中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型44三角板拼接模型(原卷版+解析)

这是一份中考数学解题大招复习讲义(全国通用)模型44三角板拼接模型(原卷版+解析)，共28页。

2.如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。
方法点睛
我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置角的计算或证明问题.
例题精讲
【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2的度数为______
变式训练
【变式1-1】．如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为 ．
【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果DE∥AB，那么n的值是 ．
【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为 ．
变式训练
【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝（ ）
A．40°B．43°C．45°D．47°
【变式2-2】．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝ 秒时，两块三角尺有一组边平行．

1．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点O，若AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
2．一把直尺与一块三角板如图放，若∠1＝49°，则∠2的度数为（ ）
A．41°B．49°C．131°D．139°
3．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2＝65°B．∠3＝45°C．∠4＝125°D．∠5＝130°
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放AB∥CD，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．105°B．75°C．60°D．45°
6．一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．75°
8．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为（ ）秒．
A．5B．7C．5或17D．7或19
9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合，已知AB＝4，P、Q分别是AC、BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A．9B．C．6D．3
10．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为 度．
11．已知：如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示放置，∠AEG＝30°．求∠HFD的度数．
12．将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数．
13．小聪把一副三角尺ABC，DCE按如图1的方式摆放，其中边BC，DC在同一条直线上，过点A向右作射线AP∥DE．
（1）如图2，求∠PAC的度数；
（2）如图3，点Q是线段BC上一点，若，求∠QAB的度数．
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 ；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠ACE角度所有可能的值，不用说明理由．
15．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2P是AC上的一个动点．
（1）当PD＝BC时，求∠PDA的度数；
（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；
（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的长．
16．（1）如图1，线段MN＝30cm，MO＝GO＝3cm，点P从点M开始绕着点O以15°/s的速度顺时针旋转一周回到点M后停止，点Q同时出发沿射线NM自N点向M点运动，若点P、Q两点能恰好相遇，则点Q运动的速度为 ；
（2）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠ACD＝∠ECB＝90°，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．将三角尺△ACD固定，另一三角尺△ECB的EC边从AC边开始绕点C转动，转动速度与（1）问中P点速度相同，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出∠ACE有可能的值及对应转动的时间；若不存在，请说明理由．

