中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题14二次函数专题特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题14二次函数专题特训(原卷版+解析)，共87页。


【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（ QUOTE a ， b ， c a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
2）a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3）二次项系数a≠0，而 QUOTE b ， c b，c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；
二次函数图象的平移：
【平移规律口诀】h值正右移，负左移； QUOTE k k值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。
知识点三 二次函数的最值问题
1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；
即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；
2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：
①若对称轴在在此范围内，则当时，；
②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：
1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；
2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。
知识点四 二次函数图象与系数之间的关系
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1）公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac−b24a，顶点是（−b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=−b2a。
2）配方法：通过配方将抛物线的解析式化为y=ax−ℎ2+k的形式，得到顶点为(ℎ,k)，对称轴是直线x=ℎ。
【扩展】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
二次函数图象与系数之间的关系：
1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小
①当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
②当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结】 QUOTE a a决定了抛物线开口的大小和方向，a QUOTE a 的正负决定开口方向，| QUOTE a a|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴
①在a>0的前提下，当b>0时，−b2a<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；
当b=0时，−b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，−b2a>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）。
②在a<0的前提下，当b>0时，−b2a>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，−b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，−b2a<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）。
【总结】在 QUOTE a a确定的前提下， QUOTE b b决定了抛物线对称轴的位置。
3）常数项c QUOTE c
①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结】 QUOTE c c决定了抛物线与 QUOTE y y轴交点的位置。
考查题型一 二次函数的图象和性质
题型1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（ ）
A．12或4B．43或−12C．−43或4D．−12或4
题型1-1．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数y=x−12+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是−1,5
C．该函数有最大值，是大值是5D．当x>1时，y随x的增大而增大
题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线y=(x−2)2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2,1)D．当x<2时，y随x的增大而增大
题型1-3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．m>32C．m<1D．32题型1-4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B−1,0两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a<0B．点A的坐标为−4,0
C．当x<0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x=−2
题型1-5．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>1C．a≠1D．a<1
题型1-6．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数y=12x2,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)m的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=−12x2+5与y=12x2的交点坐标；
(3)点Px1,y1,Qx2,y2在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若y1>y2,则x1 x2（填“>”或“<”或“=”）
易错点总结：
考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质
题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数y=3(x+1)(2−x)的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点(0,2)在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x=1D．与直线y=3x有两个交点
题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x<1B．x>1C．x<2D．x>2
题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是（ ）
A．a<0B．c>0
C．当x<−2时，y随x的增大而减小D．当x>−2时，y随x的增大而减小
题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（ ）
A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0
题型2-4．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型2-5．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点Pxp,yp是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1或m<0B．m≥1
C．m≤−1或m>0D．m≤−1
题型2-6．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
题型2-7．（2022·江苏盐城·中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
题型2-8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）抛物线y=x2−2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．
题型2-9．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
易错点总结：
考查题型三 二次函数图象与系数符号之间的关系
题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−ca≠0，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
题型3-1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
A．a>0B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0)D．4a+2b+c>0
题型3-2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−20，③b2>a+c+4ac，④a>c>b．
正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型3-3．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+cA．1个B．2个C．3个D．4个
题型3-4．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
题型3-5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型3-6．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（−13，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1B．2C．3D．4
易错点总结：
考查题型四 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型4．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过【 】
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
题型4-1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
题型4-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2−4ac与反比例函数y=4a+2b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
易错点总结：
考查题型五 y=ax2+bx+c的最值
题型5．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
题型5-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．52B．2C．32D．1
题型5-2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
题型5-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数y=x2+bx+c的图像，该函数的最小值是__________．
题型5-4．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
题型5-5．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
易错点总结：
考查题型六 待定系数法求二次函数解析式
题型6．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x=12
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0D．函数y=ax2+bx+c的最大值为254
题型6-1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
题型6-2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2−4m2−4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型6-3．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1=2x+2与y2=−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y=kx2+2k−1x+k−3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
题型6-4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
易错点总结：
考查题型七 二次函数图象的平移规律
题型7．（2022·四川泸州·中考真题）抛物线y=−12x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y=−12x2+xB．y=−12x2−4
C．y=−12x2+2021x−2022D．y=−x2+x+1
题型7-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−12+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y=x−22−1B．y=x−22+3
C．y=x2+1D．y=x2−1
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
题型7-3．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象是由函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
题型7-4．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
题型7-5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
易错点总结：
知识点五 二次函数与方程、不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系：
1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；
③当△<0时，图象与x轴没有交点。
二次函数与不等式的关系:
1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。
考查题型八 二次函数与一元二次方程
题型8．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝14B．a≤14C．a＝0或a＝﹣14D．a＝0或a＝14
题型8-1．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④B．①②④C．①③D．①②③④
题型8-2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
题型8-3．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
题型8-4．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
题型8-5．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
任务：(1)上面小论文中的提示过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的提示过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的提示过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
易错点总结：
考查题型九 二次函数与不等式
题型9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−2,0,B6,0，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2A．4B．3C．2D．1
题型9-1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c≥−kx+m的解集是（ ）
A．x≤−3或x≥1B．x≤−1或x≥3C．−3≤x≤1D．−1≤x≤3
题型9-2．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2
易错点总结：
知识点六 二次函数与实际问题
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程
考查题型十 利用二次函数解决图形问题
题型10．（2022·新疆·中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______m2．
题型10-1．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
题型10-2．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
考查题型十一 利用二次函数解决图形运动问题
题型11．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C．D．
题型11-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
题型11-2．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
题型12 （2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
考查题型十二 利用二次函数解决拱桥问题
题型12-1．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
题型12-2．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
考查题型十三 利用二次函数解决销售问题
题型13 （2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
题型13-1．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
题型13-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
题型13-3．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+c，部分对应值如表：
②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2=x−1，函数图象见图1．
③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=14t2−32t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
考查题型十四 利用二次函数解决投球问题
题型14 （2022·江苏南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
题型14-1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．
题型14-2．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
考查题型十五 利用二次函数解决喷水问题
题型15 （2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点4m．
题型15-1．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
题型15-2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
考查题型十六 利用二次函数解决其它问题
题型16 （2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系ℎ=−5t2+mt+n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t秒时ℎ的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________；当2≤t≤3时，w的取值范围是_________．
题型16-1．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．
题型16-2．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为ℎm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150,b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
题型16-3．（2022·湖北黄石·中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=ax2+bx+c(0≤x≤8)640,(8(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
题型16-4．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=mx(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选y=mx(m>0)．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
题型16-5．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；
(3)建立平面直角坐标系，设M0,2，N2,0，停车位Px,y，请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P4,−4是否在停车带上．
题型16-6．（2022·四川攀枝花·中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奧会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
基本形式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0 时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值。
说明：最小值(或最大值)为0（k或）。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；
x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大。
x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小。
y=12x2
y=12x−32+6
0,0
3,m
1,12
4,132
2,2
2,8
−1,12
2,132
−2,2
1,8
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行提示：
（1）a>0时，抛物线开口向上．
①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．
……
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y1（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
8累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640
专题14 二次函数
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 二次函数的概念
二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（ QUOTE a ， b ， c a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：
1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2。
2）a ，b ，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
3）二次项系数a≠0，而 QUOTE b ， c b，c可以为零。
知识点二 二次函数的图象和性质（重点）
二次函数的图象：它是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
【特征】：对称轴是直线；顶点坐标是(，)；c表示抛物线与y轴的交点坐标：(0，c)；
二次函数图象的平移：
【平移规律口诀】h值正右移，负左移； QUOTE k k值正上移，负下移，简称“左加右减，上加下减”。
知识点三 二次函数的最值问题
1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；
即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；
2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：
①若对称轴在在此范围内，则当时，；
②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：
1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；
2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。
知识点四 二次函数图象与系数之间的关系
抛物线y=ax2+bx+c的三要素：开口方向、对称轴、顶点.
