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2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案）
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这是一份2024-2025学年河南省周口市太康第一高级中学高三（上）第一次月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={x|xx−1≤0}，则∁RA=( )
A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)
C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)
2.设x∈R，则“ x+1≤2”是“|x−1|<2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若a>b，则a|c|>b|c|B. 若a>b，则1a2<1b2
C. 若ac2>bc2，则a>bD. 若a2>b2，则a>b
4.已知a，b∈R，且2a−b−2=0，则9a+13b的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( )
A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0
6.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=f(1−x)，当x1，x2∈(1,+∞)，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立，设a=f(−1)，b=f(0)，c=f(e)(其中e=2.71828…)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c>a>bB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
7.已知函数f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A. a<2B. a>2C. −22或a<−2
8.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )
A. 16B. 18C. 25D. 812
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为19B. 1a+2b的最小值为9
C. a2+b2的最小值为15D. (a+1)(b+1)的最大值为2
10.函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是( )
A. [−2,2]B. [−1,1]C. [0,4]D. [1,3]
11.以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为y=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[−1.5]=−2，则( )
A. ∀x∈R，[x]−[x−1]=1
B. 不等式[x]2−[x]≤2的解集为{x|−1≤x<3}
C. 当|x|≥1，[|x|]+3[|x|]的最小值为2 3
D. 方程x2=4[x]+3的解集为{ 15}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2−x+b,x≥0g(x),x<0，为R上的奇函数，则f(−1)= ______．
13.已知关于x的不等式lg2x14.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数．
(1)请你利用这个结论求得函数f(x)=x3+3x2的对称中心为______．
(2)已知函数g(x)=−x+2x+1−x3−3x2与一次函数y=k(x+1)−3有两个交点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+y1+x2+y2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知幂函数f(x)=(2m2−m−2)xm−1在定义域内单调递增．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求关于x的不等式f(x+1)16.（15分）设a∈R，函数f(x)=2x−a2x+a(a>0)．
(1)若函数y=f(x)是奇函数，求a的值；
(2)请判断函数y=f(x)的单调性，并用定义证明．
17.（15分）已知A={x|lg2(x−1)<1}，B={x|x2+mx+n<0}．
(1)若m=−6，n=8，求A∩B，A∪B；
(2)若A∪B={x|118.（17分）佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器．生产这种机器的月固定成本为400万元，每生产x台，另需投入成本p(x)(万元)，当月产量不足70台时，p(x)=12x2+40x(万元)；当月产量不小于70台时，p(x)=101x+6400x−2060(万元).若每台机器售价100万元，且该机器能全部卖完．
(1)求月利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
19.（17分）已知二次函数f(x)=x2+2ax+2．
(1)若∃x∈[0,2]，使等式f(2x)=0成立，求实数a的取值范围．
(2)解关于x的不等式(a+1)x2+x>f(x)(其中a∈R)．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.BC
10.D
11.AB
12.12
13.(−2,−12]
14.(−1,2). −8
15.解：(1)由题意，令2m2−m−2=1，解得m=−1或m=32，
当m=−1时，f(x)=x−2，不满足在定义域内单调递增；
当m=32时，f(x)=x12，满足在定义域内单调递增；
f(x)的解析式为f(x)=x12．
(2)∵f(x)=x12在[0,+∞)上单调递增，
∴x+1≥0x2−2x+3≥0x+1即关于x的不等式f(x+1)16.解：(1)若函数y=f(x)为奇函数，则f(−x)=−f(x)，
f(−x)=2−x−a2−x+a=1−a⋅2x1+a⋅2x，则1−a⋅2x1+a⋅2x=a−2x2x+a，
解得a=±1，由a>0，得a=1；
(2)由(1)知f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，函数为单调递增函数，证明如下：
设x1f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x10，2x2+1>0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以函数y=f(x)在R上为增函数．
17.解：(1)因为A={x|lg2(x−1)<1}={x|1当m=−6，n=8时，B={x|x2−6x+8<0}={x|2故A∩B={x|2(2)因为A={x|1所以4是方程x2+mx+n=0的根，设另一个根为x1，
则1≤x1<3，
所以5≤x1+4=−m<7，
解得−7即m的取值范围为(−7,−5]．
18.解：(1)当0当x≥70时，y=100x−(101x+6400x−2060)−400=1660−(x+6400x).
