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人教版九年级数学上册重难考点02二次函数解析式求解通关专练特训(原卷版+解析)
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这是一份人教版九年级数学上册重难考点02二次函数解析式求解通关专练特训(原卷版+解析)，共23页。
微专题02 二次函数解析式求解通关专练 一、单选题1．（2023秋·重庆·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）A．12 B．14 C．1 D．﹣13．（2023秋·九年级单元测试）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=（x－2）2 D．y=2x2－24．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x+5x−3经一次变换后得到抛物线y=2x+3x−5，则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位5．（2023春·九年级单元测试）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+16．（2022秋·广西钦州·九年级统考期末）抛物线y＝(x﹣1)2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位7．（2023春·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：当x=8时，y的值是（ ）A．−6 B．−2 C．2 D．68．（2023秋·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】A．（，1） B．（1，） C．（2，） D．（1，）9．（2023秋·河北保定·九年级统考期中）抛物线y=（x+3）2﹣4可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位10．（2022春·九年级单元测试）把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）A．y=(x+1)2−3 B．y=(x+1)2+3C．y=(x−1)2−3 D．y=(x−1)2+3二、填空题11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）将二次函数y=3x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______．12．（2022秋·九年级课时练习）如图，抛物线y=ax2+bx−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB=OC=3OA，则该抛物线的解析式是____．13．（2023·浙江宁波·统考一模）将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为_____．14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x2−1向左平移两个单位，所得抛物线的函数关系式为________．15．（2023春·九年级单元测试）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c, 0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是________（只要写出一个可能的解析式）．16．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）将抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________．三、解答题17．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考期中）分已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为点D，直线AD的解析式为y=kx+m，请直接写出不等式kx+m>ax2+bx+c的解集．18．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2x-2．(1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2-2x-2的图象．19．（2023秋·广东韶关·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；20．（2023秋·浙江杭州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC部分上，PD⊥PC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若PD=3PC，求OD的长.21．（2022秋·北京东城·九年级东直门中学校考期中）若二次函数的图象经过−1,0，3,0，0,3三点，求这个二次函数的解析式．22．（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+cb,c为常数经过点0，−3、−6，−3．(1)求此抛物线的解析式．(2)此抛物线的顶点坐标为______；(3)当−4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．(4)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．23．（2023春·河南洛阳·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2mx+m2-4.．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）若把它的图象向上平移1 个单位，再向左平移2个单位后图象经过原点，求m的值．24．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．25．（2022·上海·九年级专题练习）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 微专题02 二次函数解析式求解通关专练 一、单选题1．（2023秋·重庆·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2（x﹣5）2＋2的顶点坐标为（5，2），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移5个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣5）2＋2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）A．12 B．14 C．1 D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为y=ax2+bx+c，∴−b2a=10=a−b+c−1=a+b+c，解得：a=14b=−12c=−34，∴此函数的二次项系数为14；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023秋·九年级单元测试）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=（x－2）2 D．