1）公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac−b24a，顶点是（−b2a，4ac−b24a），对称轴是直线x=−b2a。
2）配方法：通过配方将抛物线的解析式化为y=ax−ℎ2+k的形式，得到顶点为(ℎ,k)，对称轴是直线x=ℎ。
【扩展】由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点。
二次函数图象与系数之间的关系：
1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小
①当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；
②当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
【总结】 QUOTE a a决定了抛物线开口的大小和方向，a QUOTE a 的正负决定开口方向，| QUOTE a a|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．
2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴
①在a>0的前提下，当b>0时，−b2a<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧（a、b同号）；
当b=0时，−b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，−b2a>0，即抛物线对称轴在y轴的右侧（a、b异号）。
②在a<0的前提下，当b>0时，−b2a>0，即抛物线的对称轴在y轴右侧（a、b异号）；
当b=0时，−b2a=0，即抛物线的对称轴就是y轴；
当b<0时，−b2a<0，即抛物线对称轴在y轴的左侧（a、b同号）。
【总结】在 QUOTE a a确定的前提下， QUOTE b b决定了抛物线对称轴的位置。
3）常数项c QUOTE c
①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；
③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．
【总结】 QUOTE c c决定了抛物线与 QUOTE y y轴交点的位置。
考查题型一 二次函数的图象和性质
题型1．（2022·浙江衢州·中考真题）已知二次函数y=a(x−1)2−a(a≠0)，当−1≤x≤4时，y的最小值为−4，则a的值为（ ）
A．12或4B．43或−12C．−43或4D．−12或4
【答案】D
【提示】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答．
【详解】解：二次函数y=ax−12−aa≠0的对称轴为：直线x=1，
（1）当a>0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而减小，当1≤x≤4，y随x的增大而增大，∴ 当x=1时，y取得最小值，∴ y=a1−12−a=−4，∴a=4；
（2）当a<0时，当−1≤x≤1时，y随x的增大而增大，当1≤x≤4，y随x的增大而减小，∴ 当x=4时，y取得最小值，∴ y=a4−12−a=−4，∴a=−12．故选：D．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键．
题型1-1．（2022·湖南郴州·中考真题）关于二次函数y=x−12+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下B．函数图象的顶点坐标是−1,5
C．该函数有最大值，是大值是5D．当x>1时，y随x的增大而增大
【答案】D
【提示】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；顶点坐标为（1，5），故B错误；该函数有最小值，最小值是5，故C错误；当x>1时，y随x的增大而增大，故D正确，故选：D．
【名师点拨】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
题型1-2．（2022·新疆·中考真题）已知抛物线y=(x−2)2+1，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴为直线x=2
C．抛物线的顶点坐标为(2,1)D．当x<2时，y随x的增大而增大
【答案】D
【提示】根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项提示判断即可得解．
【详解】解：抛物线y=(x−2)2+1中，a＞0，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，对称轴为直线x=2，因此B选项正确，不符合题意；
由解析式得，当x=2时，y取最小值，最小值为1，所以抛物线的顶点坐标为(2,1)，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，因此当x<2时，y随x的增大而减小，因此D选项错误，符合题意；故选D．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−ℎ)2+k中，对称轴为x=ℎ，顶点坐标为(ℎ,k)．
题型1-3．（2022·浙江宁波·中考真题）点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m>2B．m>32C．m<1D．32【答案】B
【提示】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点A（m-1，y1），B（m，y2）都在二次函数y=（x-1）2+n的图象上，
∴y1=（m-1-1）2+n=（m-2）2+n，y2=（m-1）2+n，
∵y1＜y2，∴（m-2）2+n＜（m-1）2+n，∴（m-2）2-（m-1）2＜0，
即-2m+3＜0，∴m＞32，故选：B．
【名师点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
题型1-4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数y=a(x+2)2+k的图象与x轴交于A，B−1,0两点，则下列说法正确的是（ ）
A．a<0B．点A的坐标为−4,0
C．当x<0时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x=−2
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．
【详解】由图可得开口向上，故a＞0，A错误；
∵解析式为y=a(x+2)2+k，故对称轴为直线x=-2，D正确
∵B−1,0∴A点坐标为（-3，0），故B错误；
由图可知当x<−2时，y随x的增大而减小，故C错误；故选D．
【名师点拨】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．
题型1-5．（2021·江苏常州·中考真题）已知二次函数y=(a−1)x2，当x>0时，y随x增大而增大，则实数a的取值范围是（ ）
A．a>0B．a>1C．a≠1D．a<1
【答案】B
【提示】根据二次函数的性质，可知二次函数的开口向上，进而即可求解．
【详解】∵二次函数y=(a−1)x2的对称轴为y轴，当x>0时，y随x增大而增大，
∴二次函数y=(a−1)x2的图像开口向上，∴a-1＞0，即：a>1，故选B．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键．
题型1-6．（2022·广东深圳·中考真题）二次函数y=12x2,先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
(1)m的值为 ；
(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出y=−12x2+5与y=12x2的交点坐标；
(3)点Px1,y1,Qx2,y2在新的函数图象上，且P,Q两点均在对称轴的同一侧，若y1>y2,则x1 x2（填“>”或“<”或“=”）
【答案】(1)m=6
(2)图见解析，(5,0)和(−5,0)
(3)<或>
【提示】（1）把点3,m代入y=2x−32+6即可求解．（2）根据描点法画函数图象可得平移后的图象，在根据交点坐标的特点得一元二次方程，解出方程即可求解．（3）根据新函数的图象及性质可得：当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若y1>y2，则x1y2，则x1>x2，进而可求解．
（1）解：当x=3时，m=23−32+6=6，∴m=6．
（2）平移后的图象如图所示：
由题意得：−12x2+5=12x2，解得x=±5，
当x=5时，y=0，则交点坐标为：(5,52)，
当x=−5时，y=0，则交点坐标为：(−5,52)，
综上所述：y=−12x2+5与y=12x的交点坐标分别为(5,52)和(−5,52)．
（3）由平移后的二次函数可得：对称轴x=3，a=2>0，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，当x≥3时，y随x的增大而增大，
∴当P，Q两点均在对称轴的左侧时，若y1>y2，则x1当P，Q两点均在对称轴的右侧时，若y1>y2，则x1>x2，
综上所述：点Px1,y1,Qx2,y2在新函数图象上，且P，Q两点均在对称轴同一侧，若y1>y2，则x1x2，故答案为：<或>．
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象的平移，理解二次函数的性质，利用数形结合思想解决问题是解题的关键．
考查题型二 y=ax2+bx+c的图象和性质
题型2．（2022·辽宁阜新·中考真题）下列关于二次函数y=3(x+1)(2−x)的图像和性质的叙述中，正确的是（ ）
A．点(0,2)在函数图像上B．开口方向向上
C．对称轴是直线x=1D．与直线y=3x有两个交点
【答案】D
【提示】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），得y＝6≠2，∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，∵a＝﹣3＜0，∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x=−b2a=12∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，∴﹣3x2+3x+6＝3x，∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；故选：D．
【名师点拨】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
题型2-1．（2022·甘肃兰州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是（ ）
A．x<1B．x>1C．x<2D．x>2
【答案】B
【提示】先将函数表达式写成顶点式，根据开口方向和对称轴即可判断．
【详解】解：∵y=2x2−4x+5=2x−12+3
∵开口向上，对称轴为x=1，∴x＞1时，函数值y随x的增大而增大．故选：B．
【名师点拨】本题考查的是二次函数的图像与性质，比较简单，需要熟练掌握二次函数的图像与性质．
题型2-2．（2022·广东广州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=−2，下列结论正确的是（ ）
A．a<0B．c>0
C．当x<−2时，y随x的增大而减小D．当x>−2时，y随x的增大而减小
【答案】C
【提示】由图像可知，抛物线开口向上，因此a＞0．由图像与y轴的交点在y轴负半轴上得c＜0．根据图像可知，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．
【详解】抛物线开口向上，因此a＞0，故A选项不符合题意．
抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，因此c＜0，故B选项不符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴左侧，y随x的增大而减小，故C选项符合题意．
抛物线开口向上，因此在对称轴右侧y随x的增大而增大，故D选项不符合题意．
故选C
【名师点拨】本题考查了二次函数图像的性质，掌握二次函数图像的性质是解题的关键．
题型2-3．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（ ）
A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0
【答案】D
【提示】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线x=−b2a=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，∴a<0，
∵对称轴为直线x=−b2a=−1，∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；
根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；
将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．
【名师点拨】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．
题型2-4．（2022·广西贺州·中考真题）已知二次函数y=2x2−4x−1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【提示】先找到二次函数的对称轴和顶点坐标，求出y=15时，x的值，再根据二次函数的性质得出答案．
【详解】
解：∵二次函数y=2x2-4x-1=2（x-1）2-3，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点（1，-3），
∵1>0，开口向上，∴在对称轴x=1的右侧，y随x的增大而增大，
∵当0≤x≤a时，即在对称轴右侧，y取得最大值为15，∴当x=a时，y=15，
∴2（a-1）2-3=15，解得：a=4或a=-2（舍去），故a的值为4．故选：D．
【名师点拨】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是二次函数的增减性，利用二次函数的性质解答．
题型2-5．（2022·湖南岳阳·中考真题）已知二次函数y=mx2−4m2x−3（m为常数，m≠0），点Pxp,yp是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1或m<0B．m≥1
C．m≤−1或m>0D．m≤−1
【答案】A
【提示】先求出抛物线的对称轴及抛物线与y轴的交点坐标，再分两种情况：m>0或m<0，根据二次函数的性质求得m的不同取值范围便可．
【详解】解：∵二次函数y=mx2−4m2x−3，
∴对称轴为x=2m，抛物线与y轴的交点为0,−3，
∵点Pxp,yp是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤−3，∴①当m>0时，对称轴x=2m>0，此时，当x=4时，y≤−3，即m⋅42−4m2⋅4−3≤−3，解得m≥1；
②当m<0时，对称轴x=2m<0，当0≤x≤4时，y随x增大而减小，则当0≤xp≤4时，yp≤−3恒成立；综上，m的取值范围是：m≥1或m<0．故选：A．
【名师点拨】本题考查了二次函数的性质，关键是分情况讨论．
题型2-6．（2022·江苏徐州·中考真题）若二次函数y=x2−2x−3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为________．
【答案】4
【提示】由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），由图象上恰好只有三个点到x轴的距离为m可得m=4．
【详解】解：∵y=x2−2x−3=(x−1)2−4，
∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线x=1，顶点为（1，-4），
∴顶点到x轴的距离为4，
∵函数图象有三个点到x轴的距离为m，∴m=4，
【名师点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意是解题的关键．
题型2-7．（2022·江苏盐城·中考真题）若点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是____________．
【答案】1≤n<10
【提示】先判断−2【详解】解：∵点P到y轴的距离小于2，∴−2∵点P(m,n)在二次函数y=x2+2x+2的图象上，∴n=m2+2m+2=m+12+1，
∴当m=−1时，n有最小值为1．
当m=2时，n=2+12+1=10，∴n的取值范围为1≤n<10.
