人教版九年级数学上册重难考点02切线的证明与相关计算通关专练特训(原卷版+解析)

这是一份人教版九年级数学上册重难考点02切线的证明与相关计算通关专练特训(原卷版+解析)，共45页。
微专题02 切线的证明与相关计算通关专练 一、单选题1．（2022秋·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，已知PA与⊙O相切于点A，∠P=22°，则∠POA=（    ）A．55° B．58° C．68° D．88°3．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（　　）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（    ）A．20° B．30° C．40° D．50°5．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于A点，∠P=20°，则∠POA=（    ）A．20° B．35° C．70° D．140°6．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心，其中正确结论是（   ）A．①③ B．② C．③ D．②③7．（2022·全国·九年级假期作业）如图，过⊙O 上一点 A 作⊙O 的切线，交直径 BC 的延长线与点 D，连接 AB，若∠B＝25°，则∠D 的度数为(     )A．25° B．40° C．45° D．50°8．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BC；正确的有（    ）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④9．（2023·九年级课时练习）如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P=30°，则当∠ACP=（    ）时，直线PA是⊙O的切线．A．20° B．30° C．15° D．25°10．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，PA，PB，CD分别与同一段圆弧AB相切于点A，B，E，若∠P＝60°，△PCD的周长为43，则AB的长度为（    ）A．83π B．43π C．23π D．13π11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（    ）A．26° B．48° C．38° D．52°12．（2023春·九年级单元测试）如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA=4，PB=2，则⊙O的半径等于（   ）A．3 B．4 C．6 D．813．（2022春·九年级课时练习）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，点D是BC的中点，则∠OAD的大小为（　　）A．5° B．10° C．15° D．20°14．（2022秋·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠CAB=30°，AB=23，则OC的长度为（　　）A．23 B．2 C．43 D．415．（2023春·九年级课时练习）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D．下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有(  )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题16．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC= cm．17．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，C是⊙O上一点，且∠C＝56°，则∠A的度数为 ．18．（2022秋·四川南充·九年级统考期末）如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=50°，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则∠DOE= 度．19．（2023·江苏南京·九年级阶段练习）如图所示，PM切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点E为圆上一点，若BE∥AO,∠EAO=30°，若⊙O的半径为1，则AP的长为 ．20．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 度．21．（2022秋·九年级课时练习）已知直线CD与圆O相切于点C，AB为直径，若∠BCD= 40°，则∠ABC的大小等于度 ．22．（2023·江苏南京·统考二模）如图，两个同心圆，小圆半径为2，大圆半径为4，一直线与小圆相切，交大圆于A、B两点，则AB的长为 ．23．（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B=35°，则∠DAC的度数是 度．24．（2023·江苏·校考中考模拟）△ABC中，∠A=40°，若点O是△ABC的外心，则∠BOC= °；若点I是△ABC的内心，则∠BIC= °．25．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积= ．三、解答题26．（2023春·九年级课时练习）如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．27．（2023·吉林长春·校考一模）如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为AD与OC的交点，连结OD．已知CE=5，求线段CD的长．