人教版九年级数学上册重难考点专题07圆的相关计算(知识串讲+10大考点)特训(原卷版+解析)

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专题07 圆的相关计算 考点类型 知识串讲（一）与圆有关的计算（1）弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝（2）圆锥与侧面展开图①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.②计算公式：,（r为底面半径）S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）（3）圆锥表面积圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积 考点训练考点1：运用公式求扇形的弧长典例1：（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）  A．π B．3π C．2π D．2π−3【变式1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（    ）  A．20π cm B．10π cm C．5π cm D．2π cm【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC=AD，若∠ABC=130°，⊙O的半径为9，则劣弧CD的长为（　　） A．4π B．8π C．9π D．18π【变式3】（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线AB的长为（    ）．    A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km考点2：求扇形半径或圆心角典例2：（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为240π．弧长为20π．那么这个扇形的半径是（    ）A．20 B．24 C．26 D．32【变式1】（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，点A,B,C在半径为6的⊙O上，劣弧AB的长为2π，则∠ACB的大小是（ ）   A．20∘ B．30∘ C．45∘ D．60∘【变式2】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（    ）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°π．【变式3】（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ）A．24m B．22m C．2m D．22m考点3：旋转过程中点经过的路径长典例3：（2023·浙江·九年级假期作业）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径BC长为（ ）  A．450π cm B．225π cm C．15π cm D．7.5π cm【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）A．2024π B．2023π C．3036π D．4048π【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）如图，边长为23cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=12cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（    ）cm．  A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【变式3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，一个边长为8的等边三角形木板ABC在平面直角坐标系上绕点C按顺时针旋转到△A′B′C的位置，则顶点A从开始到结束所经过的路程及A′的横坐标分别为(　　　)  A．16π3,4 B．8π，4 C．16π3，−4 D．8π，−4考点4：运用公式求扇形的面积典例4：（2023·新疆·统考中考真题）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是(    )  A．12π B．6π C．4π D．2π【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为(    )  A．2π B．3π C．33π D．233π【变式2】（2023·云南昆明·统考二模）美术课上，小梅同学利用如图所示直径为1dm的圆形材料裁剪出一个扇形图案，已知扇形的圆心角∠BAC=90°，则扇形图案的面积为（　　）  A．π2dm2 B．π4dm2 C．π8dm2 D．π16dm2【变式3】（2023·四川泸州·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是（　　）A．52πcm2 B．132πcm2 C．134πcm2 D．2πcm2考点5：旋转过程中线段（图形）扫过的面积典例5：（2023·广东佛山·校考三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）（    ）  A．16π B．13π−12 C．14π D．14π−32【变式1】（2022秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（    ）A．3π2 B．8π3 C．6π D．10π3【变式2】（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至BA边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）面积是（   ）A．27π−932 B．27π C．9π+932 D．9π【变式3】（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6,BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（    ）A．3π2 B．10π3 C．6π D．上答案都不对考点6：求阴影部分的面积典例6：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）  A．12π−183 B．12π−363 C．24π−183 D．24π−363【变式1】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（    ）  A．π4 B．π3 C．2π3 D．π【变式2】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）  A．π−2 B．2π−2 C．2π−4 D．4π−4【变式3】（2023·山西太原·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．32π−943 B．34π−983 C．34π D．32π考点7：求圆锥的侧面积典例7：（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，圆锥底面圆的半径为7cm，体积为392πcm3，则它侧面展开图的面积是（　　）  A．1753πcm2 B．1752πcm2 C．175πcm2 D．350πcm2【变式1】（2022·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【变式2】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，圆锥底面圆的半径AB=2，高BC=42，则这个圆锥的侧面积为（　　）A．6π B．8π C．10π D．12π【变式3】（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）  A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2考点8：求圆锥的底面半径与高典例8：（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【变式1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（    ）A．42cm B．22cm C．23cm D．3cm【变式2】（2023春·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　 　）m．A．42 B．515 C．30 D．2【变式3】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（   ）  A．3 B．6 C．9 D．12考点9：求圆锥侧面展开图的圆心角典例9：（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（    ）A．90° B．120° C．150° D．180°【变式1】（2021·山东东营·统考中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（    ）A．214° B．215° C．216° D．217°【变式2】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是（    ）A．4π  60° B．4π  90° C．2π  90° D．8π  60°【变式3】（2023·云南西双版纳·统考一模）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）．A．108° B．120° C．144° D．150°考点10：圆的相关计算与实际问题典例10：（2022春·九年级课时练习）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ）A．(30+529)π米2 B．40π米2C．(30+521)π米2 D．