2024年辽宁省朝阳市第一中学数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】

这是一份2024年辽宁省朝阳市第一中学数学九年级第一学期开学调研模拟试题【含答案】，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2、（4分）下列各式不能用公式法分解因式的是（ ）
A．B．
C．D．
3、（4分）如图所示，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以、为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以、为邻边作平行四边形，……，依次类推，则平行四边形的面积为( )
A．B．C．D．
4、（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC经过坐标原点O，矩形的边分别平行于坐标轴，点B在函数（k≠0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（﹣4，1），则k的值为（ ）
A．B．C．4D．﹣4
5、（4分）一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图，则下列结论①k＜0；②a＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6、（4分）在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D度数之比为1：2：3：3，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．40° C．80° D．120°
7、（4分）不等式6﹣4x≥3x﹣8的非负整数解为（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
8、（4分）如图，是我国古代数学家在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，给出“弦图”的这位数学家是（ ）
A．毕达哥拉斯B．祖冲之C．华罗庚D．赵爽
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）有一张一个角为30°，最小边长为4的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 ．
10、（4分）如图，将5个边长都为4cm的正方形按如图所示的方法摆放，点A、B、C、D是正方形的中心，则正方形重叠的部分（阴影部分）面积和为_____．
11、（4分）20190=__________.
12、（4分）某商场品牌手机经过5、6月份连续两次降价，每部售价由5000元降到4050元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：_____．
13、（4分）将正比例函数y=﹣2x的图象沿y轴向上平移5个单位，则平移后所得图象的解析式是_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，矩形ABCD中，AB=12，AD=9，E为BC上一点，且BE=4，动点F从点A出发沿射线AB方向以每秒3个单位的速度运动.连结DF，DE, EF. 过点E作DF的平行线交射线AB于点H，设点F的运动时间为t(不考虑D、E、F在一条直线上的情况).
(1) 填空：当t= 时，AF=CE，此时BH= ；
(2）当△BEF与△BEH相似时，求t的值；
(3）当F在线段AB上时，设△DEF的面积为S,△DEF的周长为C．
① 求S关于t的函数关系式；
② 直接写出周长C的最小值.
15、（8分）如图，一次函数y＝x+4的图像与反比例函数（k为常数且k≠0）的图像交于A（－1，a），B（b，1）两点，与x轴交于点C．
（1）求此反比例函数的表达式；
（2）若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
16、（8分）如图，在四边形中，，，，，、分别在、上，且，与相交于点，与相交于点．
（1）求证：四边形为矩形；
（2）判断四边形是什么特殊四边形？并说明理由；
（3）求四边形的面积．
17、（10分）如图①，四边形是正方形，点是边的中点， ，且交正方形的外角平分线于点请你认真阅读下面关于这个图形的探究片段，完成所提出的问题.
（1）探究1：小强看到图①后，很快发现这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（个直角三角形，一个钝角三角形）考虑到点E是边BC的中点，因此可以选取AB的中点M（如图②），连接EM后尝试着去证明就行了.随即小强写出了如下的证明过程：
证明：如图②，取AB的中点M，连接EM.
∵
∴
又∵
∴
∵点E、M分别为正方形的边BC和AB的中点，
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
又∵是正方形外角的平分线，
∴，∴
∴
∴，
∴
（2）探究2：小强继续探索，如图③，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF仍然成立小强进一步还想试试，如图④，若把条件“点E是边BC的中点”为“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF仍然成立请你选择图③或图④中的一种情况写出证明过程给小强看.
18、（10分）如图，在中，点是边上的一点，且，过点作于点，交于点，连接、.
（1）若，求证：平分；
（2）若点是边上的中点，求证：
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在平面直角坐标系中，△ABC上有一点P（0，2），将△ABC向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的新三角形上与点P相对应的点的坐标是_____．
20、（4分）关于x的不等式2x﹣a≤﹣1的解集如图所示，则a的取值范围是___．
21、（4分）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为_______元/千克．
22、（4分）如图：在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，BC=8，AB=10，则△FCD的面积为__________．
23、（4分）如图，在矩形中，点为射线上一动点，将沿折叠，得到若恰好落在射线上，则的长为________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，李亮家在学校的北偏西方向上，距学校米，小明家在学校北偏东方向上，距学校米.