故答案为：1≤n<10
【名师点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．
题型2-8．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）抛物线y=x2−2x+3向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是______．
【答案】（3，5）
【提示】先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．
【详解】解：抛物线y=x2−2x+3=(x−1)2+2的顶点坐标为（1，2），
∵将抛物线y=（x-1）2+2再向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3，5）．故答案为：（3，5）．
【名师点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
题型2-9．（2022·山东青岛·中考真题）已知二次函数y=x2+mx+m2−3（m为常数，m>0）的图象经过点P(2，4)．
(1)求m的值；
(2)判断二次函数y=x2+mx+m2−3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．
【答案】(1)m=1
(2)二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点，理由见解析．
【提示】（1）把P(2，4)代入y=x2+mx+m2−3即可求得m的值；（2）首先求出Δ=b2-4ac的值，进而得出答案．
（1）解：∵二次函数y= x2+mx+m2−3图象经过点P(2，4) ，∴4=4+2m+m2−3，
即m2+2m−3=0，解得：m1=1，m2=−3，又∵m>0，∴m=1；
（2）解：由（1）知二次函数y=x2+x−2，∵Δ=b2−4ac=12+8=9>0，
∴二次函数y=x2+x−2的图象与x轴有两个交点．
【名师点拨】此题主要考查了抛物线与x轴的交点以及一元二次方程的解法，得出△的值是解题关键．
考查题型三 二次函数图象与系数符号之间的关系
题型3．（2022·湖南株洲·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx−ca≠0，其中b>0、c>0，则该函数的图象可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】利用排除法，由−c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=−b2a>0，得出a<0，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案．
【详解】解：对于二次函数y=ax2+bx−ca≠0，令x=0，则y=−c，
∴抛物线与y轴的交点坐标为0,−c∵c>0，∴−c<0，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；
B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=−b2a>0，∵ b>0，∴a<0，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，
故选C．
【名师点拨】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．
题型3-1．（2022·四川成都·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，下列说法正确的是（ ）
A．a>0B．当x>−1时，y的值随x值的增大而增大
C．点B的坐标为(4,0)D．4a+2b+c>0
【答案】D
【提示】结合二次函数图像与性质，根据条件与图像，逐项判定即可．
【详解】解：A、根据图像可知抛物线开口向下，即a<0，故该选项不符合题意；
B、根据图像开口向下，对称轴为x=1，当x>1，y随x的增大而减小；当x<1，y随x的增大而增大，故当−11，y随x的增大而减小，故该选项不符合题意；
C、根据二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴相交于A(−1,0)，B两点，对称轴是直线x=1，可得对称轴x=xB+(−1)2=1，解得xB=3，即B(3,0)，故该选项不符合题意；
D、根据B(3,0)可知，当x=2时，y=4a+2b+c>0，故该选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】本题考查二次函数的图像与性质，根据图像得到抛物线开口向下，根据对称轴以及抛物线与x轴交点A(−1,0)得到B(3,0)是解决问题的关键．
题型3-2．（2022·四川绵阳·中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若−20，③b2>a+c+4ac，④a>c>b．
正确结论的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．
【详解】∵对称轴为直线x=1，-2∵−b2a = 1，∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，
∴a－b＋c<0，∴a＋c a+ c，
∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；
∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，
∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B
【名师点拨】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．
题型3-3．（2022·贵州毕节·中考真题）在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc>0；②2a−b=0；③9a+3b+c>0；④b2>4ac；⑤a+cA．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x＝−b2a＞0，∵a＜0，∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；
②∵对称轴为x＝−b2a＝1，∴b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故②错误；
③由图象的对称性可知：当x＝3时，y＜0，∴9a＋3b+c＜0，故③错误；
④由图象可知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac；故④正确；
⑤由图象可知当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴a+c综上所述，正确的结论是：④⑤．故选：B．
【名师点拨】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴的范围求a与b的关系、熟练掌握二次函数与方程之间的转换是基础，数形结合的方法是解题的关键．
题型3-4．（2022·四川凉山·中考真题）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧，则下列结论错误的是（ ）
A．a＞0 B．a＋b＝3
C．抛物线经过点（－1，0） D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1有两个不相等的实数根
【答案】C
【提示】根据抛物线的图像与性质，根据各个选项的描述逐项判定即可得出结论．
【详解】解：A、根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），且对称轴在y轴的左侧可知a>0，该说法正确，故该选项不符合题意；
B、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3）可知{a+b+c=0c=−3，解得a+b=3，该说法正确，故该选项不符合题意；
C、由抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0），对称轴在y轴的左侧，则抛物线不经过（－1，0），该说法错误，故该选项符合题意；
D、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1根的情况，可以转化为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的交点情况，根据抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）经过点（1，0）和点（0，－3），−3<−1<0，结合抛物线开口向上，且对称轴在y轴的左侧可知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与直线y=−1的有两个不同的交点，该说法正确，故该选项不符合题意；
故选：C．
【名师点拨】本题考查二次函数的图像与性质，涉及到开口方向的判定、二次函数系数之间的关系、方程的根与函数图像交点的关系等知识点，根据题中条件得到抛物线草图是解决问题的关键．
题型3-5．（2022·湖北荆门·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）和点（x0，y0），且c＞0．有下列结论：①a＜0；②对任意实数m都有：am2+bm≥4a﹣2b；③16a+c＞4b；④若x0＞﹣4，则y0＞c．其中正确结论的个数为( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【提示】根据抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2）且c＞0，即可判断开口向下，即可判断①；根据二次函数的性质即可判断②；根据抛物线的对称性即可判断③；根据抛物线的对称性以及二次函数的性质即可判断④．
【详解】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的对称轴为x＝﹣2，过点（1，﹣2），且c＞0，∴抛物线开口向下，则a＜0，故①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为x＝﹣2，∴函数的最大值为4a﹣2b+c，
∴对任意实数m都有：am2+bm+c≤4a﹣2b+c，即am2+bm≤4a﹣2b，故②错误；
∵对称轴为x＝﹣2，c＞0．∴当x＝﹣4时的函数值大于0，即16a﹣4b+c＞0，
∴16a+c＞4b，故③正确；
∵对称轴为x＝﹣2，点（0，c）的对称点为（﹣4，c），∵抛物线开口向下，
∴若-4【名师点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．
题型3-6．（2022·四川广安·中考真题）已知抛物线y=ax2 +bx +c的对称轴为x=1，与x轴正半轴的交点为A（3，0），其部分图象如图所示，有下列结论：①abc >0；②2c﹣3b <0；③5a +b+2c=0；④若B（43，y1）、C（13，y2）、D（−13，y3）是抛物线上的三点，则y1A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【提示】根据二次函数的图象与性质一一判断即可．
【详解】解：由图象可知，开口向上，图象与y轴负半轴有交点，则a>0，c<0，
对称轴为直线x=−b2a=1，则b=−2a<0，∴abc>0，故①正确；
当x=3时，y=9a+3b+c=0，∵b=−2a，∴3a+c=0，即3a=−c
∴2c−3b=2×(−3a)−3×(−2a)=0，故②错误；
∵对称轴为直线x=−b2a=1，∴抛物线与x轴负半轴的交点为（−1，0），
∴a−b+c=0，∵9a+3b+c=0，两式相加，则10a+2b+2c=0，
∴5a+b+c=0，故③错误；
∵|−13−1|=43，|13−1|=23，|43−1|=13，∴43>23>13，
∴根据开口向上，离对称轴越近其对应的函数值越小，则有y3>y2>y1，故④正确；
∴正确的结论有2个，故选：B
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象及性质，能够通过函数图象提取信息是解题的关键．
考查题型四 二次函数与一次函数、反比例函数综合判断
题型4．（2022·湖北武汉·中考真题）二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过【 】
A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限
C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限
【答案】C
【详解】∵抛物线的顶点在第四象限，
∴﹣m＞0，n＜0．
∴m＜0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限．
故选C．
题型4-1．（2022·广西·中考真题）已知反比例函数y=bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y=cx−a(c≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数y=bx(b≠0)的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则-b2a>0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-b2a<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【名师点拨】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
题型4-2．（2022·贵州黔东南·中考真题）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=−cx在同一坐标系内的大致图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】根据二次函数的图像确定a，b，c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例函数y=−cx所在的象限．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y轴负半轴，
∴a>0，−b2a<0，c<0，∴b>0，-c>0，∴一次函数y=ax+b的图像经过第一、二、三象限，反比例函数y=−cx的图像在第一，三象限，选项C符合题意．故选：C
【名师点拨】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键．
23．（2022·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的部分函数图象如图所示，则一次函数y=ax+b2−4ac与反比例函数y=4a+2b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】根据y=ax2+bx+c的函数图象可知，a>0，b2−4ac>0，即可确定一次函数图象，根据x=2时，y=4a+2b+c>0，即可判断反比例函数图象，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，则a>0，与x轴存在2个交点，则b2−4ac>0，∴一次函数y=ax+b2−4ac图象经过一、二、三象限，
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象，当x=2时，y=4a+2b+c>0，
∴反比例函数y=4a+2b+cx图象经过一、三象限，结合选项，一次函数y=ax+b2−4ac与反比例函数y=4a+2b+cx在同一平面直角坐标系中的图象大致是B选项，故选B
【名师点拨】本题考查了一次函数，二次函数，反比例函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
考查题型五 y=ax2+bx+c的最值
题型5．（2022·内蒙古包头·中考真题）已知实数a，b满足b−a=1，则代数式a2+2b−6a+7的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【提示】由已知得b=a+1，代入代数式即得a2-4a+9变形为(a-2)2+5，再根据二次函数性质求解．
【详解】解：∵b-a=1，∴b=a+1，
∴a2+2b-6a+7=a2+2(a+1)-6a+7=a2-4a+9=(a-2)2+5，
∵(a-2)2≥0，∴当a=2时，代数式a2+2b-6a+7有最小值，最小值为5，故选：A．
【名师点拨】本题考查二次函数的最值，通过变形将代数式化成(a-2)2+5是解题的关键．
题型5-1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知点A(a,b)，B(4,c)在直线y=kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．52B．2C．32D．1
【答案】B
【提示】把A(a,b)代入y=kx+3后表示出ab，再根据ab最大值求出k，最后把B(4,c)代入y=kx+3即可．
【详解】把A(a,b)代入y=kx+3得：b=ka+3
∴ab=a(ka+3)=ka2+3a=k(a+32k)2−94k
∵ab的最大值为9∴k<0，且当a=−32k时，ab有最大值，此时ab=−94k=9