28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，点D是△ABC外接圆的圆心，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度数．29．（2023·湖南永州·校联考三模）在RtΔABC中，∠ACB=90ο，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF=12，⊙O的半径为10，求CE的长．30．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F．(1)求证：CD与⊙O相切．(2) AF=8，EF=210，求⊙O的半径．31．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求CE的长．32．（2022·山西晋中·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=BC，CD交AB于点E，∠BOD=120°．(1)求∠BEC的度数；(2)若DF是⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，AC=22．直接写出图中阴影部分的面积．33．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝4，⊙O的直径为10，求BD的长度．34．（2022秋·新疆喀什·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．(1)试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若直径BD=12，∠ACB=30°，求弦BE的长．35．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，点E在AB的延长线上，∠ECB=∠DAC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD=5，∠E=30°，求⊙O的半径．微专题02 切线的证明与相关计算通关专练 一、单选题1．（2022秋·北京西城·九年级北师大实验中学校考阶段练习）如图，OA交⊙O于点B，AD切⊙O于点D，点C在⊙O上．若∠A＝40°，则∠C为（　　）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】根据切线的性质得到∠ODA＝90°，根据直角三角形的性质求出∠DOA，根据圆周角定理计算即可．【详解】解：∵AD切⊙O于点D∴OD⊥AD∴∠ODA=90°∵∠A=40°∴∠DOA=90°−40°=50°∴∠BCD=12∠DOA=25°故选：B【点睛】本题考查了切线的性质：圆心与切点的连线垂直切线、圆周角定理以及直角三角形两锐角互余的性质，结合图形认真推导即可得解．2．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）如图，已知PA与⊙O相切于点A，∠P=22°，则∠POA=（    ）A．55° B．58° C．68° D．88°【答案】C【分析】根据切线的性质求出∠OAP=90°，结合∠P=22°可得结果．【详解】解：∵PA与⊙O相切，∴∠OAP=90°，∵∠P=22°，∴∠POA=90°−22°=68°，故选C．【点睛】本题考查了切线的性质，解题的关键是掌握切线与过切点的半径垂直．3．（2022秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，则∠D等于（　　）A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】D【分析】连接OC，则∠OCD=90°，先求得∠COD=50°，进而求得∠D【详解】连接OC,则OA=OC,∠OCD=90°，又∵∠CAO=25°，∴∠ACO=∠CAO=25°，∴∠COD=50°，∴∠D=90°−∠COD=90°−50°=40°,故选择：D【点睛】本题考查了圆的切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知⊙O上三点A、B、C，连接AB、AC、OB、OC，切线BD交OC的延长线于点D，∠A=25°，则∠D的度数为（    ）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据切线的性质得∠OBD=90°，再根据圆周角定理得到∠BOC=50°，然后利用互余计算出∠D的度数．【详解】解：∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∵∠BOC=2∠A=2×25°=50°，∴∠D=90°-∠BOD=90°-50°=40°．故选：C．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．5．（2022秋·江苏·九年级专题练习）如图，PA与⊙O相切于A点，∠P=20°，则∠POA=（    ）A．20° B．35° C．70° D．140°【答案】C【分析】根据切线的性质可知∠A=90°，再结合三角形内角和定理即可求出∠POA=70°．【详解】∵PA与⊙O相切于A点，∴∠A=90°，∴∠POA=90°−∠P=90°−20°=70°．故选C．【点睛】本题考查切线的性质和三角形内角和定理．掌握圆的切线垂直于这个圆过切点的半径是解题关键．6．（2022秋·广东广州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心，其中正确结论是（   ）A．①③ B．② C．③ D．②③【答案】D【分析】连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AEP为直角，再由一对公共角，得到三角形APE与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APE等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CF，利用垂径定理得到A为弧CF的中点，得到两条弧相等，再由C为弧AD的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确．