(1)写出学校相对于小明家的位置；
(2)求李亮家与小明家的距离.
25、（10分）如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边落在对角线上，点落在点处，折痕为，且，求线段的长．
26、（12分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM=2AE=4，∠BCE=30°.
(1)求平行四边形ABCD的面积；
(2)求证：∠EMC=2∠AEM .
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、A
【解析】
根据二次根式被开方数为非负数可得关于x的不等式，解不等式即可得.
【详解】
使代数式有意义，则x-10≥0，
解得：x≥10，
故选A．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2、C
【解析】
根据公式法有平方差公式、完全平方公式，可得答案．
【详解】
A、x2-9，可用平方差公式，故A能用公式法分解因式；
B、-a2+6ab-9 b2能用完全平方公式，故B能用公式法分解因式；
C、-x2-y2不能用平方差公式分解因式，故C正确；
D、x2-1可用平方差公式，故D能用公式法分解因式；
故选C．
本题考查了因式分解，熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键．
3、D
【解析】
因为矩形的对边和平行四边形的对边互相平行，且矩形的对角线和平行四边形的对角线都互相平分，所以上下两平行线间的距离相等，平行四边形的面积等于底×高，所以第一个平行四边形是矩形的一半，第二个平行四边形是第一个平行四边形的一半依次可推下去．
【详解】
解：根据题意分析可得：
∵四边形ABCD是矩形，
∴O1A=O1C，
∵四边形ABC1O1是平行四边形，，
∴O1C1∥AB，
∴BE=BC，
∵S矩形ABCD=AB•BC，S▱ABC1O1=AB•BE=AB•BC，
∴面积为原来的，
同理：每个平行四边形均为上一个面积的，
故平行四边形ABC5O5的面积为：，
故选：D．
此题综合考查了矩形及平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，这类题型在中考中经常出现，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
4、D
【解析】
由于点B的坐标不能求出，但根据反比例函数的几何意义只要求出矩形OEBF的面积也可，依据矩形的性质发现S矩形OGDH＝S矩形OEBF，而S矩形OGDH可通过点D（﹣4，1）转化为线段长而求得．，在根据反比例函数的所在的象限，确定k的值即可．
【详解】
解：如图，根据矩形的性质可得：S矩形OGDH＝S矩形OEBF，
∵D（﹣4，1），
∴OH＝4，OG＝1，
∴S矩形OGDH＝OH•OG＝4，
设B（a，b），则OE＝a，OF＝﹣b，
∴S矩形OEBF，＝OE•OF＝﹣ab＝4，
又∵B（a，b）在函数（k≠0，x＞0）的图象上，
∴k＝ab＝﹣4
故选：D．
考查矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征以及灵活地将坐标与线段长的相互转化．
5、B
【解析】
根据y1＝kx+b和y2＝x+a的图象可知：k＜0，a＜0，所以当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象．
【详解】
解：∵y1＝kx+b的函数值随x的增大而减小，
∴k＜0；故①正确
∵y2＝x+a的图象与y轴交于负半轴，
∴a＜0；
当x＜3时，相应的x的值，y1图象均高于y2的图象，
∴y1＞y2，故②③错误．
故选：B．
本题考查了两条直线相交问题，难点在于根据函数图象的走势和与y轴的交点来判断各个函数k，b的值．
6、C
【解析】【分析】根据四边形的内角和为360度结合各角的比例即可求得答案.
【详解】∵四边形内角和360°，
∴设∠A=x°，则有x+2x+3x+3x=360，
解得x=40，
则∠B=80°，
故选B．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，根据四边形内角和等于360°列出方程是解题关键．
7、B
【解析】
移项得，﹣4x﹣3x≥﹣8﹣6，
合并同类项得，﹣7x≥﹣14，
系数化为1得，x≤1．
故其非负整数解为：0，1，1，共3个．
故选B．
8、D
【解析】
我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.