55π米2【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）A．3 B．23 C．33 D．3【变式2】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ）A．8 B．11 C．10 D．9【变式3】（2022秋·九年级课时练习）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（  ） 　　A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确 同步过关一、单选题1．（2022春·九年级课时练习）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，则阴影部分的面积是（  ）A．2 B．πC．2π D．π−22．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（　　）A．15πcm2 B．20πcm2 C．9πcm2 D．25πcm23．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm24．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　　）A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm5．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，把一块含45°的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为4的⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点E、点D，则位于三角板内部的弧DE的长度为（    ）A．π B．2π C．4π D．8π6．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150∘，D为VB上一点，VD=3dm，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到点D，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）A．32dm B．42dm C．152dm D．27dm7．（2022·九年级单元测试）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（    ）A．90° B．100° C．120° D．150°8．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为（ ）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm9．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则AB的长度为（    ）A．π B．2π C．2π D．4π10．（2022秋·安徽芜湖·九年级芜湖市第二中学校考期末）如图，△ABC的三个顶点都在4×5的网格（每个小正方形的边长为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A1BC1的位置，且点A1、C1仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是（　　）A．9π4 B．13−22π C．π D．13π4二、填空题11．（2023·广东广州·统考二模）圆锥的侧面积为20π，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为 ．12．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）半径为5cm的圆中，若扇形面积为25π3cm2，则它的圆心角为 ．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC=90° ，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1,E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．若∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积是 ． (结果保留根号和π)14．（2023·云南·九年级统考学业考试）已知⊙O的半径为6,弦AB与半径相等,则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为 ．15．（2022秋·九年级单元测试）高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是 ．16．（2022·广西贵港·统考二模）如图，以半⊙O上的点A为圆心，AB为半径作扇形ABC．线段AC交弧AB的中点于D，若AB=4，则阴影部分面积S= （结果保留π）．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？18．（2022秋·全国·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．19．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．20．（2022秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).(1)将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).21．（2022秋·广东·九年级阶段练习）如图，一个圆锥的高为,侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径与母线之比；（2）圆锥的全面积．22．（2023·湖南衡阳·统考三模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和π）23．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=18cm,AD=12cm，以AB上一点O为圆心，OB长为半径画BF恰与DC边相切，交AD于F点，连结OF，若将这个扇形OBF围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S．24．（2023春·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD与OC所在的直线互相垂直，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．25．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，⊙O中，AB=AC，∠ACB=75°，BC=1．（1）求BC的长；（2）求阴影部分的面积．专题07 圆的相关计算 考点类型 知识串讲（一）与圆有关的计算（1）弧长和扇形面积的计算：扇形的弧长l＝；扇形的面积S＝（2）圆锥与侧面展开图①圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.②计算公式：,（r为底面半径）S侧=πrl（l为母线长，r为底面半径）（3）圆锥表面积圆锥体表面积公式：（为母线，R为底面半径）备注：圆锥的表面积=扇形面积+底面圆面积 考点训练考点1：运用公式求扇形的弧长典例1：（2023·湖南张家界·统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（    ）  A．π B．3π C．2π D．2π−3【答案】B【分析】根据等边三角形的性质及弧长公式l=nπr180求解即可．【详解】解：∵等边三角形ABC的边长为3，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∴AB=BC=AC=60π⋅3180=π，∴该“莱洛三角形”的周长=3×π=3π，故选：B．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，弧长公式，熟练掌握等边三角形的性质和弧长公式是解题的关键．【变式1】（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图2所示是一条圆弧AB，圆弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，则AB=（    ）  A．20π cm B．10π cm C．5π cm D．2π cm【答案】B【分析】根据弧长公式求解即可．【详解】解：弧的半径OA=20cm，圆心角∠AOB=90°，∴AB=90π×20180=10π，故选：B．【点睛】题目主要考查弧长公式，熟练掌握运用弧长公式是解题关键．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，AC=AD，若∠ABC=130°，⊙O的半径为9，则劣弧CD的长为（　　） A．4π B．8π C．9π D．18π【答案】B【分析】连接OD、OC，由圆内接四边形性质可得∠ADC的度数，再由AC=AD及三角形内角和定理可求得∠DAC的度数，由圆周角定理可得∠DOC的度数，最后由弧长公式即可求得结果．【详解】解：如图，连接OD、OC，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ABC=130°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−130°=50°，∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD=50°，∴∠DAC=180°−∠ADC+∠ACD=180°−2×50°=80°，∴∠DOC=2∠DAC=2×80°=160°，∵⊙O的半径为9，∴lCD=160π×9180=8π，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质，弧长公式等知识，综合运用这些知识是解题的关键．