解得k=−14∴直线解析式为y=−14x+3把B(4,c)代入y=−14x+3得c=−14×4+3=2，故选：B．
【名师点拨】本题考查一次函数上点的特点、二次函数最值，解题的关键是根据ab的最大值为9求出k的值．
题型5-2．（2022·吉林长春·中考真题）已知二次函数y=−x2−2x+3，当a⩽x⩽12时，函数值y的最小值为1，则a的值为_______．
【答案】−1−3##−3−1
【提示】先把函数解析式化为顶点式可得当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若a≥−1；若a<−1，即可求解．
【详解】解：y=−x2−2x+3=−x+12+4，
∴当x<−1时，y随x的增大而增大，当x>−1时，y随x的增大而减小，
若a≥−1，当a⩽x⩽12时，y随x的增大而减小，
此时当x=12时，函数值y最小，最小值为74，不合题意，
若a<−1，当x=a时，函数值y最小，最小值为1，
∴−a2−2a+3=1，解得：a=−1−3或−1+3（舍去）；
综上所述，a的值为−1−3．故答案为：−1−3
【名师点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型5-3．（2022·贵州六盘水·中考真题）如图是二次函数y=x2+bx+c的图像，该函数的最小值是__________．
【答案】−4
【提示】先根据二次函数的对称轴为直线x=−1可求出b的值，再将点(−3,0)代入可求出c的值，然后求出x=−1时，y的值即可得．
【详解】解：由图像可知，此函数的对称轴为直线x=−1，函数的图像经过点(−3,0)，
则x=−b2=−1，9−3b+c=0，解得b=2，
将b=2代入9−3b+c=0得：9−3×2+c=0，解得c=−3，
则二次函数的解析式为y=x2+2x−3，
当x=−1时，y=(−1)2+2×(−1)−3=−4，即该函数的最小值是−4，
【名师点拨】本题考查了二次函数的图像、以及最值，读懂二次函数的图像是解题关键．
题型5-4．（2022·广东·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A1,0，AB=4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ//BC交AC于点Q．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)y=x2+2x−3(2)2；P（-1，0）
【提示】（1）用待定系数法将A，B的坐标代入函数一般式中，即可求出函数的解析式；
（2）分别求出C点坐标，直线AC，BC的解析式，PQ的解析式为：y=-2x+n，进而求出P，Q的坐标以及n的取值范围，由S△CPQ=S△CPA−S△APQ列出函数式求解即可．
（1）解：∵点A（1，0），AB=4，∴点B的坐标为（-3，0），
将点A（1，0），B（-3，0）代入函数解析式中得：
{0=1+b+c0=9−3b+c，解得：b=2，c=-3，∴抛物线的解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：由（1）得抛物线的解析式为y=x2+2x−3，
顶点式为：y=(x+1)2−4，则C点坐标为：（-1，-4），
由B（-3，0），C（-1，-4）可求直线BC的解析式为：y=-2x-6，
由A（1，0），C（-1，-4）可求直线AC的解析式为：y=2x-2，
∵PQ∥BC，设直线PQ的解析式为：y=-2x+n，与x轴交点P(n2,0)，
由{y=−2x+ny=2x−2解得：Q(n+24,n−22)，
∵P在线段AB上，∴−3则S△CPQ=S△CPA−S△APQ=12×(1−n2)×4−12×(1−n2)×(−n−22)=−18(n+2)2+2
∴当n=-2时，即P（-1，0）时，S△CPQ最大，最大值为2．
【名师点拨】本题考查二次函数的面积最值问题，二次函数的图象与解析式间的关系，一次函数的解析式与图象，熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键．
题型5-5．（2022·浙江绍兴·中考真题）已知函数y=−x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
(1)求b，c的值．(2)当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
(3)当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
【答案】(1)b＝-6，c=-3(2)x＝－3时，y有最大值为6(3)m＝－2或−3−10
【提示】（1）把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，即可求解；
（2）先求出抛物线的顶点坐标为（-3，6），再由-4≤x≤0，可得当x＝-3时，y有最大值，即可求解；
（3）由（2）得当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，然后分两种情况：当-3＜m≤0时，当m≤-3时，即可求解．
（1）解：把（0，-3），（-6，-3）代入y＝−x2+bx+c，得∶
c=−3−36−6b+c=−3，解得：b=−6c=−3；
（2）解：由（1）得：该函数解析式为y＝−x2−6x−3＝−(x+3)2+6，
∴抛物线的顶点坐标为（-3，6），
∵-1＜0∴抛物线开口向下， 又∵-4≤x≤0，∴当x＝-3时，y有最大值为6．
（3）解：由（2）得：抛物线的对称轴为直线x=-3，
∴当x＞-3时，y随x的增大而减小；当x≤-3时，y随x的增大而增大，
①当-3＜m≤0时，当x＝0时，y有最小值为-3，当x＝m时，y有最大值为−m2−6m−3，∴−m2−6m−3+（-3）＝2，∴m＝-2或m＝-4（舍去）．
②当m≤-3时，当x＝-3时，y有最大值为6，∵y的最大值与最小值之和为2，
∴y最小值为-4，∴−(m+3)2+6=-4，∴m＝−3−10或m＝−3+10（舍去）．
综上所述，m＝-2或−3−10．
【名师点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
考查题型六 待定系数法求二次函数解析式
题型6．（2022·山东泰安·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
下列结论不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下B．抛物线的对称轴为直线x=12
C．抛物线与x轴的一个交点坐标为2,0D．函数y=ax2+bx+c的最大值为254
【答案】C
【提示】利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可
【详解】解：由题意得4a−2b+c=0a−b+c=4c=6，解得a=−1b=1c=6，
∴抛物线解析式为y=−x2+x+6=−x−122+254，
∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x=12，该函数的最大值为254，故A、B、D说法正确，不符合题意；令y=0，则−x2+x+6=0，解得x=3或x=−2，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C说法错误，符合题意；故选C．
【名师点拨】本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
题型6-1．（2022·浙江杭州·中考真题）已知二次函数y=x2+ax+b（a，b为常数）．命题①：该函数的图像经过点(1，0)；命题②：该函数的图像经过点(3，0)；命题③：该函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；命题④：该函数的图像的对称轴为直线x=1．如果这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是（ ）
A．命题①B．命题②C．命题③D．命题④
【答案】A
【提示】根据对称轴为直线x=−a2=1，确定a的值，根据图像经过点（3，0），判断方程的另一个根为x=-1，位于y轴的两侧，从而作出判断即可．
【详解】假设抛物线的对称轴为直线x=1，则x=−a2=1，解得a= -2，
∵函数的图像经过点(3，0),∴3a+b+9=0，解得b=-3，
故抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
令y=0，得x2−2x−3=0，解得x1=−1,x2=3，
故抛物线与x轴的交点为（-1，0）和（3，0），函数的图像与x轴的交点位于y轴的两侧；故命题②，③，④都是正确，命题①错误，故选A．
【名师点拨】本题考查了待定系数法确定解析式，抛物线与x轴的交点，对称轴，熟练掌握待定系数法，抛物线与x轴的交点问题是解题的关键．
题型6-2．（2022·山东淄博·中考真题）若二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2−4m2−4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【提示】先求得a=1，推出m2=n−2，原式化简得(n−4)2+1，利用偶次方的非负性，即可求解．
【详解】解：∵二次函数y=ax2+2的图象经过P（1，3），∴3=a+2，∴a=1，
∴二次函数的解析式为y=x2+2，
∵二次函数y=ax2+2的图象经过Q（m，n），∴n=m2+2即m2=n−2，
∴n2−4m2−4n+9=n2−4(n−2)−4n+9=n2−8n+17=(n−4)2+1，
∵(n−4)2≥0，∴n2−4m2−4n+9的最小值为1，故选：A．
【名师点拨】本题考查了配方法的应用，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，非负数的性质，利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键．
题型6-3．（2022·湖北荆州·中考真题）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1=2x+2与y2=−2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y=kx2+2k−1x+k−3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为______．
【答案】y=2x−3或y=−x2+4x−4
【提示】分两种情况，根据关于y轴对称的图形的对称点的坐标特点，即可求得．
【详解】解：∵函数y=kx2+2k−1x+k−3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，
∴函数y=kx2+2k−1x+k−3（k为常数）的图象与x轴也只有一个交点，
当k=0时，函数解析为y=−2x−3，它的“Y函数”解析式为y=2x−3，它们的图象与x轴只有一个交点，当k≠0时，此函数是二次函数，
∵它们的图象与x轴都只有一个交点，∴它们的顶点分别在x轴上，
∴4kk−3−2k−124k=0，得k+1k=0，故k+1=0，解得k=-1，
故原函数的解析式为y=−x2−4x−4，
故它的“Y函数”解析式为y=−x2+4x−4，
故答案为：y=2x−3或y=−x2+4x−4．
【名师点拨】本题考查了新定义，二次函数图象与x轴的交点问题，坐标与图形变换-轴对称，求一次函数及二次函数的解析式，理解题意和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
题型6-4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】(1)y=x2−2x−3
(2)存在，P11+5,1，P21−5,1
【提示】（1）将点A−1,0，点B2,−3，代入抛物线得1−b+c=04+2b+c=−3，求出b，c的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得y=x2−2x−3=x−12−4，可得D点坐标，将x=0代入得，y=−3，可得C点坐标，求出S△BCD=1的值，根据S△PBC=4S△BCD可得S△PBC=4，设Pm,m2−2m−3，则S△PBC=12×2×m2−2m−3+3=4，求出m的值，进而可得P点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线y=x2+bx+c过点A−1,0，点B2,−3，
∴1−b+c=04+2b+c=−3，解得b=−2c=−3，∴抛物线的解析式为：y=x2−2x−3．
（2）解：存在．
∵y=x2−2x−3=x−12−4，∴D1,−4，
将x=0代入得，y=−3，∴C0,−3，
又∵B（2，-3），∴BC//x轴，∴D到线段BC的距离为1，BC=2，
∴S△BCD=12×2×1=1，∴S△PBC=4S△BCD=4，
设Pm,m2−2m−3，由题意可知点P在直线BC上方，
则S△PBC=12×2×m2−2m−3+3=4，整理得，m2−2m=4，
解得m1=1+5，或m2=1−5，∴P11+5,1，P21−5,1，
∴存在点P，使△PBC的面积是△BCD面积的4倍，点P的坐标为P11+5,1，P21−5,1．
【名师点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
考查题型七 二次函数图象的平移规律
题型7．（2022·四川泸州·中考真题）抛物线y=−12x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y=−12x2+xB．y=−12x2−4
C．y=−12x2+2021x−2022D．y=−x2+x+1
【答案】D
【提示】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．
【详解】解：抛物线y=−12x2+x+1经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D选项中a=-1，不可能是经过平移得到，故选：D．
【名师点拨】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握y=ax2+bx+c(a≠0)通过平移不能改变开口大小和开口方向，即不改变a的大小．
题型7-1．（2022·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x−12+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y=x−22−1B．y=x−22+3
C．y=x2+1D．y=x2−1
【答案】D
【提示】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．
【详解】解：将二次函数y=x−12+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为y=x−1+12+1−2=x2−1故选D．
【名师点拨】本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）小嘉说：将二次函数y=x2的图象平移或翻折后经过点(2,0)有4种方法：
①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【提示】根据二次函数图象的平移可依此进行求解问题．
【详解】解：①将二次函数y=x2向右平移2个单位长度得到：y=x−22，把点(2,0)代入得：y=2−22=0，所以该平移方式符合题意；
②将二次函数y=x2向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到：y=x−12−1，把点(2,0)代入得：y=2−12−1=0，所以该平移方式符合题意；
③将二次函数y=x2向下平移4个单位长度得到：y=x2−4，把点(2,0)代入得：y=22−4=0，所以该平移方式符合题意；
④将二次函数y=x2沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度得到：y=−x2+4，把点(2,0)代入得：y=−22+4=0，所以该平移方式符合题意；
综上所述：正确的个数为4个；故选D．
【名师点拨】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．
题型7-3．（2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题）函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象是由函数y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b=0 ；②c=3； ③abc>0；④将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
【答案】D
【提示】根据函数图象与x轴交点的横坐标求出对称轴为−b2a=1，进而可得2a+b=0，故①正确；由函数图象与y轴的交点坐标为（0，3），y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成可知c＝-3，故②错误；根据对称轴求出b＜0，进而可得abc>0，故③正确；求出翻折前的二次函数的顶点坐标，然后根据平移的性质可得④正确．
【详解】解：由函数图象可得：y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标为－1和3，
∴对称轴为x=−1+32=1，即−b2a=1，∴整理得：2a+b=0，故①正确；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0与y轴的交点坐标为（0，3），
