2024-2025学年河南省漯河实验高级中学高三（上）9月段考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河南省漯河实验高级中学高三（上）9月段考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合A={−2,−1,0,1}，B={x|x2<1}，则A∩(∁RB)=( )
A. {−2,−1}B. {−1,1}C. {−2,−1,1}D. {−2,0,1}
2.已知复数(1− 3i)z= 3+i，其中i为虚数单位，则|z|=( )
A. 14B. 12C. 1D. 2
3.已知f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)是奇函数，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，则f(π12)=( )
A. 12B. 22C. 32D. 1
4.已知公差不为零的等差数列{an}满足：a2+a7=a8+1，且a2，a4，a8成等比数列，则a2023=( )
A. 2023B. −2023C. 0D. 12023
5.函数y=3x−3−xcsx在区间−π2,π2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.专家导航，聚焦课堂.江苏省省教育科学院4名专家到南通市某县指导教育教学工作.现把4名专家全部分配到A，B，C三个学校，每个学校至少分配一名专家，每名专家只能到一个学校，其中甲专家不去A学校，则不同的分配方案种数为( )
A. 18B. 24C. 30D. 36
7.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题不正确的是( )
A. 直线BC与平面ABC1D1所成的角等于π4
B. 点C到面ABC1D1的距离为 22
C. 两条异面直线D1C和BC1所成的角为π4
D. 三棱柱AA1D1−BB1C1外接球半径为 32
8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为x2+y2=1，定点Q为x轴上一点，P(−12,0)且λ=2，若点B(1,1)，则2|MP|+|MB|的最小值为( )
A. 6B. 7C. 10D. 11
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量a=(−1,3),b=(x,2)，且(a−2b)⊥a，则下列选项正确的是( )
A. b=(1,2) B. |3a−b|=25
C. 向量a与向量b的夹角是45° D. 向量b在向量a上的投影向量坐标是(−1,3)
10.已知抛物线C的焦点为F(0,1)，点M在C的准线上，过点M作两条均不垂直于x轴的直线l1，l2，使得l1，l2与抛物线C均只有一个公共点，分别为P，Q，则( )
A. 抛物线C的方程为x2=4yB. l1⊥l2
C. 直线PQ经过点FD. △PQM的面积为定值
11.将函数f(x)=2cs2xsinφ+sin2xcsφ−sinφ的图象向左平移π6个单位长度后，与函数g(x)=cs(ωx−π3)的图象重合，则φ的值可能为( )
A. −3π2B. −π3C. −π6D. 2π3
12.已知曲线C：x|x|4+y2=1，则( )
A. 曲线C关于原点对称
B. 曲线C上任意点P满足|OP|≥1(O为坐标原点)
C. 曲线C与x2−4y2=0有且仅有两个公共点
D. 曲线C上有无数个整点(整点指横纵坐标均为整数的点)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知直线y=kx+b是曲线f(x)=xex在点(1,f(1))处的切线方程，则k+b= ____．
14.已知α,β∈(0,π2)，sinα+csα=3 55，sin2α−cs2β=0，则tanβ= ______．
15.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CC1的中点，则三棱锥C−AEF的内切球的半径为______．
16.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C的左顶点，点B在C的右支上，若|AF2|=|BF2|，且直线BF2被圆x2+y2=c2(c为半焦距)截得的弦长为12c，则双曲线C的离心率为______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cb=sinB+2sinAcsB2sinB．
(1)求A的大小；
(2)若a=2 2，△ABC的面积为2 3，求△ABC的周长．
18.(本小题12分)
已知正项数列{an}中，a1=1，Sn是其前n项和，且满足Sn+1=( Sn+S1)2．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足bn=(−1)n+1⋅an+1anan+1，设数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的最小值．
19.(本小题12分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=AC=6，AB=8，BC=10，点D是线段BC的中点，
(1)求证：AB⊥A1C；
(2)求D点到平面A1B1C的距离．
20.(本小题12分)
已知双曲线x2a2−y2b2=1过点(3,52)和点(4, 15)．
(1)求双曲线的离心率；
(2)过M(0,1)的直线与双曲线交于P，Q两点，过双曲线的右焦点F且与PQ平行的直线交双曲线于A，B两点，试问|MP|⋅|MQ||AB|是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．
21.(本小题12分)
某人花了a元预定2023年杭州亚运会开幕式门票一张，另外还预定了两张其他门票，根据亚奥理事会的相关规定，从所有预定者中随机抽取相应数量的人，这些人称为预定成功者，他们可以直接购买门票，另外，对于开幕式门票，有自动降级规定，即当这个人预定的a元门票未成功时，系统自动使他进入b元开幕式门票的预定.假设获得a元开幕式门票的概率是0.1，若未成功，仍有0.2的概率获得b元开幕式门票的机会，获得其他两张门票中的每一张的概率均是0.5，且获得每张门票之间互不影响．
(1)求这个人可以获得亚运会开幕式门票的概率；
(2)假设这个人获得门票总张数是X，求X的分布列及数学期E(X)．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=aex−x(a>0)．
(1)若函数f(x)存在零点，求实数a的最大值；
(2)当x>0时，函数f(x)≥x2−xlnx恒成立，求实数a的取值范围．
参考 答案
1.C
2.C
3.A
4.A
5.A
6.B
7.C
8.C
9.AC
10.ABC
11.AC
12.BC
13.e
14.13
15.3− 27
16.85
17.解：(1)∵cb=sinB+2sinAcsB2sinB，
∴由正弦定理得sinCsinB=sinB+2sinAcsB2sinB，又0在△ABC中，C=π−(A+B)，
∴sinB+2sinAcsB=2sinC=2sin(A+B)=2sinAcsB+2csAsinB，
∴sinB=2sinBcsA，
∴csA=12，又∵0∴A=π3；
(2)由A=π3，则S△ABC=12bcsinA=2 3，即bc=8，
又由余弦定理csA=b2+c2−a22bc=12，化简得b2+c2−8=bc，
∴(b+c)2=3bc+8=32，即b+c=4 2，
又∵a=2 2，
∴△ABC的周长为a+b+c=6 2．
18.解：(1)正项数列{an}，a1=1，满足Sn+1=( Sn+S1)2，所以 Sn+1− Sn=1，
所以数列{ Sn}是以1为首项，1为公差的等差数列，
所以 Sn=1+(n−1)×1=n.所以Sn=n2，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1(n∈N∗)，
当n=1时也成立，
所以an=2n−1(n∈N∗)；
(2)因为bn=(−1)n+1an+1anan+1=(−1)n+12n(2n−1)(2n+1)=(−1)n+12(12n−1+12n+1)，
所以Tn=12[(1+13)−(13+15)+⋯+(−1)n+1(12n−1+12n+1)]=12[1+(−1)n+112n+1]，
所以当n为奇数时，Tn=12(1+12n+1)>12；
当n为偶数时，Tn=12(1−12n+1)，
由{Tn}递增，得Tn≥T2=25，
所以T的最小值为25．
19.解：(1)证明：△ABC中，AC=6，AB=8，BC=10，所以AB⊥AC，
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，
又因为AA1⋂AC=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，
所以AB⊥平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1，所以AB⊥A1C.