【详解】解：∵在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，∴弧AC=弧CD不一定等于弧BD，∴∠BAD不一定等于∠ABC，选项①错误；连接BD，延长CE交⊙O于F，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为弧CF的中点，即弧AF=弧AC，又C为弧AD的中点，∴弧AC=弧CD，∴弧AF=弧CD，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；故选：D．【点睛】此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．7．（2022·全国·九年级假期作业）如图，过⊙O 上一点 A 作⊙O 的切线，交直径 BC 的延长线与点 D，连接 AB，若∠B＝25°，则∠D 的度数为(     )A．25° B．40° C．45° D．50°【答案】B【分析】连接OA．由圆周角定理求得∠DOA=50°，接下来，由切线的性质可证明∠OAD=90°，最后在△OAD中依据三角形内角和定理可求得∠D的度数．【详解】解：连接OA．∵∠B=25°．∴∠DOA=2∠B=50°．∵AD是⊙的切线，∴∠OAD=90°．∴∠D=180°-90°-50°=40°．故选B．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角的性质、三角形的内角和定理，求得∠DOC和∠OCD的度数是解题的关键．8．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级校考阶段练习）如图，△ABC 中，BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB、AC 相交于点 M、N，且 MN∥BC，那么下列说法中：①∠MOB＝∠MBO②△AMN 的周长等于 AB+AC；③∠A＝2∠BOC﹣180°；④连接 AO，则S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BC；正确的有（    ）A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据角平分线的定义可得∠ABO=∠CBO,根据两直线平行,内错角相等可得∠CBO=∠BOM,从而得到∠ABO=∠BOM,再根据等角对等边可得BM=OM,同理可得CN=ON,然后即可求出ΔAMN的周长=AB+AC，由ΔABC、ΔBOC内角和为180o，及BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB可得∠A＝2∠BOC﹣180o,可得点O为ΔABC的内心，可得S△AOB：S△AOC：S△BOC＝AB：AC：BC，可得答案.【详解】解：∵BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，∴∠ABO=∠CBO∵ MN∥BC，∴∠CBO=∠BOM，∴∠MOB＝∠MBO，故①正确；∴BM=OM，同理CN=ON，∴△AMN 的周长等于 AB+AC，故②正确；∵由ΔABC、ΔBOC内角和为180o∴∠A+∠ABC+∠ACB=180o,即：∠A+2(∠OBC+∠OCB)=180o,∴∠OBC+∠OCB+∠BOC=180o,即∠OBC+∠OCB=180o-∠BOC,可得：∠A＝2∠BOC﹣180°，故③正确；由题意得：点O为ΔABC的内心，设内切圆半径为r，可得S△AOB：S△AOC：S△BOC＝12×r×AB：12×r×AC：12×r×BC= AB：AC：BC，故④正确故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质,三角形内角和定理及三角形的内心，综合性大.9．（2023·九年级课时练习）如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，∠P=30°，则当∠ACP=（    ）时，直线PA是⊙O的切线．A．20° B．30° C．15° D．25°【答案】B【分析】连接OA，当∠ACP=30°时，根据三角形内角和和等腰三角形的性质得出∠OAP＝90°，即可证明直线PA是⊙O的切线．【详解】解：当∠ACP=30°时，直线PA是⊙O的切线．证明：连接OA．∵∠P＝30°，∠ACP=30°，∴∠PAC＝120°；∵OA＝OC，∴∠ACP=∠OAC=30°，∴∠OAP=∠PAC−∠OAC=90°，即OA⊥PA，∴直线PA是⊙O的切线．故选：B【点睛】本题考查了切线的判定，解题关键是熟记切线的判定定理，连接半径进行证明推理．10．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，PA，PB，CD分别与同一段圆弧AB相切于点A，B，E，若∠P＝60°，△PCD的周长为43，则AB的长度为（    ）A．83π B．43π C．23π D．13π【答案】B【分析】设圆弧AB的圆心为O，连接OA，OB，由切线长定理及△PCD的周长得出PA＝23，求出∠AOB＝120°，由弧长公式可得出答案．【详解】解：设圆弧AB的圆心为O，连接OA，OB，∵PA，PB都是圆O的切线，∴PA＝PB，∠OAP＝∠OBP＝90°，同理AC＝CE，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PC＝PC+CA+DB+PD＝PA+PB＝43，∴PA＝23；连接PO，∵∠APB＝60°，∴∠APO＝30°，∠AOP＝60°，∴∠AOB＝120°，AO＝AP×tan∠APO＝23×33＝2，∴AB的长为120×π×2180=43π故选B．