y=2x2－2【答案】B【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移2个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是： y=2（x+2）2．故选：B．4．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x+5x−3经一次变换后得到抛物线y=2x+3x−5，则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位【答案】B【分析】先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．【详解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5．（2023春·九年级单元测试）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1【答案】C【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．【详解】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，∴y＝3（x﹣2）2﹣1．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．6．（2022秋·广西钦州·九年级统考期末）抛物线y＝(x﹣1)2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】B【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标为（1，2），因为点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点（1，2），所以把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得抛物线y=(x-1)2+2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．（2023春·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：当x=8时，y的值是（ ）A．−6 B．−2 C．2 D．6【答案】A【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把x=8代入求出y的值即可．【详解】解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入y=ax2+bx+c，得4a−2b+c=−6c=24a+2b+c=6 解得，a=−12b=3c=2 ∴二次函数解析式为y=−12x2+3x+2∴当x=8时，y=−12×82+3×8+2=−6故选：A【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．8．（2023秋·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】A．（，1） B．（1，） C．（2，） D．（1，）【答案】B【详解】∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．∵将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，其顶点坐标也作同样的平移，∴平移后图象的顶点坐标是（﹣1＋2，﹣1－1），即（1，﹣2）．故选B．9．（2023秋·河北保定·九年级统考期中）抛物线y=（x+3）2﹣4可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位【答案】B【详解】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向左平移3个单位可得到抛物线y=（x+3）2，由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x+3）2向下平移4个单位可得到抛物线y=（x+3）2-4,故选B.10．（2022春·九年级单元测试）把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）A．y=(x+1)2−3 B．y=(x+1)2+3C．y=(x−1)2−3 D．y=(x−1)2+3【答案】B【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y=(x+1)2+3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）将二次函数y=3x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______．【答案】y=3(x+2)2+4【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．【详解】解：将二次函数y=3x2先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得函数解析式为：y=3(x+2)2+4．故答案是：y=3(x+2)2+4．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．（2022秋·九年级课时练习）如图，抛物线y=ax2+bx−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB=OC=3OA，则该抛物线的解析式是____．【答案】y=x2−2x−3【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C0,−3，根据OB=OC=3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【详解】当x=0时，y=−3，∴C0,−3，∴OC=3，∴OB=3，OA=1，∴B3,0，A−1,0，将B3,0，A−1,0代入y=ax2+bx−3得，0=9a+3b−30=a−b−3，解得a=1b=−2，∴该抛物线的解析式是y=x2−2x−3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．13．（2023·浙江宁波·统考一模）将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为_____．【答案】y＝（x+2）2﹣1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，可得函数解析式为：y=(x+2)2+2, 再向下平移3个单位长度后所得新函数图象的表达式为：y=(x+2)2+2−3，即y=(x+2)2−1．故答案为y=(x+2)2−1．【点睛】本题考查的是二次函数图像的平移，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x2−1向左平移两个单位，所得抛物线的函数关系式为________．【答案】y=2x+22−1【分析】根据函数图象平移的方法计算即可；【详解】把抛物线y=2x2−1向左平移两个单位可得：y=2x+22−1；故答案是：y=2x+22−1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．