北京市第一六六中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份北京市第一六六中学2024年数学九年级第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）下列命题①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角．它们的逆命题是真命题的个数是( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（4分）式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3、（4分）把一元二次方程2x2-3x-1=0配方后可得（ ）
A． B． C． D．
4、（4分）如图，在中，，分别为，的中点，若，则的长为
A．3B．4C．5D．6
5、（4分）计算的值为( )
A．2B．3C．4D．1
6、（4分）直线l1：y＝k1x+b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＜k1x+b的解集为（ ）
A．x＜﹣1B．x＞﹣1C．x＞2D．x＜2
7、（4分）若一组数据的极差是6，则x的值为( ).
A．7B．8C．9D．7或
8、（4分）如图，在中，的平分线交于，若，，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围为__________．
10、（4分）已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC＝4cm，则菱形的边长是______cm．
11、（4分）如图，在中，，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，连结并延长，交于点，则的长为____.
12、（4分）如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若AC＝，∠B＝60°，则CD的长为_____．
13、（4分）若2x﹣5没有平方根，则x的取值范围为_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，边长为 7 的正方形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 P 从点 C 出发，以 每秒 1 个单位的速度向 O 运动，点 Q 从点 O 同时出发，以每秒 1 个单位的速度向点 A 运动，到达端点即停止运动，运动时间为 t 秒，连 PQ、BP、BQ．
（1）写出 B 点的坐标；
（2）填写下表：
①根据你所填数据，请描述线段 PQ 的长度的变化规律？并猜测 PQ 长度的最小值．
②根据你所填数据，请问四边形 OPBQ 的面积是否会发生变化？并证明你的论断；
（3）设点 M、N 分别是 BP、BQ 的中点，写出点 M，N 的坐标，是否存在经过 M， N 两点的反比例函数？如果存在，求出 t 的值；如果不存在，说明理由．
15、（8分）学期末，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、学习委员和团支部书记的得分情况：
假设在评选优秀干部时，思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3 ∶3 ∶4 ，通过计算说明谁应当选为优秀学生干部。
16、（8分）（1）解不等式组：3x﹣2＜≤ 2x+1
（2）解分式方程：
17、（10分）物理兴趣小组20位同学在实验操作中的得分情况如下表：
问：（1）求这20位同学实验操作得分的众数、中位数．
（2）这20位同学实验操作得分的平均分是多少？
（3）将此次操作得分按人数制成如图所示的扇形统计图，扇形①的圆心角度数是多少？
18、（10分）利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式：
．
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
（1）请你展开右边检验这个等式的正确性；
（2）利用上面的式子计算：
．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若关于x的一元二次方程x²-2x+c=0没有实数根．则实数c取值范围是________
20、（4分）□ABCD 中，已知：∠A＝38°，则∠B＝_____度，∠C＝____度，∠D＝_____度．
21、（4分）平面直角坐标系中，将点A（1，﹣2）向上平移1个单位长度后与点B重合，则点B的坐标是（________）．
22、（4分）点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是__．
23、（4分）分解因式：
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，且A（﹣1，3），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，3），已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的．
（1）请写出旋转中心的坐标是 ，旋转角是 度；
（2）以（1）中的旋转中心为中心，分别画出△A1AC1顺时针旋转90°、180°的三角形；
（3）设Rt△ABC两直角边BC=a、AC=b、斜边AB=c，利用变换前后所形成的图案证明勾股定理．
25、（10分）列方程解应用题：
某市今年进行水网升级，1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨，小丽家去年12月的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，求该市今年居民用水的价格．
26、（12分）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式．
说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费元，当主叫计时不超过分钟不再额外收费，超过分钟时，超过部分每分钟加收元（不足分钟按分钟计算）．
（1）请根据题意完成如表的填空：
（2）设某月主叫时间为 (分钟)，方式一、方式二两种计费方式的费用分别为(元)， (元)，分别写出两种计费方式中主叫时间 (分钟)与费用为(元)， (元)的函数关系式；
（3）请计算说明选择哪种计费方式更省钱．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
①的逆命题：两直线平行，同旁内角互补，正确，②的逆命题：周长相等的三角形不一定全等，错误③的逆命题：相等的角不一定是直角，错误④的逆命题：等角对等边，正确.
故选B
2、D
【解析】
根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列出不等式求解即可得到答案；
【详解】
解：式子在实数范围内有意义，
即： ，
解得：，
故选：D；
本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义即被开方数≥0是解题的关键.