y=ax2+bx+ca>0可知，开口向上，图中函数图象是由原函数下方部分沿x轴向上翻折而成，∴c＝-3，故②错误；
∵y=ax2+bx+ca>0,b2−4ac>0中a＞0，−b2a=1，∴b＜0，又∵c＝-3＜0，
∴abc>0，故③正确；
设抛物线y=ax2+bx+c的解析式为y=ax+1x−3，代入（0，3）得：3=−3a，
解得：a＝－1，∴y=−x+1x−3=−x2+2x+3=−x−12+4，
∴顶点坐标为（1，4），∵点（1，4）向上平移1个单位后的坐标为（1，5），∴将图象向上平移1个单位后与直线y=5有3个交点，故④正确；故选：D．
【名师点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的对称轴公式，顶点坐标的求法是解题的关键．
题型7-4．（2022·贵州黔东南·中考真题）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是_______．
【答案】1，−3
【提示】先把抛物线配方为顶点式，求出定点坐标，求出旋转后的抛物线，再根据“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可．
【详解】解：∵y=x2+2x−1=x+12−2，
∴抛物线的顶点为（-1，-2），
将抛物线y=x2+2x−1先绕原点旋转180°抛物线顶点为（1，2），
旋转后的抛物线为y=−x−12+2，
再向下平移5个单位，y=−x−12+2−5即y=−x−12−3．
∴新抛物线的顶点（1，-3）
故答案是：（1，-3）．
【名师点拨】本题考查的是抛物线的图象与几何变换，熟知函数图象旋转与平移的法则是解答此题的关键．
题型7-5．（2022·浙江嘉兴·中考真题）已知抛物线L1：y＝a(x＋1)2－4（a≠0）经过点A(1，0)．
(1)求抛物线L1的函数表达式．
(2)将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．
(3)把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B(1，y1)，C(3，y2)在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．
【答案】(1)y=x2+2x−3(2)m的值为4(3)n>3
【提示】（1）把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4即可解得抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；（2）将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，顶点为(−1,−4+m)，关于原点的对称点为(1,4−m)，代入y=x2+2x−3可解得m的值为4；（3）把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得抛物线L3为y=(x−n+1)2−4，根据点B(1，y1)，C(3，y2)都在抛物线L3上，当y1＞y2时，可得(2−n)2−4>(4−n)2−4，即可解得n的取值范围是n>3．
（1）解：把A(1,0)代入y=a(x+1)2−4得：a(1+1)2−4=0，解得a=1，
∴y=(x+1)2−4=x2+2x−3；答：抛物线L1的函数表达式为y=x2+2x−3；
（2）解：抛物线L1:y=(x+1)2−4的顶点为(−1,−4)，
将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位得到抛物线L2，则抛物线L2的顶点为(−1,−4+m)，而(−1,−4+m)关于原点的对称点为(1,4−m)，把(1,4−m)代入y=x2+2x−3得：
12+2×1−3=4−m，解得m=4，答：m的值为4；
（3）解：把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位得到抛物线L3，抛物线L3解析式为y=(x−n+1)2−4，
∵点B(1,y1)，C(3,y2)都在抛物线L3上，∴y1=(1−n+1)2−4=(2−n)2−4，
y2=(3−n+1)2−4=(4−n)2−4，∵y1＞y2，∴(2−n)2−4>(4−n)2−4，
整理变形得：(2−n)2−(4−n)2>0，
(2−n+4−n)(2−n−4+n)>0
−2×(6−2n)>0，6−2n<0
解得n>3，∴n的取值范围是n>3．
【名师点拨】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，对称及平移变换等知识，解题的关键是能得出含字母的式子表达抛物线平移后的解析式．
知识点五 二次函数与方程、不等式之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系：
1）一元二次方程的解是其对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标；
2）抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
①当△>0时，图象与x轴有两个交点；②当△=0时，图象与x轴有一个交点；
③当△<0时，图象与x轴没有交点。
二次函数与不等式的关系:
1）ax2+bx+c>0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方对应的点的横坐标的取值范围；
2）ax2+bx+c<0的解集：函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴下方对应的点的横坐标的取值范围。
考查题型八 二次函数与一元二次方程
题型8．（2022·湖北荆门·中考真题）若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝14B．a≤14C．a＝0或a＝﹣14D．a＝0或a＝14
【答案】D
【提示】由题意分两种情况：①函数为二次函数，函数y=ax2-x+1的图象与x轴恰有一个交点，可得Δ=0，从而解出a值；②函数为一次函数，此时a=0，从而求解．
【详解】解：①函数为二次函数，y=ax2﹣x+1（a≠0），∴Δ=1﹣4a=0，∴a=14；
②函数为一次函数，∴a=0，∴a的值为14或0；故选：D．
【名师点拨】此题考查了二次函数的性质，根的判别式，一次函数的性质，对函数的情况进行分类讨论是解题的关键．
题型8-1．（2022·四川雅安·中考真题）抛物线的函数表达式为y＝（x﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ）
①当x＝2时，y取得最小值﹣9；②若点（3，y1），（4，y2）在其图象上，则y2＞y1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x﹣5）2﹣5；④函数图象与x轴有两个交点，且两交点的距离为6．
A．②③④B．①②④C．①③D．①②③④
【答案】B
【提示】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．
【详解】解：∵ y＝（x﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x＝2时，y取得最小值﹣9；故①符合题意；∵ y＝（x﹣2）2﹣9的对称轴为x=2，而3−2<4−2, ∴y2>y1, 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣5，故③不符合题意；当y=0时，则(x−2)2−9=0,
解得：x1=5,x2=−1, 而5−(−1)=6, 故④符合题意；故选B
【名师点拨】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键．
题型8-2．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数m的值为____________．
【答案】1或−45
【提示】函数图象与坐标轴恰有两个公共点，则分两种情况：第一种情况，函数图象过原点；第二种情况，函数图象与x轴只有一个交点，分别计算即可
【详解】当函数图象过原点时，函数y=mx2+3mx+m−1的图象与坐标轴恰有两个公共点，此时满足m−1=0，解得m=1；
当函数图象与x轴只有一个交点且与坐标轴y轴也有一个交点时，
此时满足Δ=3m2−4mm−1=0，解得m=0或m=−45，
当m=0是，函数变为y=−1与y轴只有一个交点，不合题意；
综上可得，m=1或m=−45时，函数图象与坐标轴恰有两个公共点．
故答案为：1或−45
【名师点拨】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用一元二次方程根的判别式，二次函数的图象和性质．
题型8-3．（2022·江苏无锡·中考真题）把二次函数y=x2+4x+m的图像向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，那么m应满足条件：________．
【答案】m>3
【提示】先求得原抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），再求得平移后的顶点坐标为（1，m-3），根据题意得到不等式m-3>0，据此即可求解．
【详解】解：∵y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4，此时抛物线的顶点坐标为（-2，m-4），
函数的图象向上平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后的顶点坐标为（-2+3，m-4+1），即（1，m-3），∵平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点，∴m-3>0，解得：m>3，故答案为：m>3．
【名师点拨】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
题型8-4．（2022·四川遂宁·中考真题）抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m=a-b+c，则m的取值范围是______．
【答案】−4【提示】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x=-1代入解析式求解．
【详解】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，∴-b2a＜0，∴b＞0，
∵抛物线经过（0，-2），∴c=-2，
∵抛物线经过（1，0），∴a+b+c=0，∴a+b=2，b=2-a，∴y=ax2+（2-a）x-2，
当x=-1时，y=a+a-2-2=2a-4，
∵b=2-a＞0，∴0＜a＜2，∴-4＜2a-4＜0，故答案为：-4＜m＜0．
【名师点拨】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．
题型8-5．（2022·山西·中考真题）阅读与思考
下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务
任务：(1)上面小论文中的提示过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A．数形结合B．统计思想C．分类讨论．D．转化思想
(2)请参照小论文中当a>0时①②的提示过程，写出③中当a>0,△<0时，一元二次方程根的情况的提示过程，并画出相应的示意图；
(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解．请你再举出一例为
【答案】(1)AC(2)提示见解析；作图见解析(3)答案见解析
【提示】（1）解一元二次方程的解转化为抛物线与x轴交点的横坐标；还体现了分类讨论思想；（2）依照例题，画出图形，数形结合，可以解答；（3）结合所学知识，找到用转化思想或数形结合或分类讨论思想解决问题的一种情况即可．
（1）解：上面解一元二次方程的过程中体现了转化思想、数形结合、分类讨论思想，
故答案为：AC；
（2）解：a>0时，抛物线开口向上．当△=b2−4ac<0时，有4ac−b2>0﹒
∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a>0﹒∴顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点（如图）：
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
（3）解：可用函数观点认识二元一次方程组的解．（答案不唯一．又如：可用函数观点认识一元一次不等式的解集，等）
【名师点拨】本题考查的二次函数与一元二次方程的关系，根据转化思想将一元二次方程的解的问题转化成抛物线与x轴交点的横坐标的问题，再根据数形结合的思想用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况是本题的关键．
考查题型九 二次函数与不等式
题型9．（2022·山东滨州·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A−2,0,B6,0，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【提示】根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−2,0、B6,0，
∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
即△=b2−4ac＞0，故①正确；
对称轴为x=−b2a=6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；
由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时x＜－2或x＞6，故③错误，
由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．
【名师点拨】本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
题型9-1．（2021·广西贺州·中考真题）如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交于A(−3,y1)，B(1,y2)两点，则关于x的不等式ax2+c≥−kx+m的解集是（ ）
A．x≤−3或x≥1B．x≤−1或x≥3C．−3≤x≤1D．−1≤x≤3
【答案】D
【提示】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】∵y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称
抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，
因此抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m的交点和与直线y=−kx+m的交点也关于y轴对称设y=−kx+m与y=ax2+c交点为A'、B'，则A' (−1,y2)，B' (3,y1)
∵ ax2+c≥−kx+m即在点A'、B'之间的函数图像满足题意
∴ax2+c≥−kx+m的解集为：−1≤x≤3，故选D．
【名师点拨】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y=kx+m与y=−kx+m关于y轴对称是解题的关键．
题型9-2．（2022·四川自贡·中考真题）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形，等腰三角形（底边靠墙），半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2
【答案】C
【提示】分别计算出三个方案的菜园面积进行比较即可．
【详解】解：方案1，设AD=x米，则AB=(8−2x)米，
则菜园的面积=x(8−2x)=−2x2+8x=−2(x−2)2+8
当x=2时，此时散架的最大面积为8平方米；
方案2，当∠BAC=90°时，菜园最大面积=12×4×4=8平方米；
方案3，半圆的半径=8π,此时菜园最大面积=π×(8π)22=32π平方米>8平方米，故选：C
【名师点拨】本题主要考查了同周长的几何图形的面积的问题，根据周长为8米计算三个方案的边长及半径是解本题的关键．
知识点六 二次函数与实际问题
“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系；“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元；
“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。
“解”就是求出说列方程的解；
“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程
考查题型十 利用二次函数解决图形问题
题型10．（2022·新疆·中考真题）如图，用一段长为16m的篱芭围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为_______m2．
【答案】32
【提示】设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为16−2x米，列出围栏面积S关于x的二次函数解析式，化为顶点式，即可求解．
【详解】解：设围栏垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为16−2x米，
