人教版九年级数学上册重难考点02与旋转有关的综合问题通关专练特训(原卷版+解析)

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微专题02 与旋转有关的综合问题通关专练 一、单选题1．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．42．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°至AB′C′D′，CD与B′C′相交于点E，则E坐标为（  ）A．−1,33 B．−1,12 C．−1,32 D．−1,233．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（    ）A．10 B．22 C．3 D．254．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直线BE与AF交于点H，在△CEF绕C点旋转过程中，线段BH的最大值是（    ）A．1 B．2 C．2 D．225．（2022秋·九年级单元测试）直线y=−33x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'，则点B'的坐标为（    ）A．(4, 2) B．(4, −2) C．(43, 2) D．(43, −2)6．（2022秋·四川德阳·九年级期末）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（    ）A．6 B．3 C．2 D．1.57．（2023·山东青岛·中考真题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（ ）A． B． C． D．8．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）A．332 B．233 C．333 D．4339．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，FE⊥AB于点E，将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，则在图2中，有以下说法：①FD=2AE；②∠AEB= 135°；③S△AEB:S△DFB=1：2；④AE∥BF，其中正确结论的序号是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．③④10．（2022秋·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（    ）A．3 B．23 C．13 D．15二、填空题11．（2022·广东·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B1C1交CD边于点G，AB1=B1G时，AD=31，CG=3，连接BB1，CC1，则CC1BB1= ．12．（2022秋·天津南开·九年级校考阶段练习）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为 ．13．（2023春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+43．其中正确的结论是 ．14．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为 ．15．（2023春·八年级统考课时练习）如图，正方形ABCD的边长为3，F为CD边上一点，DF=1．将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连接EF，则EF= ．16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为 ．  三、解答题17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB0的焦点，直线l:y=−14a为抛物线的准线，连接线段PF，作PH⊥l于点H．求证：PF=PH；（2）已知抛物线y=ax2过点M−4,4．①求抛物线的解析式，并求抛物线的焦点坐标F；②将M−4,4绕焦点F顺时针旋转90°，得到点N，求△PNF周长的最小值；③直线l：y=kx+m与抛物线交于A、B两点，点O是坐标原点，OA⊥OB．求证：直线AB过定点．24．（2023·山东聊城·统考二模）在△ABC中，AB＝AC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AN，连结NB．【感知】如图①，若M是线段BC上的任意一点，易证△ABN≌△ACM，可知∠NAB＝∠MAC，BN＝MC．【探究】（1）如图②，点E是AB延长线上的点，若点M是∠CBE内部射线BD上任意一点，连结MC，【感知】中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．【拓展】（2）如图③，在△DEF中，DE＝8，∠DEF＝60°，∠EDF＝75°，P是EF上的任意点，连结DP，将DP绕点D按顺时针方向旋转75°，得到线段DQ，连结EQ，则EQ的最小值为 ．  25．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）如图1，直角三角形ABC中，∠C＝90°，CB＝1，∠BAC＝30°．(1）求AB、AC的长；(2）如图2，将AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，将AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD．①连接CE，BD．求证：BD＝EC；②连接DE交AB于F，请你作出符合题意的图形并求出DE的长 微专题02 与旋转有关的综合问题通关专练 一、单选题1．（2023春·辽宁丹东·八年级校考期中）如图，在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，下列结论正确的有（　　）个．①△BED是等边三角形；②AE∥BC； ③△ADE的周长等于BD+BC；④∠ADE＝∠DBC．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根据旋转的性质得BE=BD，AE=CD，∠DBE=60°，于是可判断△BDE为等边三角形，则有DE=BD，所以△AED的周长=BD+AC，且∠C=∠BAE=∠ABC =60°得①②③正确；根据三角形内角和定理得∠ADE=∠ABE，结合∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°，可得④正确.