15．（2023春·九年级单元测试）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c, 0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是________（只要写出一个可能的解析式）．【答案】只要写出一个可能的解析式【详解】根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系和对称轴公式x="-" 可知．解：依题意有c2+bc+c=0（1），b=-4a=-4（2）（1）（2）联立方程组解得b=-4，c=0或3则二次函数的解析式为y=x2-4x或y=x2-4x+3．待定系数法是一种求未知数的方法．一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值．16．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）将抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________．【答案】y=2(x−3)2+2【分析】根据抛物线平移的规律即可得出解析式．【详解】∵ 抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位∴y=2(x−3)2−1+3=2(x−3)2+2 故答案为：y=2(x−3)2+2．【点睛】本题考查抛物线的平移规律，即“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律并能够应用数形结合的思想是解题的关键．三、解答题17．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考期中）分已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为点D，直线AD的解析式为y=kx+m，请直接写出不等式kx+m>ax2+bx+c的解集．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)x<−1或x>1【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线AD的解析式，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像，然后根据图像解答即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，∴0=a−b+c0=9a+3b+cc=3，解得：a=−1b=2c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为(1,4)，∵直线AD的解析式为y=kx+m，∴4=k+m0=−k+m，解得：k=2m=2，∴直线AD的解析式为y=2x+2，抛物线y=−x2+2x+3与直线y=2x+2在同一坐标系的图像如下：∴不等式kx+m>ax2+bx+c的解集即为一次函数在二次函数上方的部分，∴不等式kx+m>ax2+bx+c的解集为x<−1或x>1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据图像求不等式的解集，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解本题的关键．18．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2x-2．(1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2-2x-2的图象．【答案】(1)二次函数的图象与x轴的交点坐标(1+3,0)和(1-3,0)(2)向右平移1个单位，向下平移3个单位【分析】（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标；（2）将二次函数y=x2-2x-2化为顶点形式，然后与y=x2比较，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程．【详解】（1）令y=0，得到x2-2x-2=0(x-1)2=3x=1±3∴二次函数的图象与x轴的交点坐标(1+3,0)和(1-3,0)（2）y=x2-2x-2=(x-1)2-3∴将y=x2的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，就可以得到二次函数y=(x-1)2-3的图象【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与x轴的交点，即要y=0，得到关于x的方程来求解；要求二次函数与y轴的交点，即要x=0，求出y的值即可，此外熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键．19．（2023秋·广东韶关·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；【答案】（1）y=x2-32x-1；（2）点D的坐标为（-12，0）【分析】（1）把各点代入，列出方程组求解即可；（2）令y=0，列出一元二次方程求解即可.【详解】（1）将点A以及点B的坐标代入二次函数的额解析式∴4+2b+c=0；c=-1∴b=-32∴二次函数的解析式为y=x2-32x-1.（2）令y=x2-32x-1为0，即（2x+1）（x-2）=0∴x=-12或x=2∴点D的坐标为（-12 ， 0）【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式和与x轴交点坐标的求法，掌握相关知识是解题的关键.20．（2023秋·浙江杭州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC部分上，PD⊥PC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若PD=3PC，求OD的长.【答案】（1）y=-x2+6x-5；（2）OD= 5.【分析】（1）已知顶点坐标，现知a值，直接用顶点法即可求出抛物线的解析式；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，设P（p，-p2+6p-5）(1≤p≤3)，先证明△Rt△PCF∽Rt△PED，根据相似三角形的性质列比例式，求出p值，然后根据C、F两点的纵坐标，求得CF的长，则由相似的性质即可得出ED的长，则OD的长可知.【详解】解：（1）由题意得，y=-(x-3)2+4=-x2+6x-5；（2）设y=-x2+6x-5=(x-1)(-x+5)=0，解得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），如图，过点P作PE∥y轴交x轴于点E，过P作PF平行x轴交对称轴于F，设P（p，-p2+6p-5）(1≤p≤3)，∴∠PFC=∠PED=90°∵∠CPF+∠FPD=∠EPD+∠FPD=90°，∵∠CPF=∠DPE，∴∠PFC=∠PDE，又∵∠PFC=∠PED=90°∴Rt△PCF∽Rt△PDE，∴CFDE=PCPD=PFPE=13 ，∴3−p−p2+6p−5=13 ，ED=3CF整理得p2-9p+14=0，(p-2)(p-7)=0，∴p=2, 或P=7（舍去），∴P（2，3），CF=yC-yF=4-3=1，∴ED=3CF=3，∴OD=OE+ED=2+3=5.