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中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题27四点共圆专题特训(原卷版+解析)
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这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题27四点共圆专题特训(原卷版+解析)，共54页。
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。
四点共圆的判定方法：
1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。
理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。
2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。
如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点
则点A、B、C、D四点共圆。
理由：连接AO、OD
∴AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆
3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。
已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC
求证：A、B、C、D四点共圆
证明(反证法)：
过A，B，D作圆O， 交BC所在直线于C’，连结DC’，
使∠BAC＝∠BDC’
∵∠BAC＝∠BDC ∴∠BDC＝∠BDC’ ①
又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合
∴∠BDC≠∠BDC’② 则①与②矛盾
∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆
4) 对角互补四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证： A，B，C，D四点共圆
证明（反证法）：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180°
∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
5)在 ⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APB和△CPD中
AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
6) 若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APC和△DPB中
AP•BP=CP•DP
∠P=∠P
∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
【培优过关练】
1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，过点 C 作 CP 的垂线，与 BP 的延长线交于点 Q ，则 CQ 的最大值为（ ）
A．4B．5C． 154D． 165
2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（ ）
A．13B．522C．412D．4
3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP．交CB的延长线于Q．下列结论中：①；②AE=EQ；③sin∠PAC=13；④S正方形ABCD=10S四边形OEPF其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点P为平面内一点，且∠CPB=∠A，过C作CQ⊥CP交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．175B．154C．455D．655
6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF，EF交BC于点N，连接AN，若∠C=57°，则 ∠ANB=__________．
8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．
9．（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
10．（2021年福建省福州外国语学校中考适应性练习三模数学试题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，．将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α0°<α<60°得到Rt△DEB，直线DE，AC交于点P．
（1）如图1，当时，连接BP．
①求△BDP的面积；
②求tan∠CBP的值；
（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证；C，E，F三点共线．
11．（2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考二模数学试题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
12．（2021年福建省九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
13．（2021年新动力数学元月调考模拟试题（二））问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；
迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；
拓展应用：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值．
14．（浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学2019年九年级上学期10月月考数学试题）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．
（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问CNOD的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
15．（第九章圆（二））如图所示，正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD上一点，过E作EF⊥AE，交DC于F，求证：AE=FE.
16．（2023年陕西省渭南市临渭区中考一模数学试卷）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)【问题探究】如图1，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿翻折，点C的对应点F恰好落在边AD上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；
(2)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，， AB=BC=52，CD=6，求四边形ABCD的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形ABCD是某公园的一块空地，现计划在空地中修建AC与BD两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中△ADP与△BCP空地中种植草坪，△ABP与△CDP空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知AB=CD，BD=150m，AC=100m，∠BAC+∠BDC=180°，且点C到BD的距离是40m，求种植牡丹花的地块△CDP的面积比种植郁金香的地块△ABP的面积多多少m2？
17．（2023年河南省周口市郸城实验中学等两校九年级中考数学一模试题）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=∠ADB．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：作ΔABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
∴∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图3，若点D在⊙O内，……
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD=6，BE=4，则AC= ．
18．（浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°．
(1)请完善探究展示
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB=22，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
19．（吉林省长春市长春外国语（实验）学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连接AE,AF，作EP⊥AF于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
20．（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取AC的中点O，根据 得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 =180°，所以∠BED= ，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．
求证：是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．
21．（2022年河南省西平县九年级中招考试模拟数学试题）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则PQ=CQ=12PC=EQ=FQ（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴∠FCP+∠FEP=180°（依据2）．
又∵∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠FEP=∠ABP．
∵∠BDP=∠BEP=90°，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴∠DBP=∠DEP（依据3）．
∵∠ABP+∠DBP=180°，
∴∠FEP+∠DEP=180°（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是BC的中点时，BD=CF．请你利用图2证明该结论的正确性．
专题27 四点共圆
四点共圆的性质：
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。
四点共圆的判定方法：
1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。
理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。
2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。
如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点
则点A、B、C、D四点共圆。
理由：连接AO、OD
∴AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆
3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。
已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC
求证：A、B、C、D四点共圆
证明(反证法)：
过A，B，D作圆O， 交BC所在直线于C’，连结DC’，
使∠BAC＝∠BDC’
∵∠BAC＝∠BDC ∴∠BDC＝∠BDC’ ①
又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合
∴∠BDC≠∠BDC’② 则①与②矛盾
∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆
4) 对角互补四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证： A，B，C，D四点共圆
证明（反证法）：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180°
∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
5)在 ⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APB和△CPD中
AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
6) 若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APC和△DPB中
AP•BP=CP•DP
∠P=∠P
∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
【培优过关练】
1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键．
2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由旋转性质证明即可判断；
②由①的结论可得，，进而得到，即可判断；
③证明为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点，当时，的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
【详解】①由旋转的性质可知：，
即
故①正确
②设相交于点,如图：
由①，可得，
又
故②正确
③，
可知四点共圆，
则
即
故③正确
④设到的距离为，
，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知
由③可知,
由①可知
在中，，
在中，,
在中，
故④不正确
综上所述：①②③正确，共计3个
故选C
【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形相似的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，勾股定理，正确的作辅助线和熟练的几何基础知识是解题的关键．
