还剩48页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题07不等式(组)专题特训(原卷版+解析)
展开
这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题07不等式(组)专题特训(原卷版+解析)，共51页。
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
【注意】
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a4）在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac基本性质4：若a>b，则b基本性质5：若a>b>c，则a>c。
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
【总结】
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2−12n
C．n−m>0D．1−2m<1−2n
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2B．−3a>−3bC．a4题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+dB．a+b>c+dC．a+c>b−dD．a+b>c−d
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
易错点总结：
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2B．x<−2C．x>2D．x<2
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14B．m≤14C．m≥−14D．m>−14
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2B．k<2且k≠0
C．k>−1D．k>−1且k≠0
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值
易错点总结：
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
易错点总结：
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
【注意】
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）A．x＜3B．无解C．2＜x＜4D．3＜x＜4
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1B．x<1x>−1C．x>1x<−1D．x>1x>−1
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12C．m<0D．m<−12
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
易错点总结：
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
易错点总结：
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b传递性：若a=b，b=c，则a=c
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
专题07 不等式（组）
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
【注意】
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a4）在列不等式时，一定要注意表示不等关系的关键词。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac基本性质4：若a>b，则b基本性质5：若a>b>c，则a>c。
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
【总结】
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2−12n
C．n−m>0D．1−2m<1−2n
【答案】D
【提示】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m<−12n，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2B．−3a>−3bC．a4【答案】A
【提示】根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
【详解】解：A．因为a>b，不等边两边同时加上2得到a+2>b+2，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为a>b，不等边两边同时乘-3得到−3a<−3b，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为a>b，不等边两边同时除以4得到a4>b4，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为a>b，不等边两边同时减1得到a−1>b−1，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+dB．a+b>c+dC．a+c>b−dD．a+b>c−d
【答案】A
【提示】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
【详解】解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+bC、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=-4，则a+c=-2-4=-6，b-d=-3-(-4)=1，∴a+cD、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,则a+b=-5,c-d=0，∴a+b故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【提示】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次提示即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1∴a∴a+b＞0，
∴C选项的结论不成立；
∵a∴a−b<0，
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【名师点拨】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【提示】由图可得：1【详解】解：由图可得：1由不等式的性质得：1a>1b，
故答案为：>．
【名师点拨】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：x<2
【提示】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
【详解】（1）解：原式=1×8+(−8)×14
=8+−2=6．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：x<2．
【名师点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2B．x<−2C．x>2D．x<2
【答案】D
【提示】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
【名师点拨】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14B．m≤14C．m≥−14D．m>−14
【答案】C
【提示】根据一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，列不等式求解即可．
【详解】解析：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选C．
【名师点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【答案】A
【提示】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【名师点拨】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2B．k<2且k≠0
C．k>−1D．k>−1且k≠0
【答案】B
【提示】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵2−1−2kx−2=12−x，
∴2x−2−1+2k=−1，
解得：x=2−k，
∵解为正数，
∴2−k>0，
∴k＜2，
∵分母不能为0，
∴x≠2，
∴2−k≠2，解得k≠0，
综上所述：k＜2且k≠0，
故选：B．
【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
【详解】解：x-3≥0，
解得：x≥3．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【名师点拨】此题主要考查了解一元一次不等式和在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于为实心点，不含等于为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【提示】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式a(a≥0)是解题的关键．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
【答案】x≥5
【提示】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：x−32≥1
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
【答案】x<1115
【提示】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：12(x−3)<13−2x
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
化系数为1，得x<1115．
【名师点拨】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)−5
(2)−2,−1
【提示】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
（1）
解：∵P=313−m
当m=2时，P=3×13−2
=3×−53
=−5；
（2）
∵ P=313−m，由数轴可知P≤7，
即313−m≤7，
∴13−m≤73，
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
【名师点拨】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【提示】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式12x−1≤7−32x的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
【名师点拨】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
【详解】试题提示：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
【答案】x≤1，在数轴上表示解集见解析
【提示】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：x−13≥x−32+1
去分母，得2x−1≥3x−3+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω
【答案】A
【提示】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得
0.11R≥220，
解得R≥2000．
故选：A．
【名师点拨】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
【答案】32
【提示】设该商品最多可降价x元，列不等式320−240−x240≥20%，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，320−240−x240≥20%，
解得：x≤32；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【名师点拨】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【答案】(1)这个月生产A产品30件，B产品70件
(2)140件
【详解】
（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250,(120−100)x+(100−75)y=2350
解得x=30y=70，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产180−m件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
答：B产品至少生产140件．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
【提示】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
（1）
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）
①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】(1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【提示】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买(200−a)盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
（1）解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得x+2y=562x+y=64，
解得{x=24y=16
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得24a+16(200−a)≤3920
解得a≤90
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】(1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
(2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
【提示】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：31.5+0.5a，则根据题意有不等式31.5+0.5a≥39，解该不等式即可求解．
（1）
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
x+y=210.4x+0.3y=7，解得：x=7y=14，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
（2）
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：a×0.2×10+(21−a)×0.5×3=31.5+0.5a，
则根据题意有：31.5+0.5a≥39，
解得：a≥15，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键．
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【提示】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：x+y=18080x+50y=11400，
解得：x=80y=100，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
【注意】
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）
A．x＜3B．无解C．2＜x＜4D．3＜x＜4
【答案】D
【提示】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式3x−2<2x+1，解得x<4，
解不等式x−12>1，解得x>3，
∴不等数组的解集为3故选：D．
【名师点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1B．x<1x>−1C．x>1x<−1D．x>1x>−1
【答案】D
【提示】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
【名师点拨】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【提示】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【提示】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，2a>6−2a6−2a>0，
