湖北省荆门市龙泉中学2023届高三5月模拟数学试题

2023年龙泉中学高考模拟考试

高三数学试卷

考试时间：2023年5月31日下午  试卷满分：150分

★祝考试顺利

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．已知复数，则复数（    ）

A． B．10 C． D．2

3．已知双曲线C：（，）的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线C的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

4．某人周一至周五每天6：30至6：50出发去上班，其中在6：30至6：40出发的摡率为0.4，在该时间段出发上班迟到的概率为0.1；在6：40至6：50出发的概率为0.6，在该时间段出发上班迟到的概率为0.2，则小王某天在6：30至6：50出发上班迟到的概率为（    ）

A．0.3 B．0.17 C．0.16 D．0.13

5．已知点O为△ABC所在平面内一点，在△ABC中，满足，，则点O为该三角形的（    ）

A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心

6．一个四棱锥的四个侧面中，钝角三角形最多有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．在我国古代，杨辉三角（如图1）是解决很多数学问题的有力工具，从图1中可以归纳出等式：，类比上述结论，借助杨辉三角解决下述问题：如图2．该“刍童垛”共2021层，底层如图3，一边2023个圆球，另一边2022个圆球，向上逐层每边減少1个圆球，顶层堆6个圆球，则此“刍童垛”中圆球的总数为（    ）

A． B． C． D．

8．若直线与直线是曲线的两条切线，也是曲线的两条切线，则的值为（    ）

A． B．0 C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ）

A．若，且，则

B．若A，B，C是平面内不共线三点，，，则

C．若且，则直线

D．若直线，直线，则a与b为异面直线

10．函数，的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数的图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线垂直

C．函数的图象关于直线对称

D．函数在上单调递减

11．已知点P在：上，点，则（    ）

A．点P到直线AB的距离最大值是

B．满足的点P有2个

C．过直线AB上任意一点作的两条切线，切点分别为M，N，则直线MN过定点

D．的最小值为

12．数列满足，，则下列说法正确的是（    ）

A．若且，数列单调递减

B．若存在无数个自然数n，使得，则

C．当或时，的最小值不存在

D．当时，

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数是奇函数，则实数________．

14．已知数列的前8项1，1，2，3，5，10，13，21，令，则的最小值点________．

15．过点作斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，直线交x轴于点Q．连接QA．OB，则直线QA，QB的斜率之和为________．

16．如图是两个直三棱柱和重叠后的图形，公共侧面为正方形，两个直三棱柱底面是腰为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积为________．

四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列的前n项和．

（1）求数列的通项公式；

（2）议，当取得最小值时，求n的取值．

18．（12分）已知三棱锥，△ABC是等腰直角三角形，△PAC是等边三角形，且，，．

（1）求证：；

（2）求直线PC与平面PAE所成角的正弦．

19．在平面四边形ABCD中，，，，．

（1）求△DCB的面积：

（2）求AC的长．

20．（12分）随着消费者对环保、低碳和健康生活的追求不断加强，新能源汽车的市场需求也在不断增加．新能源汽车主要有混合动力汽车、纯电动汽车、燃料电池汽车等类型，某汽车企业生产的A型汽车，有混合动力和纯电动两种类型，总日产量达120台，其中有30台混合动力汽车，90台纯电动汽车．

（1）若从中随机抽检2台汽车，用X表示抽检混合动力汽车的台数，分别就有放回抽检与不放回抽检，求X的分布列及数学期望；

（2）若从每日生产的120台，A型汽车中随机地抽取10台样本，用Y表示样本中混合动力汽车台数，分别就有放回抽取和不放回抽取，用样本中的混合动力汽车台数的比例估计总体中混合动力汽车台数的比例，求误差不超过0.15的概率，并比较在相同的误差限制下，采用哪种抽取估计的结果更可靠．