4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形中，、相交于点，是边上的一点，且，连接、、，线段、分别交对角线、于点、．过点作．交的延长线于．下列结论中：①；②；③；④其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①正方形对角线垂直平分三角形外角等于和它不相邻的两个内角和，可得结果；
②连接AQ，可得∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，即A、Q、B、E四点共圆，可得∠QAE=90°-∠AQE=45°，即可得AE=EQ；
③过P作AC的垂线于点G，设BP=a，由勾股定理得AP=a，AC=3a，正方形对角线垂直相等且互相平分，知，即可求解；
④AD∥BC，可得△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，根据相似的性质可得，设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，S△OPE=s，可得S四边形OEPF=s，S正方形ABCD=24s．
【详解】解：①∵∠POB=∠PDO+∠OPD，
∠POC=∠PAO+∠APO，
∠POB+∠POC=∠BOC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO+∠APO+∠PDO=90°，
∴①正确；
②连接AQ，
∵QE⊥AP，
∴∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，
∴A、Q、B、E四点共圆，
∴∠AQE=∠ABE=∠ABC=45°，
∴∠QAE=45°，
∴AE=EQ，
∴②正确；
③过P作AC的垂线于点G，
设BP=a，PC=2a，
∴BC=3a，
∴AP=a，
∴AC==3a，
∴AO=BO=，
∵BD⊥AC，PE⊥AC，
∴BD∥PG，
∴，
∴PG=×=，
∴sin∠PAC，
∴③错误；
④∵AD∥BC，
∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，
∴BE：DE=1：3，CF：AF=2：3，
∴BE：EO=1：1，OF：CF=1：4，
设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，
∴S△OPF=s，
∴S△BCO=2s+4s=6s，
∴S四边形OEPF=s+s=s，则10 S四边形OEPF=s，
S正方形ABCD=4s×6=24s，
∴④错误，
综上①②正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等，解本题关键掌握正方形的性质，相似三角形判定与性质等．
5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵
∴
∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
【答案】
【分析】根据图形的特点证明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．
【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD
∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆
∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°
∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA
即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=
∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．
7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．
【答案】102.5°
【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；
【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，
根据旋转的性质得到：
AC=AF，，，，
∴点A、N、F、C共圆，
∴，
又∵点A、N、F、C共圆，
∴，
∴（平角的性质），
故答案为：102.5°
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；
8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2﹣
【分析】（1）根据题中各角之间的关系可得：，依据三角形全等的判定定理可证，由全等三角形的性质即可证明；
（2）由（1）中全等三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质得出：，得出点C，点B，点A，点F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得：，，再由四边形内角和及各角之间的等量关系即可得出结论；
（3）由点F在以BC为直径的圆上运动，可得点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位线定理可得：，，再由勾股定理及各线段之间的数量关系即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在△BAE与△CAD中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴
∴点C，点B，点A，点F四点共圆，如图所示：
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如（2）图所示，过点G作GH⊥AB于H，
∵点C，点B，点A，点F四点共圆，
∴点F在以BC为直径的圆上运动，
∴点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴QF的最小值为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理及性质，圆周角定理，勾股定理，线段间距离最短问题，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
9．（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
【答案】（1）①20°；②，理由见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝∠A，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可；
（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出∠AFD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DAF，即可证△DAF≌△DEF，从而得出结论．
【详解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°；
②，理由如下：
∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠DFC+∠DBC＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E+∠DCE＝∠BAC，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，
∴∠E＝∠DAF，
∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），
∴DA＝DE．
【点睛】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．
10．（2021年福建省福州外国语学校中考适应性练习三模数学试题）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P．
（1）如图1，当时，连接．
①求的面积；
②求的值；
（2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线．
【答案】（1）①10．②．（2）证明见解析部分．
【分析】（1）①过点作于．证明四边形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得结论．
②利用面积法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得结论．
（3）如图2中，连接，取的中点，连接，．想办法证明，可得结论．
【详解】解：（1）①过点作于．
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
由旋转的旋转可知，，
．
②由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图2中，连接，取的中点，连接，．
，，
，，
是由旋转得到，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
、、三点共线．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
11．（2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考二模数学试题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3）
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．
(2)根据已知条件可计算出AC、BC、AD、BD的长度，根据三角形的面积公式即可得出答案．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到 , ，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC，
在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中，
∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）解：
△ABC的面积为；△ABD的面积为
（3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点
∵DF∥BC
∵
∴△DEF∽△CEB，
∴
又
得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质(两组对应角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例)，三角形的面积的计算(三角形面积=底底边上的高)，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
12．（2021年福建省九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试题）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得，可证与全等，得到，进一步即可证点和关于直线成轴对称；
（2）作出相应辅助线如解析图，可得与全等，利用全等三角形的性质及切线的性质，可得，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵同弧所对圆周角相等，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
又，
∴点和关于直线成轴对称；
（2）如图，延长交于点，连接，，，，
∵，，
∴、、、四点共圆，、、、四点共圆，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键．
13．（2021年新动力数学元月调考模拟试题（二））问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；
迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；
拓展应用：（3）如图3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值．
【答案】（1）图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）根据题意正确画出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OA=OB=OC=OD，则点、、、共圆，再根据同圆中同弧所对的圆周角相等可得出结论；
（2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于， 根据条件证出（AAS），，便可得出；
（3）根据题意画出两种不同的图形，由等腰三角形三线合一得∠AEC=90°，CE=2,由（1）得点、、、共圆，过点C作CF⊥BE（或BE的延长线）于点F，根据圆周角定理和解直角三角形的相关知识可依次求出BC、CF、EF、BF，则或．
【详解】解：（1）如图，点是的中点
在中，．
同理．
点、、、在上
（2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于，连接，则．
∵OF⊥，OA=OB，
∴，AB=2BF，∠BFO=90°，
，
，
，
，
；
，
（AAS），
，即，
．
（3）在Rt△ABC中，∵AC=6，∠BAC=60°，
∴BC=，
∵AD=AC，E是CD的中点，CD=4，
∴CE=ED=2，AE⊥CD，即∠AEC=90°，
又∠ABC=90°，
则由（1）知A、B、C、E四点共圆，
如下图，过点C作CF⊥BE于点F，
∵，∠BAC=60°，
∴∠BEC=∠BAC=60°，
在Rt△EFC中，EF，
FC
在Rt△BFC中，，
∴．
如下图，过点C作CF⊥BE的延长线于点F，
∵，∠BAC=60°，
∴∠BEC=180°-∠BAC=120°，∠FEC=180°-∠BEC =60°，
在Rt△EFC中，EF，
FC
在Rt△BFC中，，
∴．
故BE的长为或．
【点睛】本题是几何综合问题，考查了四点共圆、圆的性质、直角三角形的性质、解直角三角形等内容，较难，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学2019年九年级上学期10月月考数学试题）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．
（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）不变，为 .
【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，
则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；
（4）过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN为等腰直角三角形即可.