模型介绍
1.如图所示为一块含有30°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。
2.如图所示为一块含有45°角的三角板，则∠A=______°，∠B=_______°，∠C＝_____°。
方法点睛
我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置角的计算或证明问题.
例题精讲
【例1】．将一副三角尺按如图所示的方式摆放（两条直角边在同一条直线上），连接另外两个锐角顶点，并测得∠1＝45°，则∠2的度数为______
解：如图所示：
∠3＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
因为∠1＝45°，
所以∠2＝180°﹣∠1﹣∠3＝180°﹣45°﹣75°＝60°．
变式训练
【变式1-1】．如图，一副三角尺△ABC与△ADE的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥AC，则∠DFG的度数为 105° ．
解法一：∵GF∥AC，∠C＝90°，
∴∠CFG＝180°﹣90°＝90°，
又∵AD，CF交于一点，∠C＝∠D，
∴∠CAD＝∠CFD＝60°﹣45°＝15°，
∴∠DFG＝∠CFD+∠CFG＝15°+90°＝105°．
解法二：∵GF∥AC，∠CAB＝60°，
∴∠FGE＝60°，
又∵∠DFG是△EFG的外角，∠FEG＝45°，
∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°，
故答案为：105°．
【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点C与F重合，边CA与边FE叠合，顶点B、C、D在一条直线上）．将三角尺DEF绕着点F按顺时针方向旋转n°后（0＜n＜180 ），如果DE∥AB，那么n的值是 75° ．
解：如图：
∵顺时针旋转n°后，DE∥AB，
∴D'E'∥AB，
延长AC、E'D'交于点G，
∴∠CGD'＝∠CAB＝45°，
∵∠CD'E'＝60°，
∴∠GCD'＝15°，
∵∠GCD'+∠D'CE'+∠ACE'＝180°，∠D'CE'＝90°，
∴∠ACE'＝75°，
∴n的值为75．
故答案为：75°．
【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线a∥b，则∠1的度数为 75° ．
解：如图，∠2＝45°，∠3＝60°，
∴∠2+∠3＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故答案为：75°．
变式训练
【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝（ ）
A．40°B．43°C．45°D．47°
解：如图， ∵∠1＝43°，∠4＝45°，
∴∠3＝∠1+∠4＝88°，
∵直尺对边平行，
∴∠5＝∠3＝88°，
∵∠6＝45°，
∴∠2＝180°﹣45°﹣88°＝47°，故选：D．
【变式2-2】．在一副三角尺中∠BPA＝45°，∠CPD＝60°，∠B＝∠C＝90°，将它们按如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器的0°刻度线重合，边AP与量角器的180°刻度线重合．将三角尺PCD绕点P以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺ABP绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，当三角尺PCD的PC边与180°刻度线重合时两块三角尺都停止运动，则当运动时间t＝ 6、9、15、33 秒时，两块三角尺有一组边平行．
①当AP∥CD时，∠APD+∠D＝180°．
∵∠D＝30°，
∴∠APD＝150°．
∴180°﹣5t＝150°．
t＝6．
②当AB∥PD时，∠A+∠APD＝180°．
∵∠A＝45°，
∴∠APD＝135°，
∴180°﹣5t＝135°，
t＝9．
③当AB∥CD时，∠APD＝105°＝180°﹣5t，
∴t＝15．
④当 AB∥CP 时，∠CPB＝90°，
∴∠APD＝60°+45°﹣90°＝180°﹣5t，
∴t＝33．
⑤当AP∥CD时，∠C+∠APC＝180°，
∴∠APD＝90°，
∴∠APD＝30°＝5t﹣180°，
∴t＝42＞40（舍去）．
故答案为：6，9，15，33．



1．将一副三角板按如图所示方式叠放在一起，其中直角顶点重合于点O，若AB∥OD，则∠1的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
解：由题意可知，
∠B＝45°，∠D＝30°，
∵AB∥OD，
∴∠BOD＝∠B＝45°，
∵∠1＝∠BOD+∠D，
∴∠1＝45°+30°＝75°，
故选：D．
2．一把直尺与一块三角板如图放，若∠1＝49°，则∠2的度数为（ ）
A．41°B．49°C．131°D．139°
解：如图，
根据三角形外角性质可得：∠3＝90°+∠1＝90°+49°＝139°，
根据平行线的性质可得：∠2＝∠3＝139°．
故选：D．
3．如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论正确的是（ ）