所以利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式为
y=−12x2+60x−400,0(2)当0当x=60时，y取得最大值为1400万元；
当x≥70时，y=1660−(x+6400x)≤1660−2 x⋅6400x=1500，
当且仅当x=6400x，即x=80时y取最大值1500．
综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为1500万元．
19.解：(1)x∈[0,2]时，2x∈[1,4]，
所以f(2x)=(2x)2+2a⋅2x+2，
令t=2x∈[1,4]，
设g(t)=t2+2at+2=0，可得2a=−t−2t，
令y=−t−2t，则t在[1, 2]上单调递增，在( 2,4]单调递减，
所以ymax=− 2−2 2=−2 2，
ymin=min{−3,−92}=−92，
所以a∈[−94,− 2].
(2)不等式(a+1)x2+x>f(x)，整理可得(ax+1)(x−2)>0，
①当a=0时，不等式可得x−2>0，解得x>2；
当a≠0，方程(ax+1)(x−2)=0，可得x=−1a或x=2，
②当a>0时，(x+1a)(x−2)>0，
又因为−1a2}；
③当a<0时，则不等式为(x+1a)(x−2)<0，
(i)当−1a=2，即a=−12，不等式为(x−2)2<0，则解集为⌀；
(ii)当−1a>2，即a<−12，则(x+1a)(x−2)<0，解集为{x|2(iii)当−1a<2，即−12综上所述：当a=0时，不等式解集为{x|x>2}；
a>0时，不等式的解集为{x|x<−1a或x>2}；
a=−12时，不等式的解集为⌀；
a<−12时，不等式的解集为{x|2−12
1.已知集合A={x|xx−1≤0}，则∁RA=( )
A. (−∞,0)∪(1,+∞)B. (−∞,0]∪[1,+∞)
C. (−∞,0)∪[1，+∞)D. [0,1)
2.设x∈R，则“ x+1≤2”是“|x−1|<2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，c∈R，则下列命题正确的是( )
A. 若a>b，则a|c|>b|c|B. 若a>b，则1a2<1b2
C. 若ac2>bc2，则a>bD. 若a2>b2，则a>b
4.已知a，b∈R，且2a−b−2=0，则9a+13b的最小值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
5.已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则( )
A. f(−12)=0B. f(−1)=0C. f(2)=0D. f(4)=0
6.已知函数f(x)的定义域为R，满足f(x+1)=f(1−x)，当x1，x2∈(1,+∞)，且x1≠x2时，f(x1)−f(x2)x1−x2<0恒成立，设a=f(−1)，b=f(0)，c=f(e)(其中e=2.71828…)，则a，b，c的大小关系为( )
A. c>a>bB. c>b>aC. b>a>cD. b>c>a
7.已知函数f(x)=−x2+ax,x≤1ax−1,x>1，若∃x1，x2∈R，x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是( )
A. a<2B. a>2C. −2
8.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，那么mn的最大值为( )
A. 16B. 18C. 25D. 812
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+2b=1，则( )
A. ab的最大值为19B. 1a+2b的最小值为9
C. a2+b2的最小值为15D. (a+1)(b+1)的最大值为2
10.函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)=−1，则满足−1≤f(x−2)≤1的x的取值范围是( )
A. [−2,2]B. [−1,1]C. [0,4]D. [1,3]
11.以数学家约翰⋅卡尔⋅弗里德里希⋅高斯的名字命名的“高斯函数”为y=[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[−1.5]=−2，则( )
A. ∀x∈R，[x]−[x−1]=1
B. 不等式[x]2−[x]≤2的解集为{x|−1≤x<3}
C. 当|x|≥1，[|x|]+3[|x|]的最小值为2 3