【变式3】（2023·山西·统考中考真题）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A,B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA=1.5km，则这段圆曲线AB的长为（    ）．    A．π4km B．π2km C．3π4km D．3π8km【答案】B【分析】由转角α为60°可得∠ACB=120°，由切线的性质可得∠OAC=∠OBC=90°，根据四边形的内角和定理可得∠AOB=360°−∠ACB−∠OAC−∠OBC=60°，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：  ∵∠α=60°，∴∠ACB=120°，∵过点A,B的两条切线相交于点C，∴∠OAC=∠OBC=90°,∴∠AOB=360°−∠ACB−∠OAC−∠OBC=60°,∴60°×π×2×1.5360°=π2km．故选B．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得∠AOB=60°是解答本题的关键．考点2：求扇形半径或圆心角典例2：（2023·浙江·九年级假期作业）一个扇形的面积为240π．弧长为20π．那么这个扇形的半径是（    ）A．20 B．24 C．26 D．32【答案】B【分析】设扇形的半径为r，根据扇形面积等于12rl（l为扇形弧长）进行求解即可【详解】解：设扇形的半径为r，由题意得，12r×20π=240π，解得r=24，故选B．【点睛】本题主要考查了扇形面积公式和弧长公式，熟知扇形面积等于扇形弧长和半径乘积的一半是解题的关键．【变式1】（2021秋·全国·九年级专题练习）如图，点A,B,C在半径为6的⊙O上，劣弧AB的长为2π，则∠ACB的大小是（ ）   A．20∘ B．30∘ C．45∘ D．60∘【答案】B【分析】连接OA,OB，利用同弧圆心角与圆周角的关系，需求∠AOB即可，利用AB弧长与弧长公式即可求出圆心角，∠ACB=12∠AOB，可确定答案．【详解】连接OA,OB  设∠AOB=n∘∵劣弧AB的长为2π，∴n⋅π×6180=2π∴n=60,∴∠AOB=60°,∴∠ACB=12∠AOB=30°．故选择：B．【点睛】本题考查圆周角的度数问题，掌握弧长公式，圆周角与圆心角的关系，会利用弧长求圆心角，利用同弧所对圆心角确定圆周角的大小．【变式2】（2023·吉林·统考一模）图1是等边三角形铁丝框ABC，按图2方式变形成以A为圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形ABC的圆心角的度数是（    ）A．45°． B．60°． C．90°π． D．180°π．【答案】D【分析】根据题意BC的长就是边BC的长，由弧长公式nπR180即可求解．【详解】解：设AB=BC=x，∴CBC=x，∴nπx180=x，解得：n=180π，∴圆心角的度数为：180°π故选：D．【点睛】本题考查了弧长公式的应用，掌握公式和理解图形变化前后对应关系是解题的关键．【变式3】（2022秋·山东泰安·九年级统考期末）如图，从一块直径是2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆的半径是（    ）A．24m B．22m C．2m D．22m【答案】A【分析】设圆锥的底面圆半径为rm．先根据勾股定理求出扇形ABC的半径，再根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长列方程求出r．【详解】解：∵BC＝2m，AB=AC，∠BAC＝90°，∴AB＝2m，设圆锥的底面圆的半径为rm，根据题意得2πr＝90×π×2180，解得r＝24，即圆锥的底面圆的半径为24m．故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理，扇形，圆锥等，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形，扇形的弧长公式，用扇形弧长等于圆锥底面圆的周长建立并解方程．考点3：旋转过程中点经过的路径长典例3：（2023·浙江·九年级假期作业）长为30 cm的细木条AB用两个铁钉固定在墙上，固定点为点A，B（铁钉的大小忽略不计），当固定点B处的铁钉脱落后，细木条顺时针旋转至与原来垂直的方向，点B落在点C的位置，则点B旋转的路径BC长为（ ）  A．450π cm B．225π cm C．15π cm D．7.5π cm【答案】C【分析】根据弧长公式进行计算便可．【详解】解：点B旋转的路径BC长为90180π×30=15πcm，故选：C．【点睛】本题考查了求弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．【变式1】（2023·河南开封·统考一模）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，...，以此类推，这样连续旋转2024次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（　　）A．2024π B．2023π C．3036π D．4048π【答案】C【分析】首先求得每一次转动的路线的长，发现每4次循环，找到规律然后计算即可．【详解】解：转动一次A的路线长是：90π×4180=2π，转动第二次的路线长是：90π×5180=5π2，转动第三次的路线长是：90π×3180=3π2，转动第四次的路线长是：0，转动五次A的路线长是：90π×4180=2π，以此类推，每四次循环，故顶点A转动四次经过的路线长为：3π2+5π2+2π=6π，2024÷4=506顶点A转动2024次经过的路线长为：6π×506=3036π．故选：C．【点睛】本题主要考查了探索规律问题和弧长公式的运用，发现规律是解决问题的关键．【变式2】（2023·河北石家庄·校考一模）如图，边长为23cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB=12cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为（    ）cm．  A．7.5 B．15π C．15 D．7.5π【答案】D【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可．【详解】解：连接OD，OC．  ∵∠DOC=60°，OD=OC，∴△ODC是等边三角形，∴OD=OC=DC=23cm，∵OB⊥CD，∴BC=BD=3cm，∴OB=3BC=3cm，∵AB=12cm，∴OA=OB+AB=15cm，∴点A在该过程中所经过的路径长=90⋅π⋅15180=7.5πcm．故选：D．【点睛】本题考查了正六边形的性质及计算，扇形弧长的计算，熟知以上计算是解题的关键．【变式3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，一个边长为8的等边三角形木板ABC在平面直角坐标系上绕点C按顺时针旋转到△A′B′C的位置，则顶点A从开始到结束所经过的路程及A′的横坐标分别为(　　　)  A．16π3,4 B．8π，4 C．16π3，−4 D．8π，−4【答案】A【分析】由题意知，顶点A从开始到结束所经过的路径为圆弧AA′，所对的圆心角为120°，根据弧长公式计算求得顶点A从开始到结束所经过的路程，再根据等边三角形的三线合一的性质，即可求得A′的横坐标．【详解】解：∵一个边长为8的等边三角形木板ABC，在平面直角坐标系上绕点C按顺时针旋转到△A′B′C的位置，  ∴∠ACA′=120°，OA=8，∴AA′=120π×8180=16π3，作AD⊥CB′于D，∵△A′B′C是等边三角形，∴CD=B′D=12B′C=4∴A′的横坐标为4，故选：A．【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，弧长公式等知识，得出A点运动的路径是解题关键．考点4：运用公式求扇形的面积典例4：（2023·新疆·统考中考真题）如图，在⊙O中，若∠ACB=30°，OA=6，则扇形OAB(阴影部分)的面积是(    )  A．12π B．6π C．4π D．2π【答案】B【分析】根据圆周角定理求得∠AOB=60°，然后根据扇形面积公式进行计算即可求解．【详解】解：∵AB=AB，∠ACB=30°，∴∠AOB=60°，∴S=60360π×62=6π．故选：B.【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式以及圆周角定理是解题的关键．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得EC，连接AC，AE，则图中阴影部分的面积为(    )  A．2π B．3π C．33π D．233π【答案】A【分析】利用等六边形的性质计算出AC的长度，再根据扇形面积计算公式计算即可．【详解】解：过B点作AC垂线，垂足为G  根据正六边形性质可知，∠CAB=∠BCA=30°∴BG=12AB=1∴AC=2AG=2×AB2−GB2=2×22−12=23，∴S扇形=60×(23)2×π360=2π故选：A．【点睛】本题主要考查扇形面积的计算，含30度角的直角三角形等知识，根据正六边形性质计算出扇形的半径是解题的关键．【变式2】（2023·云南昆明·统考二模）美术课上，小梅同学利用如图所示直径为1dm的圆形材料裁剪出一个扇形图案，已知扇形的圆心角∠BAC=90°，则扇形图案的面积为（　　）  A．π2dm2 B．π4dm2 C．π8dm2 D．π16dm2【答案】C【分析】连接BC，根据圆周角定理得出BC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式即可解答．【详解】  解：如图连接BC，∵∠BAC=90°，∴BC为直径，∵AB=AC，BC=1dm，∴AB=AC=22BC=22dm，∴扇形图案的面积为90°×π×222360°=π8dm2，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理和扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．【变式3】（2023·四川泸州·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是（　　）A．