解得32＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2
【答案】D
【提示】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：x−a>0①7−2x>5②
由①得，x>a
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a∴−3≤a<−2
故选：D．
【名师点拨】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12−12C．m<0D．m<−12
【答案】D
【提示】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴m<0①1+2m<0②，
解不等式①得：m<0，
解不等式②得：m<−12，
∴不等式组的解集为：m<−12，
故选D．
【名师点拨】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【提示】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1【详解】解不等式−13x>23−x，
−13x+x>23，
∴23x>23，
∴x>1，
解不等式12x−1<12(a−2)，
得12x<12(a−2)+1，
∴x∴−13x>23−x12x−1<12(a−2)的解集为1∵不等式组有且只有三个整数解，
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4∴a的最大值应为5
故选：C．
【名师点拨】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
【答案】1≤n<3
【提示】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
【详解】解：解方程13x−1=0得x=3，
∵x=3为不等式组x−2≤n2n−2x<0的解，
∴1≤n2n−6≤0，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【名师点拨】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】a<1且a≠0
【提示】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．
【详解】解：由1x+1x+1=x+ax(x+1)得x=a−1，
∵关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，
∴ x<0x≠0x≠−1，即a−1<0a−1≠0a−1≠−1，解得a<1a≠1a≠0，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
【名师点拨】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62【答案】−1≤x<4，不等式组的正整数解为：1，2，3
【提示】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
【详解】解：解不等式2x−1≥−4得x≥−1．
解不等式3x−62∴不等式组的解集为：−1≤x<4．
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【名师点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键．
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
【答案】见解析
【提示】选出两个不等式，组成不等式组，解不等式组并把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）若选择①、②：
2x−1<7①5x−2>3(x+1)② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集：52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（2）若选择①、③：
2x−1<7①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（3）若选择②、③：
5x−2>3(x+1)①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＞52，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是x＞52，
把解集表示在数轴上如下：
【名师点拨】此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
【答案】x>−2；x≤3；见详解；−2【提示】分别解两个不等式，然后在数轴上表示解集，再根据公共部分确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：−2【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示，熟练掌握一元一次不等式的解法是解决本题的关键．
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
【答案】a≥2
【提示】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【名师点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
【答案】0<1m≤15
【提示】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ 2x+3≥x+m①2x+53−3<2−x②，
解不等式①得：x≥m−3，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，解得：m≥5，
∴0<1m≤15．
故答案为：0<1m≤15
【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【提示】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【名师点拨】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【提示】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：{3x−6>0①x>m②，
解①得：x>2，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
【答案】k<2
【提示】先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3y<5中即可求k；
【详解】解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
【名师点拨】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【提示】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550 解得a=50b=100
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100y=10000
变形得y=100−12x
由题意得：x≥6100−12x①100−12x≥20②
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W=20x+30y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【名师点拨】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】(1)500元；
(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【提示】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
（1）
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴(6−5)x+(8−6)y=(6−5)×100+(8−6)×200=500元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据题意：
m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6>500，解得：88≤m<100，
∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
【提示】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
（1）
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得，300000x+200×2=500000x−200 ，
解得：x=2200，
经检验：x=2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）
由（1）得，今年的土豆数为：3000002400×3=375(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，{m≥23(375−m)m5+375−m8≤60，
解得：150≤m≤175，
总利润为：700m+400(375−m)=300m+150000，
当m=175时，利润最大，最大利润为：300×175+150000=202500（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【名师点拨】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【提示】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【名师点拨】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【提示】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组10x+5y=17515x+10y=300，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=−5m+675，结合函数的性质，可知w随m的增大而减小，由此即可求得答案．
（1）
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）
根据题意，得10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+1545−m=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【名师点拨】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【提示】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30−m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
540x=600x+10，
解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30−m台，
∴w=1.2m+230−m=−0.8m+60；
②由题意得：90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【名师点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【答案】(1)w=−x2+32x−252
(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．
【提示】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把w=4代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
（1）
解：由题意得：
w=(x−8)y−60
=(x−8)(24−x)−60
=−x2+32x−252,
（2）
①由（1）得：当w=4时，
则−x2+32x−252=4,即x2−32x+256=0,
解得：x1=x2=16,
即第一年的售价为每件16元，
②∵ 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
∴{x≤1624−x≤13, 解得：11≤x≤16,
∵ 其他成本下降2元/件，
∴w=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148,
∵ 对称轴为x=−302×(−1)=15, a=−1<0,
∴ 当x=15时，利润最高，为77万元，而11≤x≤16,
当x=11时，w=5×13−4=61（万元）
当x=16时，w=10×8−4=76 （万元）
∴61≤w≤77,
所以第二年的最低利润为61万元．
【名师点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b传递性：若a=b，b=c，则a=c
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac一元一次方程
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
【注意】
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
【总结】
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2
C．n−m>0D．1−2m<1−2n
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2B．−3a>−3bC．a4
A．a+c>b+dB．a+b>c+dC．a+c>b−dD．a+b>c−d
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
易错点总结：
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2B．x<−2C．x>2D．x<2
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14B．m≤14C．m≥−14D．m>−14
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2B．k<2且k≠0
C．k>−1D．k>−1且k≠0
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；（2）若P的取值范围如图所示，求m的负整数值
易错点总结：
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
易错点总结：
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
【注意】
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）A．x＜3B．无解C．2＜x＜4D．3＜x＜4
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1B．x<1x>−1C．x>1x<−1D．x>1x>−1
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
易错点总结：
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
易错点总结：
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
专题07 不等式（组）
【热考题型】
【知识要点】
知识点一 不等式的有关概念和性质
不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。
【注意】
1）方程与不等式的区别：方程表示的是相等关系，不等式表示的是不等关系。
2）常用的不等号有：“≠”（不等于），“>”（大于），“≥”（大于或等于），“<”（小于），“≤”（小于或等于）五种。
3）在不等式a>b或a
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。
不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。
解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。
数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。
不等式的解与不等式的解集的区别与联系：
1）不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值。
2）不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有的值。
3）不等式的所有解组成了这个不等式的解集，不等式的解集中包括这个不等式的每一个解。
不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即
若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。
基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即
若a>b,c>0，则ac>bc（或ac>bc）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即
若a>b,c<0，则ac
基本性质6：如果，，那么.