A．∠2＝65°B．∠3＝45°C．∠4＝125°D．∠5＝130°
解：如图：
∵三角尺的直角被直线m平分，
∴∠6＝∠7＝45°，
∵∠1＝60°，
∴∠4＝∠6+∠1＝45°+60°＝105°，
∵m∥n，
∴∠3＝∠7＝45°，∠2＝180°﹣∠4＝75°，
∴∠5＝180°﹣∠3＝180°﹣45°＝135°，
∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意，
故选：B．
4．将一副三角板按如图所示的位置摆放AB∥CD，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．75°D．105°
解：如图，
由题意得：∠D＝45°，∠B＝30°，
∵AB∥CD，
∴∠ANM＝∠D＝45°，
∴∠BNE＝∠ANM＝45°，
∵∠1是△BEN的外角，
∴∠1＝∠B+∠BNE＝75°．
故选：C．
5．将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线a∥b，则∠1的大小为（ ）
A．105°B．75°C．60°D．45°
解：如图：
∠BAC＝45°+60°＝105°，
∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝180°，
∴∠1＝180°﹣105°＝75°．
故选：B．
6．一副三角板按如图所示的位置叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
解：如图，
由题意得：∠A＝45°，∠2＝60°，
∵∠2是△ABC的外角，
∴∠α＝∠2﹣∠A＝15°．
故选：C．
7．将一副三角板按如图所示的位置摆放，∠C＝∠EDF＝90°，∠E＝45°，∠B＝60°，点D在边BC上，边DE，AB交于点G．若EF∥AB，则∠CDE的度数为（ ）
A．105°B．100°C．95°D．75°
解：∵EF∥AB，∠E＝45°，
∴∠BGD＝∠E＝45°，
∵∠CDE是△BDG的外角，∠B＝60°，
∴∠CDE＝∠B+∠BGD＝105°．
故选：A．
8．将一副直角三角板按如图所示方式叠放，现将含30°角的三角板固定不动，把含45°角的三角板绕O点按每秒15°的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转的时间为（ ）秒．
A．5B．7C．5或17D．7或19
解：如图，当斜边AB∥DO时，∠AOD＝∠A＝30°，
∵∠DOE＝45°，
∴旋转角COE＝180°﹣AOD﹣∠DOE＝105°，
105°÷15°＝7（秒）；
如图，将△ABE继续逆时针旋转180°，可得斜边AB∥OD′，
此时，旋转角为105°+180°＝285°，
285°÷15°＝19；
故选：D．
9．将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合，已知AB＝4，P、Q分别是AC、BC上的动点，当四边形DPBQ为平行四边形时，平行四边形DPBQ的面积是（ ）
A．9B．C．6D．3
解：∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，AB＝4，
∴AC＝AB•cs30°＝4×＝6，
∵四边形DPBQ为平行四边形，
∴DP∥CB，
∴∠DPC＝∠ACB＝90°，
∵DA＝DC，∠ADC＝90°，
∴点P是AC的中点，
∴DP＝PC＝AC＝3，
∴平行四边形DPBQ的面积＝DP•PC
＝3×3
＝9，
故选：A．
10．将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为 75 度．
解：如图，∠C＝30°，∠E＝45°，
∵BC∥EF，
∴∠1＝∠E＝45°，
∴∠ADE＝∠1+∠C＝45°+30°＝75°，
故答案为：75．
11．已知：如图，AB∥CD，一副三角板按如图所示放置，∠AEG＝30°．求∠HFD的度数．
解：过点G作AB平行线交EF于P，
由题意易知，AB∥GP∥CD，
∴∠EGP＝∠AEG＝30°，
∴∠PGF＝60°，
∴∠GFC＝∠PGF＝60°，
∴∠HFD＝180°﹣∠GFC﹣∠GFP﹣∠EFH＝45°．
12．将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点，连接DP．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数．
解：（1）在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝30°
∴BC＝，AC＝3．
如图（1），作DF⊥AC
∵Rt△ACD中，AD＝CD
∴DF＝AF＝CF＝，
∵BP平分∠ABC
∴∠PBC＝30°
∴CP＝BC•tan30°＝1
∴PF＝
∴DP＝＝．
（2）当P点位置如图（2）所示时，
根据（1）中结论，DF＝，∠ADF＝45°
又PD＝BC＝
∴cs∠PDF＝＝
∴∠PDF＝30°
∴∠PDA＝∠ADF﹣∠PDF＝15°
当P点位置如图（3）所示时，
同（2）可得∠PDF＝30°．
∴∠PDA＝∠ADF+∠PDF＝75°．

13．小聪把一副三角尺ABC，DCE按如图1的方式摆放，其中边BC，DC在同一条直线上，过点A向右作射线AP∥DE．
（1）如图2，求∠PAC的度数；