【详解】∵在等边△ABC中，△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，∴BE=BD，AE=CD，∠DBE=60，∠C=∠BAE=60°∴△BDE为等边三角形，∠ABC=∠BAE=60°∴DE=BD，AE∥BC； ∴△AED的周长=DE+AE+AD=BD+CD+AD=BD+AC= BD+BC故①②③正确∵△ABC，△BDE为等边三角形，∴∠BED=∠BAC=60°又∵对顶角相等∴∠ADE=∠ABE∵∠ABE+∠ABD=∠DBC+∠ABD=60°∴∠ADE＝∠DBC．故④正确故选：D【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．2．（2022秋·广西河池·九年级统考期中）如图，正方形ABCD的边长为1，点A与原点重合，B在y轴正半轴上，D在x轴负半轴上，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转30°至AB′C′D′，CD与B′C′相交于点E，则E坐标为（  ）A．−1,33 B．−1,12 C．−1,32 D．−1,23【答案】A【分析】连接AE，由旋转性质知AD=AB′=1、∠BAB′=30°、∠B′AD=60°，证Rt△ADE≌Rt△AB′E得∠DAE=12∠B′AD=30°，由DE=ADtan∠DAE可得答案．【详解】如图：连接AE∵将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，∴AD=AB′=1，∠BAB′=30°，∴∠B′AD=60°，在Rt△ADE和Rt△A B′E中，∵AD=AB′AE=AE∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），∴∠DAE=∠B′AE=12∠B′AD=30°，∴DE=ADtan∠DAE=1×33=33∴点E的坐标为（-1，33）故选：A【点睛】本题考查了正方形的性质、坐标与图形旋转．图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．3．（2023春·八年级课时练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B，D两点间的距离为（    ）A．10 B．22 C．3 D．25【答案】A【分析】由旋转的性质可求得AE、DE，由勾股定理可求得AB，则可求得BE，连接BD，在Rt△BDE中可求得BD的长．【详解】解：如图，连接BD．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AED，∴∠DEA=∠C=90°，AE=AC=4，DE=BC=3，∴BE=AB-AE=5-4=1，在Rt△BDE中，由勾股定理可得BD=DE2+BE2=32+12=10 ，即B、D两点间的距离为10，故选：A．【点睛】本题主要考查了旋转的性质和勾股定理．掌握旋转前后对应线段相等、对应角相等是解题的关键．4．（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，AB＝BC=2，∠ABC＝90°，EC＝EF，∠FEC＝90°，直线BE与AF交于点H，在△CEF绕C点旋转过程中，线段BH的最大值是（    ）A．1 B．2 C．2 D．22【答案】C【分析】根据等腰直角三角形斜边与一直角边的比是2，先证明△ACF∽△BCE ，得∠EBC＝∠CAF，根据8字形和三角形的内角和定理得出△BGH 是等腰直角三角形，利用垂线段最短可得结论．【详解】解：过点B作BG⊥AF于G，如图，∵AB＝BC，∠ABC＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝45°，ACBC=2，∵△CEF是等腰直角三角形，∴FCEC=2，∠ECF＝∠ACB＝45°，∴ACBC=FCEC，∠BCE＝∠ACF，∴△ACF∽△BCE，∴∠EBC＝∠CAF，∴∠AHB＝∠ACB＝45°，∴△BGH是等腰直角三角形，∴BH=2BG，∵BG⊥AF，∴AB≥BG，∵AB=2，∴BG≤2，∴2BG≤2，即BH≤2，∴线段BH的最大值是2．故选：C．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质与判定，旋转变换等，解题的关键有两个：①找出BH为最大值的位置，②证明两个三角形相似．5．（2022秋·九年级单元测试）直线y=−33x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'，则点B'的坐标为（    ）A．(4, 2) B．(4, −2) C．(43, 2) D．(43, −2)【答案】D【分析】先根据直线的函数解析式求得A、B点坐标，则可得到OA=23，OB=2，再根据旋转的性质得到AO′=AO= 23，O′B′=OB= 2，∠AO′B′=∠AOB=90°，然后根据第二象限点的坐标特征写出点B'的坐标即可.【详解】解：当y=0时，−33x+2=0，解得：x=23，即A（23，0），∴OA=23，当x=0时，y=2，则B（0,2），∴OB=2，∵△AOB绕着A点旋转180∘得到△AO'B'，∴AO′=AO= 23，O′B′=OB= 2，∠A′OB′=∠AOB=90°，∴点B′的坐标为(43, −2).故选D.【点睛】本题主要考查旋转的性质，解此题的关键在于先根据题意求得A、B坐标，然后画出图象，利用数形结合进行解答.6．（2022秋·四川德阳·九年级期末）如图，在边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接CE，将线段CE绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是（    ）A．6 B．3 C．2 D．1.5【答案】D【详解】解：如图，取AC的中点G，连接EG，∵旋转角为60°，∴∠ECD+∠DCF=60°，又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°，∴∠DCF=∠GCE，∵AD是等边△ABC的对称轴，∴CD=12BC，∴CD=CG，又∵CE旋转到CF，∴CE=CF，在△DCF和△GCE中，CE=CF∠DCF=∠GCECD=CG，∴△DCF≌△GCE(SAS)，∴DF=EG，根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短，此时∵∠CAD=12×60°=30°，AG=12AC=12×6=3，∴EG=12AG=12×3=1.5，∴DF=1.5.