【注意】
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。
2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。
不等式性质与等式性质的相同和不同点：
相同点：都可以在两边加上或减去同一个式子。
不同点：
1）对于等式两边，乘（或除）以同一个正数（或负数），结果依然成立。
2）对于不等式两边，乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；乘（或除）以同一个负数，不等号方向发生改变。
【总结】
考查题型一 不等式的性质
题型1．（2022年内蒙古包头市中考数学真题）若m>n，则下列不等式中正确的是（ ）
A．m−2
C．n−m>0D．1−2m<1−2n
【答案】D
【提示】根据不等式的性质：不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．
【详解】解：A、∵m＞n，∴m−2>n−2，故本选项不合题意；
B、∵m＞n，∴−12m<−12n，故本选项不合题意；
C、∵m＞n，∴m−n>0，故本选项不合题意；
D、∵m＞n，∴1−2m<1−2n，故本选项符合题意；
故选：D．
【名师点拨】本题考查了不等式的性质，不等式的基本性质是解不等式的主要依据，必须熟练地掌握．要认真弄清不等式的基本性质与等式的基本性质的异同，特别是在不等式两边同乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且必须先确定这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向必须改变．
题型1-1．（2022年湖南省湘潭市中考数学真题）若a>b，则下列四个选项中一定成立的是（ ）
A．a+2>b+2B．−3a>−3bC．a4
【提示】根据不等式的基本性质1来判断A和D，根据不等式的基本性质2来求解B的C．
【详解】解：A．因为a>b，不等边两边同时加上2得到a+2>b+2，故原选项正确，此项符合题意；
B．因为a>b，不等边两边同时乘-3得到−3a<−3b，故原选项错误，此项不符合题意；
C．因为a>b，不等边两边同时除以4得到a4>b4，故原选项错误，此项不符合题意；
D．因为a>b，不等边两边同时减1得到a−1>b−1，故原选项错误，此项不符合题意．
故选：A．
【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，理解不等式的基本性质是解答关键．不等式的基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式的基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式的基本性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变．
题型1-2．（2022年浙江省杭州市中考数学真题）已知a，b，c，d是实数，若a>b，c=d，则（ ）
A．a+c>b+dB．a+b>c+dC．a+c>b−dD．a+b>c−d
【答案】A
【提示】根据不等式的基本性质可判定A正确，举例能判定B、C、D错误．
【详解】解：A、∵a>b， c=d，∴a+c>b+d．故此选项符合题意；
B、∵a>b， c=d，如a=-2,b=-3,c=d=1，则a+b=-5，c+d=2，∴a+b
【名师点拨】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
题型1-3．（2022·四川内江·中考真题）如图，数轴上的两点A、B对应的实数分别是a、b，则下列式子中成立的是（ ）
A．1﹣2a＞1﹣2bB．﹣a＜﹣bC．a+b＜0D．|a|﹣|b|＞0
【答案】A
【提示】根据数轴得出a＜b，根据不等式的性质对四个选项依次提示即可得到答案．
【详解】解：由题意得：a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，
∴1﹣2a＞1﹣2b，
∴A选项的结论成立；
∵a＜b，
∴﹣a＞﹣b，
∴B选项的结论不成立；
∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，
∴1
∴C选项的结论不成立；
∵a
∴D选项的结论不成立．
故选：A．
【名师点拨】本题考查数轴、不等式、绝对值的性质，解题的关键是熟练掌握数轴、不等式、绝对值的相关知识．
题型1-4．（2022·江苏常州·中考真题）如图，数轴上的点A、B分别表示实数a、b，则1a______1b．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】>
【提示】由图可得：1
故答案为：>．
【名师点拨】本题考查了数轴，不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质．
题型1-5．（2021·山西·中考真题）（1）计算：−14×−8+−23×122．
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
2x−13>3x−22−1
解：22x−1>33x−2−6第一步
4x−2>9x−6−6第二步
4x−9x>−6−6+2第三步
−5x>−10第四步
x>2第五步
任务一：填空：
①以上解题过程中，第二步是依据______________（运算律）进行变形的；
②第__________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请直接写出该不等式的正确解集．
【答案】（1）6；（2）任务一：①乘法分配律（或分配律）；②五；不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；任务二：x<2
【提示】（1）根据实数的运算法则计算即可；
（2）根据不等式的性质3判断并计算即可．
【详解】（1）解：原式=1×8+(−8)×14
=8+−2=6．
（2）①乘法分配律（或分配律）
②五 不等式两边都除以－5，不等号的方向没有改变（或不符合不等式的性质3）；
任务二：不等式两边都除以－5，改变不等号的方向得：x<2．
【名师点拨】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键．
知识点二 解一元一次不等式
一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。一元一次不等式的一般形式为：或。
例如，，是一元一次不等式，而，不是一元一次不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：
去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘。
考查题型二 求一元一次不等式解集
题型2（2022·辽宁大连·中考真题）不等式4x<3x+2的解集是（ ）
A．x>−2B．x<−2C．x>2D．x<2
【答案】D
【提示】移项再合并同类项即可把未知数的系数化“1”，从而可得答案．
【详解】解：4x<3x+2，
移项，合并同类项得：x<2,
故选D
【名师点拨】本题考查的是一元一次不等式的解法，掌握“解一元一次不等式的步骤”是解本题的关键．
题型2-1．（2022·四川攀枝花·中考真题）若关于x的方程x2−x−m=0有实数根，则实数m的取值的范围是（ ）
A．m<14B．m≤14C．m≥−14D．m>−14
【答案】C
【提示】根据一元二次方程有实数根⇔Δ≥0，列不等式求解即可．
【详解】解析：∵关于x的方程x2−x−m=0有实数根，
∴Δ=(−1)2−4(−m)=1+4m≥0，
解得m≥−14，
故选C．
【名师点拨】此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与判别式之间的关系是解答此题的关键．
题型2-2．（2022·山东聊城·中考真题）关于x，y的方程组2x−y=2k−3x−2y=k的解中x与y的和不小于5，则k的取值范围为（ ）
A．k≥8B．k>8C．k≤8D．k<8
【答案】A
【提示】由两式相减，得到x+y=k−3，再根据x 与 y 的和不小于5列出不等式即可求解．
【详解】解：把两个方程相减，可得x+y=k−3，
根据题意得：k−3≥5，
解得：k≥8．
所以k的取值范围是k≥8．
故选：A．
【名师点拨】本题考查二元一次方程组、不等式，将两式相减得到x与y的和是解题的关键．
题型2-3．（2022·内蒙古通辽·中考真题）若关于x的分式方程：2−1−2kx−2=12−x的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k<2B．k<2且k≠0
C．k>−1D．k>−1且k≠0
【答案】B
【提示】先解方程，含有k的代数式表示x，在根据x的取值范围确定k的取值范围．
【详解】解：∵2−1−2kx−2=12−x，
∴2x−2−1+2k=−1，
解得：x=2−k，
∵解为正数，
∴2−k>0，
∴k＜2，
∵分母不能为0，
∴x≠2，
∴2−k≠2，解得k≠0，
综上所述：k＜2且k≠0，
故选：B．
【名师点拨】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键．
题型2-4．（2022·贵州遵义·中考真题）关于x的一元一次不等式x−3≥0的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】解出一元一次不等式的解集，然后选出正确结果．
【详解】解：x-3≥0，
解得：x≥3．
在数轴上表示如图所示：
．
故选：B．
【名师点拨】此题主要考查了解一元一次不等式和在数轴上表示解集，用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含等于为实心点，不含等于为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