【点睛】本题主要考查了切线长定理，弧长公式，特殊角三角函数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.11．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（    ）A．26° B．48° C．38° D．52°【答案】C【分析】连接OC，根据等腰三角形的性质可得∠DOC=2∠A，根据切线的性质可知∠D和∠DOC互余，进而求得∠D的度数．【详解】解：连接OC，如图所示∵AB是⊙O直径∴OC=OA∵△AOC是等腰三角形∴∠A=∠OCA∵∠A=26°∴∠OCA=26°∴∠DOC=2∠D=52°∵DC且⊙O于点C∴∠D=90°−52°=38°故答案为：C【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，圆的切线性质等相关知识点，熟练掌握圆的切线性质是解题的关键．12．（2023春·九年级单元测试）如图，BC为⊙O的直径，P为CB延长线上的一点，过P作⊙O的切线PA，A为切点，PA=4，PB=2，则⊙O的半径等于（   ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】设圆的半径是x，则OA=OB=x，利用切线的性质得到△OAP是直角三角形，根据勾股定理解答即可．【详解】解：连接OA．设圆的半径是x，则OA=OB=x．∵PA切⊙O于点A，OA是半径，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，∴PA2+OA2=OP2，∴42+x2=(x+2)2，解得：x=3．故选A．【点睛】本题考查了切线的性质和勾股定理．掌握切线的性质是解答本题的关键．13．（2022春·九年级课时练习）如图，已知△ABC内接于⊙O，∠ABC＝45°，∠C＝65°，点D是BC的中点，则∠OAD的大小为（　　）A．5° B．10° C．15° D．20°【答案】B【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，得到∠OAB的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，根据圆周角定理求出∠BAD，结合图形计算，得到答案．【详解】解：连接OB，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=130°，∵OA=OB，∴∠OAB=12×（180°-130°）=25°，∵∠ABC=45°，∠C=65°，∴∠BAC=180°-45°-65°=70°，∵点D是BC的中点，∴∠BAD=∠CAD=35°，∴∠OAD=∠BAD-∠OAB=10°，故选：B．【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、三角形内角和定理是解题的关键．14．（2022秋·九年级单元测试）如图，AB是⊙O的弦，AO的延长线交过点B的⊙O的切线于点C，如果∠CAB=30°，AB=23，则OC的长度为（　　）A．23 B．2 C．43 D．4【答案】D【分析】连接OB，作OH⊥AB于H，根据垂径定理求出AH，根据余弦的定义求出OA，根据切线的性质定理得到∠OBC=90°，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：连接OB，作OH⊥AB于H，则AH=HB=12AB=3，在Rt△AOH中，OA=AHcos∠A=332=2，∠BOC=2∠A=60°，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC=90°，∴∠C=30°，∴OC=2OB=4，故选D．【点睛】本题考查的是切线的性质、垂径定理、圆周角定理，掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．15．（2023春·九年级课时练习）如图，PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D．下列关系：①PA=PB；②∠ACO=∠DCO；③∠BOE和∠BDE互补；④△PCD的周长是线段PB长度的2倍.则其中说法正确的有(  )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】根据切线长定理可知PA=PB，故①正确；同理可知CA=CE，可知CO为∠ACE的角平分线，所以∠ACO=∠DCO，故②正确；同理可知DE=BD，由切线的性质可知∠OBD=∠OED=90°，可根据四边形的内角和为360°知∠BOE+∠BDE=180°，即∠BOE和∠BDE互补，故③正确；根据切线长定理可得CE=CA，BD=DE，而△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=2PB，故④正确.故选D.二、填空题16．（2022秋·广东广州·九年级广州市第二中学校考阶段练习）如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OP，AB，设OP与AB相交于点C，若∠APB=60°，OC=2cm，则PC= cm．【答案】6【分析】由切线长定理可知PA=PB，由垂径定理可知OP垂直平分AB，所以OP平分∠AOB，可得∠APO=30°,利用直角三角形30度角的性质可得OA、OP的长，OP−PC即可.【详解】解：∵PA，PB是⊙O的两条切线∴PA=PB，∴∠OAP=90° 由垂径定理可知OP垂直平分AB，∴OP平分∠AOB，∠ACO=90° ∴∠APO=12∠AOB=30°∴∠AOC=60° ∴∠OAC=30°在RtΔOAC中，OA=2OC=4在RtΔOAP中，OP=2OA=8∴OP−PC=8−2=6故答案为：6【点睛】本题主要考查了圆的性质与三角形的性质，涉及的知识点主要有切线长定理、垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质，灵活的将圆与三角形相结合是解题的关键.17．