【详解】
解：我国三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”， “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.
故答案是：D.
本题考查了学生对我国数学史的了解，籍此培养学生的爱国情怀和民族自豪感，增强学习数学的兴趣.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、或1．
【解析】
试题分析：此题主要考查了图形的剪拼，关键是根据画出图形，要考虑全面，不要漏解． 根据三角函数可以计算出BC=8，AC=4，再根据中位线的性质可得CD=AD=，CF=BF=4，DF=2，然后拼图，出现两种情况，一种是拼成一个矩形，另一种拼成一个平行四边形，进而算出周长即可．
解：由题意可得：AB=4，
∵∠C=30°，
∴BC=8，AC=4，
∵图中所示的中位线剪开，
∴CD=AD=2，CF=BF=4，DF=2，
如图1所示：拼成一个矩形，矩形周长为：2+2+4+2+2=8+4；
如图2所示，可以拼成一个平行四边形，周长为：4+4+4+4=1，
故答案为8+4或1．
考点：1.图形的剪拼；2.三角形中位线定理．
10、16cm2
【解析】
根据正方形的性质，每一个阴影部分的面积等于正方形的，再根据正方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：∵点A、B、C、D分别是四个正方形的中心
∴每一个阴影部分的面积等于正方形的
∴正方形重叠的部分（阴影部分）面积和
故答案为：
本题考查了正方形的性质以及与面积有关的计算，不规则图形的面积可以看成规则图形面积的和或差，正确理解运用正方形的性质是解题的关键．
11、1
【解析】
任何不为零的数的零次方都为1.
【详解】
任何不为零的数的零次方都等于1.
=1
本题考查零指数幂，熟练掌握计算法则是解题关键.
12、5000(1﹣x)2＝1
【解析】
根据现在售价5000元月平均下降率现在价格1元，即可列出方程．
【详解】
解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程：
5000(1﹣x)2＝1．
故答案为：5000(1﹣x)2＝1．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握增长率问题的计算公式：变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
13、y＝－2x+1
【解析】
根据上下平移时只需让b的值加减即可，进而得出答案即可．
解：原直线的k= -2，b=0；向上平移1个单位得到了新直线，
那么新直线的k= -2，b=0+1=1．
故新直线的解析式为：y= -2x+1．
故答案为y= -2x+1．
“点睛”此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) 、；（2）；（3）① ；② .
【解析】
（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE-AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）；
（3）分别表示出线段FD和线段AD的长，利用面积公式列出函数关系式即可．
【详解】
（1）∵BC=AD=9，BE=4，
∴CE=9-4=5，
∵AF=CE，
即：3t=5，
∴t=，
∴，
即：，
解得BH=；
当t=时，AF=CE，此时BH=.
（2）由EH∥DF得∠AFD=∠BHE，又∵∠A=∠CBH=90°
∴△EBH∽△DAF ∴即∴BH=
当点F在点B的左边时，即t＜4时，BF=12-3t
此时，当△BEF∽△BHE时：即解得：
此时，当△BEF∽△BEH时： 有BF=BH， 即解得：
当点F在点B的右边时，即t＞4时,BF=3t-12
此时，当△BEF∽△BHE时：即解得：
（3）① ∵EH∥DF
∴△DFE的面积=△DFH的面积=；
② 如图
∵BE=4，
∴CE=5，根据勾股定理得，DE=13，是定值，
所以当C最小时DE+EF最小，作点E关于AB的对称点E'
连接DE，此时DE+EF最小，
在Rt△CDE'中，CD=12，CE'=BC+BE'=BC+BE=13，
根据勾股定理得，DE'=,
∴C的最小值=.
此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
15、（1）；（2）点P（－6，0）或（－2，0）．
【解析】
（1）把A点坐标代入直线解析式求出a的值，再把A（-1，3）代入反比例函数关系式中，求出k的值即可；
（2）分别求出B、C的坐标，设点P的坐标为（x，0），根据列出方程求解即可.