3、C
【解析】
方程移项后，方程两边除以2变形得到结果，即可判定．
【详解】
方程移项得：2x2﹣3x=1，方程两边除以2得：x2x，配方得：x2x，即（x）2．
故选C．
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法是解答本题的关键．
4、D
【解析】
根据三角形的中位线定理得出AB=2DE，把DE的值代入即可．
【详解】
，分别为，的中点，
，
故选：．
本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．
5、D
【解析】
根据平方差公式计算即可．
【详解】
原式=x-（x-1）=1．
故选D．
本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，注意平方差公式的灵活运用．
6、B
【解析】
分析：由图象可以知道，当x=﹣1时，两个函数的函数值是相等的，再根据函数的增减性可以判断出不等式k2x＜k1x+b解集．
详解：两条直线的交点坐标为（﹣1，2），且当x＞﹣1时，直线l2在直线l1的下方，故不等式k2x＜k1x+b的解集为x＞﹣1．
故选B．
点睛：本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变．
7、D
【解析】
试题分析：根据极差的定义，分两种情况：x为最大值或最小值：
当x为最大值时，；当x是最小值时，．
∴x的值可能7或.
故选D.
考点：1.极差；2.分类思想的应用.
8、B
【解析】
由角平分线的定义和平行四边形的性质可求得∠ABE＝∠AEB ，易得AB＝AE．
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝3，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝3，
故选：B．
本题主要考查平行四边形的性质，利用平行线的性质和角平分线的定义求得∠ABE＝∠AEB是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、x≤1
【解析】
解：∵二次根式有意义，
∴1-x≥0,
∴x≤1．
故答案为：x≤1．
10、
【解析】
分析：根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．
详解：由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2÷4=6，
∵菱形的对角线互相垂直平分，
根据勾股定理可得菱形的边长=cm．
故答案为．
点睛：此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直．
11、1.
【解析】
根据作图过程可得得AE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
【详解】
解：根据作图的方法得：AE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=1；
故答案为：1．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
12、1
【解析】
试题分析：∵直角△ABC中，AC=，∠B=60°，
∴AB==1，BC==2，
又∵AD=AB，∠B=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=1，
∴CD=BC﹣BD=2﹣1=1．
故答案是：1．
考点：旋转的性质．
13、x＜．
【解析】
由负数没有平方根得出关于x的不等式，解之可得．
【详解】
由题意知2x﹣5＜0，
解得x＜，
故答案为：x＜．
此题考查平方根的性质，正数有两个平方根它们互为相反数，零的平方根是它本身，负数没有平方根.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）B（7，7）；（2）表格填写见解析；①,PQ长度的最小值是；
②四边形OPBQ的面积不会发生变化；（3）t=3.5存在经过M，N两点的反比例函数.
【解析】
通过写点的坐标，填表，搞清楚本题的基本数量关系，每个量的变化规律，然后进行猜想；用运动时间t，表示线段OP，OQ，CP，AQ的长度，运用割补法求四边形OPBQ的面积，由中位线定理得点M（3.5，7-），N（，3.5），反比例函数图象上点的坐标特点是 ，利用该等式求t值．
【详解】
解：(1)∵在正方形 OABC中OA=OC=7
∴B（7，7）
(2)表格填写如下：

①线段PQ的长度的变化规律是先减小再增大,PQ长度的最小值是 .理由如下：
在Rt△POQ中，OP=7-t，OQ=t
∴PQ2=(7-t)2+t2=2t2-14t+49=
∵
∴
∴当 时PQ2最取得最小值为
∴此时
②根据所填数据，四边形OPBQ的面积不会发生变化；
∵=24.5，
∴四边形OPBQ的面积不会发生变化.
(3)点M(3.5,7− ),N( ,3.5)，
当3.5(7−)=×3.5时，则t=3.5，
∴当t=3.5存在经过M，N两点的反比例函数.
本题考查了正方形的性质, 坐标与图形性质, 反比例函数图象上点的坐标特征，掌握正方形的性质, 坐标与图形性质, 反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键.
15、平均数分别为26.2 ，25.8 ，25.4 ，班长应当选.
【解析】
根据思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的不同权重，分别计算三人的加权平均分即可.
【详解】
解：根据思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的重要比为3 ∶3 ∶4，可得思想表现、学习成绩、工作能力这三方面的权重分别是0.3 ，0.3，0.4；
则班长的最终成绩为：；
学习委员的最终成绩为：；
团支部书记的最终成绩为：；
∵26.2 >25.8 >25.4
∴班长的最终成绩最高，
∴班长当选.
故答案为：平均数分别为26.2 ，25.8 ，25.4 ，班长应当选.
本题考查加权平均数的计算，比较简单，熟记加权平均数的计算方法是解题关键.