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用-几何问题，掌握二次函数的实际应用-几何问题是解题的关键.21．（2022秋·北京东城·九年级东直门中学校考期中）若二次函数的图象经过−1,0，3,0，0,3三点，求这个二次函数的解析式．【答案】y=−x2+2x+3【分析】根据待定系数法设出解析式代入求解即可得到答案．【详解】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，将−1,0，3,0，0,3代入可得，a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=−1b=2c=3 ，∴y=−x2+2x+3 ．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据题意设出适合的解析式．22．（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+cb,c为常数经过点0，−3、−6，−3．(1)求此抛物线的解析式．(2)此抛物线的顶点坐标为______；(3)当−4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．(4)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．【答案】(1)y=−x2−6x−3(2)−3，6(3)最大值为6，最小值为−3(4)−2或−3−10【分析】（1）将图像经过的两个点的坐标代入二次函数解析式即可解答；（2）根据函数解析式确定顶点式坐标即可；（3）根据x的取值范围，二次函数图像的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值和最小值即可；（4）根据对称轴为x=−3，结合二次函数图像的性质，然后分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】（1）解：把0，−3，−6，−3代入y=−x2+bx+c得c=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6，c=−3，∴抛物线的解析式为y=−x2−6x−3．（2）解：∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6，∴抛物线的顶点坐标为−3，6．故答案为：−3，6．（3）解：∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6，∴抛物线开口向下，∴当x=−3时，y有最大值为6．∵x=0时，y=−3，∴在−4≤x≤0中，y的最大值是6，，最小值为−3．（4）解：①当−3
微专题02 二次函数解析式求解通关专练 一、单选题1．（2023秋·重庆·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）A．12 B．14 C．1 D．﹣13．（2023秋·九年级单元测试）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=（x－2）2 D．y=2x2－24．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x+5x−3经一次变换后得到抛物线y=2x+3x−5，则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位5．（2023春·九年级单元测试）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+16．（2022秋·广西钦州·九年级统考期末）抛物线y＝(x﹣1)2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位7．（2023春·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：当x=8时，y的值是（ ）A．−6 B．−2 C．2 D．68．（2023秋·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】A．（，1） B．（1，） C．（2，） D．（1，）9．（2023秋·河北保定·九年级统考期中）抛物线y=（x+3）2﹣4可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位10．（2022春·九年级单元测试）把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）A．y=(x+1)2−3 B．y=(x+1)2+3C．y=(x−1)2−3 D．y=(x−1)2+3二、填空题11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）将二次函数y=3x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______．12．（2022秋·九年级课时练习）如图，抛物线y=ax2+bx−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB=OC=3OA，则该抛物线的解析式是____．13．（2023·浙江宁波·统考一模）将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为_____．14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x2−1向左平移两个单位，所得抛物线的函数关系式为________．15．（2023春·九年级单元测试）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c, 0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是________（只要写出一个可能的解析式）．16．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）将抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________．三、解答题17．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考期中）分已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为点D，直线AD的解析式为y=kx+m，请直接写出不等式kx+m>ax2+bx+c的解集．18．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2x-2．(1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2-2x-2的图象．19．（2023秋·广东韶关·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；20．（2023秋·浙江杭州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC部分上，PD⊥PC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若PD=3PC，求OD的长.21．（2022秋·北京东城·九年级东直门中学校考期中）若二次函数的图象经过−1,0，3,0，0,3三点，求这个二次函数的解析式．22．