题型2-5．（2022·北京·中考真题）若x−8在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【答案】x≥8
【提示】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x-8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式a(a≥0)是解题的关键．
题型2-6．（2022·安徽·中考真题）不等式x−32≥1的解集为________．
【答案】x≥5
【提示】根据解一元一次不等式的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
【详解】解：x−32≥1
去分母，得x-3≥2，
移项，得x≥2+3，
合并同类项，系数化1，得，x≥5，
故答案为：x≥5．
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键掌握解一元一次不等式的方法步骤．
题型2-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）解不等式：12(x−3)<13−2x ．
【答案】x<1115
【提示】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】解：12(x−3)<13−2x
去分母，得3(x−3)<2−12x，
去括号，得3x−9<2−12x，
移项、合并同类项，得15x<11．
化系数为1，得x<1115．
【名师点拨】此题考查了一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
题型2-8．（2022·河北·中考真题）整式313−m的值为P．
(1)当m＝2时，求P的值；
(2)若P的取值范围如图所示，求m的负整数值．
【答案】(1)−5
(2)−2,−1
【提示】（1）将m＝2代入代数式求解即可，
（2）根据题意P≤7，根据不等式，然后求不等式的负整数解．
（1）
解：∵P=313−m
当m=2时，P=3×13−2
=3×−53
=−5；
（2）
∵ P=313−m，由数轴可知P≤7，
即313−m≤7，
∴13−m≤73，
解得m≥−2，
∴ m的负整数值为−2,−1．
【名师点拨】本题考查了代数式求值，解不等式，求不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．
考查题型三 在数轴上表示不等式的解集
题型3．（2022·四川雅安·中考真题）使x−2有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【提示】根据二次根式有意义的条件可得x−2≥0，求出不等式的解集，然后进行判断即可．
【详解】解：由题意知，x−2≥0，
解得x≥2，
∴解集在数轴上表示如图，
故选B．
【名师点拨】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．
题型3-1．（2022·辽宁锦州·中考真题）不等式12x−1≤7−32x的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【提示】先求得不等式的解集为x≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．
【详解】∵不等式12x−1≤7−32x的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
【名师点拨】本题考查了不等式的解法和数轴表示，熟练掌握解不等式是解题的关键．
题型3-2．（2022·江苏连云港·中考真题）解不等式2x﹣1＞3x−12，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式的解集为x＞1，在数轴上表示见解析.
【详解】试题提示：根据不等式的基本性质去分母、去括号、移项可得不等式的解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则在数轴上将解集表示出来．
试题解析：
去分母，得：4x﹣2＞3x﹣1，
移项，得：4x﹣3x＞2﹣1，
合并同类项，得：x＞1，
将不等式解集表示在数轴上如图：
题型3-3．（2022·湖北宜昌·中考真题）解不等式x−13≥x−32+1，并在数轴上表示解集．
【答案】x≤1，在数轴上表示解集见解析
【提示】通过去分母，去括号，移项，系数化为1求得x≤1，在数轴上表示解集即可．
【详解】解：x−13≥x−32+1
去分母，得2x−1≥3x−3+6，
去括号，得2x−2≥3x−9+6，
移项，合并同类项得−x≥−1，
系数化为1，得x≤1，
在数轴上表示解集如图：
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是正确的解一元一次不等式，解集为“≤”时要用实心点表示．
考查题型四 用一元一次不等式解决实际问题
题型4．（2022·浙江丽水·中考真题）已知电灯电路两端的电压U为220V，通过灯泡的电流强度I(A)的最大限度不得超过0.11A．设选用灯泡的电阻为R(Ω)，下列说法正确的是（ ）
A．R至少2000ΩB．R至多2000ΩC．R至少24.2ΩD．R至多24.2Ω
【答案】A
【提示】根据U=IR，代入公式，列不等式计算即可．
【详解】解：由题意，得
0.11R≥220，
解得R≥2000．
故选：A．
【名师点拨】本题结合物理知识，列不等式进而求解，解决问题的关键是理解题意，列出不等式．
题型4-1．（2022·山西·中考真题）某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
【答案】32
【提示】设该商品最多可降价x元，列不等式320−240−x240≥20%，求解即可；
【详解】解：设该商品最多可降价x元；
由题意可得，320−240−x240≥20%，
解得：x≤32；
答：该护眼灯最多可降价32元．
故答案为：32．
【名师点拨】本题主要考查一元一次不等式的应用，正确理解题意列出不等式是解题的关键．
题型4-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）某公司引入一条新生产线生产A，B两种产品，其中A产品每件成本为100元，销售价格为120元，B产品每件成本为75元，销售价格为100元，A，B两种产品均能在生产当月全部售出．
(1)第一个月该公司生产的A，B两种产品的总成本为8250元，销售总利润为2350元，求这个月生产A，B两种产品各多少件？
(2)下个月该公司计划生产A，B两种产品共180件，且使总利润不低于4300元，则B产品至少要生产多少件？
【答案】(1)这个月生产A产品30件，B产品70件
(2)140件
【详解】
（1）解：设生产A产品x件，B产品y件，
根据题意，得100x+75y=8250,(120−100)x+(100−75)y=2350
解得x=30y=70，
∴这个月生产A产品30件，B产品70件，
答：这个月生产A产品30件，B产品70件；
（2）解：设B产品生产m件，则A产品生产180−m件，
根据题意，得(100−75)m+(120−100)(180−m)≥4300，
解这个不等式，得m≥140．
∴B产品至少生产140件，
答：B产品至少生产140件．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，能根据题意列出方程组和不等式是解此题的关键．
题型4-3．（2022·山东济宁·中考真题）某运输公司安排甲、乙两种货车24辆恰好一次性将328吨的物资运往A，B两地，两种货车载重量及到A，B两地的运输成本如下表：
(1)求甲、乙两种货车各用了多少辆；
(2)如果前往A地的甲、乙两种货车共12辆，所运物资不少于160吨，其余货车将剩余物资运往B地．设甲、乙两种货车到A，B两地的总运输成本为w元，前往A地的甲种货车为t辆．
①写出w与t之间的函数解析式；
②当t为何值时，w最小？最小值是多少？
【答案】(1)甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆
(2)①w=50t+22500；②t＝4时，w最小＝22 700元
【提示】（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意列一元一次方程即可求解；
（2）①根据表格信息列出w与t之间的函数解析式；
②根据所运物资不少于160吨列出不等式，求得t的范围，然后根据一次函数的性质求得最小值即可．
（1）
（1）设甲种货车用x辆，则乙种货车用（24－x）辆．根据题意，得
16x＋12（24－x）＝328．
解得x＝10．
∴24－x＝24－10＝14．
答：甲种货车用10辆，则乙种货车用14辆．
（2）
①w=1200t+1000(12−t)+900(10−t)+750[14−(12−t)]=50t+22500．
②∵16t+12(12−t)⩾160
∴t⩾4
∵50>0，
∴w随t的减小而减小．
∴当t＝4时，w最小＝50×4＋22500＝22700（元）．
【名师点拨】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，根据题意列出方程，不等式与一次函数关系式是解题的关键．
题型4-4．（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
(1)求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
(2)绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】(1)每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元
(2)该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料
