中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型49等边三角形的378和578模型(原卷版+解析)

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当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

【模型】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时
①这两个三角形的面积分别为63、103.
②3、8与5、8夹角都是60°

例题精讲
【例1】．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度．

变式训练
【变式1-1】．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）
A．45°B．37°C．60°D．90°
【变式1-2】．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆I的半径为 ．

【例2】．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 ．

变式训练
【变式2-1】．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 ．
【变式2-2】．△ABC中，AB＝8，BC＝5，AC＝7，圆O是△ABC的外接圆，AD为直径，则sin∠BAD＝ ．

1．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90°B．150°C．135°D．120°
2．在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．56C．48D．112
3．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
4．已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（ ）
A．B．10C．5D．
5．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 ．
6．△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 ．
7．在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的内切圆的周长为 ．
8．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 cm2．
9．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
10．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
11．△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为8，3，7，以B为圆心，BC为半径画弧交线段AB于点D，请求出弧CD的长度．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
13．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF．
14．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，与△ABC的三边相切于D，E，F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，连接CD，DE，求tan∠CDE的值．

模型介绍
当我们遇到两个三角形的三边长分别为 3，7，8 和 5，7，8 的时候，通常不会对它们进行处理，实际是因为我们对于这两组数字不敏感，但如果将这两个三角形拼在一起，你将惊喜地发现这是一个边长为 8的等边三角形.

【模型】当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时
①这两个三角形的面积分别为63、103.
②3、8与5、8夹角都是60°

例题精讲
【例1】．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7，试过A作AD垂直BC于点D并求出CD的长度．
解：如图所示，作AD⊥BC于点D，
设CD＝x，则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
则在直角三角形ABD和直角三角形ADC中，由勾股定理有：
AB2﹣BD2＝AC2+CD2，
即64﹣（5﹣x）2＝49﹣x2，
解得：x＝1．
故CD长度为1．

变式训练
【变式1-1】．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则∠C＝（ ）
A．45°B．37°C．60°D．90°
解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
故选：C．
【变式1-2】．如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，则△ABC的内切圆I的半径为 ．

解：如图，过点B作BD⊥AC，
∵△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为3，7，8，
∴设AD＝x，则CD＝8﹣x，
在△ABD与△CBD中，BD2＝AB2﹣AD2＝BC2﹣CD2，
∴32﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴AD＝，
∴BD＝＝，
过点I作IE垂直BC于E，
∵I为△ABC的内心，
∴△ABC的三边AB，BC，CA上的高都等于IE，
∵，
∴8×＝（3+7+8）×IE，
∴IE＝，
∴△ABC的内切圆I的半径为．
故答案为：．
【例2】．如图，△ABC中，∠B＝60°，AB＝8，BC＝5，E点在BC上，若CE＝2，则AE的长等于 7 ．

解：过A作AD⊥BC，交BC于D，
△ABD中，∠B＝60°，AB＝8，
∴BD＝4，AD＝4，
则 CD＝1，ED＝1．
∴AE＝＝＝7．
故答案为：7．
变式训练
【变式2-1】．当两个三角形的边长分别为3，7，8和5，7，8时，则这两个三角形的面积之和是 16 ．
解：当三角形的边长为：3，7，8时，P＝，
∴S＝
＝
＝；
当三角形的边长为：5，7，8时，P＝，
∴S＝
＝
＝，
则两个三角形的面积之和为：．
故答案为：．
【变式2-2】．△ABC中，AB＝8，BC＝5，AC＝7，圆O是△ABC的外接圆，AD为直径，则sin∠BAD＝ ．
解：如图，连接BD，过A作AE⊥BC于E，
∵AD为⊙O直径，
∴∠ABD＝∠AEC＝90°，
∴∠BAD+∠BDA＝∠EAC+∠ACB＝90°
∵，
∴∠BDA＝∠ACB，
∴∠BAD＝∠EAC，
在Rt△ACE中，AC＝7，设CE＝x，
AE2＝AC2﹣CE2＝49﹣x2，
同理，AE2＝AB2﹣BE2＝64﹣（5﹣x）2，
∴49﹣x2＝64﹣（5﹣x）2，
∴x＝1，
∴CE＝1
∴，
∴，
故答案为．