(2)由(1)知，AA1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC，又AB⊥AC，如图建立空间直角坐标系A−xyz，
则D(3,4,0)，A1(0,0,6)，B1(0,8,6)，C(6,0,0)，
A1C=(6,0,−6),A1B1=(0,8,0)，
设平面A1B1C的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1C=6x−6z=0n⋅A1B1=8y=0，解得x=zy=0，令z=1，则n=(1,0,1)，
设D到平面A1B1C的距离为d，由CD=(−3,4,0)得d=|CD⋅n||n|=3 2=32 2．
20.解：(1)将点(3,52)和点(4, 15)的坐标代入x2a2−y2b2=1，
得9a2−254b2=1,16a2−15b2=1,解得a2=4,b2=5,
所以双曲线的离心率e= 1+b2a2= 1+54=32．
(2)依题意，可得直线PQ的斜率存在，设PQ：y=kx+1．
联立y=kx+1,x24−y25=1,得(5−4k2)x2−8kx−24=0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2=−245−4k2,Δ=64k2+96(5−4k2)>0⇒k2<32，
所以|MP|⋅|MQ|=( 1+k2|x1−0|)⋅( 1+k2|x2−0|)=(1+k2)|x1x2|=24(1+k2)|5−4k2|．
F(3,0)，直线AB：y=k(x−3)．
设A(x3,y3)，B(x4,y4).
联立y=k(x−3),x24−y25=1,得(5−4k2)x2+24k2x−36k2−20=0，
则x3+x4=−24k25−4k2,x3x4=−36k2−205−4k2,且Δ=242k4+4(36k2+20)(5−4k2)=16×25(k2+1)>0，
则|AB|= 1+k2|x3−x4|= 1+k2⋅ (x3+x4)2−4x3x4
= 1+k2⋅ (−24k25−4k2)2−4⋅−36k2−205−4k2=20(1+k2)|5−4k2|，
所以|MP|⋅|MQ||AB|=2420=65，所以|MP|⋅|MQ||AB|为定值，定值为65．
21.解：(1)易知获得a元开幕式门票的概率为0.1，
则未获得a元开幕式门票的概率为0.9，
获得b元开幕式门票概率为0.2，
则获得开幕式门票的概率为0.1+0.9×0.2=0.28；
(2)易知X的所有可能取值为0，1，2，3，
此时P(X=0)=(1−0.28)×0.5×0.5=0.18，P(X=1)=0.28×0.5×0.5+(1−0.28)×0.5×0.5×2=0.43，
P(X=2)=2×0.28×0.5×0.5+(1−0.28)×0.5×0.5=0.32，P(X=3)=0.28×0.5×0.5=0.07，
则X的分布列为：
则E(X)=0×0.18+1×0.43+2×0.32+3×0.07=1.28．
22.解：(1)函数f(x)=aex−x(a>0)，x∈R．
函数f(x)存在零点⇔方程aex−x=0存在实数解(a>0)⇔函数y=a与g(x)=xex有交点，
g′(x)=1−xex，g′(1)=1，
x∈(−∞,1)时，g′(x)>0，此时函数g(x)单调递增；x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，此时函数g(x)单调递减．
∴x=1时，函数g(x)取得极大值即最大值，g(1)=1e，
∴0∴实数a的最大值为1e．
(2)当x>0时，函数f(x)≥x2−xlnx恒成立⇔a≥x2+x−xlnxex，
令ℎ(x)=x2+x−xlnxex，
ℎ′(x)=(x−lnx)(1−x)ex，
令u(x)=x−lnx，x∈(0,+∞)，
u′(x)=1−1x=x−1x，
可得x=1时，函数u(x)取得极小值即最小值，u(1)=1>0，
∴x−lnx>0，
∴x∈(0,1)时，ℎ′(x)>0，此时函数ℎ(x)单调递增；x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减．
∴x=1时，函数ℎ(x)取得极大值即最大值，ℎ(1)=2e．
∴a≥2e．
∴实数a的取值范围是[2e,+∞)． X
0
1
2
3
P
0.18
0.43
0.32
0.07