D. 方程x2=4[x]+3的解集为{ 15}
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=2−x+b,x≥0g(x),x<0，为R上的奇函数，则f(−1)= ______．
13.已知关于x的不等式lg2x
(1)请你利用这个结论求得函数f(x)=x3+3x2的对称中心为______．
(2)已知函数g(x)=−x+2x+1−x3−3x2与一次函数y=k(x+1)−3有两个交点M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+y1+x2+y2= ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知幂函数f(x)=(2m2−m−2)xm−1在定义域内单调递增．
(1)求f(x)的解析式；
(2)求关于x的不等式f(x+1)
(1)若函数y=f(x)是奇函数，求a的值；
(2)请判断函数y=f(x)的单调性，并用定义证明．
17.（15分）已知A={x|lg2(x−1)<1}，B={x|x2+mx+n<0}．
(1)若m=−6，n=8，求A∩B，A∪B；
(2)若A∪B={x|1
(1)求月利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式；
(2)月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润．
19.（17分）已知二次函数f(x)=x2+2ax+2．
(1)若∃x∈[0,2]，使等式f(2x)=0成立，求实数a的取值范围．
(2)解关于x的不等式(a+1)x2+x>f(x)(其中a∈R)．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.C
5.B
6.D
7.A
8.B
9.BC
10.D
11.AB
12.12
13.(−2,−12]
14.(−1,2). −8
15.解：(1)由题意，令2m2−m−2=1，解得m=−1或m=32，
当m=−1时，f(x)=x−2，不满足在定义域内单调递增；
当m=32时，f(x)=x12，满足在定义域内单调递增；
f(x)的解析式为f(x)=x12．
(2)∵f(x)=x12在[0,+∞)上单调递增，
∴x+1≥0x2−2x+3≥0x+1
f(−x)=2−x−a2−x+a=1−a⋅2x1+a⋅2x，则1−a⋅2x1+a⋅2x=a−2x2x+a，
解得a=±1，由a>0，得a=1；
(2)由(1)知f(x)=2x−12x+1=1−22x+1，函数为单调递增函数，证明如下：
设x1
因为x1
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)
17.解：(1)因为A={x|lg2(x−1)<1}={x|1
则1≤x1<3，
所以5≤x1+4=−m<7，
解得−7
18.解：(1)当0
所以利润y(万元)关于月产量x(台)的函数关系式为
y=−12x2+60x−400,0
当x≥70时，y=1660−(x+6400x)≤1660−2 x⋅6400x=1500，
当且仅当x=6400x，即x=80时y取最大值1500．
综上，当月产量为80台时，该企业能获得最大月利润，最大月利润为1500万元．
19.解：(1)x∈[0,2]时，2x∈[1,4]，
所以f(2x)=(2x)2+2a⋅2x+2，
令t=2x∈[1,4]，
设g(t)=t2+2at+2=0，可得2a=−t−2t，
令y=−t−2t，则t在[1, 2]上单调递增，在( 2,4]单调递减，
所以ymax=− 2−2 2=−2 2，
ymin=min{−3,−92}=−92，
所以a∈[−94,− 2].
(2)不等式(a+1)x2+x>f(x)，整理可得(ax+1)(x−2)>0，
①当a=0时，不等式可得x−2>0，解得x>2；
当a≠0，方程(ax+1)(x−2)=0，可得x=−1a或x=2，
②当a>0时，(x+1a)(x−2)>0，
又因为−1a
③当a<0时，则不等式为(x+1a)(x−2)<0，
(i)当−1a=2，即a=−12，不等式为(x−2)2<0，则解集为⌀；
(ii)当−1a>2，即a<−12，则(x+1a)(x−2)<0，解集为{x|2
a>0时，不等式的解集为{x|x<−1a或x>2}；
a=−12时，不等式的解集为⌀；
a<−12时，不等式的解集为{x|2
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