中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型18奔驰模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型18奔驰模型(原卷版+解析)，共33页。

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 .

【结论】如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
则①∠APB=150º， ②S△ABC＝34AB2＝253+364

关键：旋转可以让线段动起来
各种旋法：


超酷炫又实用：S=34a2

例题精讲
【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝ ．
变式训练
【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．105°D．55°
【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝ ．
【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为 ．

1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．24+9B．48+9C．24+18D．48+18
3.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´，有下列结论∶
①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;
②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°;
④S四边形AOBO´ ＝6＋33; ⑤S∆AOC＋S∆AOB ＝6＋943
其中正确的结论是（ )

A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
4.如图，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点 P是△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，则菱形 ABCD的面积等于 .
5．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝ ．
6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝ ．
7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 ．
8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′为 三角形．
∴∠APB的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
11．【方法呈现】：
（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
【实际运用】：
（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；
【拓展延伸】：
（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是 （直接填答案）
12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．
解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴ ＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4， ＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝ °
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．
（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 ，正方形ABCD的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．
14．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（−3，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．

模型介绍
因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 .

R【结论】如图 ,等边△ABC，PA=3，PB=4，PC=5，
则①∠APB=150º， ②S△ABC＝34AB2＝253+364

R关键：旋转可以让线段动起来
各种旋法：


R超酷炫又实用：S=34a2

例题精讲
【例1】．如图，点D是等边△ABC内部一点，BD＝1，DC＝2，AD＝，则∠ADB＝ 150 °．
解：将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABD'，
∴BD＝BD'，AD'＝CD，
∴∠DBD'＝60°，
∴△BDD'是等边三角形，
∴∠BDD'＝60°，
∵BD＝1，DC＝2，AD＝，
∴DD'＝1，AD'＝2，
在△ADD'中，AD'2＝AD2+DD'2，
∴∠ADD'＝90°，
∴∠ADB＝60°+90°＝150°，
故答案为150．
变式训练
【变式1-1】．如图，点D是等边△ABC内一点，AD＝3，BD＝3，CD＝，△ACE是由△ABD绕点A逆时针旋转得到的，则∠ADC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．105°D．55°
解：连接DE，
由旋转可知，△ACE≌△ABD，
∴AE＝AD＝3，CE＝BD＝3，CD＝，
∠BAD＝∠CAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴∠BAD+∠DAC＝60°，
∴∠CAE+∠DAC＝60°，即∠DAE＝60°，
∴△DAE是等边三角形，
∴DE＝AD＝3，
∵32+32＝（3）2，
∴DE2+CE2＝CD2，
∴△DEC是直角三角形，且∠DEC＝90°，
∴DE＝CE，∠EDC＝45°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝105°， 故选：C．
【变式1-2】．如图，等边三角形ABC内有一点P，分别连接AP、BP、CP，若AP＝6，BP＝8，CP＝10．则S△ABP+S△BPC＝ 24+16 ．
解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP'B，连接PP′，
根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′＝∠CAB＝60°，BP＝BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′＝BP＝8＝PP'；
由旋转的性质可知，AP′＝PC＝10，
在△BPP′中，PP′＝8，AP＝6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC＝S四边形AP'BP＝S△BP'P+S△AP'P＝BP2+×PP'×AP＝24+16
故答案为：24+16
【变式1-3】．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为 105° ．
解：如图，将△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，连接EP，
∴△APB≌△AED，
∴AE＝AP＝1，PB＝DE＝，∠PAE＝90°，∠AED＝∠APB，
∴PE＝AE＝，∠AEP＝∠APE＝45°，
∴DE＝DP＝PE＝，
∴△DEP是等边三角形，
∴∠DEP＝60°，
∴∠AED＝105°＝∠APB，
故答案为：105°．

1．如图，点O是等边三角形ABC内一点，OA＝2，OB＝1，OC＝，则△AOB与△BOC的面积之和为（ ）
A．B．C．D．
解：将△AOB绕点B顺时针旋转60°得△CDB，连接OD，
∴OB＝BD，∠OBD＝60°，CD＝OA＝2，
∴△BOD是等边三角形，
∴OD＝OB＝1，
∵OD2+OC2＝12+（）2＝4，CD2＝22＝4，
∴OD2+OC2＝CD2，
∴∠DOC＝90°，
∴△AOB与△BOC的面积之和为S△BOC+S△BCD＝S△BOD+S△COD＝×12+＝，
故选：C．
2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为（ ）
A．24+9B．48+9C．24+18D．48+18
解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠PAQ﹣∠PAB＝∠CAB﹣∠PAB，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△AQB中
，
∴△APC≌△AQB（SAS），
∴CP＝BQ＝10，
在△BPQ中，∵PQ＝6，BP＝8，BQ＝10，
而62+82＝102，
∴PQ2+PB2＝BQ2，
∴△BPQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴四边形APBQ的面积＝S△BPQ+S△APQ
＝×6×8+×62
＝24+9．
故选：A．
3.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO以点B为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO´，有下列结论∶
①△BO´A 可以由△BOC绕点B 逆时针旋转 60°得到;
②点 O与O´的距离为 4; ③∠AOB=150°;
④S四边形AOBO´ ＝6＋33; ⑤S∆AOC＋S∆AOB ＝6＋943
其中正确的结论是（ )