1．边长为5，7，8的三角形的最大角和最小角的和是（ ）
A．90°B．150°C．135°D．120°
解：如图，△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，
过点A作AD⊥BC于D，
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
故选：D．
2．在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的面积为（ ）
A．24B．56C．48D．112
解：如图，过点C作CD⊥AB于D，
在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，
∴设BD＝x，则AD＝16﹣x，
在△DBC与△ADC中，
∵CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，
∴62﹣x2＝142﹣（16﹣x）2，
解得：x＝3，
∴CD＝3，
∴＝24．
故选：A．
3．已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AC＝7，则∠B的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．70°
解：过A作AD⊥BC于D，设BD＝x，则CD＝8﹣x，
在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，
∵AB＝5，AC＝7，
∴25﹣x2＝49﹣（8﹣x）2，
解得：x＝，
∴BD＝2.5，
∵AB＝5，
∴AB＝2BD，
∴∠BAD＝30°
∴∠B的度数是60°．
故选：C．
4．已知直角三角形的两直角边分别为6和8，则该直角三角形斜边上的高为（ ）
A．B．10C．5D．
解：∵直角三角形的两直角边为6和8，
∴斜边长为：＝10，
设直角三角形斜边上的高是h，
∴×6×8＝×10×h，
解得：h＝．
故选：D．
5．已知：在△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则AB为 3或5 ．
解：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，
则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°．
设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵sinB＝，AC＝7，
∴AD＝．
∴（x）2+（8﹣x）2＝72．
解得x1＝，x2＝．
∴当x＝时，AB＝2x＝3；
当x＝时，AB＝2x＝5．
故AB为3或5．
故答案为：3或5．
6．△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，则△ABC的面积为 6或10 ．
解：方法1：∵△ABC中，BC＝8，AC＝7，∠B＝60°，
∴由余弦定理，得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcsB，
即49＝AB2+64﹣2×AB×8cs60°，
整理得AB2﹣8AB+15＝0，
解得AB＝3或AB＝5，
∴△ABC的面积为S＝BC•ABsinB＝×8•AB×＝2AB＝6或10．
方法2：如图所示：作AD⊥BC交BC于点D，
则∠ADC＝90°．
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝30°．
设BD为x，则CD为（8﹣x），AB为2x．
∵sinB＝＝，AC＝7，
∴AD＝x．
∴（x）2+（8﹣x）2＝72．
解得x1＝，x2＝．
∴当x1＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝6；
当x2＝时，△ABC的面积为S＝BC•AD＝×8××＝10．
故答案为6或10．
7．在△ABC中，AB＝16，AC＝14，BC＝6，则△ABC的内切圆的周长为 π ．
解：如图1，过A作AE⊥BC于E，
设BE＝x，则CE＝6﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2﹣BE2，
∴AE2＝162﹣x2，
同理，在Rt△ACE中，AE2＝142﹣（6﹣x）2，
∴162﹣x2＝142﹣（6﹣x）2，
∴x＝8，
∴BE＝8，AE＝，
∵BE＞BC，
∴△ABC是钝角三角形，
∴S△ABC＝＝24，
如图2，设⊙O是△ABC的内切圆，AB边切⊙O于点D，连接OD，
则OD⊥AB，
连接OA，OB，OC，设⊙O半径为r，
∴＝，
同理，，，
∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝，
∴，
∴r＝，
⊙O的周长为2πr＝，
故答案为：．

8．若一个等腰三角形的周长为16cm，一边长为6cm，则该等腰三角形的面积为 8或12 cm2．
解：当腰为6cm时，底边长＝16﹣6﹣6＝4cm，6，6，4能构成三角形，其他两边长为6cm，4cm，
∴等腰三角形的底边上的高为（cm），
∴该等腰三角形的面积为（cm2）；
当底为6cm时，三角形的腰＝（16﹣6）÷2＝5cm，6，5，5能构成三角形，其他两边长为5cm，5cm，
∴等腰三角形的底边上的高为（cm），
∴该等腰三角形的面积为（cm2）；
故答案为：8或12．
9．已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝．
故答案为：．
10．如图，△ABC的边AB＝8，BC＝5，AC＝7．求BC边上的高．
解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2＝AB2﹣BD2，AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即82﹣（5﹣CD）2＝72﹣CD2，
解得，CD＝1，
则BC边上的高AD＝＝4．
11．△ABC的三边AB，BC，CA的长度分别为8，3，7，以B为圆心，BC为半径画弧交线段AB于点D，请求出弧CD的长度．
解：作CM⊥AB于M，
设BM＝x，则AM＝8﹣x，
利用勾股定理，BC2﹣BM2＝AC2﹣AM2，
∴32﹣x2＝72﹣（8﹣x）2，
解得x＝，
∴BM＝，
在Rt△BCM中，BC＝3，BM＝，
∴cs∠B＝＝，
∴∠B＝60°，
∴弧CD的长度为：＝π．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15．
求：（1）CD的长；
（2）AD的长．
解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得，
AB＝＝＝25，
∵CD⊥AB，
∴S，
∴CD＝＝12；
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得，
BD＝＝＝9，
AD＝25﹣9＝16．
13．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，CE＝CD，DF⊥BE，垂足为F．
（1）求BD的长；
（2）求证：BF＝EF．
（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BCD＝60°，AB＝BC＝AC＝6，
又∵AB＝6，点D为AC的中点，
∴CD＝3，BC⊥CD，
∴BD＝＝＝3；
（2）证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点，
∴∠CBD＝，
又∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
又∵∠BCD＝60°，
∴∠E＝，
∴∠CBD＝∠E，
∴BD＝DE，
又∵DF⊥BC，垂足为F．
∴BF＝EF．
14．如图，△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝8，⊙O是△ABC的内切圆，与△ABC的三边相切于D，E，F．
（1）求⊙O的半径；
（2）如图2，连接CD，DE，求tan∠CDE的值．
解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴AB2﹣BH2＝AC2﹣CH2，
∴52﹣（8﹣CH）2＝72﹣CH2，
解得：CH＝5.5，
∴AH＝＝，
∴S△ABC＝8×＝10，
连接OA，OB，OC，OD，OE，OF，
设⊙O的半径为r，
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r，
∴×5r+rr＝10，
∴r＝；
∴⊙O的半径为；
（2）∵AH＝，AB＝5，
∴sin∠ABC＝＝
∴∠ABC＝60°，
∵AB＝5，AC＝7，BC＝8，
∴BD＝BE＝＝3，CE＝5，
∴△BDE是等边三角形，
∴DE＝3，∰
作CG⊥DE于G，
∴∠CEG＝BED＝60°，
∴CG＝CE•sin60°＝，EG＝CE•cs60°＝，
∴DG＝DE+EG＝，
∴tan∠CDE＝＝．