2023-2024学年广东省广州大学附中奥班七年级（上）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省广州大学附中奥班七年级（上）期中数学试卷，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3 分）下列代数式1 ，  2 a2 ， 1 x2 y ， 3a  b ，0， x  1 中，单项式的个数有()
362
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
2．（3 分）若方程： 2(x  1)  6  0 与1  3a  x  0 的解互为相反数，则a 的值为()
3
 1
3
1
3
7
3
1
3．（3 分）数轴上，有理数a ， b ， a ， c 的位置如图，则化简| a  c |  | a  b |  | c  b | 的结果为()
2a  2c
2a  2b
2c  2b
D．0
4．（3 分）若实数 x ， y ，使得 x  y, x  y, x , xy 这四个数中的三个数相等，则| y |  | x | 的值等于()
y
A．  1
2
B．0C． 1
2
D． 3
2
5．（3 分）对于任意实数a ， b ，c ， d ，定义有序实数对(a,b) 与(c, d ) 之间的运算“△”为：(a,b) △ (c ，
d )  (ac  bd ， ad  bc) ．如果对于任意实数u ， v ，都有(u, v) △ (x ， y)  (u ， v) ，那么(x, y) 为( )
A． (0,1)B． (1, 0)C． (1, 0)D． (0, 1)
6．（3 分）若关于 x 的方程(k  2013)x  2015  2014x 的解是整数，则整数k 的值有()
A．4 个B．8 个C．12 个D．16 个
7．（3 分）如果 4 个不同的正整数m 、n 、 p 、q 满足(8  m)(8  n)(8  p)(8  q)  9 ，那么，m  n  p  q 等于( )
A．16B．24C．28D．32
8 ．（ 3 分） 已知 x  2m  n  2 和 x  m  2n 时，多项式 x2  4x  6 的值相等，且 m  n  2  0 ，则当
x  3(m  n  1) 时，多项式 x2  4x  6 的值等于( )
A．7B．9C．3D．5
9．（3 分）若a  b  c  0 ，则| a |  | b |  | c |  | ab |  | ac |  | bc |  | abc | 的值为( )
abcabacbcabc
7
1
C．1D．7
10 ．（ 3 分）设 n 个有理数 x1 ，
x2 ，，
xn 满足 | xi | 1(i  1
， 2 ，， n) ，且
| x1 |  | x2 |  | xn | 19 | x1  x2  xn | ，则n 的最小值是( )
A．19B．20C．21D．22
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）关于 x 的方程(k  2)x2  4kx  5  0 是一元一次方程，则方程的解是 ．
12．（3 分）当 x  2 时，代数式mx2  2x  n 的值为 2，则当 x  2 时，这个代数式的值为 ．
13．（3 分）已知： x2  8x  3  0 ，则(x  1)(x  3)(x  5)(x  7) 的值是 ．
14 ．（ 3 分） 设 abcd 是一个四位数， a 、 b 、 c 、 d 是阿拉伯数字， 且 abcd
| a  b |  | b  c |  | c  d |  | d  a | 的最大值是 ．
， 则式子
15．（3 分）关于 x 的方程|| x  2 | 1| a 恰有三个整数解，则a 的值为 ．
16．（3 分）计算：1  1 11  1

 ．
1  21  2  31  2  3  41  2  3   2015
三、解答题（共 72 分）
17．（16 分）（1）计算： 211 (455)  365  455  211 545  545  365 ；
（2）计算：[ 7  ( 1  1]  9 1 | 2  ( 1 )3  52 | ；
52 2)(0.75)22
（3）计算： (3x  2)(x  1)  2(x  3)(x  2) ；
（4）解方程： 2x  3  2x  1  1 ．
64
18．（12 分）分解因式：
（1） 9  x2  12xy  36 y2 ；（2） (x2  6x  8)(x2  6x  10)  1；
（3） (x  1)4  (x2  1)2  (x  1)4 ．
19．（7 分）已知 A  2x2  3xy  2x ， B  x2  xy  1 ，
（1）求2 A  4B ；
（2）若2 A  4B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
20．（10 分）如图的数阵是由全体奇数排成的：
如图，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示，则另两个数分别是 和 ．
在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是 ．