（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+cb,c为常数经过点0，−3、−6，−3．(1)求此抛物线的解析式．(2)此抛物线的顶点坐标为______；(3)当−4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．(4)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．23．（2023春·河南洛阳·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2mx+m2-4.．（1）求证：该二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）若把它的图象向上平移1 个单位，再向左平移2个单位后图象经过原点，求m的值．24．（2022·广东·统考中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．(1)求该抛物线的解析式；(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．25．（2022·上海·九年级专题练习）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 微专题02 二次函数解析式求解通关专练 一、单选题1．（2023秋·重庆·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）要得到地物线y＝2（x﹣5）2＋2，可以将抛物线y＝2x2（ ）A．向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度C．向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度D．向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度【答案】C【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵y＝2（x﹣5）2＋2的顶点坐标为（5，2），y＝2x2的顶点坐标为（0，0），∴将抛物线y＝2x2向右平移5个单位，再向上平移2个单位，可得到抛物线y＝2（x﹣5）2＋2．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．2．（2023秋·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）A．12 B．14 C．1 D．﹣1【答案】B【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为y=ax2+bx+c，∴−b2a=10=a−b+c−1=a+b+c，解得：a=14b=−12c=−34，∴此函数的二次项系数为14；故选B．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．3．（2023秋·九年级单元测试）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ）A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=（x－2）2 D．y=2x2－2【答案】B【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将函数y=2x2的图象向左平移2个长度单位所得到的图象对应的函数关系式是： y=2（x+2）2．故选：B．4．（2022秋·浙江·九年级阶段练习）在平面直角坐标系中，若抛物线y=2x+5x−3经一次变换后得到抛物线y=2x+3x−5，则这个变换可以是（ ）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移8个单位 D．向下平移8个单位【答案】B【分析】先将两解析式化成顶点式，然后根据平移前后的两抛物线的顶点坐标即可解答．【详解】解：y=2（x+5）（x-3）=2x2+4x-30=2（x+1）2-32，顶点坐标是（-1，-32）．y=2（x+3）（x-5）=2x2-4x-30=2（x-1）2-32，顶点坐标是（1，-32）．所以将抛物线y=2（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=2（x+3）（x-5）．故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与平移变换，掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．5．（2023春·九年级单元测试）把二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（ ）A．y＝3（x+2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x﹣2）2+1【答案】C【分析】直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题．【详解】解：∵二次函数y＝3x2的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，∴y＝3（x﹣2）2﹣1．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，准确计算是解题的关键．6．（2022秋·广西钦州·九年级统考期末）抛物线y＝(x﹣1)2+2可由y＝x2如何平移得到（ ）A．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位B．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位C．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位【答案】B【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移．【详解】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标为（1，2），因为点（0，0）先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点（1，2），所以把抛物线y=x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得抛物线y=(x-1)2+2．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．（2023春·九年级课时练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：当x=8时，y的值是（ ）A．−6 B．−2 C．2 D．6【答案】A【分析】运用待定系数法求出函数解析式，再把x=8代入求出y的值即可．【详解】解：把（2，-6），（0，2），（2，6）三点坐标代入y=ax2+bx+c，得4a−2b+c=−6c=24a+2b+c=6 解得，a=−12b=3c=2 ∴二次函数解析式为y=−12x2+3x+2∴当x=8时，y=−12×82+3×8+2=−6故选：A【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求出函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．．8．