∴围栏的面积S=x⋅(16−2x)=−2x2+16x=−2(x−4)2+32 m2，
∴当x=4时，S取最大值，最大值为32，故答案为：32．
【名师点拨】本题主要考查二次函数的实际应用，根据已知条件列出函数解析式是解题的关键．
题型10-1．（2022·江苏无锡·中考真题）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
【答案】(1)x的值为2m；(2)当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2
【提示】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36m2，列一元二次方程，解方程即可求解；（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，∴BD=3x，AB=CF=DE=13(24-BD)=8-x，依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，∴0＜3x＜10，∴0＜x＜103，
∵-3<0，∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=103时，S有最大值，最大值为−3×(103−4)2+48=1403，
即当x=103时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为1403 m2．
【名师点拨】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型10-2．（2022·安徽·中考真题）如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，规定一个单位长度代表1米．E（0，8）是抛物线的顶点．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点P1，P4在x轴上，MN与矩形P1P2P3P4的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段P1P2，P2P3，P3P4，MN长度之和．请解决以下问题：
（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点P2，P3在抛物线AED上．设点P1的横坐标为m0（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的修建“”型或“”型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形P1P2P3P4面积的最大值，及取最大值时点P1的横坐标的取值范围（P1在P4右侧）．
【答案】(1)y＝−16x2＋8(2)（ⅰ）l＝−12m2＋2m＋24，l的最大值为26；（ⅱ）方案一：−30＋9≤P1横坐标≤30；方案二：−21＋92≤P1横坐标≤21
【提示】（1）通过提示A点坐标，利用待定系数法求函数解析式；（2）（ⅰ）结合矩形性质提示得出P2的坐标为（m，－16m2＋8），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质提示最值；（ⅱ）设P2P1＝n，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质提示最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．
（1）由题意可得：A（－6，2），D（6，2），又∵E（0，8）是抛物线的顶点，
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋8，将A（－6，2）代入，（－6）2a＋8＝2，
解得：a＝−16，∴抛物线对应的函数表达式为y＝−16x2＋8；
（2）（ⅰ）∵点P1的横坐标为m（0＜m≤6），且四边形P1P2P3P4为矩形，点P2，P3在抛物线AED上，∴P2的坐标为（m，−16m2＋8），∴P1P2＝P3P4＝MN＝−16m2＋8，P2P3＝2m，∴l＝3（−16m2＋8）＋2m＝−12m2＋2m＋24＝−12（m－2）2＋26，
∵−12＜0，∴当m＝2时，l有最大值为26，即栅栏总长l与m之间的函数表达式为l＝−12m2＋2m＋24，l的最大值为26；
（ⅱ）方案一：设P2P1＝n，则P2P3＝18－3n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（18－3n）n＝－3n2＋18n＝－3（n－3）2＋27，
∵－3＜0，∴当n＝3时，矩形面积有最大值为27，此时P2P1＝3，P2P3＝9，
令−16x2＋8＝3，解得：x＝±30，
∴此时P1的横坐标的取值范围为−30＋9≤P1横坐标≤30，
方案二：设P2P1＝n，则P2P3＝9－n，
∴矩形P1P2P3P4面积为（9－n）n＝－n2＋9n＝－（n－92）2＋814，
∵－1＜0，∴当n＝92时，矩形面积有最大值为814，此时P2P1＝92，P2P3＝92，
令−16x2＋8＝92，解得：x＝±21，
∴此时P1的横坐标的取值范围为−21＋92≤P1横坐标≤21．
【名师点拨】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．
考查题型十一 利用二次函数解决图形运动问题
题型11．（2022·辽宁鞍山·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=43cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（ ）
A． B．
C．D．
【答案】B
【提示】分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．
【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=43，
∴∠B＝60°，BC=12AB=23，AC=3BC=6，
∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=3CD=33，BD=12BC=3，
∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=33−3t，DN=DC＋CN=3＋t，
∴S=12MD·DN=1233−3t3+t=−32t2+932，
当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=3t−33，
∴S=12MD·DN=123t−333+t=32t2−932，故选：B．
【名师点拨】本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高提示问题、解决问题的能力．
题型11-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE,OF，点P从点E出发沿E−O−F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP,PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图像能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【提示】分0≤t≤1和1＜t≤2两种情形，确定解析式，判断即可．
【详解】当0≤t≤1时，∵正方形ABCD 的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，∴点P到直线BC的距离为2-t，BQ=t，∴S=12(2−t)·t=−12t2+t；
当1＜t≤2时，∵正方形ABCD 的边长为2，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，∴直线OF∥BC，∴点P到直线BC的距离为1，BQ=t，∴S=12t；故选D．
【名师点拨】本题考查了正方形的性质，二次函数的解析式，一次函数解析式，正确确定面积，从而确定解析式是解题的关键．
题型11-2．（2022·山东烟台·中考真题）如图1，△ABC中，∠ABC＝60°，D是BC边上的一个动点（不与点B，C重合），DE∥AB，交AC于点E，EF∥BC，交AB于点F．设BD的长为x，四边形BDEF的面积为y，y与x的函数图象是如图2所示的一段抛物线，其顶点P的坐标为（2，3），则AB的长为 _____．
【答案】23
【提示】根据抛物线的对称性知，BC＝4，作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，则此时BF＝3，AB＝2BF，即可解决问题．
【详解】解：∵抛物线的顶点为（2，3），过点（0，0），∴x＝4时，y＝0，∴BC＝4，
作FH⊥BC于H，当BD＝2时，▱BDEF的面积为3，
∵3＝2FH，∴FH＝32，∵∠ABC＝60°，∴BF＝32sin60°＝3，
∵DE∥AB，∴AB＝2BF＝23，故答案为：23．
【名师点拨】本题主要考查了动点的函数图象问题，抛物线的对称性，平行四边形的性质，特殊角的三角函数值等知识，求出BC＝4是解题的关键．
题型12 （2022·四川广安·中考真题）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降________米，水面宽8米．
【答案】149##159
【提示】根据已知得出直角坐标系，通过代入A点坐标（−3，0），求出二次函数解析式，再根据把x=4代入抛物线解析式得出下降高度，即可得出答案．
【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意可得：AO=OB=3米，C坐标为（0，2），
通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，把点A点坐标（−3，0）代入得，
∴9a+2=0，∴a=−29，∴抛物线解析式为：y=−29x2+2；
当水面下降，水面宽为8米时，把x=4代入解析式，得y=−29×42+2=−29×16+2=−149；∴水面下降149米；故答案为：149；
【名师点拨】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．
考查题型十二 利用二次函数解决拱桥问题
题型12-1．（2022·浙江温州·中考真题）根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务一：见解析，y=−120x2；任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8；−6≤x≤6；任务三：两种方案，见解析
【提示】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解；任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围；任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，根据题意求得任意一种方案即可求解．
【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，
则顶点为(0,0)，且经过点(10,−5)．设该抛物线函数表达式为y=ax2(a≠0)，
则−5=100a，∴a=−120，∴该抛物线的函数表达式是y=−120x2．
任务二：∵水位再上涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，
∴悬挂点的纵坐标y≥−5+1.8+1+0.4=−1.8，
∴悬挂点的纵坐标的最小值是−1.8．
当y=−1.8时，−1.8=−120x2，解得x1=6或x2=−6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是−6≤x≤6．
任务三：有两种设计方案
方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼．
∵−6≤x≤6，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则1.6×4>6，
若顶点一侧挂3盏灯笼，则1.6×3<6，∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂7盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−4.8．
方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为0.8m，
∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则0.8+1.6×(5−1)>6，
若顶点一侧挂4盏灯笼，则0.8+1.6×(4−1)<6，∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼．
∵挂满灯笼后成轴对称分布，∴共可挂8盏灯笼．∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是−5.6．
【名师点拨】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
题型12-2．（2022·陕西·中考真题）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
【答案】(1)y=−925(x−5)2+9(2)A(5−533,6),B(5+533,6)
【提示】（1）根据题意，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，再代入（0，0），求出a的值即可；（2）根据题意知，A，B两点的纵坐标为6，代入函数解析式可求出两点的横坐标，从而 可解决问题．
【详解】（1）依题意，顶点P(5,9)，设抛物线的函数表达式为y=a(x−5)2+9，
将(0,0)代入，得0=a(0−5)2+9．解之，得a=−925．∴抛物线的函数表达式为y=−925(x−5)2+9．
（2）令y=6，得−925(x−5)2+9=6．解之，得x1=533+5,x2=−533+5．
∴A(5−533,6),B(5+533,6)．
【名师点拨】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
考查题型十三 利用二次函数解决销售问题
题型13 （2022·山东聊城·中考真题）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．
【答案】121
【提示】利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质提示其最值．
【详解】解：当10≤x≤20时，设y=kx+b，，把（10，20），（20，10）代入可得：
10k+b=2020k+b=10，解得k=−1b=30，
∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y=−x+30，
设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，
w=x−8y=x−8−x+30=−x2+38x−240=−x−192+121，
∵−1<0，∴当x=19时，w有最大值为121，故答案为：121．
【名师点拨】本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．
题型13-1．（2022·山东滨州·中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】(1)y=−30x+96010≤x≤32
(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元
【提示】（1）设y=kx+bk≠0，把x=20，y=360和x=30，y=60代入求出k、b的值，从而得出答案；（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．
（1）解：设y=kx+bk≠0，把x=20，y=360和x=30，y=60代入可得
20k+b＝36030k+b＝60，解得k=−30b=960，则y=−30x+96010≤x≤32；
（2）解：每月获得利润P=−30x+960x−10 =30−x+32x−10
=30−x2+42x−320 =−30x−212+3630．
∵−30<0，∴当x=21时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【名师点拨】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．
题型13-2．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y（件）与每件售价x（元）之间存在一次函数关系（其中8≤x≤15，且x为整数）．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天的销售量为95件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元？
(3)设该商店销售这种消毒用品每天获利w（元），当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y=−5x+150(2)13(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【提示】（1）根据给定的数据，利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据每件的销售利润×每天的销售量=425，解一元二次方程即可；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+bk≠0，根据题意得：