这九个数之和能等于 2018 吗？2079 呢？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由．
21．（15 分）求解下列问题：
试确定a 和b ，使 x4  ax2  bx  2 能被 x2  3x  2 整除；
已知关于 x 、 y 的二次式 x2  7xy  ay2  5x  45 y  24 可分解为两个一次因式的乘积，求a ；
（3）已知 x  y  1， x2  y2  2 ，求 x7  y7 的值．
22．（12 分）已知多项式4x6 y2  3x2 y  x  7 ，次数是b ， 4a 与b 互为相反数，在数轴上，点 A 表示数a ，点 B 表示数b ．
（1） a  ， b  ；
若小蚂蚁甲从点 A 处以 3 个单位长度/ 秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点 B 处以 4 个单位长度/ 秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O 处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t 秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t ．（写出解答过程）
若小蚂蚁甲和乙约好分别从 A ， B 两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s 时一起重新回到原出发点 A 和 B ，设小蚂蚁们出发t(s) 时的速度为v(mm / s) ，v 与t 之间的关系如图．（其中 s 表示时间单位秒， mm 表示路程单位毫米）
①当2  t5 时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t 的代数式表示）；
②当t 为 时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm ．（请直接写出答案）
t(s)
0  t2
2  t5
5  t16
v(mm / s)
10
16
8
2023-2024 学年广东省广州大学附中奥班七年级（上）期中数学试卷
一、单选题（每题 3 分，共 30 分）
参考答案与试题解析
1．（3 分）下列代数式1 ，  2 a2 ， 1 x2 y ， 3a  b ，0， x  1 中，单项式的个数有( )
362
A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个
【解答】解：单项式有1 ，  2 a2 ， 1 x2 y ，0，个数有 4 个．
36
故选： B ．
2．（3 分）若方程： 2(x  1)  6  0 与1  3a  x  0 的解互为相反数，则a 的值为( )
3
 1
3
1
3
7
3
1
【解答】解： 2(x  1)  6  0 ，
 x  4 ，
 1  3a  x  0 ，
3
 3a  x  1 ，
3
 x  3a  3 ，
两个方程的解互为相反数，
 4  3a  3  0 ，
解得， a   1 ．
3
故选： A ．
3．（3 分）数轴上，有理数a ， b ， a ， c 的位置如图，则化简| a  c |  | a  b |  | c  b | 的结果为( )
2a  2c
2a  2b
2c  2b
D．0
【解答】解：由数轴可知c  b  a  0  a ， | c || b || a | ，
 a  c  0 ， a  b  0 ， c  b  0 ，
| a  c |  | a  b |  | c  b | (a  c)  (a  b)  (c  b)  a  c  a  b  c  b
 0 ．
故选： D ．
4．（3 分）若实数 x ， y ，使得 x  y, x  y, x , xy 这四个数中的三个数相等，则| y |  | x | 的值等于( )
y
A．  1
2
B．0C． 1
2
D． 3
2
【解答】解：因为 x 有意义，所以 y 不为 0，故 x  y 和 x  y 不等
y
（1） x  y  xy  x 解得 y  1 ， x  1 ，
y2
（2） x  y  xy  x 解得 y  1 ， x   1 ，
y2
所以| y |  | x | 1  1  1 ．
22
故选： C ．
5．（3 分）对于任意实数a ， b ，c ， d ，定义有序实数对(a,b) 与(c, d ) 之间的运算“△”为：(a,b) △ (c ，
d )  (ac  bd ， ad  bc) ．如果对于任意实数u ， v ，都有(u, v) △ (x ， y)  (u ， v) ，那么(x, y) 为( )
A． (0,1)B． (1, 0)C． (1, 0)
【解答】解： (u, v) △ (x ， y)  (ux  vy ， uy  vx)  (u ， v) ，
ux  vy  u ， uy  vx  v ，
对于任意实数u ， v 都成立，
 x  1 ， y  0 ，
(x, y) 为(1, 0) ． 故选： B ．
D． (0, 1)
6．（3 分）若关于 x 的方程(k  2013)x  2015  2014x 的解是整数，则整数k 的值有( )
A．4 个B．8 个C．12 个D．16 个
【解答】解： (k  2013)x  2015  2014x ，