故答案为：D7．（2023·山东青岛·中考真题）如图，若将△ABC绕点O逆时针旋转90°则顶点B的对应点B1的坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：将△ABC绕点O逆时针旋转90°后，图形如下图所以B1的坐标为故选B考点：1、同底数幂的乘除法运算法则；2、积的乘方运算法则；3、幂的乘方运算8．（2022秋·九年级课时练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（　　）A．332 B．233 C．333 D．433【答案】D【分析】根据“两点之间线段最短”，当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长．【详解】解：如图，∵将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，∴BE=AB=BC，BF=BG，EF=AG，∴△BFG是等边三角形．∴BF=BG=FG，．∴AG+BG+CG=FE+GF+CG．根据“两点之间线段最短”，∴当G点位于BD与CE的交点处时，AG+BG+CG的值最小，即等于EC的长，过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°-120°=60°，∵BC=4，∴BF=2，EF=23，在Rt△EFC中，∵EF2+FC2=EC2，∴EC=43．∵∠CBE=120°，∴∠BEF=30°，∵∠EBF=∠ABG=30°，∴EF=BF=FG，∴EF=13CE=433，故选：D．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）如图1，在正方形ABCD中，点F为对角线BD上一点，FE⊥AB于点E，将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置，连接AE、DF，则在图2中，有以下说法：①FD=2AE；②∠AEB= 135°；③S△AEB:S△DFB=1：2；④AE∥BF，其中正确结论的序号是（　　）A．①② B．①③ C．②③ D．③④【答案】B【分析】先证△ABE∽△DBF，求得其相似比，再运用相似三角形的性质逐一判断之．【详解】如图2由图1和已知条件知△EFB为等腰直角三角形∴BEBF=12，由正方形性质易得△ABD为等腰直角三角形∴ABDB=12， ∴BEBF=ABDB由等腰直角三角形的性质得∠EBF=∠ABD=45°∴∠EBA=∠FBD∴△ABE∽△DBF且相似比为12∴AEFD=12，S△AEB:S△DFB=(12)2得到①FD=2AE、③S△AEB:S△DFB=1：2；由△ABE∽△DBF和∠EFB=45°知只有当E、F、D三点共线时，∠AEB=∠DFB=135°其它情况下∠AEB不能为135°，故②错误；要使AE∥BF，需使∠AEF=∠EFB=45°，又由于∠FEB=90°，所以需使∠AEB=135°，由于②错误，得④错误．综上所述知只有①③正确．故选：B．【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，还有旋转变换的知识，掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．10．（2022秋·九年级课时练习）如图，在正方形ABCD中，AB=3，点M在CD的边上，且DM=1，ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，将ΔADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到ΔABF，连接EF，则线段EF的长为（    ）A．3 B．23 C．13 D．15【答案】C【分析】连接BM.证明△AFE≌△AMB得FE=MB，再运用勾股定理求出BM的长即可.【详解】连接BM，如图，由旋转的性质得：AM=AF.∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=BC=CD，∠BAD=∠C=90°,∵ΔAEM与ΔADM关于AM所在的直线对称，∴∠DAM=∠EAM.∵∠DAM+∠BAM=∠FAE+∠EAM=90°,∴∠BAM=∠EAF,∴△AFE≌△AMB∴FE=BM.在Rt△BCM中，BC=3，CM=CD-DM=3-1=2,∴BM=BC2+CM2=32+22=13 ∴FE=13.故选C.【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．二、填空题11．（2022·广东·九年级专题练习）如图，将矩形ABCD点A逆时针方向旋转一定角度后，BC的对应边B1C1交CD边于点G，AB1=B1G时，AD=31，CG=3，连接BB1，CC1，则CC1BB1= ．【答案】474【分析】连接AC，AG，AC1，由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，证明ΔABB1∼ΔACC1，得出CC1BB1=ACAB，证明ΔAB1G是等腰直角三角形，得出AG=2AB1，设AB=AB1=x，则AG=2x，DG=x-3，在RtΔADG中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB=4，在RtΔABC中，AC=AB2+BC2=47，即CC1BB1=ACAB=474；【详解】解：连接AC，AG，AC1，如图所示：由旋转可得，AB=AB1，AC=AC1，∠BAB1=∠CAC1，∴ABAC=AB1AC1，∴ΔABB1∼ΔACC1，∴CC1BB1=ACAB，∵AB1=B1G，∠AB1G=∠ABC=90° ∴ΔAB1G是等腰直角三角形，∴AG=2AB1，设AB=AB1=x，则AG=2x，DG=x-3，∵在RtΔADG中，AD2+DG2=AG2，∴312+x-32=2x2，解得：x=4，或x=-10（舍去），∴AB=4，∴在RtΔABC中，AC=AB2+BC2=42+312=47，∴CC1BB1=ACAB=474，故答案为：474.【点睛】本题考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，掌握翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理是解题的关键．12．