（2）如图3，点Q是线段BC上一点，若，求∠QAB的度数．
解：（1）∵AP∥DE，
∴∠PAB+∠D＝∠ABD，
∵∠D＝30°，∠ABD＝90°，∠BAC＝45°，
∴∠PAC＝15°．
（2）∵AP∥DE，
∴∠PAQ+∠D＝∠AQB，
∵∠AQB＝∠PAQ，
∴设∠PAQ＝x，则∠AQB＝x，
∴x+30°＝x，
解得x＝45°，
∴∠AQB＝75°，
∴∠QAB＝90°﹣75°＝15°．
14．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起：
（1）若∠DCE＝35°，则∠ACB的度数为 145° ；
（2）若∠ACB＝140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由；
（4）三角尺ACD不动，将三角尺BCE的CE边与CA边重合，然后绕点C按顺时针或逆时针．方向任意转动一个角度，当∠ACE（0°＜∠ACE＜90°）等于多少度时，这两块三角尺各有一条边互相垂直，直接写出∠ACE角度所有可能的值，不用说明理由．
解：（1）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣35°＝145°．
（2）∵∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠DCE＝180°﹣140°＝40°．
（3）∵∠ACE+∠ECD+∠DCB+∠ECD＝180．
∵∠ACE+∠ECD+∠DCB＝∠ACB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°，即∠ACB与∠DCE互补．
（4）30°、45°、60°、75°．
15．将一副三角尺按如图①方式拼接：含30°角的三角尺的长直角边与含45°角的三角尺的斜边恰好重合（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°；在Rt△ACD中，∠ADC＝90°∠DAC＝45°）已知AB＝2P是AC上的一个动点．
（1）当PD＝BC时，求∠PDA的度数；
（2）如图②，若E是CD的中点，求△DEP周长的最小值；
（3）如图③，当DP平分∠ADC时，在△ABC内存在一点Q，使得∠DQC＝∠DPC，且CQ＝，求PQ的长．
解：（1）如图1，过点D作DM⊥AC交于M，
在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴BC：AC：AB＝1：：2，且AB＝2，
∴BC＝，AC＝3，
在Rt△ADC中，AD：CD：AC＝1：1：，
∴AM＝MC＝DM＝1.5；
在Rt△PDM中，PD＝BC＝，
∴PM＝＝，
∴PM＝PD，
∴∠PDM＝30°，
∴∠PDA＝45°﹣30°＝15°；
当点P位于DM右侧时，∠PDA＝45°+30°＝75°．
（2）如图2，作△ADC关于直线AC对称，D的对称点为D′，
则四边形AD′CD是正方形，
连接D′E，PD，
此时PD+PE＝D′E，
∴△PDE的周长最小，
易得CD＝CD′＝，CE＝DE＝，
则D′E＝＝，
∴△PDE的周长的最小值为+；
（3）如图3，作∠QPN＝90°，交DQ于点N，
由∠DQC＝∠DPC＝90°知∠PDN＝∠PCQ，
由∠DPQ＝∠DPN+90°＝∠CPQ+90°知∠DPN＝∠CPQ，
又DP＝CP，
∴△DPN≌△CPQ（ASA），
∴PN＝PQ，
∴△PNQ是等腰直角三角形，
∴∠PNQ＝∠PQN＝45°，
∴∠PQC＝45°+90°＝135°＝∠PND，
∴DN＝CQ＝，
在Rt△DQC中，DQ＝＝2，
∴QN＝2﹣，
在等腰直角三角形NPQ中，PQ：PN：NQ＝1：1：，
∴PQ＝﹣．
16．（1）如图1，线段MN＝30cm，MO＝GO＝3cm，点P从点M开始绕着点O以15°/s的速度顺时针旋转一周回到点M后停止，点Q同时出发沿射线NM自N点向M点运动，若点P、Q两点能恰好相遇，则点Q运动的速度为 1.25cm/s或2 cm/s；
（2）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中，∠ACD＝∠ECB＝90°，∠A＝60°，∠D＝30°；∠E＝∠B＝45°）．将三角尺△ACD固定，另一三角尺△ECB的EC边从AC边开始绕点C转动，转动速度与（1）问中P点速度相同，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请写出∠ACE有可能的值及对应转动的时间；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵点P在⊙O上绕点O旋转的速度为15°/s，
∴点P到达点G的时间为180°÷15°＝12s，
回到点M的时间为360°÷15°＝24s，
∵点Q在射线NM上运动，
∴点P、Q相遇的地点只有G、M，
∴点Q运动的速度为（30﹣3×2）÷12＝2cm/s，
或30÷24＝1.25cm/s，
故答案为：1.25cm/s或2m/s；
（2）存在，
当∠ACE＝30°时，AD∥BC，用时30°÷15°＝2s，
当∠ACE＝∠E＝45°时，AC∥BE，用时45°÷15°＝3s，
当∠ACE＝120°时，AD∥CE，用时120°÷15°＝8s，
当∠ACE＝135°时，BE∥CD，用时135°÷15°＝9s，
当∠ACE＝165°时，BE∥AD，用时165°÷15°＝11s．