A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②③④⑤ D. ①②③
解：如图，连接 OO´.
①由奔驰模型推导过程可知∠OBO´=60°，△BOC≌△BO´A，∠②AOB=150°，△BOO´为等边三角形，所以 OO´=OB=4，故①②③正确. S四边形AOBO´＝S∆AOO´ ＋S∆OBO´＝12×3×4 ＋34×42=6+43,故④错误.
如图，将△AOB绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB与AC 重合，点 O旋转至点O".

易知△AOO〞是边长为 3 的等边三角形，△COO〞是直角三角形，
则 S∆AOC ＋S∆AOB＝S四边形AOBO´＝S∆COO "＋S∆AOO "
＝12×3×4 ＋34×32=6+943 ，故⑤正确.综上所述，正确的结论为①②③⑤.故选 A.
4.如图，在菱形 ABCD中，∠ABC=60°，对角线AC平分∠BAD，点 P是△ABC 内一点，连接 PA，PB，PC.若 PA=6，PB=8，PC=10，则菱形 ABCD的面积等于 .
解：过A点作AH⊥BP，交 BP的延长线于H，
由奔驰模型可知∠APB=150°， ∴∠APH=30°，
AH＝12PA＝3,PH＝33,∴BH=8＋33,∴AB2＝AH²＋BH²＝100＋483 ,S菱形ABCD＝2S∆ABC＝2 ×34×AB2＝503＋72
5．如图，点P是正方形ABCD内一点，若，，PC＝1，则∠BPC＝ 135° ．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，BA＝BC，
把△BAP绕点B顺时针旋转90°得到△BCE，连接PE，如图，
∴BP＝BE＝，CE＝AP＝，∠PBE＝90°，
∴△PBE为等腰直角三角形，
∴∠BPE＝45°，PE＝PB＝×＝2，
在△PCE中，∵PC＝1，PE＝2，CE＝，
∴PC2+PE2＝CE2，
∴△PCE为直角三角形，∠CPE＝90°，
∴∠BPC＝∠BPE+∠CPE＝45°+90°＝135°．
故答案为：135°．
6．已知P是等边△ABC内一点，若PA＝3，PB＝5，PC＝4，则△ABC的面积＝ ．
解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
把△APC绕点A顺时针旋转60°可得到△ABD，如图，
∴AD＝AP＝3，BD＝PC＝4，∠DAP＝60°，∠ADB＝∠APC，
∴△ADP为等边三角形，
∴DP＝AP＝3，∠ADP＝60°，
在△BDP中，∵DP＝3，DB＝4，BP＝5，
而32+42＝52，
∴DP2+DB2＝BP2，
∴△BDP为直角三角形，∠BDP＝90°，
∴∠ADB＝∠ADP+∠BDP＝60°+90°＝150°，
∴∠APC＝150°；
作BE⊥AD于E，如图
∵∠ADB＝150°，
∴∠BDE＝30°，
在Rt△BDE中，BE＝BD＝2，DE＝BE＝2，
∴AE＝AD+DE＝3+2，
在Rt△ABE中，AB＝＝＝，
∴S△ABC＝×（）2＝，
故答案为：．
7．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ．若PA＝6，PB＝8，PC＝10，则四边形APBQ的面积为 24+9 ．
解：连接PQ，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，
∴AP＝PQ＝6，∠PAQ＝60°，
∴△APQ为等边三角形，
∴PQ＝AP＝6，
∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，
∴∠CAP＝∠BAQ，
在△APC和△ABQ中，
，
∴△APC≌△ABQ，
∴PC＝QB＝10，
在△BPQ中，∵PB2＝82＝64，PQ2＝62，BQ2＝102，
而64+36＝100，
∴PB2+PQ2＝BQ2，
∴△PBQ为直角三角形，∠BPQ＝90°，
∴S四边形APBQ＝S△BPQ+S△APQ＝×6×8+×62＝24+9．
故答案为24+9．
8．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有 （填序号）
①△BPQ是等边三角形②△PCQ是直角三角形③∠APB＝150° ④∠APC＝120°
解：①∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，
∵△BQC≌△BPA，∴∠CBQ＝∠ABP，PB＝QB＝4，PA＝QC＝3，∠BPA＝∠BQC，
∴∠PBQ＝∠PBC+∠CBQ＝∠PBC+∠ABP＝∠ABC＝60°，∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；②PQ＝PB＝4，PQ2+QC2＝42+32＝25，PC2＝52＝25，∴PQ2+QC2＝PC2，
∴∠PQC＝90°，∴△PCQ是直角三角形，所以②正确；
③∵△BPQ是等边三角形，∴∠PQB＝∠BPQ＝60°，
∴∠APB＝∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝60°+90°＝150°，所以③正确；
④∠APC＝360°﹣150°﹣60°﹣∠QPC＝150°﹣∠QPC，
∵∠PQC＝90°，PC≠2QC，∴∠QPC≠30°，∴∠APC≠120°．所以④错误．
所以正确的有①②③．
9．如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．
（1）求点P与点P′之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