52πcm2 B．132πcm2 C．134πcm2 D．2πcm2【答案】C【分析】先求解∠DOE=180°−12∠ABC+∠ACB=180°−12180°−∠A=130°，再利用扇形的面积公式进行计算即可．【详解】解：∵∠A=80°，⊙O是△ABC的内切圆，∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DOE=180°−12∠ABC+∠ACB=180°−12180°−∠A=130°，∴S扇形DOE=130π×32360=134πcm2，故选：C．【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，求解扇形的面积，熟记三角形的内切圆的性质是解本题的关键．考点5：旋转过程中线段（图形）扫过的面积典例5：（2023·广东佛山·校考三模）如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕到心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为 ．（结果保留π）（    ）  A．16π B．13π−12 C．14π D．14π−32【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质可得OC=12OB=12，再根据旋转的性质可得∠B′OC′=∠BOC=60°，∠COC′=120°，△B′C′O≅△BCO，从而可得∠B′OB=120°，S△B′C′O=S△BCO，然后根据阴影部分的面积等于S扇形BOB′+S△B′C′O−S扇形COC′−S△BCO即可得．【详解】解：∵直径AB长为2，∴OB=OB′=1，∵∠BOC=60°，∠BCO=90°，∴∠OBC=30°，∴OC=12OB=12，∵∠BOC=60°，△B′OC′是△BOC绕圆心O逆时针旋转得到的，∴∠B′OC′=∠BOC=60°，∠COC′=120°，△B′C′O≅△BCO，∴∠B′OB=120°，S△B′C′O=S△BCO，∴S扇形BOB′=120π×12360=π3，S扇形COC′=120π×122360=π12，则阴影部分的面积为S扇形BOB′+S△B′C′O−S扇形COC′−S△BCO=π3−π12=π4，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质、扇形的面积、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．【变式1】（2022秋·四川泸州·九年级统考期末）如图，将△ABC绕点C旋转60∘得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（    ）A．3π2 B．8π3 C．6π D．10π3【答案】D【分析】根据图形可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+SΔABC−S扇形BCB′−SΔA′B′C，由旋转的性质就可以得出SΔABC=SΔA′B′C就可以得出AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′-S扇形BCB′求出其值即可．【详解】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，∴△ABC≌△A′B′C，∴SΔABC=SΔA′B′C， ∠BCB′=∠ACA′=60°．∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+SΔABC−S扇形BCB′−SΔA′B′C，∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA'−S扇形BCB'，∴AB扫过的图形的面积=60π×62360−60π×42360=103π．故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，扇形的面积公式的运用，解答时根据旋转的性质求解是关键．【变式2】（2022·宁夏吴忠·校考一模）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至BA边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）面积是（   ）A．27π−932 B．27π C．9π+932 D．9π【答案】D【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积−小扇形CBC′的面积．【详解】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′，∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=6，∴BC=12AB=3，∴S阴影=120π×62360−120π×32360=9π，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质．【变式3】（2023春·四川凉山·九年级统考专题练习）如图，将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6,BC=4，则线段AB扫过的图形面积为（    ）A．3π2 B．10π3 C．6π D．上答案都不对【答案】B【分析】根据割补法可知阴影部分的面积即为扇形BCB′和扇形AOA′的差，然后根据扇形面积公式可进行求解．【详解】解：根据旋转的性质可得∠BCB′=∠AOA′=60°，∵AC=6,BC=4，∴S扇形BCB′=60π×42360=8π3,S扇形ACA′=60π×62360=6π，由旋转的性质可知△ABC≌△A′B′C，则阴影部分的面积即为扇形BCB′和扇形AOA′的差，∴线段AB扫过的图形面积为6π−83π=10π3；故选B．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式及旋转的性质，熟练掌握扇形的面积公式及旋转的性质是解题的关键．考点6：求阴影部分的面积典例6：（2023·浙江·九年级假期作业）如图，扇形纸片的半径为6，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（　　）  A．12π−183 B．12π−363 C．24π−183 D．24π−363【答案】A【分析】根据折叠，△ACB≌△AOB，进一步得到四边形OACB是菱形；进一步由OC=OB=BC=6得到△OBC是等边三角形；最后阴影部分面积=扇形AOB面积−菱形的面积，即可求解．【详解】依题意：△ACB≌△AOB，AO=BO=6∴AC=BC=AO=BO=6∴四边形OACB是菱形∴AB⊥CO连接OC与AB交于D点  ∵OC=OB=6∴OC=OB=BC=6∴△OBC是等边三角形同理：△OAC是等边三角形故∠AOB=120°由三线合一，在Rt△OBD中：∵∠OBD=12∠OBC=30°，∴OD=12OB=3，BD=3OD=33，∴S菱形OACB=12×2BD⋅2OD=12×2×33×2×3=183，∴S扇形AOB=120°360°⋅π⋅62=12π，∴S阴影=S菱形OACB−S扇形AOB=12π−183．故选：A【点睛】本题考查菱形的判定，菱形面积公式，扇形面积公式；解题关键是发现△OBC是等边三角形．【变式1】（2023·辽宁营口·校考三模）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O与AB，BC分别交于点D，E，连接AE，DE，若∠BED=45°，AB=2，则阴影部分的面积为（    ）  A．π4 B．π3 C．2π3 D．π【答案】A【分析】连接OD，OE，过点O作OF⊥AB于F，根据圆周角定理和等腰三角形的性质可判定OE∥AB，S△AOD=S△AED，再根据圆周角定理算出∠AOD=2∠AED=90°，求出⊙O的半径，进而求出S扇形AOD，从而得解．【详解】连接OD，OE，过点O作OF⊥AB于F，  ∵ AC为直径∴ AE⊥BC，OA=OC∵ AB=AC∴ CE=BE，∴ OE∥AB，∴ S△AOD=S△AED=12AD·OF∵ ∠BED=45°，∠AEB=90°，∴ ∠AED=45°，∴ ∠AOD=2∠AED=90°，∵ AB=2，∴ AB=AC=2，∴ OA=12AB=1，∴ S阴影=S扇形OAD=90π×12360=π4．故选：A．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形性质和扇形面积公式，正确作出适当的辅助线是解本题的关键．【变式2】（2023·四川广安·统考中考真题）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC=22，以点A为圆心，AC为半径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）  A．π−2 B．2π−2 C．2π−4 D．4π−4【答案】C【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形ACE和扇形BCF的面积，再减去△ABC的面积即可得．【详解】解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，∵AC=BC=22，∴图中阴影部分的面积是S扇形ACE+S扇形BCF−SRt△ABC=45π×222360+45π×222360−12×22×22=2π−4，故选：C．【点睛】本题考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．【变式3】（2023·山西太原·校联考三模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=6，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点E，则图中阴影部分的面积为（    ）  A．32π−943 B．34π−983 C．34π D．32π【答案】C【分析】如图，连接CD，证明△BCD是等边三角形，则∠BCD=60°，∠ACD=30°=∠A，则CD=BD=AD，D是AB的中点，CD是△ABC底边AB上的中线，可得S△ACD=S△BCD，根据S阴影=S扇形BCD−S△BCD+S△ACD−S扇形CDE =60π×32360−S△BCD+S△BCD−30π×32360，计算求解即可．