参考数据：（概率值精确到0.00001）

21．（12分）设函数，且．

（1）求函数的单调性；

（2）若恒成立，求实数a的取值范围．

22．（12分）已知椭圆E：．若直线l：与椭圆E交于A、B两点，交x轴于点F，点A，F，B在直线：上的射影依次为点D，K，G．

（1）若直线l交y轴于点T，且，，当m变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；

（2）连接AG，BD，试探究当m变化时，直线AG与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明：否则，说明理由．

2023年龙泉中学高考模拟考试高三数学试卷参考答案

一、选择题：

1—4 BBAC 5—8 BDBC 9．ABC 10．ABD 11．ABD

12．ACD 13．1 14．7 15．0 16．

12．【详解】A．，只要，则，．

若，即，则或，

显然时，，

若，则，因此，

若，则，

所以当且时，对任意的，，从而，，递减，A正确，

B．由上面推理，时，也有无数个正整数n，使得，B错；

C．由选项A知，或时，递减，无最小值，C正确；

D．，，又由以上推理知递减，所以，

时，，时，，则，

所以对任意，，

下证，

时，，

时，，设，

，

，

，

依次类推，，所以，

综上，对任意，，

综上，，D正确．故选：ACD．

17．（1）

（2）当n为奇数时，其中，当，时，单增，

∴；

当n为偶数时，单增，∴．

综上所述，当取得最小值时，求n的取值为1，2，3．

18．【答案】（1）证明见解析：（2）．

19．（1）（先画图，原题无图）

由已知在△DCB中，，，，

利用余弦定理得，

即，

解得，

故；……5分

（2）（注意这种做法，改自13年全国卷的题）

在△ACD中，由正弦定理得，

即，

同理在△ACB中，由正弦定理得，

即，

又四边形ABCD内角和为360°，且，，

故，

即，

又，

即，

即，

解得……12分

20．（1）对于有放回抽检，每次抽到混合动力汽车的概率为，且各次抽检结果是独立的，

设为有放回抽检的混合动力汽车的台数，则，可取0，1，2，

；；

的分布列如下：

则．

对于不放回抽检，各次抽检的结果不独立，设为不放回抽检的混合动力汽车的台数，则服从超几何分布，可取0，1，2，

；；

的分布列如下：

则．

注：也可按照下面步骤作答．

的分布列为，，1，2，．

的分布列为，，1，2，．

（2）样本中混合动力汽车的比例是一个随机变量，根据参考数据，

有放回抽取：

不放回抽取：

因为，

所以，在相同的误差限制下，采用不放回抽取估计的结果更可靠．

（注：（2）问，可以参考人教A版选择性必修三第79页例6，分别就放回抽样和不放回抽样，用样本中的某类品的比例估计总体中这类品的比例，定量地比较估计效果，用概率的方法解释直观常识．对用同一抽取模型，两个分布的均值相同，从两种分布的概率分布看，或者从方差的大小比较（超几何分布的方差较小），都反应超几何分布更集中于均值附近．）

21．解：（1），，

当时，恒成立，则在上单调递增；

当时，时，，则在上单调递减；时，，

则在上单调递增．……5分

（2）方法一：在恒成立，则

当时，，显然成立，符合题意；

当时，得恒成立，即

记，，，

而对任意恒成立，则在递减，在递增，所以

∴．

方法二：在上恒成立，即．

记，，，

当时，在单增，在单减，则，得，舍：

当时，在单减，在单增，在单减，，，

得；

当时，在单減，成立；

当时，在单减，在单增，在单减，，，

而，显然成立．综上所述，．……12分

22．（2）①易知，且直线l与y轴的交点为，

设直线l交椭圆于，．

联立，得．

所以．

所以，，……6分

又．可得．

所以．

又。同理可得．

所以，

因为．

所以．……6分

②若，则直线l为．此时四边形ABGD为矩形，根据对称性可知直线AG与BD相交于F，K的中点N，易知；……9分

若，由题意．可知．，

所以直线AG的方程为，

当时，

．

所以点在直线AG上．

同理可知，点也在直线BD上．

所以吋，直线AG与BD也相交于定点．……11分

综上所述，m变化时．直线AG与BD相交于定点．……12分