16、（1）-2≤x＜0；（2）x=-3
【解析】
（1）不等式组整理后，求出解集即可；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：（1）不等式组整理得：，
由①得：x＜0，
由②得：x≥-2，
则不等式组的解集为：-2≤x＜0；
（2）去分母得：x2+x=x2-1-2，
解得：x=-3，
经检验：x=-3是分式方程的解．
此题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
17、（1）众数：9，中位数：9；
（2）这20位同学实验操作得分的平均分为：；
（3）扇形①的圆心角度数是：（1-20%-25%-40%）×360°=54°．
【解析】
（1）得9分的有8人，频数最多；20个数据的中位数是第10个和第11个同学的得分的平均数；
（2）平均分=总分数÷总人数；
（3）扇形①的圆心角=百分比×360°
18、（1）见解析；（2）1．
【解析】
（1）根据完全平方公式和合并同类项的方法可以将等式右边的式子进行化简，从而可以得出结论；
（2）根据题目中的等式可以求得所求式子的值．
【详解】
解：（1）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]
=（a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2）
=×（2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac）
=a2+b2+c2-ab-bc-ac，
故a2+b2+c2-ab-bc-ac=[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]正确；
（2）20182+20192+20202-2018××2020-2018×2020
=×[（）2+（2019-2020）2+（2020-2018）2]
=×（1+1+4）
=×6
=1．
本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，熟练掌握完全平方公式并能灵活运用．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】
解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．
20、142 38 142
【解析】
根据平行四边形对角相等，邻角互补，进而得出∠B、∠C、∠D的度数．
【详解】
∵平行四边形ABCD中，
∴∠B=∠D，∠A=∠C=38°，∠A+∠B=180°，
∴∠B=142°，
∴∠D=∠B=142°．
故答案为: 142，38，142
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形对角相等，邻角互补是解题的关键．
21、1 -1
【解析】
让横坐标不变，纵坐标加1可得到所求点的坐标．
【详解】
∵﹣2+1=﹣1，
∴点B的坐标是（1，﹣1），
故答案为1，﹣1．
本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．
22、（3，0）
【解析】
试题分析：因为点P（a，b）关于y轴的对称点的坐标是（-a，b），所以点A（﹣3，0）关于y轴的对称点的坐标是（3，0），故答案为（3，0）
考点：关于y轴对称的点的坐标．
23、
【解析】
试题分析：首先提取公因式b，然后根据完全平方公式进行因式分解．原式＝＝
考点：（1）因式分解；（2）提取公因式法；（3）完全平方公式
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）O（0，0）；90；（1）图形详见解析；（3）证明详见解析．
【解析】
试题分析：（1）由图形可知，对应点的连线CC1、AA1的垂直平分线过点O，根据旋转变换的性质，点O即为旋转中心，再根据网格结构，观察可得旋转角为90°；
（1）利用网格结构，分别找出旋转后对应点的位置，然后顺次连接即可；
（3）利用面积，根据正方形CC1C1C3的面积等于正方形AA1A1B的面积加上△ABC的面积的4倍，列式计算即可得证．
试题解析：解：（1）旋转中心坐标是O（0，0），旋转角是90度；
（1）画出的图形如图所示；
（3）有旋转的过程可知，四边形CC1C1C3和四边形AA1A1B是正方形．
∵S正方形CC1C1C3=S正方形AA1A1B+4S△ABC，
∴（a+b）1=c1+4×ab，
即a1+1ab+b1=c1+1ab，
∴a1+b1=c1．
考点：作图-旋转变换；勾股定理的证明．
25、2.4元/米
【解析】
利用总水费÷单价=用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多5m3，进而得出等式即可．
【详解】
解：设去年用水的价格每立方米元，则今年用水价格为每立方米元
由题意列方程得：
解得
经检验，是原方程的解
(元/立方米)
答：今年居民用水的价格为每立方米元．
此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出用水量是解题关键．
26、（1），；（2），；（3）当时方式一省钱；当时，方式二省钱，当时；方式一省钱，当为分钟、分钟时，两种方式费用相同
【解析】
（1）按照表格中的收费方式计算即可；
（2）根据表格中的收费方式，对t进行分段列出函数关系式；
（3）根据t的取值范围，列出不等式解答即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：月主叫时间分钟时，方式一收费为元；月主叫时间分钟时，方式二收费为元；
故答案为：；．
（2）由题意可得： (元)的函数关系式为：
(元)的函数关系式为：
（3）①当时方式一更省钱；
②当时，若两种方式费用相同，则当．
解得:
即当 ,两种方式费用相同，
当时方式一省钱
当时，方式二省钱；
③当时，若两种方式费用相同，则当，
解得:
即当，两种方式费用相同，当时方式二省钱，
当时，方式一省钱；
综上所述，当时方式一省钱；当时，方式二省钱，当时，方式一省钱，当为分钟、分钟时，两种方式费用相同．
本题考查了一次函数中方案选择问题，解题的关键是表达出不同收费方式的函数关系式，再利用不等式的知识对不同时间内进行讨论．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
时间 t（单位：秒）
1
2
3
4
5
6
OP 的长度
OQ 的长度
PQ 的长度
四边形 OPBQ 的面积
月使用费/元
主叫限定时间/分钟
主叫超时费（元/分钟）
方式一
方式二
月主叫时间分钟
月主叫时间分钟
方式一收费/元
______________
方式二收费/元
_______________