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）如图，AB与AD是⊙O的切线，切点分别是B、D，C是⊙O上一点，且∠C＝56°，则∠A的度数为 ．【答案】68°．【分析】连接OB、OD，由切线的性质可得∠OBA=∠ODA=90°，再利用圆周角定理求得∠BOD的度数，在四边形ABOD中由四边形的内角和可求得∠A．【详解】解：连接OB、OD，由切线的性质可得∠OBA＝∠ODA＝90°，∵∠C＝56°，∴∠BOD＝2∠C＝112°，在四边形ABOD中，∠A+∠ABO+∠BOD+∠ODA＝360°，∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣112°＝68°，故答案为68°．【点睛】本题考查切线的性质，利用圆周角定理求得∠BOD的度数再利用四边形的内角和求∠A是解题的关键18．（2022秋·四川南充·九年级统考期末）如图，过⊙O外一点P，作射线PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠P=50°，点C在劣弧AB上，过点C作⊙O的切线分别与PA，PB交于点D，E．则∠DOE= 度．【答案】65【分析】连接OA，OC，OB，根据四边形内角和可得∠AOB=130°，依据切线的性质及角平分线的判定定理可得DO平分∠ADC，EO平分∠BEC，再由各角之间的数量关系可得∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，根据等量代换可得∠DOE=12∠AOB，代入求解即可．【详解】解：如图所示：连接OA，OC，OB，∵PA、PB、DE与圆相切于点A、B、E，∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，∵∠P=50°，∴∠AOB=180°−∠P=130°，∵OA=OB=OC，∴DO平分∠ADC，EO平分∠BEC，∴∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，∴∠AOD=∠COD，∠COE=∠BOE，∴∠DOE=∠COD+∠COE=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=65°，故答案为：65．【点睛】题目主要考查圆的切线的性质，角平分线的判定和性质，四边形内角和等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．19．（2023·江苏南京·九年级阶段练习）如图所示，PM切⊙O于点A，PO交⊙O于点B，点E为圆上一点，若BE∥AO,∠EAO=30°，若⊙O的半径为1，则AP的长为 ．【答案】3【分析】根据平行线性质求出∠E，根据圆周角定理求出∠AOP＝60°，解直角三角形求出即可．【详解】∵BE∥AO，∠EAO＝30°，∴∠E＝∠OAE＝30°，∴∠AOP＝2∠E＝60°，∵PM切⊙O于点A，∴∠OAP＝90°，∴AP＝OA×tan∠AOP＝1×tan60°＝3，故答案为3.【点睛】本题考查了解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，能求出∠AOP＝60°和∠PAO＝90°是解此题的关键．20．（2022秋·湖北武汉·九年级武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考阶段练习）已知O、I分别是△ABC的外心和内心，∠BIC＝125°，则∠BOC的大小是 度．【答案】140【分析】作ΔABC的外接圆，根据三角形内心的性质可得：∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，再由三角形内角和定理得出：∠A=70°，最后根据三角形外心的性质及圆周角定理即可得．【详解】解：如图所示，作ΔABC的外接圆，∵点I是ΔABC的内心，∴BI，CI分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∵∠BIC=125°，∴∠IBC+∠ICB=180°−125°=55°，∴∠ABC+∠ACB=2∠IBC+∠ICB=110°，∴∠A=70°，∵点O是ΔABC的外心，∴∠BOC=2∠A=140°，故答案为：140．【点睛】题目主要考查三角形内心与外心的性质，三角形内角和定理等，理解题意，熟练掌握三角形内心与外心的性质是解题关键．21．（2022秋·九年级课时练习）已知直线CD与圆O相切于点C，AB为直径，若∠BCD= 40°，则∠ABC的大小等于度 ．【答案】50°/50度【分析】连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，然后进行计算即可．【详解】连接OC，如图所示：∵直线CD与圆O相切于点C，∴OC⊥CD，∴∠OCD=90°，又∵∠BCD= 40°，∴∠OCB=50°．∵OC、OB都为圆O的半径，即OC=OB，∴∠ABC=∠OCB=50°，故答案是：50°．【点睛】本题考查了切线的性质和运用了等腰三角形等边对等角，解决本题的关键是正确的做出辅助线．22．（2023·江苏南京·统考二模）如图，两个同心圆，小圆半径为2，大圆半径为4，一直线与小圆相切，交大圆于A、B两点，则AB的长为 ．【答案】43【详解】【分析】作OP垂直于AB，垂足为P,连接OA，运用切性质可得到直角三角形，再根据勾股定理得OP，根据垂径定理,得AB=2OP.【详解】作OP垂直于AB，垂足为P,连接OA.因为，直线与小圆相切，所以，OP=2，AB=2OP,所以，OP=42−22=12=23，所以，AB=2OP=43.故答案为43【点睛】本题考核知识点：切线性质，垂径定理.解题关键点：由切线性质得到直角三角形，由垂径定理得到线段长度.23．（2022春·九年级课时练习）如图，△ABC内接于⊙O,AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B=35°，则∠DAC的度数是 度．【答案】35【分析】根据直径所对的圆周角是直角，可得∠BAC=55°，再根据切线的性质可得∠BAD=90°，即可求解．