【详解】解：如图，连接CD，  ∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，∵CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∠ACD=30°=∠A，∴CD=BD=AD，∴D是AB的中点，CD是△ABC底边AB上的中线，∴S△ACD=S△BCD，∴S阴影=S扇形BCD−S△BCD+S△ACD−S扇形CDE=60π×32360−S△BCD+S△BCD−30π×32360=3π4，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，扇形面积，中线等知识．解题的关键在于正确的表示阴影部分面积．考点7：求圆锥的侧面积典例7：（2023·黑龙江大庆·统考三模）如图，圆锥底面圆的半径为7cm，体积为392πcm3，则它侧面展开图的面积是（　　）  A．1753πcm2 B．1752πcm2 C．175πcm2 D．350πcm2【答案】C【分析】根据圆锥体积求出圆锥的高，再根据侧面展开图的面积公式求解即可．【详解】解：圆锥底面圆的半径为7cm，体积为392πcm3，设圆柱的高为ℎ，则π3×72×ℎ=392π，解得，ℎ=24，则圆锥的母线l=72+242=25，它侧面展开图的面积是πlr=25×7π=175π cm2，故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的计算，解题关键是熟记圆锥的体积和侧面公式，准确计算．【变式1】（2022·四川广安·统考中考真题）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个蒙古包的示意图，底面圆半径DE=2m，圆锥的高AC=1.5m，圆柱的高CD=2.5m，则下列说法错误的是（　　）A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2【答案】C【分析】由圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式、分别求出答案，再进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵底面圆半径DE=2m，∴圆柱的底面积为：π×22=4π；故A正确；圆柱的侧面积为：2π×2×2.5=10π；故B正确；圆锥的母线为：22+1.52=2.5；故C错误；圆锥的侧面积为：12×(2π×2)×2.5=5π；故D正确；故选：C【点睛】本题考查了圆锥的侧面积、圆柱侧面积、圆的面积公式等知识，解题的关键是掌握所学的知识，正确的进行判断．【变式2】（2022秋·山东济宁·九年级统考期末）如图，圆锥底面圆的半径AB=2，高BC=42，则这个圆锥的侧面积为（　　）A．6π B．8π C．10π D．12π【答案】D【分析】先求出圆锥的底面周长，然后再求出圆锥的母线长，最后根据扇形面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥底面圆的半径AB=2，高BC=42，∴圆锥底面周长为：2π×2=4π，圆锥的母线长为：AC=AB2+BC2=22+422=6，这个圆锥的侧面积为：S=12×4π×6=12π，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了求圆锥的侧面积，勾股定理，解题的关键是熟练掌握扇形面积公式．【变式3】（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考三模）如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是（    ）  A．27cm2 B．54cm2 C．27πcm2 D．54πcm2【答案】C【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl求解即可得．【详解】解：由图可知，圆锥的底面半径为62cm=3cm，母线长为9cm，则圆锥的侧面积为π×3×9=27πcm2，即蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）是27πcm2，故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟记公式是解题关键．考点8：求圆锥的底面半径与高典例8：（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是（    ）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【分析】先利用弧长公式求出扇形的弧长即圆锥的底面周长，再根据圆的周长公式求出直径即可．【详解】解：扇形的弧长：π×8×90°180°=4π，则圆锥的底面直径：4π÷π=4．故选：C．【点睛】本题考查圆锥侧面积公式，熟记公式的灵活应用是解题的关键．【变式1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，聪聪用一张半径为6cm、圆心角为120°的扇形纸片做成一个圆锥，则这个圆锥的高为（    ）A．42cm B．22cm C．23cm D．3cm【答案】A【分析】已知半径为6cm，圆心角为120°的扇形，就可以求出扇形的弧长，即圆锥的底面周长，从而可以求出底面半径，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，就可以根据勾股定理求出圆锥的高．【详解】解：扇形弧长为：L=120π×6180 =4πcm，设圆锥底面半径为r，则：2πr=4π ，所以r=2cm，因为圆锥的高与底面半径、圆锥母线构成直角三角形的三边，设圆锥高为h，所以h2+r2=62，即：h2=32，ℎ=42cm，所以圆锥的高为42cm．故选：A【点睛】考查了圆锥的计算．圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．【变式2】（2023春·四川宜宾·九年级校考阶段练习）如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是（　 　）m．A．42 B．515 C．30 D．2【答案】C【分析】连接AO，求出AB的长度，然后求出BC的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，应用勾股定理，求出圆锥的高．【详解】解：连接AO，∵AB=AC，点O是BC的中点，∴AO⊥BC，又∵∠BAC=90°，∴∠ABO=∠ACO=45°，∴AB=2OB=42(m)，∴BC的长为：90π×42180=22πm，∴剪下的扇形围成的圆锥的半径是：22π÷2π=2m，∴圆锥的高为：(42)2−(2)2=30m．故选：C．【点睛】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．【变式3】（2023·云南玉溪·统考三模）如图，如果从半径为9cm的圆形纸片上剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面半径为（   ）  A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】求得扇形的弧长，进而求出圆锥的底面周长，即可求出圆锥的底面半径．【详解】解：∵圆形纸片的半径为9cm，∴圆形纸片的周长=2π×9cm=18πcm，∴剩下扇形的周长=1−13×18π=12π（cm），即2πr=12π，解得：r=6（cm），∴圆锥底面半径为6cm，故选：B．【点睛】本题考查了圆的周长公式，用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长，熟练掌握相关知识点及圆的周长公式是解决本题的关键．考点9：求圆锥侧面展开图的圆心角典例9：（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，用一个圆心角为θ的扇形纸片围成一个底面半径为2，侧面积为8π的圆锥体，则该扇形的圆心角θ得大小为（    ）A．90° B．120° C．150° D．180°【答案】D【分析】根据圆锥侧面积计算公式进行求解即可．【详解】解：设圆锥的母线长为l，∴π⋅θ⋅l180°=4π，∴l=720°θ，∵π⋅2l=8π，∴720°×2πθ=8π，∴θ=180°，故选D．【点睛】本题主要考查了求圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数，熟知圆锥侧面积公式和弧长公式是解题的关键．【变式1】（2021·山东东营·统考中考真题）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图圆心角的度数为（    ）A．214° B．215° C．216° D．217°【答案】C【分析】由已知求得圆锥母线长及圆锥侧面展开图所对的弧长，再由弧长公式求解圆心角的度数．【详解】解：由圆锥的高为4，底面直径为6，可得母线长l=42+32=5，圆锥的底面周长为：π×6=6π，设圆心角的度数为n，则nπ×5180=6π，解得：n=216，故圆心角度数为：216°，故选：C．【点睛】本题主要考查弧长公式的应用，属于基础题．【变式2】（2022·四川遂宁·九年级专题练习）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是（    ）A．4π  60° B．4π  90° C．2π  90° D．8π  60°【答案】B【分析】由三视图先确定几何体为圆锥，利用圆锥侧面积公式计算，根据侧面展开图扇形弧长与底面圆周长列方程，解方程即可．【详解】解：从三视图看几何体为圆锥，母线长为4，底面圆的半径为1，∴圆锥侧面积为：12lR=12×2πrR=π×1×4=4π，∴nπR180°=2πr，∴圆心角为：n=2×180°4=90°．故选择B．【点睛】本题考查三视图还原几何体，圆锥侧面面积与侧面展开图扇形圆心角，掌握三视图还原几何体的方法，熟记圆锥侧面积公式，弧长公式是解题关键．【变式3】（2023·云南西双版纳·统考一模）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳，已知其母线长为10cm，底面半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面展开图的圆心角度数为（）．