解：（1）连接PP′，由题意可知BP′＝PC＝10，AP′＝AP，
∠PAC＝∠P′AB，而∠PAC+∠BAP＝60°，所以∠PAP′＝60度．故△APP′为等边三角形，所以PP′＝AP＝AP′＝6；
（2）利用勾股定理的逆定理可知：
PP′2+BP2＝BP′2，所以△BPP′为直角三角形，且∠BPP′＝90°
可求∠APB＝90°+60°＝150°．
10．下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．
（1）如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，
∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′为 三角形．
∴∠APB的度数为 ．
（2）类比延伸
如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）如图1，将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP′，则△APP′为等边三角形．
∵PP′＝PA＝3，PB＝4，P′B＝PC＝5，∴P′P2+PB2＝P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．∴∠APB的度数为90°+60°＝150°．故答案为：直角；150°；
（2）2PA2+PD2＝PB2．理由如下：
如图2，把△ADP绕点A顺时针旋转90°得到△ABP′，连接PP′．
则P′B＝PD，P′A＝PA，∠PAP′＝90°，
∴△APP′是等腰直角三角形，∴PP′2＝PA2+P′A2＝2PA2，∠PP′A＝45°，
∵∠APD＝135°，∴∠AP′B＝∠APD＝135°，∴∠PP′B＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′B中，由勾股定理得，PP′2+P′B2＝PB2，∴2PA2+PD2＝PB2．
11．【方法呈现】：
（1）已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1），设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
【实际运用】：
（2）如图2，点P是等腰Rt△ABC内一点，AB＝BC，连接PA，PB，PC．若PA＝2，PB＝4，PC＝6，求∠APB的大小；
【拓展延伸】：
（3）如图3，点P是等边△ABC内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则△APC的面积是 （直接填答案）
解：（1）∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'CB，∴S△PAB＝S△P'CB，S阴影＝S扇形BAC﹣S扇形BPP′=π4（a2﹣b2）；
（2）如图2，连接PP′．
∵将△PAB绕B点顺时针旋转90°，与△P′CB重合，
∴△PAB≌△P′CB，∠PBP′＝90°，
∴BP＝BP′，∠APB＝∠CP′B，AP＝CP′＝2，
∴△PBP′是等腰直角三角形，∴PP′=2PB＝42，∠BP′P＝45°．
在△CPP′中，∵PP′＝42，CP′＝2，PC＝6，∴PP′2+CP′2＝PC2，
∴△CP′P是直角三角形，∠CP′P＝90°，
∴∠CP′B＝∠BP′P+∠CP′P＝45°+90°＝135°；
（3）如图3①，将△PAB绕A点逆时针旋转60°得到△P1AC，连接PP1，
∴△APB≌△AP1C，∴AP＝AP1，∠PAP1＝60°，CP1＝BP＝4，
∴△PAP1是等边三角形，∴PP1＝AP＝3，
∵CP＝5，CP1＝4，PP1＝3，∴PP12+CP12＝CP2，
∴△CP1P是直角三角形，∠CP1P＝90°，
∴S△APP1=12×3×332=934，S△PP1C=12×3×4＝6，
∴S四边形APCP1＝S△APP1+S△PP1C=934+6；
∵△APB≌△AP1C，∴S△ABP+S△APC＝S四边形APCP1=934+6；
如图3②，同理可求：△ABP和△BPC的面积的和=12×4×432+12×3×4＝43+6，
△APC和△BPC的面积的和=12×5×532+12×3×4=2534+6，
∴△ABC的面积=12（934+6+43+6+2534+6）=2534+9，
∴△APC的面积＝△ABC的面积﹣△APB与△BPC的面积的和＝（2534+9）﹣（43+6）=934+3．故答案为934+3．