（2023秋·九年级课时练习）在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是【 】A．（，1） B．（1，） C．（2，） D．（1，）【答案】B【详解】∵y=2x2+4x+1=2（x2+2x）+1=2[（x+1）2﹣1]+1=2（x+1）2﹣1，∴原抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣1）．∵将函数y=2x2+4x+1的图象沿x轴方向向右平移2个单位长度后再沿y轴向下平移1个单位长度，其顶点坐标也作同样的平移，∴平移后图象的顶点坐标是（﹣1＋2，﹣1－1），即（1，﹣2）．故选B．9．（2023秋·河北保定·九年级统考期中）抛物线y=（x+3）2﹣4可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）A．先向左平移3个单位，再向上平移4个单位B．先向左平移3个单位，再向下平移4个单位C．先向右平移3个单位，再向下平移4个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移4个单位【答案】B【详解】直接根据函数图象平移的法则进行解答即可.由“左加右减”的原则可知，抛物线y=x2向左平移3个单位可得到抛物线y=（x+3）2，由“上加下减”的原则可知，抛物线y=（x+3）2向下平移4个单位可得到抛物线y=（x+3）2-4,故选B.10．（2022春·九年级单元测试）把二次函数y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）A．y=(x+1)2−3 B．y=(x+1)2+3C．y=(x−1)2−3 D．y=(x−1)2+3【答案】B【分析】利用“左加右减，上加下减”的规律求得即可．【详解】解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=x2的图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到：y=(x+1)2+3．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．二、填空题11．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期中）将二次函数y=3x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______．【答案】y=3(x+2)2+4【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题．【详解】解：将二次函数y=3x2先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，所得函数解析式为：y=3(x+2)2+4．故答案是：y=3(x+2)2+4．【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．12．（2022秋·九年级课时练习）如图，抛物线y=ax2+bx−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点OB=OC=3OA，则该抛物线的解析式是____．【答案】y=x2−2x−3【分析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C0,−3，根据OB=OC=3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．【详解】当x=0时，y=−3，∴C0,−3，∴OC=3，∴OB=3，OA=1，∴B3,0，A−1,0，将B3,0，A−1,0代入y=ax2+bx−3得，0=9a+3b−30=a−b−3，解得a=1b=−2，∴该抛物线的解析式是y=x2−2x−3．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法是本题的关键．13．（2023·浙江宁波·统考一模）将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得新抛物线的函数表达式为_____．【答案】y＝（x+2）2﹣1【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝x2+2的图象先向左平移2个单位长度，可得函数解析式为：y=(x+2)2+2, 再向下平移3个单位长度后所得新函数图象的表达式为：y=(x+2)2+2−3，即y=(x+2)2−1．故答案为y=(x+2)2−1．【点睛】本题考查的是二次函数图像的平移，掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键．14．（2023秋·吉林长春·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x2−1向左平移两个单位，所得抛物线的函数关系式为________．【答案】y=2x+22−1【分析】根据函数图象平移的方法计算即可；【详解】把抛物线y=2x2−1向左平移两个单位可得：y=2x+22−1；故答案是：y=2x+22−1．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，准确分析判断是解题的关键．15．（2023春·九年级单元测试）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(c, 0)，且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是________（只要写出一个可能的解析式）．【答案】只要写出一个可能的解析式【详解】根据二次函数图象上的点与二次函数解析式的关系和对称轴公式x="-" 可知．解：依题意有c2+bc+c=0（1），b=-4a=-4（2）（1）（2）联立方程组解得b=-4，c=0或3则二次函数的解析式为y=x2-4x或y=x2-4x+3．待定系数法是一种求未知数的方法．一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等时同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值．16．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）将抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的解析式为________．【答案】y=2(x−3)2+2【分析】根据抛物线平移的规律即可得出解析式．【详解】∵ 抛物线y=2x2−1向右平移3个单位，再向上平移3个单位∴y=2(x−3)2−1+3=2(x−3)2+2 故答案为：y=2(x−3)2+2．【点睛】本题考查抛物线的平移规律，即“左加右减，上加下减”，熟练掌握平移规律并能够应用数形结合的思想是解题的关键．三、解答题17．（2022秋·贵州黔西·九年级校联考期中）分已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为点D，直线AD的解析式为y=kx+m，请直接写出不等式kx+m>ax2+bx+c的解集．