A．108° B．120° C．144° D．150°【答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图的圆心角度等于rl×360°，即可得到答案．【详解】解：∵12πrl=nπr2360∴n= rl×360°∵母线长为10cm，底面半径为3cm，∴锥侧面展开图的圆心角度=310×360°=108°故选：A．【点睛】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．考点10：圆的相关计算与实际问题典例10：（2022春·九年级课时练习）如图，蒙古包可以近似地看作是由圆锥和圆柱组成，若用毛毡搭建一个底面半径为5米，圆柱高3米，圆锥高2米的蒙古包，则需要毛毡的面积为（    ）A．(30+529)π米2 B．40π米2C．(30+521)π米2 D．55π米2【答案】A【分析】由底面圆的半径＝5米，根据勾股定理求出母线长，利用圆锥的侧面面积公式，以及利用矩形的面积公式求得圆柱的侧面面积，最后求和．【详解】解：∵底面半径=5米，圆锥高为2米，圆柱高为3米，∴圆锥的母线长=52+22=29米，∴圆锥的侧面积=π×5×29=529π，圆柱的侧面积=底面圆周长×圆柱高，即2π×5×3=30π，故需要的毛毡：(30+529)π米2，故选：A．【点睛】此题主要考查勾股定理，圆周长公式，圆锥侧面积，圆柱侧面积等，分别得出圆锥与圆柱侧面积是解题关键．【变式1】（2023春·全国·八年级专题练习）如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（　　）A．3 B．23 C．33 D．3【答案】C【分析】设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长可求出n，然后可判断三角形PAB为等边三角形，再利用等边三角形的性质求出AD即可得．【详解】解：由题意知，底面圆的直径AB=4，故底面周长等于4π．设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得nπ×6180=4π，解得n=120，所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，因为半径PA=PB，∠APB=60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，所以AD⊥PB，在直角三角形PAD中，PA=6，PD=3，根据勾股定理求得AD=33，所以蚂蚁爬行的最短距离为33．故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的相关概念、等边三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，正确理解题意、掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．【变式2】（2022秋·江苏扬州·九年级校联考期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ）A．8 B．11 C．10 D．9【答案】B【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断；【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于：2π×2=nπ•6180, 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． ∴∠DAB=30°, ∵ AB=6，∴ BD=3， ∴AD=62−32=33, ∴  AC=2AD=63，即这根绳子的最短长度是63， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B．【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．【变式3】（2022秋·九年级课时练习）在边长为1的正方形铁皮上剪下一个扇形（率径为R）和一个圆形（率径为r），使之恰好围成一个圆锥．嘉嘉说图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，淇淇说图中剪下的圆和扇形有可能围成一个圆锥，还需要满足条件R=4r，则（  ） 　　A．只有嘉嘉的说法正确 B．只有淇淇的说法正确C．两个人的说法均正确 D．两人的说法均不正确【答案】C【分析】根据图1可知正方形的边长为R，则可求出正方形的对角线长为2R，即R+2r=2R，当扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长时，剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，根据扇形的弧长和圆的周长公式可以得到r=14R，代入R+2r=2R中，即可判断嘉嘉的说法是否正确；图11-2中正方形的边长不再是R，所以不再满足R+2r=2R，根据淇淇所说的，当R=4r时，可得扇形的弧长=2πr，即得到扇形的弧长等于小圆的周长，从而可判断淇淇的说法是否正确．【详解】解：由图1可知正方形的边长为R，∴正方形的对角线=R2+R2=2R，∴R+2r=2R，∵l扇形=90°πR180°=πR2，C小圆=2πr，要使剪下的圆和扇形才可以围成一个圆锥，则扇形的弧长等于底面圆（小圆）的周长，∴πR2=2πr，∴r=14R，将r=14R代入R+2r，得R+2×14R=32R≠2R，∴图1剪下的圆和扇形一定不可以围成一个圆锥，∴嘉嘉说的对，∵图2中正方形的边长不再是R，∴不再满足R+2r=2R，当R=4r时，l扇形=90°πR180°=πR2=π·4r2=2πr，∵C小圆=2πr，∴l扇形= C小圆，∴淇淇说的对故选C．【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，圆锥的侧面展开图．关键是理解扇形的弧长等于圆锥底面周长． 同步过关一、单选题1．（2022春·九年级课时练习）如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，OA=2，则阴影部分的面积是（  ）A．2 B．πC．2π D．π−2【答案】D【分析】利用阴影部分的面积等于扇形面积减去△AOB的面积即可求解.【详解】S阴影=S扇形OAB−S△AOB =nπr2360−12AO·OB =90·π·22360−12×2×2 =π−2故选D【点睛】本题主要考查扇形面积和三角形面积，掌握扇形面积公式是解题的关键.2．（2022秋·湖南长沙·九年级长沙麓山外国语实验中学校考阶段练习）如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（　　）A．15πcm2 B．20πcm2 C．9πcm2 D．25πcm2【答案】A【分析】根据圆锥的侧面积公式：S=πrl进行计算即可．【详解】解：S=πrl=5×3π=15π；故选A．【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键．3．（2022秋·辽宁大连·九年级校考期末）如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（ ）A．30cm2 B．30πcm2 C．60πcm2 D．120cm2【答案】C【详解】解：由勾股定理计算出圆锥的母线长=62+82，圆锥漏斗的侧面积=12×2π×6×10=60π．故选C．考点：圆锥的计算4．（2023春·全国·九年级专题练习）如图，一块含有30°角的直角三角板ABC，在水平桌面上绕点C接顺时针方向旋转到A′B′C′的位置，若BC=15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（　　　）A．10πcm B．30πcm C．15πcm D．20πcm【答案】D【分析】顶点A从开始到结束所经过的路径是一段弧长是以点C为圆心，AC为半径的圆弧，旋转的角度是180-60＝120，所以根据弧长公式可得．【详解】解：在含有30°角的直角三角板ABC中，∠ACB=60°，BC=15cm，∴∠ACA′=120°，AC=2BC=30cm，∴120π×30180=20πcm，故选：D．【点睛】本题考查轨迹，弧长公式，解题的关键是弄准弧长的半径和圆心角的度数．5．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，把一块含45°的直角三角板的一个锐角顶点A放在半径为4的⊙O上，边AB、AC分别与⊙O交于点E、点D，则位于三角板内部的弧DE的长度为（    ）A．π B．2π C．4π D．8π【答案】B【分析】连接OD，OE，根据题意和圆周角定理得∠DOE=90°，根据弧长公式进行计算即可得．【详解】解：如图所示，连接OD，OE，∵在⊙O中，∠A=45°，半径为4，∴∠DOE=2∠A=90°，∴位于三角板内部的弧DE的长度为：4×90°π180°=2π，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．6．（2022秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，圆锥的底面半径R=3dm，母线l=5dm，AB为底面直径，C为底面圆周上一点，∠COB=150∘，D为VB上一点，VD=3dm，现在有一只蚂蚁，沿圆锥表面从点C爬到点D，则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）A．32dm B．42dm C．152dm D．27dm【答案】D【分析】首先得到弧BC的长，然后求得弧BC所对的圆心角的度数，从而得到直角三角形，利用勾股定理求得CD的长即可．【详解】解：如图：∵BC=150⋅π⋅3180=52π，∴设弧BC所对的圆心角的度数为n，∴52π=n⋅π⋅5180，解得n=90°，∴∠CVD=90°，∴CD=VC2+VD2=52+32=27．故选：D．【点睛】求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度．解题的关键是理解并掌握圆锥的弧长等于底面周长．7．