12．（1）如图1，点P是等边△ABC内一点，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．
分析：要直接求∠APB的度数显然很困难，注意到条件中的三边长恰好是一组勾股数，因此考虑借助旋转把这三边集中到一个三角形内．
解：如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴ PD ＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°∴∠BAP＝ ∠CAD
∴△ABP≌△ACD
∴BP＝CD＝4， ∠APB ＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝ 90 °
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
（2）如图3，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点P是△ABC内一点，PA＝1，PB＝2，PC＝3，求∠APB的度数．
（3）拓展应用．如图（4），△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝4，BC＝5，P是△ABC内部的任意一点，连接PA，PB，PC，则PA+PB+PC的最小值为 ．
解：（1）如图2，作∠PAD＝60°使AD＝AP，连接PD，CD，则△PAD是等边三角形．
∴PD＝AD＝AP＝3，∠ADP＝∠PAD＝60°
∵△ABC是等边三角形
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
∴∠BAP＝∠CAD，
∴△ABP≌△ACD（SAS）
∴BP＝CD＝4，∠APB＝∠ADC
∵在△PCD中，PD＝3，PC＝5，CD＝4，PD2+CD2＝PC2
∴∠PDC＝90°
∴∠APB＝∠ADC＝∠ADP+∠PDC＝60°+90°＝150°
故答案为：PD，∠CAD，∠APB，90．
（2）解：∵∠ABC＝90°，BC＝AB，
∴把△PBC绕B点逆时针旋转90°得到△DBA，如图，
∴AD＝PC＝3，BD＝BP＝2，
∵∠PBD＝90°
∴DP＝PB＝2，∠DPB＝45°，
在△APD中，AD＝3，PD＝2，PA＝1，
∵12+（2）2＝32，
∴AP2+PD2＝BD2，
∴△APD为直角三角形，
∴∠APD＝90°，
∴∠APB＝∠APD+∠DPB＝90°+45°＝135°．
（3）解：如图4中，将△ABP绕着点B逆时针旋转60°，得到△DBE，连接EP，CD，
∴△ABP≌△DBE
∴∠ABP＝∠DBE，BD＝AB＝4，∠PBE＝60°，BE＝PE，AP＝DE，
∴△BPE是等边三角形
∴EP＝BP
∴AP+BP+PC＝PC+EP+DE
∴当点D，点E，点P，点C共线时，PA+PB+PC有最小值CD
∵∠ABC＝30°＝∠ABP+∠PBC
∴∠DBE+∠PBC＝30°
∴∠DBC＝90°
∴CD＝＝＝，
故答案为．
13．（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA=2，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为 ，正方形ABCD的边长为 ．
（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．
（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：
如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为 ．
解：（1）∵△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，
∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA=2，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，
∴△BPP′为等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′=2PB＝32，
∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，
在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC=PP′2+P′C2=(32)2+(2)2=25，
过点A作AE⊥BP交BP的延长线于E，如图1所示：
∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，
∴AE＝PE=22PA=22×2=1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB=AE2+BE2=12+42=17，
故答案为：25，17；
（2）∠APB的度数为150°，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
将△BPC绕点B逆时针旋转60°，得到△BP′A，连接PP′，如图2所示：
则△BPP′是等边三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，
∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′为直角三角形，
∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；
（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，
∴∠BAC＝90°，AB＝AC，
将△ABD绕点A顺时针旋转90°，得到△ACK，连接DK，如图3所示：
由旋转的性质得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，
∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK=2AD＝32，∠ADK＝45°，
∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，
∴CK=DK2+CD2=(32)2+22=22，∴BD=22，故答案为：22．
14．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数．
小明发现，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决（如图2）．
请回答：图1中∠APB的度数等于 ，图2中∠PP′C的度数等于 ．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（−3，1），连接AO．如果点B是x轴上的一动点，以AB为边作等边三角形ABC．当C（x，y）在第一象限内时，求y与x之间的函数表达式．
解：阅读材料：把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′，
由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°，
∴△APP′是等边三角形，∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°，
∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25，∴PP′2+P′C2＝PC2，
∴∠PP′C＝90°，∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；
故∠APB＝∠AP′C＝150°；故答案为：150°；90°；
如图3，在y轴上截取OD＝2，作CF⊥y轴于F，AE⊥x轴于E，连接AD和CD，
∵点A的坐标为（−3，1），∴tan∠AOE=13=33，∴AO＝OD＝2，∠AOE＝30°，
∴∠AOD＝60°．∴△AOD是等边三角形，
又∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠CAB＝∠OAD＝60°，
∴∠CAD＝∠OAB，∴△ADC≌△AOB．∴∠ADC＝∠AOB＝150°，又∵∠ADF＝120°，
∴∠CDF＝30°．∴DF=3CF．
∵C（x，y）且点C在第一象限内，∴y﹣2=3x，∴y=3x+2（x＞0）．