【详解】解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠ADE=45〫
∴ΔABC是半直角三角形
（2））∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC；
（3））①如图，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0,8）∴OM=8-r
由得解得r=5 ∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50
∴
（4）不变，为
过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q，
∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，
∴∠ODA=∠CDA，
在△HDC和△ADO中，
∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），
∴HC=OD，DH=OA，
又∵BO=AO，
∴HO=DH+DO=OB+CH，
而CH=OQ，HO=CQ，
∴CQ=OB+OQ=BQ，
∴∠CBQ=45°，
又∵CH∥BA，
∴∠HCN=45°，
∴△HCN为等腰直角三角形，
∴
∴=
【点睛】本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（第九章圆（二））如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
【答案】见解析.
【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵
∴
∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，
∴，
∴
∴.
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
16．（2023年陕西省渭南市临渭区中考一模数学试卷）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；
(2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？
【答案】(1)在
(2)
(3)
【分析】（1）矩形的性质及折叠的性质得：，则四点B、C、E、F共圆，从而可得答案；
（2）由圆内接四边形的性质、勾股定理即可求得四边形的面积；
（3）过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F，易证，则，从而可分别求得的面积，两个面积之差即可所求的结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四点B、C、E、F共圆，
∴点B在点C、E、F确定的圆上，
故答案为：在；
（2）解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，，
；
（3）解：如图，过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，有一定的综合性，熟练掌握这些知识并正确运用是关键．
17．（2023年河南省周口市郸城实验中学等两校九年级中考数学一模试题）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；
（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，
又，
．
．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），
点，，，四点共圆，
∵，
∴，
∴，
，
为中点，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型．
18．（浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示
(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°
(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；
②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则，
∵，
∴，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点B，D在点A，C，E所确定的上，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
（2）解：∵，
∴点四点在同一个圆上，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）①证明：∵，
∴，
∵点与点关于的对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接，
∵点与点关于的对称，
∴，
∴，
∴，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴，
∴，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
19．（吉林省长春市长春外国语（实验）学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】【小问1】证明见解析
【小问2】；
【分析】[问题情境]连接，取的中点，连接、，如图所示，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可得证；
[问题解决]（1）由[问题情境]中结论知四点共圆，如图所示，根据圆周角定理及正方形性质得到，利用勾股定理得到，从而由等腰直角三角形边的关系得到；（2）根据矩形性质得到，求的最小值就是求最小值，结合[问题情境]中结论知四点共圆，从而利用“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，即可得到答案．
【详解】[问题情境]
证明：连接，取的中点，连接、，如图所示：
，
，
四点共圆；
[问题解决]
（1）解：由[问题情境]中结论可知四点共圆，如图所示：
，
在正方形中，当点恰好落在正方形对角线上时，
，
在正方形中，，点是边的中点，，
，
，
在，，，，则，
故答案为：；
（2）由题意可知，四边形为矩形，则；由[问题情境]中结论知四点共圆，圆心为中点，如图所示：
的最小值就是求最小值，根据“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，则
的最小值就是最小值，
过作，则四边形为矩形，如图所示：
，
圆心为中点，
由平行线分线段成比例定理得到为中点，即为中位线，
，，
在中，，，则，
的最小值就是最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆综合，涉及四点共圆、正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、“圆外点到圆周上动点距离最值模型”、平行的判定与性质、中位线判定与性质等知识，熟练运用相关几何性质及判定求证是解决问题的关键．
20．（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．
【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(2)；；
(3)①；②B、E、D、C；③；
(4)证明见解析．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上；
（3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明；
（4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上．
【详解】（1）解：连接，，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，
∴
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）解：假设点C落在外，交于点E，连接，
可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，故点C在圆上，
故答案为：；；
（3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接．
∵A、E、H、D四点共圆，
∴，
∵B、E、D、C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的高．
故答案为：；B、E、D、C；；
（4）证明：连接，，
由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，，
∴，
由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，
即点P在的外接圆上．
【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用．
21．（2022年河南省西平县九年级中招考试模拟数学试题）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴（依据2）．
又∵，
∴．
∵，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴（依据3）．
∵，
∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；
（2）如图，连接PA，PB，PC，只需要证明即可证明结论．
【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②圆内接四边形对角互补；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④等量代换；
（2）证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵点P是的中点，
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∴（HL）．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键．
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。
四点共圆的判定方法：
1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。
理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。
2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。
如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点
则点A、B、C、D四点共圆。
理由：连接AO、OD
∴AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆
3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。
已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC
求证：A、B、C、D四点共圆
证明(反证法)：
过A，B，D作圆O， 交BC所在直线于C’，连结DC’，
使∠BAC＝∠BDC’
∵∠BAC＝∠BDC ∴∠BDC＝∠BDC’ ①
又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合
∴∠BDC≠∠BDC’② 则①与②矛盾
∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆
4) 对角互补四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证： A，B，C，D四点共圆
证明（反证法）：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180°
∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
5)在 ⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APB和△CPD中
AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
6) 若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APC和△DPB中
AP•BP=CP•DP
∠P=∠P
∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
【培优过关练】
1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∠CPB=∠A，过点 C 作 CP 的垂线，与 BP 的延长线交于点 Q ，则 CQ 的最大值为（ ）
A．4B．5C． 154D． 165
2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5，点D在AC上，且AD=2，点E是AB上的动点，连结DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当AG=FG时，线段DE长为（ ）
A．13B．522C．412D．4
3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形ABCD中，AC、BD相交于点O，P是BC边上的一点，且PC=2PB，连接AP、OP、DP，线段AP、DP分别交对角线BD、AC于点E、F．过点E作EQ⊥AP．交CB的延长线于Q．下列结论中：①；②AE=EQ；③sin∠PAC=13；④S正方形ABCD=10S四边形OEPF其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，点P为平面内一点，且∠CPB=∠A，过C作CQ⊥CP交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．175B．154C．455D．655
6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△AEF，EF交BC于点N，连接AN，若∠C=57°，则 ∠ANB=__________．
8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度α，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜α＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．
9．（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
10．（2021年福建省福州外国语学校中考适应性练习三模数学试题）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，．将Rt△ABC绕点B顺时针旋转α0°<α<60°得到Rt△DEB，直线DE，AC交于点P．
（1）如图1，当时，连接BP．
①求△BDP的面积；
②求tan∠CBP的值；
（2）如图2，连接AD，若F为AD中点，求证；C，E，F三点共线．
11．（2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考二模数学试题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
12．（2021年福建省九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试题）如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB于点F，直线CF与直线BD于点G．
（1）若点G在⊙O内，如图1，求证：G和D关于直线AC对称；
（2）连接AG，若AG=BC，且AG与⊙O相切，如图2，求∠ABC的度数．
13．（2021年新动力数学元月调考模拟试题（二））问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；
迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；
拓展应用：（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值．
14．（浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学2019年九年级上学期10月月考数学试题）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．
（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问CNOD的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
15．（第九章圆（二））如图所示，正方形ABCD中，BD为对角线，点E为BD上一点，过E作EF⊥AE，交DC于F，求证：AE=FE.