（2022·九年级单元测试）圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（    ）A．90° B．100° C．120° D．150°【答案】C【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得．【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是n°，由题意得：n⋅3π180=2π×1，解得n=120，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是120°，故选：C．【点睛】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．8．（2023春·江苏南通·九年级校联考阶段练习）用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为（ ）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【详解】分析：∵底面周长是6π cm，∴根据圆的周长公式，得底面半径为3cm．∵圆锥中底面半径，圆锥的高和圆锥的母线构成直角三角形，又圆锥的高是4 cm，∴根据勾股定理得，圆锥的母线为5cm．∵根据圆锥与扇形的关系，圆锥的母线等于扇形的半径．∴扇形的半径为5cm故选B．9．（2022秋·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在4×4的方格中，每个小方格都是边长为1的正方形，O、A、B分别是小正方形的顶点，则AB的长度为（    ）A．π B．2π C．2π D．4π【答案】B【分析】根据正方形的性质得，∠AOB=90°,OA=OB，所以弧AB的长度等于以点O为圆心、OA为半径的圆的周长的14，求解即可得.【详解】由正方形的性质得，∠AOB=90°,OA=OB=22以点O为圆心、OA为半径的圆的周长为L=2π⋅OA=42π由∠AOB=90°得，弧AB的长度等于14L=2π.故答案为：B.【点睛】本题考查了圆的周长和弧长的计算、以及正方形的性质.构建一个圆，并得出弧AB的长度与圆的周长的关系是解题关键.10．（2022秋·安徽芜湖·九年级芜湖市第二中学校考期末）如图，△ABC的三个顶点都在4×5的网格（每个小正方形的边长为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A1BC1的位置，且点A1、C1仍落在格点上，则图中阴影部分的面积是（　　）A．9π4 B．13−22π C．π D．13π4【答案】A【分析】根据勾股定理求出BC=2，A1B=13，AC=3，再根据扇形的面积公式求出扇形ABA1和扇形CBC1的面积，进而求出阴影部分的面积．【详解】解：根据题意，可得BC=2，AC=3，根据勾股定理得：A1B=13，∠CBC1=90°，∠ABA1=90°，S扇形ABA1=90π（13）2360=134π，S扇形CBC1=90π22360=π，S阴影=S扇形ABA1-S扇形CBC1=134π-π=94π，故选A．【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算以及勾股定理的知识，解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式，此题难度不大二、填空题11．（2023·广东广州·统考二模）圆锥的侧面积为20π，母线长为5．则这个圆锥的底面半径为 ．【答案】4【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．【详解】解：设底面半径为R，则底面周长=2πR，圆锥的侧面积=12×2πR×5=5πR=20π，∴R=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了圆锥的底面半径，利用圆锥侧面积公式求解是解题的关键．12．（2023春·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨风华中学校考阶段练习）半径为5cm的圆中，若扇形面积为25π3cm2，则它的圆心角为 ．【答案】120°【分析】根据扇形的面积公式即可得出答案．【详解】根据题意可知该扇形的半径为5cm，∴由扇形的面积公式可知，253π=nπ×52360，解得：n=120°．故答案为：120°．【点睛】本题考查扇形的面积公式．掌握扇形的面积公式为S=nπr2360是解答本题的关键．13．（2022秋·九年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ABC=90° ，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1,E是BC上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．若∠A=60°，⊙O的半径为2，则阴影部分的面积是 ． (结果保留根号和π)【答案】23−23π【分析】先根据切线的判定定理证得AC是⊙O的切线，由∠A=60°得到∠C=30°，∠DOC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得CD=23，然后利用S阴影=S△COD−S扇形DOE和扇形的面积公式求解．【详解】连接OD，∵OD=OB，∴∠1=∠ODB，∴∠DOC=∠1+∠ODB=2∠1，∵∠A=2∠1，∴∠DOC=∠A，∵∠A+∠C=90°，∴∠DOC+∠C=90°，∴OD⊥DC，∴AC是⊙O的切线；∵∠A=60°，∴∠C=30°，∠DOC=60°，在Rt△DOC中，OD=2，∴CD=3OD=23，∴S阴影=S△COD−S扇形DOE=12OD⋅CD−nπr2360=12×2×23−60π×22360=23−2π3．故答案为：23−2π3．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．14．（2023·云南·九年级统考学业考试）已知⊙O的半径为6,弦AB与半径相等,则用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为 ．【答案】1或5.【分析】先证明△AOB为等边三角形，则∠AOB=60°，设用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为r，由于可以用大扇形和小扇形围成圆锥，所以根据弧长公式得到2πr=60π×6180或2πr=300π×6180,然后分别解关于r的方程即可．【详解】解：∵OA=OB=AB=6， ∴△AOB为等边三角形， ∴∠AOB=60°， 设用扇形OAB围成的圆锥的底面半径为r， ∴2πr=60π×6180或2πr=300π×6180, ∴r=1或r=5． 故答案为1或5．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．掌握以上知识是解题的关键．15．（2022秋·九年级单元测试）高为4，底面半径为3的圆锥，它的侧面展开图的面积是 ．【答案】15π【分析】利用勾股定理先求得母线的长，再利用圆锥侧面积计算公式即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径、高和母线构成直角三角形，已知，底面半径是3，高是4，∴根据勾股定理得母线长为5．∵圆锥的底面周长等于它的侧面展开图的弧长，而圆锥的底面周长=2×3π=6π，∴根据扇形的面积公式，侧面展开后所得扇形的面积是：12×6π×5=15π．故答案为：15π【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算．注意圆锥侧面展开图的半径是圆锥的母线长，不能认为是圆锥的底面半径.16．（2022·广西贵港·统考二模）如图，以半⊙O上的点A为圆心，AB为半径作扇形ABC．线段AC交弧AB的中点于D，若AB=4，则阴影部分面积S= （结果保留π）．【答案】2π−4【分析】连接OD，根据题意，可知ΔODA是等腰直角三角形，可得∠DAO=45°，∠AOD=90°,DO=AO=2，再根据图形可知阴影部分的面积是扇形CAB的面积减去空白部分BAD的面积再加扇形AOD的面积减△AOD的面积，然后代入数据计算即可．【详解】连接OD，∵D为半圆所对的AB的中点，AB=4，∴DO⊥AB，∵OA=OD，∠DOA=90°，∴ΔODA是等腰直角三角形，∴∠DAO=45°，∠AOD=90°,DO=AO=2，∴阴影部分面积S=45π×42360−90π×22360−12×2×2+90π×22360−12×2×2=2π−4，故答案为：2π−4．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确扇形面积的计算公式，利用数形结合的思想解答．三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是80cm，母线长是50cm，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？【答案】100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算．【详解】解：圆锥形的烟囱帽的侧面积=12•80π•50=2000π（cm2），100×2000π=200000π（cm2）=20π（m2）答：100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮．【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．18．（2022秋·全国·九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）2-π2【分析】（1）若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与半径垂直，故连接OE，证明OE∥AD即可；（2）根据等腰直角三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论．【详解】解：（1）连接OE．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA，又∵∠DAE＝∠OAE，∴∠OEA＝∠DAE，∴OE∥AD，∴∠ADC＝∠OEC，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°，故∠OEC＝90°．