【详解】
（1）把点A（－1，a）代入y＝x+4，得a＝3，∴A（－1，3），∴k=－3，
∴反比例函数的表达式为y=－；
（2）把B（b，1）代入反比例函数y=－，
解得：b＝－3，∴B（－3，1），
当y＝x+4＝0时，得x＝－4，
∴点C（－4，0），
设点P的坐标为（x，0），
∵S△AOB＝S△AOC－S△BOC＝×4×3－×4×1＝6－2＝4，S△ACP=S△AOB，
∴×3×│x－(－4)│＝×4＝3，
解得x1=－6，x2=－2，
∴点P（－6，0）或（－2，0）．
本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达．
16、（1）见解析；（2）四边形EFPH为矩形，理由见解析；（3）
【解析】
（1）由平行线的性质证出∠BCD=90°即可；
（2）根据矩形性质得出CD=2，根据勾股定理求出CE和BE，求出CE2+BE2的值，求出BC2，根据勾股定理的逆定理求出∠BEC=90°，根据矩形的性质和平行四边形的判定，推出平行四边形DEBP和AECP，推出EH//FP，EF//HP，推出平行四边形EFPH，根据矩形的判定推出即可；
（3）根据三角形的面积公式求出CF，求出EF，根据勾股定理求出PF，根据面积公式求出即可．
【详解】
（1）证明：∵AB//CD，
∴∠CBA+∠BCD=180°，
∵∠CBA=∠ADC=90°，
∴∠BCD=90°，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：四边形EFPH为矩形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=5，AB=CD=2，AD∥BC，
由勾股定理得：CE= ，
同理BE=2，
∴CE2+BE2=5+20=25，
∵BC2=52=25，
∴BE2+CE2=BC2，
∴∠BEC=90°，
∴△BEC是直角三角形．
∵DE=BP，DE//BP，
∴四边形DEBP是平行四边形，
∴BE//DP，
∵AD=BC，AD//BC，DE=BP，
∴AE=CP，
∴四边形AECP是平行四边形，
∴AP//CE，
∴四边形EFPH是平行四边形，
∵∠BEC=90°，
∴平行四边形EFPH是矩形．
（3）解：∵四边形AECP是平行四边形，
∴PD=BE=2，
在Rt△PCD中，FC⊥PD，PC=BC-BP=4，
由三角形的面积公式得：PD•CF=PC•CD，
∴CF=，
∴EF=CE-CF=，
∵PF=，
∴S矩形EFPH=EF•PF=，
即：四边形EFPH的面积是．
本题综合考查了矩形的判定与性质、勾股定理及其逆定理、平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的运用，主要培养学生分析问题和解决问题的能力，此题综合性比较强，题型较好，难度也适中．
17、见解析
【解析】
在AB上截取AM=EC，连接ME，然后证明∠EAM=FEC，∠AME=∠ECF=135°，再利用“角边角”证明△AEM和△EFC全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；
【详解】
（2）探究2：选择图③进行证明：
证明：如图③在上截取，连接.

由（1）知∠EAM=∠FEC，
∵AM=EC，AB=BC，
∴BM=BE，
∴∠BME=45°，
∴∠AME=∠ECF=135°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠AEB=90°，
又∵∠EAM+∠AEB=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
∴△AEM≌△EFC（ASA），
∴AE=EF；
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取AM=EC，然后构造出△AEM与△EFC全等是解题的关键．
18、（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
（1）由四边形是平行四边形，，易证得，又由，可证得，即可证得平分；
（2）延长，交的延长线于点，易证得，又由，可得是的斜边上的中线，继而证得结论．
【详解】
证明：（1）四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
平分；
（2）如图，延长，交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，
，
点是边上的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
．
此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（﹣2，5）
【解析】
平移的规律：平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】
解：由点的平移规律可知，此题规律是：向左平移2个单位再向上平移3个单位，
照此规律计算可知得到的新三角形上与点P相对应的点的坐标是（0﹣2，2+3），即（﹣2，5）．
故答案为（﹣2，5）．
本题考查图形的平移变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．
20、1．
【解析】
首先计算出不等式的解集x≤，再结合数轴可得不等式的解集为x≤1，进而得到方程=1，解方程可得答案．
【详解】
2x﹣a≤﹣1，
x≤，
∵解集是x≤1，
∴＝1，解得：a＝1，
故答案为1．
此题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，关键是正确解不等式．
21、1．
【解析】
解：设售价至少应定为x元/千克，
依题可得方程x（1-5%）×80≥760，
解得x≥1
故答案为1．
本题考查一元一次不等式的应用．
22、2.