【详解】解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵∠B=35°，∴∠BAC=55°，∵AD与⊙O相切，∴AB⊥AD，即∠BAD=90°，∴∠CAD=90°-∠BAC=35°．故答案为：35【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，直径所对的圆周角是直角是解题的关键．24．（2023·江苏·校考中考模拟）△ABC中，∠A=40°，若点O是△ABC的外心，则∠BOC= °；若点I是△ABC的内心，则∠BIC= °．【答案】 80 110．【分析】根据题意画出图形，根据圆周角定理求出即可，再根据题意，求出∠IBC+∠ICB度数，根据三角形内角和定理即可求出∠BIC．【详解】如图1时，由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=2×40°=80°；如图2时，同样由圆周角定理得：∠BOC=2∠A=80°；∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵I是△ABC的内心，∴∠IBC=12∠ABC，∠ICB=12∠ACB，∴∠IBC+∠ICB=12×140°=70°，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=110°，故答案为80，110．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内切圆和外接圆的应用，熟练掌握同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半是解题的关键.25．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE:EA=5:3，EC=155，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积= ．【答案】100π【分析】连接OB，把ΔBCE沿折痕EC向上翻折， 若点B恰好落在AD边上， 则BE=EF，BC=CF；再由BE:EA=5:3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF2=CD2+DF2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中， 由勾股定理可求得x的值， 再由面积SΔEBC=SΔOEB+SΔOBC求得⊙O半径， 求出面积 ．【详解】连接OB，由于把ΔBCE沿折痕EC向上翻折， 若点B恰好落在AD边上，则BE=EF，BC=CF；由BE:EA=5:3，设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF2=CD2+DF2，即CF2=(8x)2+(CF−4x)2，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，EB2+BC2=EC2，即(5x)2+(10x)2=(155)2，解得：x=3，则BE=15，BC=30．再由SΔEBC=SΔOEB+SΔOBC，则12×BE×BC=12×BE×r+12×BC×r，解得：r=10；则⊙O的面积为πr2=100π．【点睛】本题考查了矩形的性质，会解决一些简单的翻折问题，能够利用勾股定理求解直角三角形；同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度不大，解题时要理清思路．三、解答题26．（2023春·九年级课时练习）如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD＝20，求△ABC的周长．【答案】C△ABC＝40.【分析】根据切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，将△ABC的周长转化为AD＋AE求解．【详解】∵AD,AE切于⊙O于D,E，∴AD＝AE＝20∵AD,BF切于⊙O于D,F∴BD＝BF同理：CF＝CE∴C△ABC＝AB＋BC＋AC＝AB＋BF＋FC＋AC＝AB＋BD＋EC＋AC＝AD＋AE＝40.故答案为C△ABC＝40.【点睛】本题考查切线长定理.27．（2023·吉林长春·校考一模）如图，OA、OB是⊙O的半径，OA⊥OB，C为OB延长线上一点，CD切⊙O于点D，E为AD与OC的交点，连结OD．已知CE=5，求线段CD的长．【答案】5【分析】利用切线的性质与OA⊥OB，证明∠DEC=∠ADC，从而可得答案．【详解】解：∵CD切O于点Ｄ，∴∠ODC=90ο；又∵OA⊥OC，即∠AOC=90ο，∴∠A+∠AEO=90ο，∠ADO+∠ADC=90ο∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠ADC=∠AEO；又∵∠AEO=∠DEC，∴∠DEC=∠ADC，∴CD=CE，∵CE=5，∴CD=5．【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，等腰三角形的判定，直角三角形的两锐角互余，掌握以上知识是解题的关键．28．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，点D是△ABC外接圆的圆心，点O是△ABC内切圆的圆心，已知∠A=110°，求∠BOC和∠BDC的度数．【答案】∠BOC=145°，∠BDC=140°【分析】如图，在⊙D上取点H，连接BH,CH, 由圆的内接四边形的性质求解∠H， 再利用圆周角定理求解∠BDC, O为△ABC的内心，可得OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB,结合三角形的内角和定理可得∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A)，再利用内角和定理可得∠BOC的大小．