【提示】（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，根据题意，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可；
（2）设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，则可以购买(200−a)盒B种型号的颜料，根据总费用不超过3920元，列出不等式求解即可．
（1）解：设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元．
根据题意得x+2y=562x+y=64，
解得{x=24y=16
∴每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）解：设该中学可以购买a盒A种型号的颜料，
根据题意得24a+16(200−a)≤3920
解得a≤90
∴该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，关键是（1）根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量关系正确列出一元一次不等式．
题型4-5．（2022·广西玉林·中考真题）我市某乡村振兴果蔬加工公司先后两次购买龙眼共21吨，第一次购买龙眼的价格为0.4万元/吨：因龙眼大量上市，价格下跌，第二次购买龙眼的价格为0.3万元/吨，两次购买龙眼共用了7万元．
(1)求两次购买龙眼各是多少吨？
(2)公司把两次购买的龙眼加工成桂圆肉和龙眼干，1吨龙眼可加工成桂圆肉0.2吨或龙眼干0.5吨，桂圆肉和龙眼干的销售价格分别是10万元/吨和3万元/吨，若全部的销售额不少于39万元，则至少需要把多少吨龙眼加工成桂圆肉？
【答案】(1)第一次购买了7吨龙眼，第二次购买了14吨龙眼
(2)至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉
【提示】（1）设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
（2）设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，则总的销售额为：31.5+0.5a，则根据题意有不等式31.5+0.5a≥39，解该不等式即可求解．
（1）
设第一次购买龙眼x吨，第二次购买龙眼y吨，
根据题意有：
x+y=210.4x+0.3y=7，解得：x=7y=14，
即第一次购买龙眼7吨，第二次购买龙眼14吨；
（2）
设将a吨龙眼加工成桂圆肉，则（21-a）吨龙眼加工成龙眼干，
则总的销售额为：a×0.2×10+(21−a)×0.5×3=31.5+0.5a，
则根据题意有：31.5+0.5a≥39，
解得：a≥15，
即至少要把15吨龙眼加工成桂圆肉．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组即一元一次不等式的应用，明确题意列出二元一次方程组即一元一次不等式是解答本题的关键．
题型4-6 （2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．
(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．
(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【提示】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：x+y=18080x+50y=11400，
解得：x=80y=100，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
（2）解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，
解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
知识点三 解一元一次不等式组
一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。
不等式组解集的确定方法（a）b）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
【注意】
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。
2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。
解一元一次不等式组的一般步骤：
求出不等式组中各不等式的解集。
将各不等式的解决在数轴上表示出来。
在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。
考查题型五 解一元一次不等式组
题型5．（2022·浙江衢州·中考真题）不等式组3x−2＜2（x+1），x−12＞1的解集是（ ）
A．x＜3B．无解C．2＜x＜4D．3＜x＜4
【答案】D
【提示】分别解两个不等式得到，然后根据大小小大取中间确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式3x−2<2x+1，解得x<4，
解不等式x−12>1，解得x>3，
∴不等数组的解集为3
【名师点拨】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
题型5-1．（2022·湖南益阳·中考真题）若x＝2是下列四个选项中的某个不等式组的一个解，则这个不等式组是（ ）
A．x<1x<−1B．x<1x>−1C．x>1x<−1D．x>1x>−1
【答案】D
【提示】先把不等式组的解集求出来，然后根据解集判断x＝2是否是解集一个解．
【详解】解：A、∵不等式组的解集为x＜﹣1，∴x＝2不在这个范围内，故选项A不符合题意；
B、∵不等式组的解集为﹣1＜x＜1，∴x＝2不在这个范围内，故选项B不符合题意；
C、∵不等式组无解，∴x＝2不在这个范围内，故选项C不符合题意；
D、∵不等式组的解集为x＞1，∴x＝2在这个范围内，故选项D符合题意．
故选：D．
【名师点拨】本题考查了不等式组的解集，不等式组解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了．
题型5-2．（2022·辽宁阜新·中考真题）不等式组−x−1≤20.5x−1<0.5的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【提示】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：由﹣x﹣1≤2，得：x≥﹣3，
由0.5x﹣1＜0.5，得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣3≤x＜3，
故选：A．
【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型5-3．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【提示】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，2a>6−2a6−2a>0，
解得32＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【名师点拨】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
题型5-4．（2022·山东济宁·中考真题）若关于x的不等式组x−a>0,7−2x>5仅有3个整数解，则a的取值范围是（ ）
A．－4≤a＜－2B．－3＜a≤－2
C．－3≤a≤－2D．－3≤a＜－2
【答案】D
【提示】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可解答．
【详解】解：x−a>0①7−2x>5②
由①得，x>a
由②得，x<1
因不等式组有3个整数解
∴a
故选：D．
【名师点拨】本题考查解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，掌握相关知识是解题关键．
题型5-5．（2022·广西河池·中考真题）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A．−12
【答案】D
【提示】根据第三象限点的特征，横纵坐标都为负，列出一元一次不等式组，进而即可求解．
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴m<0①1+2m<0②，
解不等式①得：m<0，
解不等式②得：m<−12，
∴不等式组的解集为：m<−12，
故选D．
【名师点拨】本题考查了第三象限的点的坐标特征，一元一次不等式组的应用，掌握各象限点的坐标特征是解题的关键．
题型5-6．（2022·湖南邵阳·中考真题）关于x的不等式组−13x>23−x12x−1<12(a−2)有且只有三个整数解，则a的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【提示】分别对两个不等式进行求解，得到不等式组的解集为1
−13x+x>23，
∴23x>23，
∴x>1，
解不等式12x−1<12(a−2)，
得12x<12(a−2)+1，
∴x
∴不等式组的整数解应为：2，3，4，
∴4
故选：C．
【名师点拨】本题考查不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握不等式组的相关知识．
题型5-7．（2022·四川攀枝花·中考真题）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程13x−1=0是关于x的不等式组x−2≤n2n−2x<0的关联方程，则n的取值范围是 ___________．
