江西省九江市同文中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题

这是一份江西省九江市同文中2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.满足的集合X有（ ）
A.4个B.5个C.6个D.7个
3.王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知，下列选项中正确的是（ ）
A.B.C.D.
5.已知，，则的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
6.已知条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.若，，则的最小值为（ ）
A.2B.C.D.
8.在整数集中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为，即，，则下面选项正确的为（ ）
A.B.
C.D.整数、属于同一“类”的充分不必要条件是“”
二、多选题
9.命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A.B.C.D.
10.下列说法正确的是（ ）.
A.的一个必要条件是
B.若集合中只有一个元素，则
C.“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D.已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
11.若，.，则以下说法正确的有（ ）
A.的最大值为
B.的最大值为
C.的最大值为0
D.恒小于0
第II卷（非选择题）
三、填空题
12.命题“，使”是真命题，则a的取值范围是________.
13.已知，则的最小值为________.
14.设集合，，其中、、、、是五个不同的正整数，且，已知，，中所有元素之和是246，请写出所有满足条件的集合A：________.
四、解答题
15.已知全集，，.
（1）求；
（2）若且，求的取值范围.
16.已知p：关于x的方程有实数根，：.
（1）若命题是假命题，求实数a的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
17.不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：
（1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式
（2）甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是，第二周采购时价格是.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方案更经济，请说明理由.
18.已知函数，.
（1）若，试求的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
19.对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点、，且，求的最小值.
（3）若对任意实数，二次函数恒有不动点，求的取值范围.
参考答案：
1.D
【分析】先求出集合B的补集，再求出
【详解】因为，所以,
因为，所以，
故选：D
2.D
【解析】根据子集和真子集的概念可知，集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素，对集合X中元素个数分类，即可列举出满足题意的集合X，从而求出个数.
【详解】由题意可以确定集合X中必含有元素1，且最多含有3个元素，因此集合X可以是，，，，，，，共7个.
故选：D.
3.B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解.
【详解】根据诗意，作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”，
但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”，
所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.
故选：B.
4.B
【分析】用不等式的基本性质得解.
【详解】对A选项，设，，，，则，A错误；
对B选项，若，又，所以，故B正确；
对C选项，∵，但，C错误；
对D选项，∵，但，D错误.
故选：B.
5.D
【分析】利用和范围求出，然后利用不等式的性质求解即可
【详解】由，，
得，即，
，
所以，即，
故选：D
6.B
【分析】解不等式得到：或，根据题意得到q是p的充分不必要条件，从而得到两不等式的包含关系，求出答案.
【详解】由条件：，解得或；
因为是的充分不必要条件，所以q是p的充分不必要条件，
故是的真子集，
则的取值范围是，
故选：B.
7.D
【分析】先表示出，再化解，利用均值不等式可求最小值.
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，∴，
当且仅当，即时“=”，
故选：D.
8.C
【分析】求2025被5除的余数，判断A，求-2被5除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，每个整数除以5后的余数只有0，1，2，3，4，没有其他余数，
所以，又，
故，C正确；
对于D，若，，
则，，，
∴
若，则，，
不妨设，，
则，，
所以，，
所以，除以5后余数相同，
所以，属于同一“类”
所以整数，属于同一“类”的充要条件是“”，D错误；
故选：C.
9.BC
【分析】根据恒成立，求出m的范围，得到其充分不必要条件即可.
【详解】因为，，所以，则，
所以当时，，恒成立，
要使“，”是真命题的一个充分不必要条件，则m的值要大于9，
故，均可.
故选：BC.
10.CD
【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解.
【详解】对于A，当，时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合A中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合A中只有一个元素得，故，
所以符合题意的a有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，故集合N的个数为个，故D正确.
故选：CD.
11.CD
【分析】由可得，而
，
可判断C正确；从而得到x，y，z中至少有一个为2023，
不妨令，则且，，
从而可判断A，B，D选项.
【详解】∵，∴，
∴
对于C，
，
∵，
∴，C正确；
由C选项可知，，
所以x，y，z中至少有一个为2023，不妨令，则且，，
对于A，，
所以，A错误；
对于D，，而，
所以，即，D正确；
对于B，
而，所以，
即，B错误.
故选：CD
12.
【分析】可根据题意得出“，恒成立”，然后根据即可得出结果.
【详解】因为命题“，使”是真命题，
所以，恒成立，即恒成立，
因为当时，，所以，a的取值范围是，
故答案为：.
13./4.5
【分析】先根据，将函数解析式构造为；
再利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，则.
因为，则，
所以
∵
当且仅当，即时等号成立.
∴
∴的最小值为.
故答案为：.
14.或
【分析】由题意可得，所以，，分类讨论当和时情况，即可得出结果.
【详解】由题意，得，所以，.
由于B中有9，因此A中有3，此时集合A，B有共同元素1，
若，则，于是；
此时且，无正整数解；
若，集合A，B有共同元素1和9，则，
所以，且，而，
所以，
当时，；
当时，；
因此满足条件的A共有2个，分别为，.
故答案为：或.
15.（1）
（2）
【分析】（1）先求出集合，再求即可，
（2）先求出，然后由，对和两种情况讨论求解即可.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，
所以
（2）因为，，
所以，
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，或，解得，
综上，的取值范围为
16.（1）
（2）
【分析】（1）由命题是假命题，可得命题p是真命题，则由，求出a的取值范围；
（2）由p是q的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解即可.
【详解】（1）因为命题是假命题，则命题p是真命题，
即关于x的方程有实数根，
因此，解得，
所以实数a的取值范围是.
（2）由（1）知，命题p是真命题，即：，
因为命题p是命题q的必要不充分条件，则，
因此，解得，
所以实数m的取值范围是.
17.（1），证明见解析
（2）见解析
【分析】（1）根据题意列出不等式，然后用作差法证明即可；
（2）根据题意表示出来每种方案的平均价格，然后用作差法比较大小，即可判断哪种方案经济.
【详解】（1）该不等式为
证明：因为，所以，于是.
（2）若按第一种方案采购，每次购买量为n，则两次购买的平均价格为，
若按第二种方案采购，每次用的钱数是m，则两次购买的平均价格为，
又，
所以当时，两种方案一样；
当时，第二种方案比较经济.
18.（1）-2
（2）
【分析】（1）由题意得，然后利用基本不等式可求得结果，
（2）将问题转化为在上恒成立，令，则只要即可，从而可求出a的取值范围
【详解】（1）依题意得，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以当时，的最小值为-2，
（2）因为，所以要使对于任意的，不等式成立，只要在上恒成立，
设，则，
即，解得，
即a的取值范围为
19.（1）-1和3
（2）8
（3）
【分析】（1）根据不动点定义列方程，解二次方程即可；
（2）根据不动点定义得方程有两个不相等的正实数根，列不等式求得，结合根与系数的关系以及基本不等式求得最值即可；
（3）根据不动点定义得，结合判别式即可求解.
【详解】（1）由题意知，即，则，
解得，，所以不动点为-1和3.
（2）依题意，有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
所以
，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.
（3）由题知：，
所以，由于函数恒有不动点，
所以，即，
又因为b是任意实数，所以，
即，解得，所以a的取值范围是.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
B
B
D
B
D
C
BC
CD
题号
11
答案
CD