9k+b=10511k+b=95，解得：k=−5b=150，∴y与x之间的函数关系式为y=−5x+150；
（2）解：（-5x+150）（x-8）=425，整理得：x2−38x+345=0，解得：x1=13,x2=25，
∵8≤x≤15，∴若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为13元；
（3）解：根据题意得：w=yx−8=−5x+150x−8=−5x2+190x−1200=−5(x−19)2+605∵8≤x≤15，且x为整数，当x<19时，w随x的增大而增大，
∴当x=15时，w有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
【名师点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及二次函数的应用，解题的关键是找准题目的等量关系，
题型13-3．（2022·浙江金华·中考真题）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬菜需求量y1（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y1=ax2+c，部分对应值如表：
②该蔬菜供给量y2（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y2=x−1，函数图象见图1．
③1~7月份该蔬菜售价x1（元/千克），成本x2（元/千克）关于月份t的函数表达式分别为x1=12t+2，x2=14t2−32t+3，函数图象见图2．
请解答下列问题：
(1)求a，c的值．
(2)根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．
(3)求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．
【答案】(1)a=−15,c=9(2)在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大，见解析(3)该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元
【提示】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据w=x售价−x成本列出函数关系式，由二次函数的性质可得结论；
（3）根据题意列出方程，求出x的值，再求出总利润即可．
（1）把x=3,y=7.2，x=4,y=5.8代入y需求=ax2+c可得9a+c=7.2,①16a+c=5.8.②
②-①，得7a=−1.4，解得a=−15，把a=−15代入①，得c=9，∴a=−15,c=9．
（2）设这种蔬菜每千克获利w元，根据题意，
有w=x售价−x成本=12t+2−14t2−32t+3，
化简，得w=−14t2+2t−1=−14(t−4)2+3，
∵−14<0,t=4在1≤t≤7的范围内，∴当t=4时，w有最大值．
答：在4月份出售这种蔬菜每千克获利最大．
（3）由y供给=y需求，得x−1=−15x2+9，
化简，得x2+5x−50=0，解得x1=5,x2=−10（舍去），∴售价为5元/千克．
此时，y供给=y需求=x−1=4（吨）=4000（千克），把x=5代入x售价=12t+2，得t=6，把t=6代入w=−14t2+2t−1，得w=−14×36+2×6−1=2，
∴总利润=w⋅y=2×4000=8000（元）．
答：该蔬菜供给量与需求量相等时的售价为5元/千克，按此价格出售获得的总利润为8000元．
【名师点拨】此题主要考查了函数的综合应用，结合函数图象得出各点的坐标，再利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．
考查题型十四 利用二次函数解决投球问题
题型14 （2022·江苏南通·中考真题）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是ℎ=−5t2+20t，当飞行时间t为___________s时，小球达到最高点．
【答案】2
【提示】将函数关系式转化为顶点式即可求解．
【详解】根据题意，有ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，当t=2时，ℎ有最大值．
故答案为：2．
【名师点拨】本题考查二次函数解析式的相互转化及应用，解决本题的关键是熟练二次函数解析式的特点及应用．
题型14-1．（2022·贵州黔西·中考真题）如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y=−112x2+23x+53，则铅球推出的水平距离OA的长是_____m．
【答案】10
【提示】由图可知，要求OA的长实际是需要点A的横坐标，已知点A的纵坐标为0，将y=0代入函数的解析式，求出x的值，再舍去不符合实际的一个x的值即可．
【详解】将y=0代入y=−112x2+23x+53；0=−112x2+23x+53
整理得：x2−8x−20=0，（x-10）（x+2）=0解得：x=10或x=-2（舍去）
∴铅球推出的水平距离OA的长是10m．故答案为：10
【名师点拨】本题主要考查了二次函数得实际应用，熟练地掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
题型14-2．（2022·甘肃兰州·中考真题）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为53m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】(1)y关于x的函数表达式为y=−427x2+89x+53；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【提示】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设y=ax−32+3，
∵y=ax−32+3经过点(0，53 )，∴53=a0−32+3解得∶a=−427,
∴y=−427(x−3)2+3=−427x2+89x+53，
∴y关于x的函数表达式为y=−427x2+89x+53；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数y=−427x2+89x+53，当y=0时，有−427x2+89x+53=0
∴4x2−24x−45=0，解得∶x1=152， x2=−32 (舍去)，
∵152>6.70，∴该女生在此项考试中是得满分．
【名师点拨】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
考查题型十五 利用二次函数解决喷水问题
题型15 （2022·四川南充·中考真题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点4m．
【答案】8
【提示】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h．
【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，
将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①，喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，
将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②，联立可求出a=−23，b=23，
设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+ℎ，
将（4，0）代入可得−23×42+23×4+ℎ=0，解得h=8．故答案为：8．
【名师点拨】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键．
题型15-1．（2022·河南·中考真题）小红看到一处喷水景观，喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：测得喷水头P距地面0.7m，水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高，最高点距地面3.2m；建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax−ℎ2+k，其中x（m）是水柱距喷水头的水平距离，y（m）是水柱距地面的高度．
(1)求抛物线的表达式．
(2)爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，身高1.6m的小红在水柱下方走动，当她的头顶恰好接触到水柱时，求她与爸爸的水平距离．
【答案】(1)y=−0.1x−52+3.2(2)2或6m
【提示】（1）根据顶点5,3.2，设抛物线的表达式为y=ax−52+3.2，将点P0,0.7，代入即可求解；（2）将y=1.6代入（1）的解析式，求得x的值，进而求与点3,0的距离即可求解．
【详解】（1）解：根据题意可知抛物线的顶点为5,3.2，
设抛物线的解析式为y=ax−52+3.2，将点0,0.7代入，得0.7=25a+3.2，
解得a=−0.1，∴抛物线的解析式为y=−0.1x−52+3.2，
（2）由y=−0.1x−52+3.2，令y=1.6，得1.6=−0.1x−52+3.2，解得x1=1,x2=9，∵爸爸站在水柱正下方，且距喷水头P水平距离3m，∴当她的头顶恰好接触到水柱时，她与爸爸的水平距离为3−1=2(m)，或9−3=6(m)．
【名师点拨】本题考查了二次函数的实际应用，掌握顶点式求二次函数解析式是解题的关键．
题型15-2．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为ℎ（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度为EF的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d（单位：m）．
(1)若ℎ=1.5，EF=0.5m；
①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
②求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求d的取值范围；
(2)若EF=1m．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出ℎ的最小值．
【答案】(1)①y=−18x−22+2,6m；②(2,0)；③2≤d≤23−1(2)6532
【提示】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可；②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标；③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线OB≤d，计算即可；
（2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可．
【详解】（1）（1）①如图1，由题意得A(2,2)是上边缘抛物线的顶点，设y=a(x−2)2+2．
又∵抛物线经过点(0,1.5)，∴1.5=4a+2，∴a=−18．∴上边缘抛物线的函数解析式为y=−18(x−2)2+2．当y=0时，−18(x−2)2+2=0，∴x1=6，x2=−2（舍去）．
∴喷出水的最大射程OC为6m．
图1
②∵对称轴为直线x=2，∴点(0,1.5)的对称点的坐标为(4,1.5)．∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为(2,0)．
③如图2，先看上边缘抛物线，
∵EF=0.5，∴点F的纵坐标为0.5．抛物线恰好经过点F时，
−18(x−2)2+2=0.5．解得x=2±23，
∵x>0，∴x=2+23．当x>0时，y随着x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+23．
∵当0≤x<2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+23．
∵DE=3，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为(2+23)−3=23−1．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OB≤d，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是2≤d≤23−1．
（2）ℎ的最小值为6532．由题意得A(2,ℎ+0.5)是上边缘抛物线的顶点，
∴设上边缘抛物线解析式为y=a(x−2)2+ℎ+0.5．
∵上边缘抛物线过出水口（0，h）∴y=4a+ℎ+0.5=ℎ，解得a=−18
∴上边缘抛物线解析式为y=−18(x−2)2+ℎ+0.5
∵对称轴为直线x=2，∴点(0,ℎ)的对称点的坐标为(4,ℎ)．
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴下边缘抛物线解析式为y=−18(x+2)2+ℎ+0.5．
当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点D，F恰好分别在两条抛物线上，
∵DE=3∴设点Dm,0，Em+3,0，Fm+3,−18(m+3−2)2+ℎ+0.5，
∵D在下边缘抛物线上，∴−18(m+2)2+ℎ+0.5=0
∵EF=1∴−18(m+3−2)2+ℎ+0.5=1
∴−18(m+3−2)2+ℎ+0.5− −18(m+2)2+ℎ+0.5=1，解得m=2.5，
代入−18(m+2)2+ℎ+0.5=0，得ℎ=6532．所以ℎ的最小值为6532．
【名师点拨】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键．
考查题型十六 利用二次函数解决其它问题
题型16 （2022·四川成都·中考真题）距离地面有一定高度的某发射装置竖直向上发射物体，物体离地面的高度ℎ（米）与物体运动的时间t（秒）之间满足函数关系ℎ=−5t2+mt+n，其图像如图所示，物体运动的最高点离地面20米，物体从发射到落地的运动时间为3秒．设w表示0秒到t秒时ℎ的值的“极差”（即0秒到t秒时ℎ的最大值与最小值的差），则当0≤t≤1时，w的取值范围是_________；当2≤t≤3时，w的取值范围是_________．
【答案】 0≤w≤5 5≤w≤20
【提示】根据题意，得-45+3m+n=0，4×(−5)×n−m24×(−5)=20，确定m，n的值，从而确定函数的解析式，根据定义计算确定即可．
【详解】根据题意，得-45+3m+n=0，4×(−5)×n−m24×(−5)=20，
∴ m2+20n−400=0，∴ m2−60m+500=0，解得m=50，m=10，
当m=50时，n=-105；当m=10时，n=15；
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴n＞0，∴ℎ=−5t2+10t+15，
∵对称轴为t=−102×(−5)=1，a=-5＜0，∴0≤t≤1时，h随t的增大而增大，
当t=1时，h最大，且ℎmax=20（米）；当t=0时，h最最小，且ℎmin=15（米）；
∴w=ℎmax−ℎmin=20−15=5，∴w的取值范围是0≤w≤5，故答案为：0≤w≤5．
当2≤t≤3时，w的取值范围是
∵对称轴为t=−102×(−5)=1，a=-5＜0，∴1＜2≤t≤3时，h随t的增大而减小，
当t=2时，h=15米，且ℎmax=20（米）；当t=3时，h最最小，且ℎmin=0（米）；
∴w=ℎmax−ℎmin=20−15=5，w=ℎmax−ℎmin=20−0=20，
∴w的取值范围是5≤w≤20，故答案为：5≤w≤20．
【名师点拨】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，函数的最值，增减性，对称性，新定义计算，熟练掌握函数的最值，增减性，理解新定义的意义是解的关键．
题型16-1．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．
某运动员进行了两次训练．
(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)；
(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=−0.04(x−9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1______d2（填“>”“=”或“<”）．
【答案】(1)23.20 m；y=−0.05x−82+23.20(2)＜
【提示】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出d1和d2，然后进行比较即可．
【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：8,23.20，
∴ℎ=8，k=23.20，即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m，
根据表格中的数据可知，当x=0时，y=20.00，代入y=ax−82+23.20得：
20.00=a0−82+23.20，解得：a=−0.05，