【答案】(1)y=−x2+2x+3(2)x<−1或x>1【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可；（2）求出点D的坐标，运用待定系数法求出直线AD的解析式，在同一平面直角坐标系中画出两函数的图像，然后根据图像解答即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，∴0=a−b+c0=9a+3b+cc=3，解得：a=−1b=2c=3，∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；（2）∵抛物线的解析式为y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，∴抛物线顶点D的坐标为(1,4)，∵直线AD的解析式为y=kx+m，∴4=k+m0=−k+m，解得：k=2m=2，∴直线AD的解析式为y=2x+2，抛物线y=−x2+2x+3与直线y=2x+2在同一坐标系的图像如下：∴不等式kx+m>ax2+bx+c的解集即为一次函数在二次函数上方的部分，∴不等式kx+m>ax2+bx+c的解集为x<−1或x>1．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，根据图像求不等式的解集，熟练掌握一次函数与二次函数的图像与性质是解本题的关键．18．（2022秋·安徽安庆·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=x2-2x-2．(1)求此二次函数的图象与x轴的交点坐标．(2)将y=x2的图象经过怎样的平移，就可以得到二次函数y=x2-2x-2的图象．【答案】(1)二次函数的图象与x轴的交点坐标(1+3,0)和(1-3,0)(2)向右平移1个单位，向下平移3个单位【分析】（1）令二次函数解析式中y=0，得到关于x的一元二次方程，求出方程的解可得出二次函数与x轴的交点坐标；（2）将二次函数y=x2-2x-2化为顶点形式，然后与y=x2比较，根据图象的平移规律“上加下减、左加右减”，可得出平移的过程．【详解】（1）令y=0，得到x2-2x-2=0(x-1)2=3x=1±3∴二次函数的图象与x轴的交点坐标(1+3,0)和(1-3,0)（2）y=x2-2x-2=(x-1)2-3∴将y=x2的图象向右平移1个单位，向下平移3个单位，就可以得到二次函数y=(x-1)2-3的图象【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，要求二次函数与x轴的交点，即要y=0，得到关于x的方程来求解；要求二次函数与y轴的交点，即要x=0，求出y的值即可，此外熟练掌握二次函数图象的平移规律是解本题第二问的关键．19．（2023秋·广东韶关·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+bx+c的图象过A(2，0)，B(0，-1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；【答案】（1）y=x2-32x-1；（2）点D的坐标为（-12，0）【分析】（1）把各点代入，列出方程组求解即可；（2）令y=0，列出一元二次方程求解即可.【详解】（1）将点A以及点B的坐标代入二次函数的额解析式∴4+2b+c=0；c=-1∴b=-32∴二次函数的解析式为y=x2-32x-1.（2）令y=x2-32x-1为0，即（2x+1）（x-2）=0∴x=-12或x=2∴点D的坐标为（-12 ， 0）【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式和与x轴交点坐标的求法，掌握相关知识是解题的关键.20．（2023秋·浙江杭州·九年级统考阶段练习）如图，抛物线y=-x2+bx+c的顶点为C(3，4)，交x轴于点A，B(点B在点A的右侧)，点P在第一象限，且在抛物线AC部分上，PD⊥PC交x轴于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若PD=3PC，求OD的长.【答案】（1）y=-x2+6x-5；（2）OD= 5.【分析】（1）已知顶点坐标，现知a值，直接用顶点法即可求出抛物线的解析式；（2）先求出抛物线与x轴的交点坐标，设P（p，-p2+6p-5）(1≤p≤3)，先证明△Rt△PCF∽Rt△PED，根据相似三角形的性质列比例式，求出p值，然后根据C、F两点的纵坐标，求得CF的长，则由相似的性质即可得出ED的长，则OD的长可知.【详解】解：（1）由题意得，y=-(x-3)2+4=-x2+6x-5；（2）设y=-x2+6x-5=(x-1)(-x+5)=0，解得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），如图，过点P作PE∥y轴交x轴于点E，过P作PF平行x轴交对称轴于F，设P（p，-p2+6p-5）(1≤p≤3)，∴∠PFC=∠PED=90°∵∠CPF+∠FPD=∠EPD+∠FPD=90°，∵∠CPF=∠DPE，∴∠PFC=∠PDE，又∵∠PFC=∠PED=90°∴Rt△PCF∽Rt△PDE，∴CFDE=PCPD=PFPE=13 ，∴3−p−p2+6p−5=13 ，ED=3CF整理得p2-9p+14=0，(p-2)(p-7)=0，∴p=2, 或P=7（舍去），∴P（2，3），CF=yC-yF=4-3=1，∴ED=3CF=3，∴OD=OE+ED=2+3=5.【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用-几何问题，掌握二次函数的实际应用-几何问题是解题的关键.21．（2022秋·北京东城·九年级东直门中学校考期中）若二次函数的图象经过−1,0，3,0，0,3三点，求这个二次函数的解析式．【答案】y=−x2+2x+3【分析】根据待定系数法设出解析式代入求解即可得到答案．【详解】解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，将−1,0，3,0，0,3代入可得，a−b+c=09a+3b+c=0c=3，解得a=−1b=2c=3 ，∴y=−x2+2x+3 ．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是根据题意设出适合的解析式．22．（2022秋·吉林白城·九年级统考阶段练习）已知抛物线y=−x2+bx+cb,c为常数经过点0，−3、−6，−3．(1)求此抛物线的解析式．(2)此抛物线的顶点坐标为______；(3)当−4≤x≤0时，求y的最大值和最小值．(4)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，直接写出m的值．【答案】(1)y=−x2−6x−3(2)−3，6(3)最大值为6，最小值为−3(4)−2或−3−10【分析】（1）将图像经过的两个点的坐标代入二次函数解析式即可解答；（2）根据函数解析式确定顶点式坐标即可；（3）根据x的取值范围，二次函数图像的开口方向和对称轴，结合二次函数的性质判定y的最大值和最小值即可；（4）根据对称轴为x=−3，结合二次函数图像的性质，然后分类讨论得出m的取值范围即可．【详解】（1）解：把0，−3，−6，−3代入y=−x2+bx+c得c=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6，c=−3，∴抛物线的解析式为y=−x2−6x−3．（2）解：∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6，∴抛物线的顶点坐标为−3，6．故答案为：−3，6．（3）解：∵y=−x2−6x−3=−(x+3)2+6，∴抛物线开口向下，∴当x=−3时，y有最大值为6．∵x=0时，y=−3，∴在−4≤x≤0中，y的最大值是6，，最小值为−3．（4）解：①当−3
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