（2022秋·天津南开·九年级校考阶段练习）如图，O是边长为6的等边△ABC三边中垂线的交点，将△ABC绕点O逆时针方向旋转180°，得到△A1B1C1，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】63【分析】根据旋转的性质，观察图形易得，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为2，且面积是△ABC的19．重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，代入数据计算可得答案．【详解】解：根据旋转的性质可知，图中空白部分的小三角形也是等边三角形，且边长为13×6＝2，且面积是△ABC的19，观察图形可得，重叠部分的面积是△ABC与三个小等边三角形的面积之差，∴△ABC的高是32×6=33，一个小等边三角形的高是3，∴△ABC的面积是12×6×33＝93，一个小等边三角形的面积是12×2×3＝3，所以重叠部分的面积是93﹣3×3＝63．故答案为63．【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的性质．13．（2023春·辽宁锦州·八年级统考期中）如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，以点B为旋转中心，将线段BO逆时针旋转60°得到线段BO′，连接AO′．则下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到；②连接OO′，则OO′=4；③∠AOB=150°；④S四边形AOBO′=6+43．其中正确的结论是 ．【答案】①②③④【详解】试题解析：如图，连接OO′；∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=CB；由题意得：∠OBO′=60°，OB=O′B，∴△OBO′为等边三角形，∠ABO′=∠CBO，∴OO′=OB=4；∠BOO′=60°，∴选项②正确；在△ABO′与△CBO中，{AB=AC∠ABO′=∠CBOBO′=BO，∴△ABO′≌△CBO（SAS），∴AO′=OC=5，△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针方向旋转60°得到，∴选项①正确；在△AOO′中，∵32+42=52，∴△AOO′为直角三角形，∴∠AOO′=90°，∠AOB=90°+60°=150°，∴选项③正确；∵S四边形AOBO′=12×42×sin60°+12×3×4=43+6，∴选项④正确．综上所述，正确选项为①②③④．考点：旋转的性质．14．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，AC=4，BC=33，将Rt△ABC以点A为中心，逆时针旋转60°得到△ADE，则线段BE的长度为 ．【答案】7【分析】连接CE，作EF⊥BC于F，根据旋转变换的性质得到∠CAE=60°，AC=AE，根据等边三角形的性质得到CE=AC=4，∠ACE=60°，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：连接CE，作EF⊥BC于F，由旋转变换的性质可知，∠CAE=60°，AC=AE，∴△ACE是等边三角形，∴CE=AC=4，∠ACE=60°，∴∠ECF=30°，∴EF=12CE=2，由勾股定理得，CF=CE2+EF2 =23 ，∴BF=BC-CF=3 ，由勾股定理得，BE=EF2+BF2=7 ，故答案为7．【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等边三角形的判定和性质，掌握旋转变换对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．15．（2023春·八年级统考课时练习）如图，正方形ABCD的边长为3，F为CD边上一点，DF=1．将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABE，连接EF，则EF= ．【答案】25【分析】根据旋转的性质可知∠EAF=90°，AF=AE，然后根据勾股定理求出AF即可求出EF.【详解】解：根据旋转的性质可知∠EAF=90°，AF=AE∵DF=1，AD=3∴AF=AD2+DF2=32+12=10 ∴EF=AE2+AF2=(10)2+(10)2= 25故答案为：25.【点睛】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，根据旋转得出∠EAF=90°，AF=AE是解题的关键.16．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，M是正方形ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接BP，线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到线段BQ，连接MQ．若AB=4，MP=1，则MQ的最小值为 ．  【答案】210−1【分析】连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E，由 P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，可得：Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，可求ME=2BM=210，从而可求解．【详解】解，如图，连接BM，将BM以B中心，逆时针旋转90°，M点的对应点为E，  ∵ P的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，∴ Q的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小， ∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB=BC=4，∠C=90°，∵M是CM的中点，∴CM=2，∴BM=CM2+BC2=22+42=25，由旋转得：BM=BE，∴ME=2BM=210，∴MQ=ME−EQ=210−1，∴ MQ的值最小为210−1．故答案：210−1．【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．三、解答题17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）如图，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°AB