∴函数关系关系式为：y=−0.05x−82+23.20．
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t=−0.05x−82+23.20，
解得：x=8+2023.20−t或x=8−2023.20−t，
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1=8+2023.20−t，
第二次训练时，t=−0.04x−92+23.24，
解得：x=9+2523.24−t或x=9−2523.24−t，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2=9+2523.24−t，
∵2023.20−t＜2523.24−t，
∴2023.20−t＜2523.24−t，∴d1＜d2．故答案为：＜．
【名师点拨】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t，用t表示出d1和d2是解题的关键．
题型16-2．（2022·江西·中考真题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为ℎm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为y=ax2+bx+c(a≠0)．
(1)c的值为__________；
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150,b=910，求基准点K的高度h；
②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为__________；
(3)若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．
【答案】(1)66(2)①基准点K的高度h为21m；②b＞910；(3)他的落地点能超过K点，理由见解析．
【提示】（1）根据起跳台的高度OA为66m，即可得c＝66；（2）①由a＝﹣150 ，b＝910，知y＝﹣150x2+910x+66，根据基准点K到起跳台的水平距离为75m，即得基准点K的高度h为21m；②运动员落地点要超过K点，即是x＝75时，y＞21，故﹣150×752+75b+66＞21，即可解得答案；（3）运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，即是抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，可得抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y＝36，从而可知他的落地点能超过K点．
【详解】（1）解：∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，故答案为：66；
（2）解：①∵a＝﹣150，b＝910，∴y＝﹣150x2+910x+66，
∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y＝﹣150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；
②∵a＝﹣150，∴y＝﹣150x2+bx+66，
∵运动员落地点要超过K点，∴当x＝75时，y＞21，即﹣150×752+75b+66＞21，
解得b＞910，故答案为：b＞910；
（3）解：他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，
解得a＝﹣2125，∴抛物线解析式为y＝﹣2125（x﹣25）2+76，
当x＝75时，y＝﹣2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．
【名师点拨】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能根据题意把实际问题转化为数学问题．
题型16-3．（2022·湖北黄石·中考真题）某校为配合疫情防控需要，每星期组织学生进行核酸抽样检测；防疫部门为了解学生错峰进入操场进行核酸检测情况，调查了某天上午学生进入操场的累计人数y（单位：人）与时间x（单位：分钟）的变化情况，发现其变化规律符合函数关系式：y=ax2+bx+c(0≤x≤8)640,(8(1)求a，b，c的值；
(2)如果学生一进入操场就开始排队进行核酸检测，检测点有4个，每个检测点每分钟检测5人，求排队人数的最大值（排队人数-累计人数-已检测人数）；
(3)在（2）的条件下，全部学生都完成核酸检测需要多少时间？如果要在不超过20分钟让全部学生完成核酸检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？
【答案】(1)a=−10，b=160，c=0(2)490人(3)从一开始应该至少增加3个检测点
【提示】（1）根据题意列方程，待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据排队人数=累计人数-已检测人数，首先找到排队人数和时间的关系，再根据二次函数和一次函数的性质，找到排队人数最多时有多少人；8分钟后入校园人数不再增加，检测完所有排队同学即完成所有同学体温检测；
（3）设从一开始就应该增加m个检测点，根据不等关系“要在20分钟内让全部学生完成体温检测”，建立关于m的一元一次不等式，结合m为整数可得到结果．
（1）将(0,0)，(1,150)，(2,280)代入y=ax2+bx+c，得c=0a+b+c=1504a+2b+c=280，
解之得a=−10，b=160，c=0；
（2）设排队人数为w，由（1）知y=−10x2+160x0≤x≤86408由题意可知，w=y−20x，
当0≤x≤8时，y=−10x2+160x，w=−10x2+160x−20x=−10x−72+490
∴x=7时，排队人数w的最大值是490人，当8∵w随自变量x的增大而减小，∴440≤w<480，由480<490得，排队人数最大值是490人；
（3）在（2）的条件下，全部学生完成核酸检测时间=640÷(4×5)=32（分钟）
设从一开始增加n个检测点，则6404+n×5≤20，解得n≥2.4，n为整数，
∴从一开始应该至少增加3个检测点．
【名师点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y与x之间的函数关系式是本题的关键
题型16-4．（2022·山东潍坊·中考真题）某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展，小亮和小莹到海水稻种植基地调研．小莹根据水稻年产量数据，分别在直角坐标系中描出表示2017-2021年①号田和②号田年产量情况的点（记2017年为第1年度，横轴表示年度，纵轴表示年产量），如下图．
小亮认为，可以从y=kx+b(k>0) ，y=mx(m>0) ，y=−0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型，模拟①号田和②号田的年产量变化趋势．
(1)小莹认为不能选y=mx(m>0)．你认同吗？请说明理由；
(2)请从小亮提供的函数模型中，选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势，并求出函数表达式；
(3)根据（2）中你选择的函数模型，请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大？最大是多少？
【答案】(1)认同，理由见解析(2)①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；(3)在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【提示】（1）根据年产量变化情况，以及反比例函数的性质即可判断；（2）利用待定系数法求解即可；（3）设总年产量为w，依题意得w=−0.1x2+x+1+0.5x+1，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：认同，理由如下：
观察①号田的年产量变化：每年增加0.5吨，呈一次函数关系；
观察②号田的年产量变化：经过点（1，1.9），（2，2.6），（3，3.1），
∵1×1.9=1.9，2×2.6=5.2，1.9≠5.2，∴不是反比例函数关系，小莹认为不能选y=mx(m>0)是正确的；
（2）解：由（1）知①号田符合y=kx+b(k>0)，
由题意得k+b=1.52k+b=2，解得：k=0.5b=1，∴①号田的函数关系式为y=0.5x+1(k>0)；
检验，当x=4时，y=2+1=3，符合题意；
②号田符合y=−0.1x2+ax+c，由题意得−0.1+a+c=1.9−0.4+2a+c=2.6，解得：a=1c=1，
∴②号田的函数关系式为y=−0.1x2+x+1；检验，当x=4时，y=-1.6+4+1=3.4，符合题意；
（3）解：设总年产量为w，依题意得：w=−0.1x2+x+1+0.5x+1=−0.1x2+1.5x+2
=−0.1(x2-15x+1524-1524)+2=−0.1(x-7.5)2+7.625，
∵−0.1<0，∴当x=7.5时，函数有最大值，∴在2023年或2024年总年产量最大，最大是7.6吨．
【名师点拨】本题考查了二次函数和一次函数的应用，待定系数法求函数式，二次函数的性质，反比例函数的性质，理解题意，利用二次函数的性质是解题的关键．
题型16-5．（2022·贵州六盘水·中考真题）“水城河畔，樱花绽放，凉都宫中，书画成风”的风景，引来市民和游客争相“打卡”留念．已知水城河与南环路之间的某路段平行宽度为200米，为避免交通拥堵，请在水城河与南环路之间设计一条停车带，使得每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等．
(1)利用尺规作出凉都宫到水城河的距离（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在图中格点处标出三个符合条件的停车位P1，P2，P3；
(3)建立平面直角坐标系，设M0,2，N2,0，停车位Px,y，请写出y与x之间的关系式，在图中画出停车带，并判断点P4,−4是否在停车带上．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)y=−14x2(−2≤x≤2)，图见解析，点P4,−4不在停车带上
【提示】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图即可得；
（2）根据网格特点，找出三个点使得它们到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可；
（3）先求出点P到水城河的距离，再求出点F的坐标，利用两点之间的距离公式可得PF的长，然后根据点P到水城河与到凉都宫点F的距离相等即可得函数关系式，最后画出函数图象即为停车带，由此即可得出结论．
（1）解：如图，线段FQ的长即为所求．
（2）解：如图，点P1，P2，P3即为所求．
（3）解：如图，建立平面直角坐标系．
则F(0,−1)，水城河所在的直线为y=1，南环路所在的直线为y=−1，
∴停车位Px,y到水城河的距离为y−1，
PF=(x−0)2+(y+1)2=x2+y2+2y+1，
∵每个停车位到水城河与到凉都宫点F的距离相等，
∴x2+y2+2y+1=y−1，整理得：y=−14x2，
当y=−1时，−14x2=−1，解得x=±2，
又∵要在水城河与南环路之间设计一条停车带，∴−2≤x≤2，
∴y与x之间的关系式为y=−14x2(−2≤x≤2)，
画出停车带如下：
因为4>2，所以点P4,−4不在停车带上．
【名师点拨】本题考查了作垂线、二次函数的应用、两点之间的距离公式等知识点，较难的是题（3），正确求出函数关系式是解题关键．
题型16-6．（2022·四川攀枝花·中考真题）第24届冬奥会（也称2022年北京冬奥会）于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．冬奧会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动．运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角θ=37°的跳台A点以速度v0沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变．同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆，AB=150m，且sin37°=0.6．忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m？
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m？
【答案】(1)该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m(2)y=−1160x2(3)他飞行2s后，垂直下降了22.5m
【提示】（1）以A为原点，建立平面直角坐标系．过点B作BD⊥y轴于点D．在Rt△OBD中，利用sin37°求出OD即可；（2）利用勾股定理求出BD，得到点B坐标，即可求出抛物线的解析式；（3）将x=−60代入（2）的解析式求出y值即可．
【详解】（1）解：如图，以A为原点，建立平面直角坐标系．
过点B作BD⊥y轴于点D．
在Rt△OBD中，OD=AB⋅sin37°=150×0.6=90(m)，
答：该运动员从跳出到着陆垂直下降了90m；
（2）解：在Rt△OBD中，BD=AB2−OD2=1502−902=120(m)，
∴B(−120,−90)，
由题意抛物线顶点为(0,0)，经过(−120,−90)．
设抛物线的解析式为y=ax2，
则有−90=a×(−120)2，∴a=−1160，∴抛物线的解析式为y=−1160x2．
（3）解：当x=−60时，y=−22.5，∴他飞行2s后，垂直下降了22.5m．
【名师点拨】此题考查了抛物线的实际应用，待定系数法求抛物线的解析式，锐角三角函数的应用，已知自变量求函数值，正确理解题意得到对应的数量关系是解题的关键．
基本形式
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
对称轴
y轴
y轴
x=h
x=h
顶点
(0，0)
(0，k)
(h，0)
(h，k)
a>0 时，开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值；
a<0 时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值。
说明：最小值(或最大值)为0（k或）。
增
减
性
a>0
x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；
x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大。
a<0
x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大。
x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小。
y=12x2
y=12x−32+6
0,0
3,m
1,12
4,132
2,2
2,8
−1,12
2,132
−2,2
1,8
x
-2
-1
0
1
y
0
4
6
6
用函数观点认识一元二次方程根的情况
我们知道，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根就是相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标．抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点．与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根．因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况
下面根据抛物线的顶点坐标（−b2a，4ac−b24a）和一元二次方程根的判别式△=b2−4ac，分别分a>0和a<0两种情况进行提示：
（1）a>0时，抛物线开口向上．
①当△=b2−4ac>0时，有4ac−b2<0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a<0．
∴顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）．
②当△=b2−4ac=0时，有4ac−b2=0．∵a>0，∴顶点纵坐标4ac−b24a=0．
∴顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）．
∴一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根．
③当△=b2−4ac=0时，
……
（2）a<0时，抛物线开口向下．
……
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．
素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量y1（吨）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
水平距离x/m
0
2
5
8
11
14
竖直高度y/m
20.00
21.40
22.75
23.20
22.75
21.40
时间x（分钟）
0
1
2
3
…
8
8累计人数y（人）
0
150
280
390
…
640
640