最大值；(3)如图2，若建造矩形养牛场时，在平行于墙的一边上留了aa>0m的距离便于出入（不占用护栏材料），当15≤x≤20时，该矩形的最大面积为512m2，求a的值．考点2：拱桥型典例2：（2023·河南南阳·统考一模）如图，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，左右两个抛物线形是全等的，正常水位时，大孔水面宽度AB为20m，顶点M距水面6m（即MO=6m），小孔顶点N距水面4.5m（即NC=4.5m，建立如图所示的平面直角坐标系．(1)求出大孔抛物线的解析式；(2)航管部门设定警戒水位为正常水位上方2m处，汛期某天水位正好达到警戒水位，有一艘顶部高出水面3m，顶部宽4m的巡逻船要路过三孔桥，请问该巡逻船能否安全通过大孔？并说明理由．(3)当水位上涨到刚好淹没小孔时，求出大孔的水面宽度EF．【变式1】（2023秋·福建福州·九年级统考期末）如图是抛物线形的拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．(1)建立平面直角坐标系，求此抛物线的解析式；(2)当水面下降3米时，求水面宽增加了多少米？【变式2】（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．【变式3】（2023·陕西西安·统考一模）图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度OB=20m，拱顶A到水面的距离为5m．(1)求这条抛物线的函数表达式；(2)为迎接新年，管理部门在桥下以1.6m为水平距离对称的悬挂了11个长为40cm的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在A处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于1m．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升30cm，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．考点3：抛掷型典例3：（2022秋·九年级单元测试）某运动员在一次投篮中，命中距地面距离为3.05米的篮圈中心，球的运动路线是抛物线y=−15x2+3.5的一部分（如图），球运行的最高点与运动员的水平距离是2.5米，如果运动员在距篮下距离为l米起跳，求l的值．【变式1】（2023·北京延庆·统考一模）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y=a（x−ℎ）2+k（a＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，解决下列问题：(1)直接写出实心球竖直高度的最大值是______；(2)求出满足的函数关系y=a（x−ℎ）2+k（a＜0）；(3)求实心球从出手到落地点的水平距离．【变式2】（2023秋·河南开封·九年级统考期末）双手正面掷实心球是开封市中招体育考试的选考项目，如图①是一名男生双手正面掷实心球，实心球的行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点高度为2m，当水平距离为5m时，实心球行进至最高点4m处．(1)求抛物线的表达式；(2)根据开封市中招体育考试评分标准（男生10.3m），即投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于10.30m，此项考试得分为满分10分．该男生在此项考试中是否得满分，请说明理由．（2≈1.4）【变式3】（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心5.5m（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面2.2m，当篮球运行的水平距离为3m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3.05m．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为3.2m，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？考点4：销售利润型典例4：（2023·四川成都·统考二模）直播作为一种新的营销方式，已经被越来越多的人所接受．近年以来，许多特色农产品随着直播漫步“云端”，被销售到全国各地．某农户在直播间销售一种成本为10元/kg的农产品，经调查发现，该农产品每天的销售量y（kg）与销售单价x（元）x≥10满足如图所示的函数关系，设销售这种商品每天的利润为W（元）．(1)求W与x之间的函数关系式；(2)若销售单价不低于15元/kg，且每天至少销售140kg时，求W的最大值．【变式1】（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．(1)求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；(2)当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？【变式2】（2022春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）商场准备采购一批特色商品，经调查，用8000元采购A型商品的件数是用3000元采购B型商品的件数的2倍，一件A型商品的进价比一件B型商品的进价多1元．(1)求一件A型，B型商品的进价分别为多少元？(2)市场调查发现：将2件A型商品和1件B型商品捆绑成1件C型商品销售情况较好．当每件C型商品的售价是20元时，每天可以销售500件；当售价每涨价1元，每天少销售10件．设每件C型商品的售价是x元（x≥20且x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(3)在（2）条件下，由于物价局限定，每件C型商品的售价不得超过30元，求商场每天销售C型商品的最大利润．【变式3】（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：(1)求y与x之间的函数关系式；(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？考点5：动点型典例5：（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，P点沿边AC向C以每秒3个单位长度的速度运动，Q点沿边BC向B以每秒4个单位长度的速度运动，当P、Q到达终点C、B时，运动停止，设运动时间为t（s）．（1）①当运动停止时，t的值为 ；②设P、C之间的距离为y，则y与t满足 关系（填“正比例函数”、“一次函数”或“二次函数”）；（2）设△PCQ的面积为S．①求S的表达式（用含t的式子表示）；②求当t为何值时，S取得最大值，这个最大值是多少？【变式1】（2023秋·吉林长春·八年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5cm，点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AC与Q，当点P不与A、B重合时，以线段PQ为边向右作长方形PQMN，使PN=2PQ．设长方形PQMN与△ABC的重叠面积为S，点P的运动时间为t（s）．(1)用含t的代数式表示线段BP的长度．(2)连接CP，当CP平分△ABC的面积时，求出t的值．(3)当点N落在BC边上时，求t的值．(4)用含t的代数式表示S．【变式2】（2022春·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+3的图象与x轴相交于点A和点B，与y轴交于点C，图象的对称轴为直线x=−1.连接AC，有一动点D在线段AC上运动，过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点D的横坐标为m．（1）求AB的长度；（2）连接AE、CE，当ΔACE的面积最大时，求点D的坐标；（3）当m为何值时，ΔADF与ΔCDE相似．【变式3】（2023秋·天津河西·九年级校考期末）如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动．P、Q分别从A、B同时出发，当P、Q两点中有一点停止运动时，则另一点也停止运动．设运动的时间为ts．(t≥0)(1)当t为何值时，PQ的长度等于5cm；(2)求出SΔBPQ关于t的函数解析式，计算P、Q出发几秒时，SΔBPQ有最大值，并求出这个最大面积？ 同步过关一、单选题1．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考阶段练习）在体育选项报考前，某九年级学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系为y=−112x2+23x+53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为(   )A．6米 B．10米 C．12米 D．15米2．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4，点E，G同时从点A出发，分别以每秒12个单位的速度在射线AB，AC上运动，设运动时间为x秒，以点A为顶点的正方形AEFG与等腰直角三角形ABC重叠部分的面积为y，则大致能反映y与x之间的函数关系的图象为（　　）A． B． C． D．3．（2023春·九年级课时练习）如图，抛物线y=x2+x交x轴的负半轴于点A，点B是y轴的正半轴上一点，点A关于点B的对称点Aʹ恰好落在抛物线上．过点Aʹ作x轴的平行线交抛物线于另一点C，则点Aʹ的纵坐标为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．34．（2022秋·九年级单元测试）长为20cm，宽为10cm的矩形，四个角上剪去边长为xcm的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为ycm2的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（    ）A．y=(10−x)(20−x)(0