【答案】1≤n<3
【提示】解一元一次方程得出方程的解x=3，代入不等式组可得答案．
【详解】解：解方程13x−1=0得x=3，
∵x=3为不等式组x−2≤n2n−2x<0的解，
∴1≤n2n−6≤0，解得1≤n<3，
即n的取值范围为：1≤n<3，
故答案为：1≤n<3．
【名师点拨】本题主要考查解一元一次不等式组和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式组、一元一次方程的能力．
题型5-8．（2022·湖北黄石·中考真题）已知关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，则a的取值范围是__________．
【答案】a<1且a≠0
【提示】把a看作常数，去分母得到一元一次方程，求出x的表达式，再根据方程的解是负数及分母不为0列不等式并求解即可．
【详解】解：由1x+1x+1=x+ax(x+1)得x=a−1，
∵关于x的方程1x+1x+1=x+ax(x+1)的解为负数，
∴ x<0x≠0x≠−1，即a−1<0a−1≠0a−1≠−1，解得a<1a≠1a≠0，即a<1且a≠0，
故答案为：a<1且a≠0．
【名师点拨】本题考查解分式方程，根据题意及分式的分母不等于零列出不等式组是解决问题的关键．
题型5-9．（2022·江苏淮安·中考真题）解不等式组：2x−1≥−43x−62
【提示】分别求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再求出不等式组的正整数解即可．
【详解】解：解不等式2x−1≥−4得x≥−1．
解不等式3x−62
∴不等式组的正整数解为：1，2，3．
【名师点拨】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集，进而求出不等式组的解集是解题的关键．
题型5-10．（2022·山东枣庄·中考真题）在下面给出的三个不等式中，请你任选两个组成一个不等式组，解这个不等式组，并把解集表示在数轴上．
①2x﹣1＜7；②5x﹣2＞3（x+1）；③43x+3≥1﹣23x．
【答案】见解析
【提示】选出两个不等式，组成不等式组，解不等式组并把解集表示在数轴上即可．
【详解】解：（1）若选择①、②：
2x−1<7①5x−2>3(x+1)② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x＞52，
∴不等式组的解集：52＜x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（2）若选择①、③：
2x−1<7①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＜4，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是﹣1≤x＜4，
把解集表示在数轴上如下：
（3）若选择②、③：
5x−2>3(x+1)①43x+3≥1−23x② ，
解不等式①得：x＞52，
解不等式②得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集是x＞52，
把解集表示在数轴上如下：
【名师点拨】此题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．
题型5-11．（2022·四川乐山·中考真题）解不等式组5x+1>3x−1①2x−1≤x+2②．请结合题意完成本题的解答（每空只需填出最后结果）．
解：解不等式①，得______．
解不等式②，得______．
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来．
所以原不等式组解集为______．
【答案】x>−2；x≤3；见详解；−2
【详解】解：解不等式①，得x>−2，
解不等式②，得x≤3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来为：
所以原不等式组解集为：−2
考查题型六 由一元一次不等式解集求参数
题型6．（2022·黑龙江·中考真题）若关于x的一元一次不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x<2，则a的取值范围是________．
【答案】a≥2
【提示】先求出每个不等式的解集，根据已知不等式组的解集即可得出答案．
【详解】解：2x−1＜3①x−a<0②，
解不等式①得：x＜2，
解不等式②得：x＜a，
∵关于x的不等式组2x−1＜3x−a<0的解集为x＜2，
∴a≥2．
故答案为：a≥2．
【名师点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解，求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．
题型6-1．（2022·四川绵阳·中考真题）已知关于x的不等式组2x+3≥x+m2x+53−3<2−x无解，则1m的取值范围是_________．
【答案】0<1m≤15
【提示】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解∶ 2x+3≥x+m①2x+53−3<2−x②，
解不等式①得：x≥m−3，
解不等式②得：x<2，
∵不等式组无解，
∴m−3≥2，解得：m≥5，
∴0<1m≤15．
故答案为：0<1m≤15
【名师点拨】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
题型6-2．（2022·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）若关于x的分式方程1x−2+2x+2=x+2mx2−4的解大于1，则m的取值范围是______________．
【答案】m >0且m≠1
【提示】先解分式方程得到解为x=m+1，根据解大于1得到关于m的不等式再求出m的取值范围，然后再验算分母不为0即可．
【详解】解：方程两边同时乘以x+2x−2得到：x+2+2(x−2)=x+2m，
整理得到：x=m+1，
∵分式方程的解大于1，
∴m+1>1，解得：m>0，
又分式方程的分母不为0，
∴m+1≠2且m+1≠−2，解得：m≠1且m≠−3，
∴m的取值范围是m >0且m≠1．
故答案为：m >0且m≠1．
【名师点拨】本题考查分式方程的解法，属于基础题，要注意分式方程的分母不为0这个隐藏条件．
题型6-3．（2022·黑龙江绥化·中考真题）不等式组{3x−6>0x>m的解集为x>2，则m的取值范围为_______．
【答案】m≤2
【提示】先求出不等式①的解集，再根据已知条件判断m范围即可．
【详解】解：{3x−6>0①x>m②，
解①得：x>2，
又因为不等式组的解集为x>2
∵x>m，
∴m≤2，
故答案为：m≤2．
【名师点拨】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集和已知得出m的范围是解此题的关键．
题型6-4．（2022·湖北荆州·中考真题）已知方程组x+y=3①x−y=1②的解满足2kx−3y<5，求k的取值范围．
【答案】k<2
【提示】先求出二元一次方程组的解，代入2kx−3y<5中即可求k；
【详解】解：令①+②得，2x=4，
解得：x=2，
将x=2代入①中得，2+y=3，
解得：y=1，
将x=2，y=1代入2kx−3y<5得，4k−3<5，
解得：k<2．
【名师点拨】本题主要考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，掌握相关运算法则和方法是解本题的关键．
知识点四 一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。
基本过程：这一过程可简单表述为：问题不等式(组)解答。
中考出现一元一次不等式(组)试题类型总结：
1）类型一：一元一次不等式的解集问题；
2）类型二：一元一次不等式组无解的情况；
3）类型三：明确一元一次不等式组的解集求范围；
4）类型四：一元一次不等式组有解求未知数的范围；
5）类型五：一元一次不等式组有整数解求范围；
6）类型六：一元一次不等式(组)应用题。
考查题型七 用一元一次不等式组解决实际问题
题型7．（2022·内蒙古内蒙古·中考真题）某商店决定购进A、B两种北京冬奥会纪念品．若购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1000元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品3件，需要550元．
(1)求购进A、B两种纪念品的单价；
(2)若该商店决定拿出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑市场需求，要求购进A种纪念品的数量不少于B种纪念品数量的6倍，且购进B种纪念品数量不少于20件，那么该商店共有几种进货方案？
(3)若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？求出最大利润．
【答案】(1)购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元
(2)共有6种进货方案
(3)当购进A种纪念品160件B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元
【提示】（1）根据题意列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可；
（3）设总利润为W元，求出W和x之间的函数关系式，利用一次函数的性质进行求解即可．
（1）
设A种纪念品单价为a元，B种纪念品单价为b元
根据题意，得10a+5b=10005a+3b=550 解得a=50b=100
∴购进A、B两种纪念品的单价分别为50元、100元.