16．（2023年陕西省渭南市临渭区中考一模数学试卷）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)【问题探究】如图1，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿翻折，点C的对应点F恰好落在边AD上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；
(2)如图2，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，， AB=BC=52，CD=6，求四边形ABCD的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形ABCD是某公园的一块空地，现计划在空地中修建AC与BD两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中△ADP与△BCP空地中种植草坪，△ABP与△CDP空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知AB=CD，BD=150m，AC=100m，∠BAC+∠BDC=180°，且点C到BD的距离是40m，求种植牡丹花的地块△CDP的面积比种植郁金香的地块△ABP的面积多多少m2？
17．（2023年河南省周口市郸城实验中学等两校九年级中考数学一模试题）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点C，D是线段AB同侧两点，且∠ACB=∠ADB．
求证：点A，B，C，D四点共圆．
证明：作ΔABC的外接圆⊙O，假设点D在⊙O外或在⊙O内．
如图2，若点D在⊙O外．设AD与⊙O交于点E，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
∴∠ACB>∠ADB．这与已知条件“∠ACB=∠ADB”矛盾，故点D在⊙O外不成立；
如图3，若点D在⊙O内，……
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作△ABC的外接圆⊙O，点D在⊙O上，即点A，B，C，D四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形ABCD中，∠ABD=∠ACD，对角线AC，BD交于点E，E为AC中点，若BD=6，BE=4，则AC= ．
18．（浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接AD，AB，BC，CD，如果∠B=∠D，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的⊙O，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接AE，CE，则∠AEC+∠D=180°．
(1)请完善探究展示
(2)如图3，在四边形ABCD中，∠1=∠2，∠3=45°，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D在BC上（不与BC的中点重合），连接AD．作点C关于AD的对称点E，连接EB并延长交AD的延长线于F，连接AE，DE．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若AB=22，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
19．（吉林省长春市长春外国语（实验）学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形ABCD中，AB=2，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，连接AE,AF，作EP⊥AF于点P．
（1）如图②，当点P恰好落在正方形ABCD对角线BD上时，线段AP的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，连接MN，则MN的最小值为 ．
20．（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取AC的中点O，根据 得OA=OB=OC=OD，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E，连接DE，可得 =180°，所以∠BED= ，得出矛盾；同理点C也不会落在⊙O内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F．
求证：是△ABC的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB，BC，CA的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在△ABC的外接圆上．
21．（2022年河南省西平县九年级中招考试模拟数学试题）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知△ABC内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则PQ=CQ=12PC=EQ=FQ（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴∠FCP+∠FEP=180°（依据2）．
又∵∠ACP+∠ABP=180°，
∴∠FEP=∠ABP．
∵∠BDP=∠BEP=90°，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴∠DBP=∠DEP（依据3）．
∵∠ABP+∠DBP=180°，
∴∠FEP+∠DEP=180°（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是BC的中点时，BD=CF．请你利用图2证明该结论的正确性．
专题27 四点共圆
四点共圆的性质：
1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等（如下图1，∠BAC=∠BDC）；
2）圆内接四边形的对角互补（如下图2，∠1=∠2）；
3) 圆内接四边形的外角等于内对角（如下图3，∠1=∠3）。
四点共圆的判定方法：
1）若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆。
如图，若AO=BO=CO=DO，则点A、B、C、D四点共圆。
理由：到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上（圆的定义）。
2）共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆(可在考试中直接使用)。
如图，已知△ABC和△BCD为直角三角形，∠BAC=∠BDC=90°，点0为斜边中点
则点A、B、C、D四点共圆。
理由：连接AO、OD
∴AO=BO=CO=DO ∴点A、B、C、D四点共圆
3）同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆。
已知：在BC同侧两个三角形△ABC和△BDC,且∠BAC＝∠BDC
求证：A、B、C、D四点共圆
证明(反证法)：
过A，B，D作圆O， 交BC所在直线于C’，连结DC’，
使∠BAC＝∠BDC’
∵∠BAC＝∠BDC ∴∠BDC＝∠BDC’ ①
又∵∠BDC与∠BDC’有相同的顶点且点C与点C’不重合
∴∠BDC≠∠BDC’② 则①与②矛盾
∴点C与点C’重合，则点C也在圆O上，即点A、B、C、D四点共圆
4) 对角互补四边形的四个顶点共圆。
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证： A，B，C，D四点共圆
证明（反证法）：
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，
根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180°
∴∠DC’B=∠C这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。
类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。
5)在 ⊙O中，弦AB、CD相交于点P,若AP•DP=BP•CP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APB和△CPD中
AP•DP=BP•CP
∠3=∠4
∴△APB∽△CPD ∴∠1=∠2