【详解】解：如图，在⊙D上取点H，连接BH,CH, ∵ 四边形ABHC为⊙D的内接四边形，∠A=110°， ∴∠H=180°−110°=70°， ∴∠BDC=2∠H=140°, ∵ O为△ABC的内心，∴OB,OC分别平分∠ABC,∠ACB, ∴∠OBC=12∠ABC,∠OCB=12∠ACB, ∴∠OBC+∠OCB=12(∠ABC+∠ACB)=12(180°−∠A) =12×(180°−110°)=35°， ∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°−35°=145°. 【点睛】本题考查的是圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，三角形内心的含义，三角形的内角和定理，掌握以上知识是解题的关键．29．（2023·湖南永州·校联考三模）在RtΔABC中，∠ACB=90ο，BE平分∠ABC，D是边AB上一点，以BD为直径的⊙O经过点E，且交BC于点F．（1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若BF=12，⊙O的半径为10，求CE的长．【答案】(1)见解析;(2)8.【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得：OE∥BC，所以∠OEA=90°，则AC是⊙O的切线；（2）作弦心距OH，先求BH的长，再根据勾股定理求OH的长，问题得解．【详解】解：(1)连接OE.∵OE=OB ∴∠OBE=∠OEB,∵BE平分∠ABC,∴∠OBE=∠EBC∴∠EBC=∠OEB∴OE∥BC∴∠OEA=∠C∵∠ACB=90°∴∠OEA=90°∴AC是⊙O的切线;(2)连接OF,过点O作OH⊥BF交BF于H,由题意可知四边形OECH为矩形∴OH=CE∵BF=12,OH⊥BF∴BH=12BF=6在Rt△BHO中,OB=10,∴OH=OB2−BH2=102−62=8∴CE=OH=8【点睛】本题考查了圆的切线的判定、角平分线的性质、平行线的判定、勾股定理、垂径定理等知识，注意在圆中常利用勾股定理计算圆中的线段．30．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=∠A．E是AB下半圆弧中点，连接CE交AD于F．(1)求证：CD与⊙O相切．(2) AF=8，EF=210，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为6．【分析】（1）如图，作辅助线，证明∠OCD=90°即可解决问题；（2）连接OE，证明EO⊥AB，在Rt△OEF中，利用勾股定理构建方程，解方程即可解决问题．【详解】（1）证明：如图，连接OC；　∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB；∵AB是⊙O的直径，∴∠A+∠OBC=90°，而∠DCB=∠A，∠OBC=∠OCB，∴∠DCB+∠OCB=90°，即∠OCD=90°，∴DC为⊙O的切线；（2）解：连接OE，∵AB是⊙O的直径，E是AB下半圆弧中点，∴AE=BE=12AB，∴EO⊥AB，设OA=OE=R，OF=8-R，在Rt△OEF中，EF2=OF2+OE2，∴（210）2=R2+（8-R）2，∴R=6（不符合题意的根已经舍弃）．∴⊙O的半径为6．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．31．（2023·江西南昌·模拟预测）如图，已知等腰三角形ABC中，AC=BC，底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E．（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求CE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）1．【分析】(1)连接CD、OD,根据直径所对圆周角是直角可得CD⊥AB,因为AC=BC,由三线合一可知D为AB中点,则OD为△ABC的中位线,可得OD∥AC,由DE⊥AC,可得OD⊥DE即可证明.(2)根据(1)中条件求出CD,再根据∠A=30°,∠ADC=90°,可知∠ACD=60°,利用三角函数求出CE即可.【详解】（1）证明：连接OD，CD，如图所示：∵BC为圆O直径，∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，∵ΔABC是等腰三角形，∴AD=BD，∵OB=OC，∴OD是ΔABC的中位线，∴OD//AC，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∵D点在圆O上，∴DE为圆O的切线；（2）解：∵∠A=∠B=30°，BC=4，∴CD=12BC=2，∠ACB=120°，∵AC=BC，AD=BD，∴∠BCD=∠ACD=12∠ACB=60°，∵DE⊥AC，∴CE=CD•cos60°=2×12=1.【点睛】本题考查圆的切线和直角三角形的混合,关键在于牢记基础知识.32．（2022·山西晋中·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，AC=BC，CD交AB于点E，∠BOD=120°．(1)求∠BEC的度数；(2)若DF是⊙O的切线，与BA的延长线交于点F，AC=22．直接写出图中阴影部分的面积．【答案】(1)75°(2)23−2π3【分析】（1）由题意可以求出∠B和∠BCD的度数，从而得到∠BEC的度数；（2）根据AC求出圆半径，然后可以得到直角三角形FOD和圆扇形OAD的面积，求出两者之差即得解答．（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵AC=BC，∴∠B=∠CAB．∴∠B=45°．∵∠BOD=120°，∴∠DCB=12∠BOD=60°．∴∠BEC=180°−∠B−∠DCB=180°−45°−60°=75°．（2）∵DF是⊙O的切线，∴∠FDO=90°，又∠DOB=120°，∴∠FOD=60°，∠OFD=30°，∵AC=22，∴AB=ACsin45°=2222=4，∴OD=2，FD=23，∴所求阴影面积=SRT△FDO−S扇形OAD=12×2×23−60×π×22360=23−2π3．