（2）
设该商店购进A种纪念品x个，购进B种纪念品y个
根据题意，得50x+100y=10000
变形得y=100−12x
由题意得：x≥6100−12x①100−12x≥20②
由①得：x⩾150
由②得：x⩽160
∴150⩽x⩽160
∵x，y均为正整数
∴x可取的正整数值是150，152，154，156，158，160
与x相对应的y可取的正整数值是25，24，23，22，21，20
∴共有6种进货方案.
（3）
设总利润为W元
则W=20x+30y=5x+3000
∵5>0
∴W随x的增大而增大
∴当x=160时，W有最大值：5×160+3000=3800（元）
∴当购进A种纪念品160件，B种纪念品20件时，可获得最大利润，最大利润是3800元．
【名师点拨】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组和一次函数的实际应用．根据题意正确的列出二元一次方程组，一元一次不等式组，根据一次函数的性质进行求解，是解题的关键．
题型7-1．（2022·四川绵阳·中考真题）某水果经营户从水果批发市场批发水果进行零售，部分水果批发价格与零售价格如下表：
请解答下列问题：
(1)第一天，该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，当日全部售出，求这两种水果获得的总利润？
(2)第二天，该经营户依然用1700元批发了菠萝和苹果，当日销售结束清点盘存时发现进货单丢失，只记得这两种水果的批发量均为正整数且菠萝的进货量不低于88kg，这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润，请通过计算说明该经营户第二天批发这两种水果可能的方案有哪些？
【答案】(1)500元；
(2)方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【提示】（1）设第一天，该经营户批发了菠萝xkg，苹果ykg，根据该经营户用1700元批发了菠萝和苹果共300kg，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用总利润=每千克的销售利润×销售数量（购进数量），即可求出结论；
（2）设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据“菠梦的进货量不低于88kg，且这两种水果已全部售出且总利润高于第一天这两种水果的总利润”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m，1700−5m6均为正整数，即可得出各进货方案．
（1）
解：设第一天，该经营户批发菠萝xkg，苹果ykg，根据题意得：
x+y=3005x+6y=1700，
解得：x=100y=200，
∴(6−5)x+(8−6)y=(6−5)×100+(8−6)×200=500元，
答：这两种水果获得的总利润为500元；
（2）
解：设购进菠萝mkg，则购进苹果1700−5m6kg，根据题意：
m≥88(6−5)m+(8−6)×1700−5m6>500，解得：88≤m<100，
∵m，1700−5m6均为正整数，
∴m取88，94，
∴该经营户第二天共有2种批发水果的方案，
方案一购进88kg菠萝，210kg苹果；方案二购进94kg菠萝，205kg苹果．
【名师点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
题型7-2．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费50万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．
(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？
(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，因设备原因，两种产品不能同时加工，若单独加工成薯片，每天可加工5吨土豆，每吨土豆获利700元；若单独加工成淀粉，每天可加工8吨土豆，每吨土豆获利400元．由于出口需要，所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，为获得最大利润，应将多少吨土豆加工成薯片？最大利润是多少？
【答案】(1)去年每吨土豆的平均价格是2200元
(2)应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元
【提示】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+200）元，第二次采购的平均价格为（x-200）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的土豆枣数，根据所有采购的土豆必须全部加工完且用时不超过60天，其中加工成薯片的土豆数量不少于加工成淀粉的土豆数量的23，据此列不等式组求解，然后求出最大利润．
（1）
设去年每吨土豆的平均价格是x元，
由题意得，300000x+200×2=500000x−200 ，
解得：x=2200，
经检验：x=2200是原分式方程的解，且符合题意，
答：去年每吨土豆的平均价格是2200元；
（2）
由（1）得，今年的土豆数为：3000002400×3=375(吨)，
设应将m吨土豆加工成薯片，则应将（375－m）吨加工成淀粉，
由题意得，{m≥23(375−m)m5+375−m8≤60，
解得：150≤m≤175，
总利润为：700m+400(375−m)=300m+150000，
当m=175时，利润最大，最大利润为：300×175+150000=202500（元）．
答：应将175吨土豆加工成薯片，最大利润为202500元．
【名师点拨】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
题型7-3．（2022·四川内江·中考真题）为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：
学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．
(1)参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？
(2)每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？
(3)学校租车总费用最少是多少元？
【答案】(1)参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人
(2)一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆
(3)学校租车总费用最少是2800元．
【提示】（1）设参加此次劳动实践活动的老师有x人，根据参加实践活动的学生人数的两种不同表示方法作为等量关系列方程；
（2）首页判断车辆总数为8，设租甲型客车m辆，列出不等式组求出整数解即可；
（3）列出函数解析式w＝80m+2560，结合自变量取值范围求出最少总费用．
（1）
设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，
根据题意得：30x+7＝31x﹣1，
解得x＝8，
∴30x+7＝30×8+7＝247，
答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；
（2）
师生总数为247+8＝255（人），
∵每位老师负责一辆车的组织工作，
∴一共租8辆车，
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
根据题意得：35m+30(8−m)≥255400m+320(8−m)≤3000，
解得3≤m≤5.5，
∵m为整数，
∴m可取3、4、5，
∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；
（3）
设租甲型客车m辆，则租乙型客车（8﹣m）辆，
由（2）知：3≤m≤5.5，
设学校租车总费用是w元，
w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，
∵80＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴m＝3时，w取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），
答：学校租车总费用最少是2800元．
【名师点拨】本题考查一元一次方程的实际应用、利用一次函数解决最小利润问题，解决问题的关键是根据题意得到相等关系或不相等关系列出方程、不等式组以及函数解析式解决问题．
题型7-4．（2022·黑龙江·中考真题）学校开展大课间活动，某班需要购买A、B两种跳绳．已知购进10根A种跳绳和5根B种跳绳共需175元：购进15根A种跳绳和10根B种跳绳共需300元．
(1)求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？
(2)设购买A种跳绳m根，若班级计划购买A、B两种跳绳共45根，所花费用不少于548元且不多于560元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元
(2)有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根