则A、B、C、D四点共圆
6) 若AB、CD两条线段延长后交于点P,且AP•BP=CP•DP，则A、B、C、D四点共圆。
证明：
在△APC和△DPB中
AP•BP=CP•DP
∠P=∠P
∴△APC∽△DPB ∴∠1=∠3 而∠2+∠3=180° ∴∠1+∠2=180°
则A、B、C、D四点共圆
【培优过关练】
1．（湖南省长沙市湘郡未来中学2022-2023学年九年级上学期第三次月考数学试卷）如图，已知中，，，，，过点作的垂线，与的延长线交于点，则的最大值为（ ）
A．4B．5C．D．
【答案】C
【分析】由，，证明，推出，当有最大值时，有最大值，根据，得到点A、C、B、P四点共圆，若有最大值，则应为直径，由，得到是圆的直径，勾股定理求出，即可得到答案．
【详解】解：∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，
∴当有最大值时，有最大值，
∵，
∴点A、C、B、P四点共圆，
若有最大值，则应为直径，
∵，
∴是圆的直径，
∴，
∴的最大值为，
故选：C．
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，四点共圆的判定和性质，正确掌握四点共圆的性质是解题的关键．
2．（浙江省嘉兴市2021年中考数学真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【分析】连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点共圆，∠DFE=90°，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解．
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，
∴AG=DG=EG
又∵AG=FG
∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，
∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，
∴四边形NAMF是正方形
∴AN=AM=FN=
又∵，
∴
∴△NFD≌△MFE
∴ME=DN=AN-AD=
∴AE=AM+ME=3
∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
【点睛】本题考查直径所对的圆周角是90°，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
3．（2021年江苏省无锡市滨湖区、经开区七校联考中考二模数学试题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①由旋转性质证明即可判断；
②由①的结论可得，，进而得到，即可判断；
③证明为等腰三角形即可判断；
④由题意直线BD、CE相交于点，当时，的面积最大，通过勾股定理计算求出最大值，进而进行判断
【详解】①由旋转的性质可知：，
即
故①正确
②设相交于点,如图：
由①，可得，
又
故②正确
③，
可知四点共圆，
则
即
故③正确
④设到的距离为，
，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知
由③可知,
由①可知
在中，，
在中，,
在中，
故④不正确
综上所述：①②③正确，共计3个
故选C
【点睛】本题考查了图形的旋转，三角形相似的性质与判定，同弧所对的圆周角相等，圆内接四边形对角互补，等腰三角形性质，勾股定理，正确的作辅助线和熟练的几何基础知识是解题的关键．
4．（2021年广东省深圳市龙岗区九年级下学期教学质量检测数学试卷（二模））如图，正方形中，、相交于点，是边上的一点，且，连接、、，线段、分别交对角线、于点、．过点作．交的延长线于．下列结论中：①；②；③；④其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】①正方形对角线垂直平分三角形外角等于和它不相邻的两个内角和，可得结果；
②连接AQ，可得∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，即A、Q、B、E四点共圆，可得∠QAE=90°-∠AQE=45°，即可得AE=EQ；
③过P作AC的垂线于点G，设BP=a，由勾股定理得AP=a，AC=3a，正方形对角线垂直相等且互相平分，知，即可求解；
④AD∥BC，可得△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，根据相似的性质可得，设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，S△OPE=s，可得S四边形OEPF=s，S正方形ABCD=24s．
【详解】解：①∵∠POB=∠PDO+∠OPD，
∠POC=∠PAO+∠APO，
∠POB+∠POC=∠BOC，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BOC=90°，
∴∠PDO+∠OPD+∠PAO+∠APO=90°，
∴∠PAO+∠APO+∠PDO=90°，
∴①正确；
②连接AQ，
∵QE⊥AP，
∴∠QEP=∠AEQ=∠ABQ=90°，
∴A、Q、B、E四点共圆，
∴∠AQE=∠ABE=∠ABC=45°，
∴∠QAE=45°，
∴AE=EQ，
∴②正确；
③过P作AC的垂线于点G，
设BP=a，PC=2a，
∴BC=3a，
∴AP=a，
∴AC==3a，
∴AO=BO=，
∵BD⊥AC，PE⊥AC，
∴BD∥PG，
∴，
∴PG=×=，
∴sin∠PAC，
∴③错误；
④∵AD∥BC，
∴△BEP∽△DEA，△PFC∽△DFA，
∴BE：DE=1：3，CF：AF=2：3，
∴BE：EO=1：1，OF：CF=1：4，
设S△BEP=s，则S△OEP=s，S△BPO=2s，S△POC=4s，
∴S△OPF=s，
∴S△BCO=2s+4s=6s，
∴S四边形OEPF=s+s=s，则10 S四边形OEPF=s，
S正方形ABCD=4s×6=24s，
∴④错误，
综上①②正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质的应用，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，圆周角定理等，解本题关键掌握正方形的性质，相似三角形判定与性质等．
5．（江苏省宿迁市沭阳县沭阳红岩学校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题）如图，在中，，，，点P为平面内一点，且，过C作交PB的延长线于点Q，则CQ的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意可得A、B、C、P四点共圆，由AA定理判定三角形相似，由此得到CQ的值与PC有关，当PC最大时CQ即取最大值．
【详解】解：∵在中，，，，
∴A、B、C、P四点共圆，AB为圆的直径，AB=
∵
∴
∴△ABC∽△PQC
∴， ，即
∴当PC取得最大值时，CQ即为最大值
∴当PC=AB=5时，CQ取得最大值为
故选：B．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及四点共圆，掌握同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等确定四点共圆，利用相似三角形性质得到线段间等量关系是解题关键．
6．（山东省烟台市芝罘区（五四制）2021-2022学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则sin∠BDC的值是__________．
【答案】
【分析】根据图形的特点证明∠BDC=∠BAO，故可出sin∠BDC的值．
【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD
∴∠BAD=∠BCD=90°
∴A、B、C、D四点共圆
∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°
∴∠DBA=∠CBO
∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA
即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90°
∴∠BDC=∠BAO
∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=
∴sin∠BAO=
∴sin∠BDC=
故答案为：．
【点睛】此题主要考查三角函数的求解，解题的关键是熟知四点共圆的性质、勾股定理及三角函数的求解方法．
