中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题06分式专题特训(原卷版+解析)

这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题06分式专题特训(原卷版+解析)，共44页。

【知识要点】
知识点一：分式的基础
概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子 QUOTE AB 叫做分式，A为分子，B为分母。
【判断分式的注意事项】
1）条件：①形如的式子； ②A，B为整式；③分母B中含有字母，三者缺一不可。
2）判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简后再判断，例如：就是分式。
与分式有关的条件：
考查题型一 分式的意义
题型1．（2022·湖南怀化·中考真题）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
题型1-1．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：，，，……
(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．
易错点总结：
考查题型二 分式有意义的条件
题型2．（2022·四川凉山·中考真题）分式有意义的条件是（ ）
A．x＝－3B．x≠－3C．x≠3D．x≠0
题型2-1．（2022·湖北恩施·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．
题型2-2．（2022·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（ ）
A．且B．且C．D．且
题型2-3．（2022·广东广州·中考真题）代数式有意义时，应满足的条件为（ ）
A．B．C．D．≤-1
易错点总结：
考查题型三 分式值为0的条件
题型3．（2021·广西桂林·中考真题）若分式的值等于0，则x的值是（ ）
A．2B．﹣2C．3D．﹣3
题型3-1．（2021·四川雅安·中考真题）若分式的值为零，则x的值为（ ）
A．1B．C．D．0
题型3-2．（2022·广西·中考真题）当______时，分式的值为零．
题型3-3．（2021·湖南湘西·中考真题）若式子的值为零，则＝___．
易错点总结：
知识点二：分式的形式（基础）
基本性质（基础）：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
字母表示：AB=A•CB•C，AB=A÷CB÷C，其中A、B、C是整式，C≠0。
【注意】在应用分式的基本性质时，要注意C≠0这个限制条件和隐含条件B≠0。
【拓展】分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，
即：AB=−A−B=−−AB=−A−B
约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。
最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式约分步骤：1）提分子和分母公因式（关键）；2）约去公因式；3）观察结果，是否是最简分式或整式。例：x2−9x2+6x+9 =________________
【注意】
1）约分前后分式的值相等.
2）约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、分母没有公因式。
通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。
最简公分母的定义：各分母所有因式的最高次幂的积。
确定分式的最简公分母的方法：1）因式分解：当分母是多项式时，先因式分解；.
2）找系数：各分式分母系数的最小公倍数；
3）找字母：各分母中所有单个字母因式或多项式字母因式；
4）找指数：各分母所有多项式因式的最高次幂。
考查题型四 求分式的值
题型4．（2021·广西百色·中考真题）当x＝﹣2时，分式的值是（ ）
A．﹣15B．﹣3C．3D．15
题型4-1．（2022·浙江湖州·中考真题）当a＝1时，分式的值是______．
题型4-2．（2022·湖南郴州·中考真题）若，则________．
题型4-3．（2021·福建·中考真题）已知非零实数x，y满足，则的值等于_________．
易错点总结：
考查题型五 约分
题型5．（2022·湖南株洲·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型5-1．（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ）
A．B．C．D．
题型5-2．（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
易错点总结：
知识点三 分式的运算
类型一 分式的乘除
1）分式的乘法法则：用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
式子表示为：ab•cd=a•cb•d（bd≠0）
2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。
式子表示为：ab÷cd=ab•dc=a•db•c（bcd≠0）（除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数）
类型二 分式的加减法
1）同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：ac±bc=a±bc
2）异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。式子表示为：ab±cd=ad±bcbd
类型三 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：abn=anbn
【注意】1）分式乘方要把分子、分母分别乘方。
2）分式乘方时，要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负。
类型四 分式混合运算
运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的，先算括号里的。
【注意】分式的运算结果要化为最简分式或整式。
考查题型六 分式的乘除运算
题型6．（2021·湖南湘西·中考真题）下列计算结果正确的是（ ）
A．B． C．D．
题型6-1．（2021·内蒙古呼和浩特·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型6-2．（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
易错点总结：
考查题型七 分式的加减运算
题型7．（2022·天津·中考真题）计算的结果是（ ）
A．1B．C．D．