(3)方案三需要费用最少，最少费用是550元
【提示】（1）设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，可列方程组10x+5y=17515x+10y=300，解方程组即可求得结果；
（2）根据题意可列出不等式组10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，解不等式组得到解集再结合m为正整数即可确定方案；
（3）设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=−5m+675，结合函数的性质，可知w随m的增大而减小，由此即可求得答案．
（1）
解：设购进一根A种跳绳需x元，购进一根B种跳绳需y元，
根据题意，得10x+5y=17515x+10y=300，
解得x=10y=15，
答：购进一根A种跳绳需10元，购进一根B种跳绳需15元；
（2）
根据题意，得10m+1545−m≤56010m+1545−m≥548，
解得23≤m≤25.4，
∵m为整数，∴m可取23，24，25．
∴有三种方案：方案一：购买A种跳绳23根，B种跳绳22根；
方案二：购买A种跳绳24根，B种跳绳21根；
方案三：购买A种跳绳25根，B种跳绳20根；
（3）
设购买跳绳所需费用为w元，根据题意，得w=10m+1545−m=−5m+675
∵−5<0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=25时，w有最小值，即w=−5×25+675=550（元）
答：方案三需要费用最少，最少费用是550元．
【名师点拨】本题主要考查的是不等式应用题、二元一次方程组应用题、一次函数相关应用题，根据题意列出对应的方程是解题的关键．
题型7-5．（2022·贵州黔东南·中考真题）某快递公司为了加强疫情防控需求，提高工作效率，计划购买A、B两种型号的机器人来搬运货物，已知每台A型机器人比每台B型机器人每天少搬运10吨，且A型机器人每天搬运540吨货物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．
(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？
(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2830吨，购买金额不超过48万元．
请根据以上要求，完成如下问题：
①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；
②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？
【答案】(1)每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
(2)①w=−0.8m+60；②当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【提示】（1）设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，然后根据题意可列分式方程进行求解；
（2）①由题意可得购买B型机器人的台数为30−m台，然后由根据题意可列出函数关系式；②由题意易得90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，然后可得15≤m≤17，进而根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每台A型机器人每天搬运货物x吨，则每台B型机器人每天搬运货物为（x+10）吨，由题意得：
540x=600x+10，
解得：x=90；
经检验：x=90是原方程的解；
答：每台A型机器人每天搬运货物90吨，每台B型机器人每天搬运货物为100吨．
（2）解：①由题意可得：购买B型机器人的台数为30−m台，
∴w=1.2m+230−m=−0.8m+60；
②由题意得：90m+10030−m≥2830−0.8m+60≤48，
解得：15≤m≤17，
∵-0.8＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=17时，w有最小值，即为w=−0.8×17+60=46.4，
答：当购买A型机器人17台，B型机器人13台时，购买总金额最少，最少金额为46.4万元．
【名师点拨】本题主要考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，熟练掌握分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用是解题的关键．
题型7-6．（2022·湖北荆州·中考真题）某企业投入60万元（只计入第一年成本）生产某种产品，按网上订单生产并销售（生产量等于销售量）．经测算，该产品网上每年的销售量y（万件）与售价x（元/件）之间满足函数关系式y＝24－x，第一年除60万元外其他成本为8元/件．
(1)求该产品第一年的利润w（万元）与售价x之间的函数关系式；
(2)该产品第一年利润为4万元，第二年将它全部作为技改资金再次投入（只计入第二年成本）后，其他成本下降2元/件．①求该产品第一年的售价；②若第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，则第二年利润最少是多少万元？
【答案】(1)w=−x2+32x−252
(2)①第一年的售价为每件16元，②第二年的最低利润为61万元．
【提示】（1）由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，从而可得答案；
（2）①把w=4代入（1）的函数解析式，再解方程即可，②由总利润等于每件产品的利润乘以销售的数量，再减去投资成本，列函数关系式，再利用二次函数的性质求解利润范围即可得到答案．
（1）
解：由题意得：
w=(x−8)y−60
=(x−8)(24−x)−60
=−x2+32x−252,
（2）
①由（1）得：当w=4时，
则−x2+32x−252=4,即x2−32x+256=0,
解得：x1=x2=16,
即第一年的售价为每件16元，
②∵ 第二年售价不高于第一年，销售量不超过13万件，
∴{x≤1624−x≤13, 解得：11≤x≤16,
∵ 其他成本下降2元/件，
∴w=(x−6)(24−x)−4=−x2+30x−148,
∵ 对称轴为x=−302×(−1)=15, a=−1<0,
∴ 当x=15时，利润最高，为77万元，而11≤x≤16,
当x=11时，w=5×13−4=61（万元）
当x=16时，w=10×8−4=76 （万元）
∴61≤w≤77,
所以第二年的最低利润为61万元．
【名师点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，二次函数的性质，理解题意，列出函数关系式，再利用二次函数的性质解题是关键．
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a=b，则b=a
反对称性：若a>b，则b
传递性：若a>b，b>c，则a>c
性质1：若a=b，则a±c=b±c
性质1：若a>b，则a±c>b±c
性质2：若a=b，c≠0，
则ac=bc，
性质2：若a>b，c>0，则ac>bc，
性质3：若a>b，c<0，则ac
一元一次不等式
解法的依据
方程得两边加（或减）同一个数（或式子），方程的解不变
方程的两边乘（或除以）同一个不为零的数，方程的解不变
不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
解法的步骤
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1
在步骤①和步骤⑤中，如果乘数（或除以）是负数，不等号要改变方向
解得情况
一元一次方程只有一个解
一元一次不等式可以有无数多个解
货车类型
载重量（吨/辆）
运往A地的成本（元/辆）
运往B地的成本（元/辆）
甲种
16
1200
900
乙种
12
1000
750
水果品种
梨子
菠萝
苹果
车厘子
批发价格（元/kg）
4
5
6
40
零售价格（元/kg）
5
6
8
50
甲型客车
乙型客车
载客量（人/辆）
35
30
租金（元/辆）
400
320
相关试卷
中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题05A字型、8字模型、飞镖模型专题特训(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题05A字型、8字模型、飞镖模型专题特训(原卷版+解析)，共33页。试卷主要包含了基础知识回顾，模型的概述等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题04翘脚模型专题特训(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题04翘脚模型专题特训(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了基础知识回顾，模型的概述等内容，欢迎下载使用。
中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题01有理数专题特训(原卷版+解析)： 这是一份中考数学一轮复习满分突破(全国通用)【题型方法解密】专题01有理数专题特训(原卷版+解析)，共38页。