7．（2020年湖北省武汉中考数学二模试题）如图，将绕点顺时针旋转25°得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 __________．
【答案】102.5°
【分析】先根据旋转的性质得到，，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；
【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，
根据旋转的性质得到：
AC=AF，，，，
∴点A、N、F、C共圆，
∴，
又∵点A、N、F、C共圆，
∴，
∴（平角的性质），
故答案为：102.5°
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；
8．（广东省珠海市香洲区紫荆中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，直角△ADE的边AE在线段AC上，AE＝AD＝2，将△ADE绕直角顶点A按顺时针旋转一定角度，连接CD、BE，直线CD，BE交于点F，连接AF，过BC中点G作GM⊥CD，GN⊥AF．
（1）求证：BE＝CD；
（2）求证：旋转过程中总有∠BFA＝∠MGN；（仅对0°＜＜90°时加以证明）
（3）在AB上取一点Q，使得AQ＝1，求FQ的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2﹣
【分析】（1）根据题中各角之间的关系可得：，依据三角形全等的判定定理可证，由全等三角形的性质即可证明；
（2）由（1）中全等三角形的性质可得：，利用等腰直角三角形的性质得出：，得出点C，点B，点A，点F四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等可得：，，再由四边形内角和及各角之间的等量关系即可得出结论；
（3）由点F在以BC为直径的圆上运动，可得点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，由勾股定理及三角形中位线定理可得：，，再由勾股定理及各线段之间的数量关系即可得解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在△BAE与△CAD中，
，
∴，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∵，，
∴
∴点C，点B，点A，点F四点共圆，如图所示：
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如（2）图所示，过点G作GH⊥AB于H，
∵点C，点B，点A，点F四点共圆，
∴点F在以BC为直径的圆上运动，
∴点Q，点F，点G三点共线时，QF有最小值，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴QF的最小值为．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定定理及性质，圆周角定理，勾股定理，线段间距离最短问题，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
9．（湖北省武汉市汉阳区2021-2022学年八年级上学期期中数学试题）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角．
①若∠A＝40°，直接写出∠E的度数是 ；
②求∠E与∠A的数量关系，并说明理由．
（2）如图2，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E在BD的延长线上，连CE，若∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，求证：DA＝DE．
【答案】（1）①20°；②，理由见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）①根据题目定义推出∠E＝∠A，从而得出结论；②直接根据求解①过程证明即可；
（2）首先根据题意推出A、B、C、D四点共圆，然后作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，再根据圆的内接四边形的性质等推出∠AFD＝∠DFE，然后根据“遥望角”的定义推出∠E＝∠DAF，即可证△DAF≌△DEF，从而得出结论．
【详解】（1）解：①∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，
∵∠A＝40°，
∴∠E＝20°．
故答案为：20°；
②，理由如下：
∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A；
（2）证明：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、B、C、D四点共圆，
作四边形ABCD的外接圆交CE于点F，连接AF，DF，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠DFC+∠DBC＝180°，
∵∠DFC+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∵∠ABD＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠DFE，
∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，
由（1）得∠E＝∠BAC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠E＝∠BDC，
∵∠E+∠DCE＝∠BAC，
∴∠E＝∠DCE，
∵∠DCE＝∠DAF，
∴∠E＝∠DAF，
∵DF＝DF，∠AFD＝∠DFE，
∴△DAF≌△DEF（AAS），
∴DA＝DE．
【点睛】本题考查新定义问题，涉及三角形角平分线的拓展运用，圆的内接四边形的性质等，理解题目定义，灵活运用“四点共圆”的证明方法是解题关键．
10．（2021年福建省福州外国语学校中考适应性练习三模数学试题）在中，，，．将绕点B顺时针旋转得到，直线，交于点P．
（1）如图1，当时，连接．
①求的面积；
②求的值；
（2）如图2，连接，若F为中点，求证；C，E，F三点共线．
【答案】（1）①10．②．（2）证明见解析部分．
【分析】（1）①过点作于．证明四边形是矩形，推出，利用勾股定理求出，可得结论．
②利用面积法求出，再利用勾股定理求出，推出，可得结论．
（3）如图2中，连接，取的中点，连接，．想办法证明，可得结论．
【详解】解：（1）①过点作于．
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
由旋转的旋转可知，，
．
②由旋转的性质可知，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）如图2中，连接，取的中点，连接，．
，，
，，
是由旋转得到，
，
，
，，
，
，
，，
，，
，
，，，四点共圆，
，
，
，
，
、、三点共线．
【点睛】本题考查了几何变换综合题，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是证明．
11．（2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考二模数学试题）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3）
【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得0C=OA=OB=OD，即可得出答案．
(2)根据已知条件可计算出AC、BC、AD、BD的长度，根据三角形的面积公式即可得出答案．
(3)根据等腰直角三角形的性质得到 , ，根据平行线的性质得到，解直角三角形得到 ， ，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC，
在Rt△ABC中，
∠ACB＝90°，点O是AB的中点，
∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中，
∠ADB＝90°，点O是AB的中点，
∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）解：
△ABC的面积为；△ABD的面积为
（3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点
∵DF∥BC
∵
∴△DEF∽△CEB，
∴
又