题型7-1．（2022·浙江杭州·中考真题）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
题型7-2．（2022·广西玉林·中考真题）若x是非负整数，则表示的值的对应点落在下图数轴上的范围是( )
A．①B．②C．③D．①或②
题型7-3．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．2D．
题型7-4．（2022·四川达州·中考真题）人们把这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设，，记，，…，，则_______．
题型7-5．（2022·浙江温州·中考真题）计算：___________．
题型7-6．（2022·湖北襄阳·中考真题）化简分式：＝_____．
题型7-7．（2022·重庆·中考真题）计算：
(1)；
(2)．
题型7-8．（2022·甘肃兰州·中考真题）计算：．
题型7-9．（2022·江西·中考真题）以下是某同学化筒分式的部分运算过程：
(1)上面的运算过程中第__________步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
易错点总结：
考查题型八 分式的加减乘除混合运算
题型8．（2022·四川眉山·中考真题）化简的结果是（ ）
A．1B．C．D．
题型8-1．（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（）÷★＝被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( )
A．B．C．D．
题型8-2．（2022·四川南充·中考真题）已知，且，则的值是（ ）
A．B．C．D．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
易错点总结：
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
易错点总结：
整数指数幂
am⋅an=am+n
amn=amn
abn=anbn
am÷an=am−n（a≠0）
abn=anbn
a−n=1an（a≠0）
a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
题型10-2．（2022·湖北荆门·中考真题）计算：+cs60°﹣（﹣2022）0＝_____．
题型10-3．（2022·四川德阳·中考真题）计算：．
题型10-4．（2022·湖北十堰·中考真题）计算：．
易错点总结：
考查题型十一 负整数指数幂
题型11．（2022·山东济南·中考真题）计算：．
题型11-1．（2022·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中．
题型11-2．（2022·山东潍坊·中考真题）（1）在计算时，小亮的计算过程如下：
解：
小莹发现小亮的计算有误，帮助小亮找出了3个错误．请你找出其他错误，参照①～③的格式写在横线上，并依次标注序号：
①；②；③；
__________________________________________________________________________
请写出正确的计算过程．
（2）先化简，再求值：，其中x是方程的根．
易错点总结：
考查题型十二 负指数幂与科学记数法
题型12．（2022·广西贵港·中考真题）据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技术水平已突破到．已知，则用科学记数法表示是（ ）
A．B．C．D．
题型12-1．（2022·山东青岛·中考真题）我国古代数学家祖冲之推算出的近似值为，它与的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．B．C．D．
题型12-2．（2021·山东聊城·中考真题）已知一个水分子的直径约为3.85×10﹣9米，某花粉的直径约为5×10﹣4米，用科学记数法表示一个水分子的直径是这种花粉直径的（ ）
A．0.77×10﹣5倍B．77×10﹣4倍C．7.7×10﹣6倍D．7.7×10﹣5倍
题型12-3．（2022·四川广元·中考真题）石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有0.00000000034米，将数据0.00000000034用科学记数法表示为_____________．
易错点总结：
要求
表示
分式有意义
分母≠0
B≠0
分式无意义
分母=0
B=0
分式值为0
分子为0且分母不为0
A=0且B≠0
分式值为正或大于0
分子分母同号
A>0,B>0 或A0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故选：B．
【名师点拨】题目主要考查完全公式的计算，分式化简等，熟练掌握运算法则是解题关键．
题型8-3．（2022·四川自贡·中考真题）化简： ＝____________．
【答案】
【提示】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．
【详解】
=
故答案为
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．
题型8-4．（2022·湖南·中考真题）有一组数据：，，，，．记，则__．
【答案】
【提示】通过探索数字变化的规律进行提示计算．
【详解】解：；
；
；
，
，
当时，
原式
，
故答案为：．
【名师点拨】本题考查分式的运算，探索数字变化的规律是解题关键．
题型8-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2）
【提示】（1）先每项化简，再加减算出最终结果即可；
（2）先因式分解，化除为乘，通分，化简；再带入数值计算即可．
【详解】（1）
；
（2）
∵，
∴原式=．
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
题型8-6．（2022·广西河池·中考真题）先化简,再求值,其中
【答案】
【提示】按照分式的加减乘除混合运算顺序，先算乘除，再算加减，分子分母能够因式分解的要因式分解，能够约分的要约分，将结果化为最简，再把a的值代入进行计算．
【详解】
＝
＝
=
=-a+1；
当a=3时，原式=-3+1=-2．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型8-7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【提示】分式的混合运算，根据加减乘除的运算法则化简分式，代入求值即可求出答案．
【详解】解：原式
当时，原式，
故答案是： ．
【名师点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则即可，包括完全平方公式，能约分的要约分等，理解和掌握乘法公式，分式的乘法，除法法则是解题的关键．