【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的有关概念、圆周角定理、圆切线的性质、扇形面积的计算等是解题关键．33．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若CD＝4，⊙O的直径为10，求BD的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）8.【分析】（1）连接OC，根据题意可证得∠CAD＋∠DCA＝90°，再根据角平分线的性质，得∠DCO＝90°，则CD为⊙O的切线；（2）过O作OF⊥AB，则∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，得四边形OCDF为矩形，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2=OA2，从而求得AF的值，进而就可求得BD的长．【详解】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD＝5，OF＝CD＝4．在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．∴AF＝OA2−OF2＝52−42＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴FB＝AF＝3．∴BD＝DF+BF＝5+3＝8．【点睛】本题考查了切线的判定和性质、勾股定理、矩形的判定和性质以及垂径定理，是基础知识要熟练掌握．34．（2022秋·新疆喀什·九年级统考期末）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，∠ABC的平分线交AC于点E．以BE为弦作⊙O，交BC于点D，圆心O恰好在BC边上．(1)试判断AC与⊙O的位置关系并说明理由；(2)若直径BD=12，∠ACB=30°，求弦BE的长．【答案】(1)AC与⊙O相切，理由见解析(2)63【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠BEO＝∠OBE，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBE，推出OE∥AB，得到∠OEC＝∠CAB＝90°，于是得到结论；（2）等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质得到AB＝12BC＝9，∠ABC＝60°，根据角平分线的定义得到ABE＝∠CBE＝30°，根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：AC与⊙O相切，理由如下，连接OE，如图，∵OE＝OB，∴∠BEO＝∠OBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠ABE＝∠BEO，∴OE∥AB，∴∠OEC＝∠CAB＝90°，∵OE是半径，∴AC与⊙O相切；（2）如图，连接DE∵∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，BD＝12，∴AB＝12BC，∠ABC＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∴BE＝2AE，∵BD是直径，∴∠DEB=90°，∵∠EBD=30°∴ED=12BD=6∵∠CED=∠CEB−∠DEB=∠A+∠ABE−90°=30°=∠C∴CD=DE =6∴BC=CD+DB=6+12=18∴AB＝12BC＝9，∵AE2＋AB2＝BE2，∴（12BE）2＋92＝BE2，∴BE＝63（负值舍去）．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，角平分线的定义，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．35．（2022秋·安徽·九年级校联考期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC=CD，点E在AB的延长线上，∠ECB=∠DAC．(1)求证：EC是⊙O的切线；(2)若AD=5，∠E=30°，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；(2)5．【分析】（1）如答图，连接CO并延长交⊙O于点M，连接MB；利用圆周角定理以及等量代换可得∠ECB=∠CMB，依据CM是⊙O的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”进行等量代换可求得∠ECB+∠BCM=90°，即可证明；（2）如答图，连接DO并延长交⊙O于点N，连接AN；根据邻补角和四边形内对角互补得∠ADC=∠CBE，根据三角形内角和得∠DCA=∠E=30°；DN是⊙O的直径，结合“直径说对的圆周角是直角”在Rt△DAN中，解三角形即可．【详解】（1）证明：如图，连接CO并延长交⊙O于点M，连接MB．∵BC=CD，∴∠CAD=∠CAB．又∵∠CAB=∠CMB，∠ECB=∠CAD，∴∠ECB=∠CMB．∵CM是⊙O的直径，∴∠CBM=90°．∴∠CMB+∠BCM=90°．∴∠ECB+∠BCM=90°．∴OC⊥CE．∴EC是⊙O的切线．（2）如图，连接DO并延长交⊙O于点N，连接AN．∵∠ECB=∠CAD，∠ADC+∠ABC=180°，∠ABC+∠CBE=180°，∴∠ADC=∠CBE．∴180°−∠CAD−∠ADC=180°−∠CBE−∠ECB．∴∠DCA=∠E=30°．∵DN是⊙O的直径，∴∠DAN=90°．在Rt△DAN中，∵∠DCA=∠DNA=30°，∴DN=2AD=10．∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、圆内接四边形的性质等；解题的关键是适当添加辅助线利用相关性质求解．