得．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质(两组对应角分别相等的两个三角形相似；相似三角形对应边成比例)，三角形的面积的计算(三角形面积=底底边上的高)，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．
12．（2021年福建省九年级下学期百校联考（诊断卷二）数学试题）如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点．
（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；
（2）连接，若，且与相切，如图2，求的度数．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得，可证与全等，得到，进一步即可证点和关于直线成轴对称；
（2）作出相应辅助线如解析图，可得与全等，利用全等三角形的性质及切线的性质，可得，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案．
【详解】解：（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵同弧所对圆周角相等，
∴，
∴，
在与中，
∴，
∴，
又，
∴点和关于直线成轴对称；
（2）如图，延长交于点，连接，，，，
∵，，
∴、、、四点共圆，、、、四点共圆，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
又，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】题目主要考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键．
13．（2021年新动力数学元月调考模拟试题（二））问题背景：在学习课本例题“矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D在同一个圆上”后，小明进行了如下研究：
（1）如图1，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°．AC、BD是对角线，取BD的中点O，连接OA，OC，得点A，B，C，D在⊙O上，进而可得∠BAC=∠BDC，请帮小明按照思路补全图形，并写出证明过程；
迁移应用：（2）如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ADB=2∠CAD，证明：AB=2CE；
拓展应用：（3）如图3，在Rt中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AC=6，若点D满足AD=AC，点E是CD中点，若CD=4，直接写出BE的值．
【答案】（1）图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）或
【分析】（1）根据题意正确画出图形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OA=OB=OC=OD，则点、、、共圆，再根据同圆中同弧所对的圆周角相等可得出结论；
（2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于， 根据条件证出（AAS），，便可得出；
（3）根据题意画出两种不同的图形，由等腰三角形三线合一得∠AEC=90°，CE=2,由（1）得点、、、共圆，过点C作CF⊥BE（或BE的延长线）于点F，根据圆周角定理和解直角三角形的相关知识可依次求出BC、CF、EF、BF，则或．
【详解】解：（1）如图，点是的中点
在中，．
同理．
点、、、在上
（2）取的中点，由（1）可知，点、、、在上，过点O作OF⊥于，连接，则．
∵OF⊥，OA=OB，
∴，AB=2BF，∠BFO=90°，
，
，
，
，
；
，
（AAS），
，即，
．
（3）在Rt△ABC中，∵AC=6，∠BAC=60°，
∴BC=，
∵AD=AC，E是CD的中点，CD=4，
∴CE=ED=2，AE⊥CD，即∠AEC=90°，
又∠ABC=90°，
则由（1）知A、B、C、E四点共圆，
如下图，过点C作CF⊥BE于点F，
∵，∠BAC=60°，
∴∠BEC=∠BAC=60°，
在Rt△EFC中，EF，
FC
在Rt△BFC中，，
∴．
如下图，过点C作CF⊥BE的延长线于点F，
∵，∠BAC=60°，
∴∠BEC=180°-∠BAC=120°，∠FEC=180°-∠BEC =60°，
在Rt△EFC中，EF，
FC
在Rt△BFC中，，
∴．
故BE的长为或．
【点睛】本题是几何综合问题，考查了四点共圆、圆的性质、直角三角形的性质、解直角三角形等内容，较难，正确作出辅助线是解题的关键．
14．（浙江省宁波市鄞州区东钱湖中学2019年九年级上学期10月月考数学试题）我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（－4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC=90°(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然ΔDCE、ΔDEF、ΔDAE是半直角三角形．
（1）求证：ΔABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC=∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；
（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）不变，为 .
【分析】（1）先求得∠ADE=45°，由同弧所对的圆周角可知：∠ABE=∠ADE=45°，根据定义得：△ABC是半直角三角形；
（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：∠DAB=∠DBA，由D、B、A、E四点共圆，
则∠DBA+∠DEA=180°，可得结论；
（3）设⊙M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得⊙M 的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得∠EMA=2∠ABE=90°，根据勾股定理可得结论；
（4）过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q,通过证明Rt△HDC≌Rt△ADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出∠CBQ=45°，推出△HCN为等腰直角三角形即可.
【详解】解：（1）∵∠ADC=90°，DE平分∠ADC，
∴∠ABE=∠ADE=45〫
∴ΔABC是半直角三角形
（2））∵OM⊥AB，OA=OB，
∴AD=BD，
∴∠DAB=∠DBA，
∵∠DEB=∠DAB，
∴∠DBA=∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA=180°，
∵∠DEB+∠DEC=180°，
∴∠DEA=∠DEC；
（3））①如图，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0,8）∴OM=8-r
由得解得r=5 ∴⊙M 的半径为5
∵∠ABE=45°
∴∠EMA=2∠ABE=90°，
∴EA2=MA2+ME2=52+52=50
∴
（4）不变，为
过点C作CH⊥DO于H，过点C作CQ⊥BA于Q，
∵∠CDH+∠ODA=90°，∠CDH+∠CDH=90°，
∴∠ODA=∠CDA，
在△HDC和△ADO中，
∴Rt△HDC≌Rt△ADO（AAS），
∴HC=OD，DH=OA，
又∵BO=AO，
∴HO=DH+DO=OB+CH，
而CH=OQ，HO=CQ，
∴CQ=OB+OQ=BQ，
∴∠CBQ=45°，
又∵CH∥BA，
∴∠HCN=45°，
∴△HCN为等腰直角三角形，
∴
∴=
【点睛】本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质和判定，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考压轴题．
15．（第九章圆（二））如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.
【答案】见解析.
【分析】先根据正方形的性质可得∠CDA=90°，再根据得到∠AEF=90°，从而得证，，，共圆，，继而得出AE=FE.
【详解】在正方形ABCD中，,∠BDC=45°
∵
∴
∴∠ADC+∠AEF=180°
∴，，，共圆，
∴，
∴
∴.