题型8-8．（2022·宁夏·中考真题）下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
第一步
第二步
第三步
第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【答案】任务一：①一 ，分式的性质； ②二，去括号没有变号；任务二：
【提示】任务一：①根据分式的基本性质提示即可；②利用去括号法则得出答案；
任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】任务一：以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质．
第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号．
故答案为：一，分式的性质；②二，去括号没有变号．
任务二：

．
【名师点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质．
题型8-9．（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【提示】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
【名师点拨】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
题型8-10．（2022·黑龙江牡丹江·中考真题）先化简，再求值：，在﹣2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．
【答案】，10．
【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x=1代入计算即可求出值．
【详解】解：原式=
=
=2(x+4)
=2x+8
当-2，0，2时，分式无意义
当x=1时，原式=10．
【名师点拨】本题主要考查了分式的化简和代入求值，关键是代入的时候要根据分式有意义的条件选择合适的值代入．
考查题型九 分式化简求值
题型9．（2022·河北·中考真题）若x和y互为倒数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【提示】先将化简，再利用互为倒数，相乘为1，算出结果，即可
【详解】
∵x和y互为倒数
∴
故选：B
【名师点拨】本题考查代数式的化简，注意互为倒数即相乘为1
题型9-1．（2022·山东济南·中考真题）若m－n＝2，则代数式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
【答案】D
【提示】先因式分解，再约分得到原式＝2（m-n），然后利用整体代入的方法计算代数式的值．
【详解】解：原式•
＝2（m-n），
当m-n＝2时，原式＝2×2＝4．
故选：D．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
题型9-2．（2022·山东菏泽·中考真题）若，则代数式的值是________．
【答案】15
【提示】先按分式混合运算法则化简分式，再把已知变形为a2-2a=15，整体代入即可．
【详解】解：==a(a-2)=a2-2a，
∵a2-2a-15=0,∴a2-2a=15，∴原式=15．故答案为：15．
【名师点拨】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．
题型9-3．（2022·新疆·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【提示】根据平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则对原式进行化简，再把a值代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则是解题的关键．
题型9-4．（2022·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：，其中
【答案】，0
【提示】先算括号内的减法，再将除法变成乘法进行计算，然后根据锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质求出a，最后代入计算．
【详解】解：
；
∵，
∴原式．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，锐角三角函数，负指数幂和零次幂的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
题型9-5．（2022·四川广元·中考真题）先化简，再求值：÷（1﹣），其中x是不等式组的整数解．
【答案】，当x=2时，原分式的值为
【提示】由题意先把分式进行化简，求出不等式组的整数解，根据分式有意义的条件选出合适的x值，进而代入求解即可．
【详解】解：原式=；
由可得该不等式组的解集为：，
∴该不等式组的整数解为：-1、0、1、2，
当x=-1，0，1时，分式无意义，
∴x=2，
∴把x=2代入得：原式=．
【名师点拨】本题主要考查分式的运算及一元一次不等式组的解法，要注意分式的分母不能为0．
题型9-6．（2022·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中m为满足－1＜m＜4的整数．
【答案】，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【提示】先计算括号内的分式加法，再计算分式的乘法，然后根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
，
，
，
又为满足的整数，
或，
当时，原式，
当时，原式，
综上，当时，式子的值为；当时，式子的值为．
【名师点拨】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
题型9-7．（2022·浙江金华·中考真题）计算：．
【答案】4
【提示】根据零指数幂，正切三角函数值，绝对值的化简，算术平方根的定义计算求值即可；
【详解】解：原式；
【名师点拨】本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值是解题关键．
整数指数幂
am⋅an=am+n
amn=amn
abn=anbn
am÷an=am−n（a≠0）
abn=anbn
a−n=1an（a≠0）
a0=1（a≠0）（任何不等于零的数的零次幂都等于1）其中m，n均为整数。
考查题型十 零指数幂
题型10．（2022·重庆·中考真题）计算：_________．
【答案】5
【提示】根据绝对值和零指数幂进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：5．
【名师点拨】本题考查了绝对值和零指数幂的计算，熟练掌握定义是解题的关键．
题型10-1．（2022·四川南充·中考真题）比较大小：_______________．（选填＞，＝，＜）
【答案】0 或A