江西省南昌大学附属学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省南昌大学附属学校2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知命题p：，，命题q：，，则（ ）
A．：，B．：，
C．：，D．：，
2．已知数集满足：，，若，则一定有：（ ）
A．B．C．D．
3．已知命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
5．已知实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y（元）与月处理量x（吨）的函数关系式为.请问：当月处理量为（ ）吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？
A．100吨B．150吨C．200吨D．250吨，
7．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象.数学黑洞：无论怎样设值，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样.目前已经发现的数学黑河有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等.定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（ ）
A．8B．16C．32D．64
8．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．9
二、多选题
9．下列各组中表示不同集合的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．设正实数m，n满足，则（ ）
A．的最小值为3B．的最大值为2
C．的最大值为1D．的最小值为
11．为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的可能取值为（ ）．
A．4B．40C．8D．28
三、填空题
12．已知集合，则 ．
13．已知，则的最大值为 .
14．设全集，集合，，若集合中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．设全集，，.
(1)求；
(2)写出集合所有的真子集.
16．已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)是否存在实数a，使得，若存在，求实数a的取值范围，否则，说明理由.
17．已知恒成立，.如果中有且仅有一个为真命题，求实数的取值范围.
18．（1）已知关于x的不等式的解集为，求不等式的解集；
（2）若，解关于x的不等式.
19．设集合，.
(1)若，求实数a的值；
(2)若，求实数a的取值范围；
(3)若全集，，求实数a的取值范围.
参考答案：
1．B
【分析】由含有一个量词的命题的否定求解.
【详解】命题p：，，则：，，A错误B正确；
命题q：，，则：，，CD错误.
故选：B.
2．A
【分析】利用交集、并集的概念及运算结合元素与集合的关系判定选项即可.
【详解】因为，，且，
所以必有，可能且，也可能且，
故A正确，B、C、D错误.
故选：A.
3．A
【分析】先求出命题和命题，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
由，得到，所以，
若成立，则成立，充分性成立；
若成立，则不一定成立，必要性不成立
所以是的充分不必要条件，
故选：A.
4．C
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合或，
而，则或，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.
故选：C.
5．B
【分析】由不等式的性质可得.
【详解】由，得，又，
则，又由得，
故.
故选：B.
6．A
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求解即得.
【详解】依题意，每吨的平均处理成本，
当且仅当，即时取等号，
所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最低.
故选：A
7．C
【分析】由自恋数定义可得集合的一个子集，解不等式可得集合，求得中的元素个数即可得出其子集个数.
【详解】根据自恋数定义可知，所有一位正整数都是自恋数，即；
解不等式可得，即；
所以，即中共有5个元素，
因此的子集个数为个.
故选：C
8．B
【分析】运用基本不等式，通过已知条件进行变形，构造基本不等式求最值即可.
【详解】，
由于，则，
由于，当且仅当，时取等号.
则，当且仅当时取等号，
则的最小值为3.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据集合相等的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】选项A中，是数集，是点集，二者不是同一集合,故；
选项B中，与表示不同的点，故；
选项C中，，，故；
选项D中，是二次函数的所有组成的集合，而集合是二次函数图象上所有点组成的集合，故.
故选：ABD.
10．BC
【分析】由基本不等式逐项求解判断即可.
【详解】因为正实数m，n满足，
所以，
当且仅当，即，，等号成立，故A错误；
，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；
，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；
，当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：BC
11．CD
【分析】求出第一次、第二次稀释后的浓度，根据第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的列式，解不等式可得结果.
【详解】第一次稀释后，药液浓度为，
第二次稀释后，药液浓度为，
依题意有，即，解得，
又，即，所以.
故选：CD.
12．
【分析】根据集合相等的定义求解即可．
【详解】由题意得，，解得或，
当时，集合为，不满足集合中元素的互异性，舍去，
当时，集合为，满足题意，
故答案为：．
13．/
【分析】利用基本不等式计算即可.
【详解】由知，
当且仅当，即时取得等号，
即的最大值为18，
故答案为：
14．或或
【分析】根据条件，求得或，再利用数轴，结合条件，列出方程组，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
得到或，因为中有且仅有个整数，
如图，由图知，或或，
解得或或，
故答案为：或或.
15．(1)
(2)
【分析】（1）先求出全集和集合，再利用补集和交集的运算求出.
（2）根据子集的定义可写出集合所有的真子集.
【详解】（1）（1）由题意可得，
由，则，
，则，
所以.
（2）由，
则集合所有的真子集为：.
16．(1)，；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）把代入，利用集合的并集、交集的定义求解即得.
（2）假定存在，再结合集合的包含关系，列式求解即得.
【详解】（1）当时，，而，
所以，.
（2）假定存在实数a，使得，即，而，
因此，即，无解，
所以不存在实数a，使得成立.
17．
【分析】分别求出命题和命题为真命题时的取值范围，再根据题意即可得出.
【详解】若为真命题，当时，可得恒成立，满足题意；
当时，则，解得，
当为真命题，实数的取值范围是.
若为真命题，则有，解得，
当为真命题，实数的取值范围是.
中有且仅有一个为真命题，
当为真命题，为假命题时，实数的取值范围是;
当为假命题，为真命题时，实数的取值范围是.
综上，当中有且仅有一个为真命题时，实数的取值范围是.
18．（1）（2）答案见解析
【分析】（1）利用的解集为，得出的关系，再解关于的不等式；
（2）由，然后分， ， ， 进行分类讨论即可.
【详解】（1）的解集为，
，且，，
，，，
，解得或
解集为；
（2）由，且，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
当，即时，不等式的解集为，
综上知，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，得，由此可得关于的方程求解并验证即可得；
（2）由得，按集合中元素的个数分类讨论即可求；
（3）由得，转化为均不是方程的根，解不等式可得.
【详解】（1），.
，，则，
即，解得或.
验证：当时，，
则，满足题意；
当时，，
则，不满足题意.
综上可知，若，则.
（2）若，则，又，
①当时，则关于的方程没有实数根，
则，解得，
故当时，满足题意；
②当，即时，
若集合中只有一个元素，则，
即当时，，，满足题意；
若集合中有两个元素，则，
即当时，要使，则，
所以和是方程的两根，
则由韦达定理得，解得，满足条件.
综上所述，或.
所以，若，则实数a的取值范围为.
（3）若全集，，则，即.
，.
故，且，
则，且，
解得且且.
若，则实数a的取值范围为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
A
C
B
A
C
B
ABD
BC
题号
11









答案
CD