【点睛】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键
16．（2023年陕西省渭南市临渭区中考一模数学试卷）【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上；
(2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积．
(3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？
【答案】(1)在
(2)
(3)
【分析】（1）矩形的性质及折叠的性质得：，则四点B、C、E、F共圆，从而可得答案；
（2）由圆内接四边形的性质、勾股定理即可求得四边形的面积；
（3）过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F，易证，则，从而可分别求得的面积，两个面积之差即可所求的结果．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∴四点B、C、E、F共圆，
∴点B在点C、E、F确定的圆上，
故答案为：在；
（2）解：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理，，
；
（3）解：如图，过点C作于E，过点B作，交的延长线于点F，
则，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，
∴．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，有一定的综合性，熟练掌握这些知识并正确运用是关键．
17．（2023年河南省周口市郸城实验中学等两校九年级中考数学一模试题）请阅读以下材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图1，点，是线段同侧两点，且．
求证：点，，，四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图2，若点在外．设与交于点，连接，
则（依据一），
又（依据二），
．
．这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立；
如图3，若点在内，
（请同学们补充完整省略的部分证明过程）
综上所述，作的外接圆，点在上，即点，，，四点共圆．
(1)填空：将材料中依据一、依据二补充完整；
依据一： ；
依据二： ．
(2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
(3)填空：如图4，在四边形中，，对角线，交于点，为中点，若，，则 ．
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由圆周角定理和三角形的外角性质即可得出结论；
（2）作的外接圆，假设点在外或在内．由反证法、圆周角定理以及三角形的外角性质即可得出结论；
（3）证点，，，四点共圆，再由相似三角形得，然后由为中点，得，即可解决问题．
【详解】（1）解：依据一：同弧所对的圆周角相等；
依据二：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）如图3，若点在内，延长与交于点，连接，
则，
又，
．
．
这与已知条件“”矛盾，故点在内不成立；
（3），
点，，，四点共圆，
∵，
∴，
∴，
，
为中点，
，
，，
，
，
解得：（负值已舍去），
故答案为：．
【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆、反证法、圆周角定理、相似三角形的判定和性质以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中考常考题型．
18．（浙江省宁波市鄞州区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）综合与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示
(2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°
(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质、过三点的圆解答即可；
（2）根据四点共圆、圆周角定理解答；
（3）①根据轴对称的性质得到，，，，进而得到，证明结论；
②连接，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则，
∵，
∴，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点B，D在点A，C，E所确定的上，
∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
（2）解：∵，
∴点四点在同一个圆上，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）①证明：∵，
∴，
∵点与点关于的对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接，
∵点与点关于的对称，
∴，
∴，
∴，
∵A，D，B，E四点共圆，
∴，
∴，
∴A，B，F，C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是四点共圆、相似三角形的判定和性质、轴对称的性质，正确理解四点共圆的条件是解题的关键．
19．（吉林省长春市长春外国语（实验）学校2022-2023学年九年级上学期期末数学试题）[问题情境]如图①，在四边形ABCD中，，求证：四点共圆．
小吉同学的作法如下：连接，取的中点，连接、，请你帮助小吉补全余下的证明过程；
[问题解决]如图②，在正方形中，，点是边的中点，点是边上的一个动点，连接，作于点．
（1）如图②，当点恰好落在正方形对角线上时，线段的长度为 ；
（2）如图③，过点Р分别作于点，于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】【小问1】证明见解析
【小问2】；
【分析】[问题情境]连接，取的中点，连接、，如图所示，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，即可得证；
[问题解决]（1）由[问题情境]中结论知四点共圆，如图所示，根据圆周角定理及正方形性质得到，利用勾股定理得到，从而由等腰直角三角形边的关系得到；（2）根据矩形性质得到，求的最小值就是求最小值，结合[问题情境]中结论知四点共圆，从而利用“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，即可得到答案．
【详解】[问题情境]
证明：连接，取的中点，连接、，如图所示：
，
，
四点共圆；
[问题解决]
（1）解：由[问题情境]中结论可知四点共圆，如图所示：
，
在正方形中，当点恰好落在正方形对角线上时，
，
在正方形中，，点是边的中点，，
，
，
在，，，，则，
故答案为：；
（2）由题意可知，四边形为矩形，则；由[问题情境]中结论知四点共圆，圆心为中点，如图所示：
的最小值就是求最小值，根据“圆外点到圆周上动点距离最值模型”，则
的最小值就是最小值，
过作，则四边形为矩形，如图所示：
，
圆心为中点，
由平行线分线段成比例定理得到为中点，即为中位线，
，，
在中，，，则，
的最小值就是最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆综合，涉及四点共圆、正方形性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、“圆外点到圆周上动点距离最值模型”、平行的判定与性质、中位线判定与性质等知识，熟练运用相关几何性质及判定求证是解决问题的关键．
20．（江苏省南京市鼓楼区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．
【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
(2)；；
(3)①；②B、E、D、C；③；
(4)证明见解析．
【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明；
（2）根据结论Ⅱ可知：，再利用得到，利用外角性质可得，相互矛盾即可证明点C在圆上；
（3）以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接，得到，，再利用，得到，即可证明；
（4）连接，，由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，证明，由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上．
【详解】（1）解：连接，，
根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，
∴
故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）解：假设点C落在外，交于点E，连接，
可得：，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，相互矛盾，故点C在圆上，
故答案为：；；
（3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接．
∵A、E、H、D四点共圆，
∴，
∵B、E、D、C四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即是的高．
故答案为：；B、E、D、C；；
（4）证明：连接，，
由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴，，
∴，
由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，
即点P在的外接圆上．
【点睛】本题考查四边形外接圆的综合问题，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形外角性质，解题的关键是掌握以上相关知识点，并能够综合运用，难度较大，考查学生对整体知识的应用．
21．（2022年河南省西平县九年级中招考试模拟数学试题）阅读以下材料，并完成相应的任务：
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．如图1，已知内接于⊙O，点P在⊙O上（不与点A、B、C重合），过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别为D，E，F求证：点D，E，F在同一条直线上
以下是他们的证明过程：
如图1，连接PB，PC，DE，EF，取PC的中点Q，连接QE，QF，
则（依据1），
∴E，F，P，C四点共圆．
∴（依据2）．
又∵，
∴．
∵，
∴B，D，P，E四点共圆．
∴（依据3）．
∵，
∴（依据4）．
∴点D，E，F在同一条直线上．
任务：
(1)填空：
①依据1指的的是中点的定义及______；
②依据2指的是______；
③依据3指的是______；
④依据4指的是______．
(2)善于思考的小英发现当点P是的中点时，．请你利用图2证明该结论的正确性．
【答案】(1)①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④等量代换
(2)见解析
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质，圆内接四边形的性质，同弧或等弧所对的圆周角相等进行求解即可；
（2）如图，连接PA，PB，PC，只需要证明即可证明结论．
【详解】（1）解：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
②圆内接四边形对角互补；
③同弧或等弧所对的圆周角相等；
④等量代换；
（2）证明：如图，连接PA，PB，PC．
∵点P是的中点，
∴．
∴，．
又∵，，
∴．
∴（HL）．
∴．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，全等三角形的性质与判定，弧，弦，圆周角的关系，同弧或等弧所对的圆周角相等等等，正确作出辅助线和熟知相关知识是解题的关键．
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