∴OE⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）∵∠C＝45°，∴△OCE是等腰直角三角形，∴CE＝OE＝2，∠COE＝45°，∴阴影部分面积＝S△OCE﹣S扇形OBE＝12×2×2﹣45π×22360＝2﹣π2．【点睛】本题综合考查了圆与三角形，涉及了切线的判定、等腰三角形的性质、扇形的面积，灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.19．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2，3)，B(-4，1)，C(-1，2)．（1）画出以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A'B'C'（2）求点C在旋转过程中所经过的路径的长．【答案】（1）见解析；（2）5π2【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点O顺时针旋转90∘后的对应点的位置，然后顺次连接即可．（2）在旋转过程中，C所经过的路程为下图中扇形COC′的弧长，即利用扇形弧长公式计算即可．【详解】（1）如图，连接OA、OB、OC并点O为旋转中心，顺时针旋转90°得到A'、B'、C'，连接A'B'、B'C' 、A'C'，△A'B'C'就是所求的三角形．（2）C在旋转过程中所经过的路程为扇形COC′的弧长；所以l=nπr180=90π×5180=5π2【点睛】本题考查了旋转作图以及扇形的弧长公式l=nπr180的计算，作出正确的图形是解本题的关键．20．（2022秋·江苏扬州·九年级校考期末）如图，在10×10的网格中，有一格点△ABC(说明：顶点都在网格线交点处的三角形叫做格点三角形).(1)将△ABC先向右平移5个单位，再向上平移2个单位，得到△A'B'C'，请直接画出平移后的△A'B'C'；(2)将△A'B'C'绕点C'顺时针旋转90°，得到△A''B''C'，请直接画出旋转后的△A''B''C'；(3)在(2)的旋转过程中，求点A'所经过的路线长(结果保留π).【答案】（1）见解析，（2）见解析，（3）132π【分析】（1）将三个顶点分别向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到对应点，再首尾顺次连接即可得；（2）作出点A′，B′绕点C顺时针旋转90°得到的对应点，再首尾顺次连接可得；（3）根据弧长公式计算可得．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′即为所求．（2）如图所示，△A″B″C′即为所求．（3）∵A′C′＝22+32＝13，∠A′C′A″＝90°，∴点A′所经过的路线长为90·π·13180＝132π，故答案为132π．【点睛】本题主要考查作图﹣旋转变换和平移变换，解题的关键是熟练掌握旋转和平移变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点，也考查了弧长公式．21．（2022秋·广东·九年级阶段练习）如图，一个圆锥的高为,侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径与母线之比；（2）圆锥的全面积．【答案】详见解析【详解】试题分析：（1）由题意可知：圆锥的底面周长等于圆锥的弧长，由此可得，化简可得：.（2）首先根据勾股定理可求得圆锥的底面半径和圆锥的母线的长度，然后利用圆锥的侧面积即展开图的半圆面积加上圆锥的底面积即可求出圆锥的全面积.试题解析：解：（1）由题意可知∴，∴（2）在中，∵∴∴∴∴∵∴，∴∴考点：圆锥的全面积的计算.22．（2023·湖南衡阳·统考三模）如图，在RtΔABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线AD交BC边于点D．以AB上一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D．（1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC=3，∠B=30°．①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的面积．（结果保留根号和π）【答案】（1）相切，理由见解析；（2）①2；②23−2π3【分析】（1）连接OD，根据平行线判定推出OD∥AC，证明OD⊥BC，根据切线的判定即可证明；（2）①根据含有30°角的直角三角形的性质得出OB=2OD=2r，从而求得半径r的值；②根据S阴影=S△BOD-S扇形ODE求出即可.【详解】解：（1）相切，理由如下：如图，连接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠BAD，∴∠ODA=∠CAD，∴OD//AC，∵∠C=90°，∴OD⊥BC，∴BC与⊙O相切；（2）①在RtΔACB和RtΔODB中，∵AC=3，∠B=30°，∴AB=6，OB=2OD，∵OA=OD=r，∴OB=2r，∴2r+r=6，解得r=2，即⊙O的半径是2；②在Rt△ACB中，∠B=30°，∴∠BOD=60°，∴S扇形ODE==60π⋅22360=23π，∵∠B=30°，OD⊥BC，∴OB=2OD，∴AB=3OD，∵AB=2AC=6，∴OD=2，BD=23，S△BOD=12OD⋅BD=23，S阴影=S△BOD-S扇形ODE=23−2π3.【点睛】本题是对圆知识的考查，熟练掌握圆的切线，扇形的面积公式是解决本题的关键.23．（2022秋·山东烟台·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，AB=18cm,AD=12cm，以AB上一点O为圆心，OB长为半径画BF恰与DC边相切，交AD于F点，连结OF，若将这个扇形OBF围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S．【答案】16πcm2【分析】连接EO，可得扇形的半径12cm，利用相应的三角函数可求得扇形的圆心角，进而得出底面圆的半径，代入圆的面积公式即可．【详解】解：连接EO，∵BF恰与DC边相切，∴EO⊥DC，∴EO＝BC＝BO＝FO＝12cm，AO＝AB﹣OB＝18﹣12＝6cm，∴Rt△OFA中，cos∠FOA＝AOFO＝12，∴∠FOA＝60°，∴∠FOB＝120°，∴弧BF长l＝120π×12180=8π，圆锥的底面圆周长2πr＝8π，∴r＝4（cm）．∴S＝πr2＝16π（cm2）．．【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答此题需熟练圆锥侧面展开图与扇形关系，得出FO＝EO＝BO是解题关键．24．（2023春·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆上的一点，CD与OC所在的直线互相垂直，AD⊥CD于点D，交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若点E为弧AC的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)S阴影=38【分析】（1）连接OC，根据已知条件得出OC∥AD，则∠DAC=∠ACO，根据等边对等角得出∠CAO=∠ACO，等量代换得出∠DAC=∠CAO，即可得证；（2）连接OE，EC，得出四边形OAEC为菱形，进而得出△OCE为等边三角形，根据S弓形AE=S弓形EC，得出S阴影=S△DCE，即可求解．【详解】（1）证明：连接OC， ∵OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠ACO，∴∠DAC=∠CAO，∴AC平分∠DAB；（2）解：连结OE，EC，∵E为弧AC的中点，∴AE=EC，S弓形AE=S弓形EC，∴∠DAC=∠ECA，∵∠DAC=∠OAC，∴∠ECA=∠OAC，∴EC∥OA，而OC∥AE，∴四边形OAEC为平行四边形，而OA=OC，∴四边形OAEC为菱形，∴CE=OC=OE=1，∴△OCE为等边三角形，∴∠COE=∠OCE=60°，而∠DCO=90°，∴∠DCE=30°，在Rt△DCE中，CE=1，∴DE=12CE=12，DC=3DE=32，∴S△DCE=12×12×32=38，∵S弓形AE=S弓形EC，∴S阴影=S△DCE=38．【点睛】本题考查了圆的相关定义，弧与弦的关系，菱形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟练运用以上知识是解题的关键．25．（2022秋·浙江·九年级期末）如图，⊙O中，AB=AC，∠ACB=75°，BC=1．（1）求BC的长；（2）求阴影部分的面积．【答案】（1）π3；（2）12+π6．【分析】（1）连接BO，CO，根据AB=AC和∠ACB=75°可算出∠BAC=30°，再根据圆周角定理得到∠BOC=60°，从而得到△BOC是等边三角形，然后得到半径为1，再利用弧长公式计算BC即可；（2）过O作OD⊥BC，连接OA，然后根据AB=AC可得O，A，D三点共线，根据图形可分析S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC，然后计算各个图形面积即可．【详解】解：（1）如图，连接BO，CO，∵AB=AC，∠ACB=75°，∴∠BAC=30°，∴∠BOC=60°，∴△BOC是等边三角形，∴BO=BC=1，∴BC⌢l=60×π×1180=π3；（2）如图，过O作OD⊥BC，连接OA，∵AB=AC，OD⊥BC，∴O，A，D三点共线，BD=12BC，∴AD⊥BC，由图可知：S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC，在Rt△BOD中OD=BO2−BD2=32，∴AD=1+32，∴S阴影=S△ABC+S扇形BOC−S△BOC=12AD·BC+60π360−12OD·BC=12×(1+32)+π6−12×32=12+π6【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式和弧长计算公式，圆周角定理等内容，解题的关键是能够得到阴影部分面积的计算方法．