【解析】
根据题意可证△ADE≌△ACD，可得AE=AC=2，CD=DE，根据勾股定理可得DE，CD的长，再根据勾股定理可得FC的长，即可求△FCD的面积．
【详解】
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，∠C=90°
∴CD=DE
∵CD=DE，AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△ADE
∴AE=AC
∵在Rt△ABC中，AC=＝2
∴AE=2
∴BE=AB-AE=4
∵在Rt△DEB中，BD1=DE1+BE1．
∴DE1+12=（8-DE）1
∴DE=3 即BD=5，CD=3
∵BD=DF
∴DF=5
在Rt△DCF中，FC==4
∴△FCD的面积为=×FC×CD=2
故答案为2．
本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题．
23、或15
【解析】
如图1，根据折叠的性质得到AB=A=5，E=BE，根据勾股定理求出BE，如图2，根据折叠的性质得到A=AB=5，求得AB=BF=5， 根据勾股定理得到CF=4根据相似三角形的性质列方程即可得到结论.
【详解】
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=3，CD=AB=5，
如图1，由折叠得AB=A=5，E=BE，
∴，
∴,
在Rt△中， ，
∴，
解得BE=；
如图2，由折叠得AB=A=5，
∵CD∥AB，
∴∠=∠，
∵，
∴，
∵AE垂直平分，
∴BF=AB=5，
∴，
∵CF∥AB，
∴△CEF∽△ABE，
∴，
∴，
∴BE=15，
故答案为：或15.
此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，根据折叠的要求正确画出符合题意的图形进行解答是解题的关键.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）学校在小明家的南偏西方向上，距小明家米；（2）米.
【解析】
(1) 观察图形，根据OB及图中各角度，即可得出结论．
(2)连接AB,利用勾股定理计算即可得AB的长度.
【详解】
(1)学校在小明家的南偏西方向上，距小明家米.
(2)连接AB
米，米，，
米.
本题考查坐标确定位置、勾股定理，掌握用方位角和距离表示位置及利用勾股定理求长度是解题的关键.
25、4
【解析】
根据矩形的性质得到BC=AD=8，∠B=90°，再根据折叠的性质得BE=EF=3，∠AFE=∠B=90°，则可计算出CE=5，然后在Rt△CEF中利用勾股定理计算FC．
【详解】
解：∵四边形是矩形，
．
，
，
；
在中，
．
本题考查了折叠的性质：叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
26、（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
(1)由AM＝2AE＝4，利用平行四边形的性质可求出BC=AD=1，利用直角三角形的性质得出BE、CE的长,进而得出答案;
(2) 延长EM，CD交于点N，连接CM．通过证明△AEM≌△DNM，可得EM＝MN，然后由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证MN＝MC，然后根据三角形外角的性质证明即可.
【详解】
（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，
∴AD＝2AM＝1．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝1，
又∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝30°，
∴BE＝BC＝4，
∴AB＝6，CE＝4，
∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；
（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．
∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠N，
在△AEM和△DNM中
∵∠AEM=∠N，
AM=DM，
∠AME=∠DMN，
∴△AEM≌△DNM（AAS），
∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，
∴CE⊥CD，
∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，
∴∠N＝∠MCN，
∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．
此题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质等知识.熟练应用平行四边形的性质是解（1）关键，正确作出辅助线是解（2）的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分