高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示学案

这是一份高考数学一轮复习第二章第一节函数及其表示学案，共12页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。
考试要求：1．了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域．
2．在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
自查自测
知识点一 函数的概念
1．判断下列说法的正误，正确的画“√”，错误的画“×”．
(1)函数的定义域和值域一定是无限集合．( × )
(2)根据函数的定义，定义域中的任何一个x可以对应着值域中不同的y.( × )
(3)在函数的定义中，集合B是函数的值域．( × )
2．(教材改编题)下列函数中，与函数y＝x＋1是同一个函数的是( B )
A．y＝(x＋1)2B．y＝3x3＋1
C．y＝x2x＋1D．y＝ x2＋1
3．函数y＝x－2·x＋2的定义域是[2，＋∞)．
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函数的概念
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知识点二 函数的表示方法
1．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)＝3．
2.已知f(x)＝x－1，则f(x)＝________．
x2－1(x≥0) 解析：令t＝x，则t≥0，故x＝t2，则f(t)＝t2－1，所以f(x)＝x2－1(x≥0)．
核心回扣
函数的表示方法
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知识点三 分段函数
1．已知函数f(x)＝2x，x≤1， f (x－1)，x>1，则f(2)＝________．
2 解析：f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝21＝2.
2．已知函数f(x)＝x＋2，x≤－1，x2，－12且x≠3，所以函数f(x)＝1x－2－(x－3)0的定义域是(2，3)∪(3，＋∞)．
函数的定义域
1．(2024·济宁模拟)函数f (x)＝1+x－1x的定义域是( )
A．[－1，0)∪(0，＋∞)B．[－1，＋∞)
C．RD．(－∞，0)∪(0，＋∞)
A 解析：由函数f (x)＝1+x－1x，得1+x≥0，x≠0， 解得x≥－1且x≠0，所以函数f (x)＝1+x－1x的定义域是[－1，0)∪(0，＋∞)．故选A．
2．函数f (x)＝x2+2x－13x－2+1x－1的定义域为( )
A．23，+∞B．23，1∪(1，＋∞)
C．23，1∪(1，＋∞)C．23，＋∞．
B 解析：由已知得3x－2>0,x－1≠0 ，解得x>23且x≠1，所以函数f (x)=x2+2x－13x－2+1x－1的定义域为23，1∪(1，＋∞)．
3．已知函数y=f (x)的定义域是[－2，3]，则函数y=f (2x－1)的定义域是( )
A．[－5，5]B．－12，2
C．[－2，3]D．12，2
B 解析：因为函数y=f (x)的定义域是[－2，3]，所以－2≤2x－1≤3，解得－12≤x≤2，所以函数y=f (2x－1)的定义域是－12，2.故选B．
4．若函数y＝f (x2－1)的定义域为－3，3，则函数y＝f (x)的定义域为________．
[－1，2] 解析：因为y＝f (x2－1)的定义域为－3，3，所以x∈－3，3，x2－1∈[－1，2]，所以函数y＝f (x)的定义域为[－1，2].
1．求具体函数的定义域的策略
根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．
2．求抽象函数的定义域的策略
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则函数f (x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域．
求函数的解析式
【例1】(1)已知f (x＋1)＝ln x，则f (x)＝( )
A．ln (x＋1)B．ln (x－1)
C．ln |x－1|D．ln (1－x)
B 解析：(方法一：换元法)因为f (x＋1)＝ln x，所以x>0.令t＝x＋1(t>1)，则x＝t－1，所以f (t)＝ln (t－1)，因此，f (x)＝ln (x－1)(x>1)．故选B．
(方法二：配凑法)因为f (x＋1)＝ln x＝ln [(x＋1)－1]，所以f (x)＝ln (x－1)(x>1)．
(2)若f (x)为二次函数且f (0)＝3，f (x＋2)－f (x)＝4x＋2，则f (x)的解析式为____________．
f (x)＝x2－x＋3 解析：设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f (0)＝c＝3，所以f (x)＝ax2＋bx＋3，所以f (x＋2)－f (x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以4a＝4，4a+2b＝2，解得a＝1，b＝－1，所以函数f (x)的解析式为f (x)＝x2－x＋3.
(3)已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，求f (x)的解析式．
解：由f (－x)＋2f (x)＝2x①，
得f (x)＋2f (－x)＝2－x②，
由①×2－②，得3f (x)＝2x+1－2－x，即f (x)＝2x+1 –2－x3.
故f (x)的解析式为f (x)＝2x+1 –2－x3(x∈R)．
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f (g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得到f (x)的表达式．
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．
(3)换元法：已知复合函数f (g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新变量的取值范围．
(4)方程思想：已知关于f (x)与f 1x或f (－x)的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，组成方程组，解方程组即可．
1．已知一次函数 f (x)满足f (f (x))＝x＋2，则f (x)＝________．
x＋1 解析：设f (x)＝kx＋b(k≠0)，则f (f (x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋(k＋1)b＝x＋2，
故k2＝1， k+1b＝2，解得b＝1，k＝1，故f (x)＝x＋1.
2．已知f x+1x＝x2+1x2，求f (x)的解析式．
解：因为f x+1x＝x2+1x2＝x+1x2－2，
所以f (x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
分段函数
考向1 分段函数求值
【例2】(1)(2024·济南模拟)已知函数f (x)＝lg22－x，x0，x+1，x≤0.若f (a)＋f (1)＝0，则实数a的值等于( )
A．－3B．－1
C．1D．3
A 解析：f (1)＝2×1＝2，据此结合题意分类讨论：当a>0时，f (a)＝2a，由f (a)＋f (1)＝0，得2a＋2＝0，解得a＝－1，不满足题意，舍去；当a≤0时，f (a)＝a＋1，由f (a)＋f (1)＝0，得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足题意．故选A．
(2)设函数f (x)＝x2－4x+6，x≥0，x+6，x