 x  2015 ，
k  1
 x 、 k 都是整数， 2015  1 5 13  31，
 k  1 可取： 1 ， 5 ， 13 ， 31， 5 13 ， 5  31 ， 13  31 ， 2015 ，
整数k 的值有 16 个， 故选： D ．
7．（3 分）如果 4 个不同的正整数m 、n 、 p 、q 满足(8  m)(8  n)(8  p)(8  q)  9 ，那么，m  n  p  q 等于( )
A．16B．24C．28D．32
【解答】解：4 个不同的正整数m 、 n 、 p 、 q 满足(8  m)(8  n)(8  p)(8  q)  9 ， 9  1 3  (3)  (1) ，
不妨设8  m  1 ， 8  n  3 ， 8  p  3 ， 8  q  1 ， 解得m  7 ， n  5 ， p  11 ， q  9 ，
 m  n  p  q
 7  5  11  9
 32 ，
故选： D ．
8 ．（ 3 分） 已知 x  2m  n  2 和 x  m  2n 时，多项式 x2  4x  6 的值相等，且 m  n  2  0 ，则当
x  3(m  n  1) 时，多项式 x2  4x  6 的值等于( )
A．7B．9C．3D．5
【解答】解： x  2m  n  2 和 x  m  2n 时，多项式 x2  4x  6 的值相等，
二次函数 y  x2  4x  6 的对称轴为直线 x  2m  n  2  m  2n  3m  3n  2 ，
22
又二次函数 y  x2  4x  6 的对称轴为直线 x  2 ，
 3m  3n  2  2 ，
2
3m  3n  2  4 ， m  n  2 ，
当 x  3(m  n  1)  3(2  1)  3 时， x2  4x  6  (3)2  4  (3)  6  3 ． 故选： C ．
9．（3 分）若a  b  c  0 ，则| a |  | b |  | c |  | ab |  | ac |  | bc |  | abc | 的值为( )
abcabacbcabc
7
1
C．1D．7
【解答】解： a  b  c  0 ，
 a ， b ， c 中两正一负或一正两负，
假设a  0 ， b  0 ， c  0 ，原式 1  1  1  1  1  1  1  1，其他情况同理值为1 ； 假设a  0 ， b  0 ， c  0 ，原式 1  1  1  1  1  1  1  1，其他情况同理值为1 ， 故选： B ．
10 ．（ 3 分）设 n 个有理数 x1 ，
x2 ，，
xn 满足 | xi | 1(i  1
， 2 ，， n) ，且
| x1 |  | x2 |  | xn | 19 | x1  x2  xn | ，则n 的最小值是( )
A．19B．20C．21D．22
【解答】解： | xi | 1，则| x1 |  | x2 |  | xn | n ，
| x1 |  | x2 |  | xn | 19 | x1  x2  xn | n ，
 n  19 ， 当 n  20 ，
令 x  x
  x
  19 ， x
 x   x
 19 ，
131920242020
则| x1 |  | x2 |  | xn | 19 | x1  x2  xn | ，满足题意， 故选： B ．
二、填空题（每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）关于 x 的方程(k  2)x2  4kx  5  0 是一元一次方程，则方程的解是
【解答】解：关于 x 的方程(k  2)x2  4kx  5  0 是一元一次方程，
 k  2  0 且 4k  0 ， 解得： k  2 ，
即方程为8x  5  0 ，
解得： x  5 ．
8
故答案为： x  5 ．
8
x  5 ．
8
12．（3 分）当 x  2 时，代数式mx2  2x  n 的值为 2，则当 x  2 时，这个代数式的值为 10 ．
【解答】解：当 x  2 时，
mx2  2x  n  4m  4  n  2 ，
 4m  n  6 ， 当 x  2 时，
mx2  2x  n  4m  4  n  6  4  10 ， 故答案为：10．
13．（3 分）已知： x2  8x  3  0 ，则(x  1)(x  3)(x  5)(x  7) 的值是 180 ．
【解答】解： x2  8x  3  0 ，
 x2  8x  3
(x  1)(x  3)(x  5)(x  7)  (x2  8x  7)(x2  8x  15) ， 把 x2  8x  3 代入得：原式 (3  7)(3  15)  180 ． 故答案为：180．
14 ．（ 3 分） 设 abcd 是一个四位数， a 、 b 、 c 、 d 是阿拉伯数字， 且 abcd
| a  b |  | b  c |  | c  d |  | d  a | 的最大值是 16 ．
【解答】解： abcd ，
| a  b |  | b  c |  | c  d |  | d  a |
 b  a  c  b  d  c  d  a
 2(d  a) ，
， 则式子
 abcd 是一个四位数， a 、b 、 c 、d 是阿拉伯数字，且abcd ，
 a 最小值为 1， d 最大值为 9，
 2(d  a) 的最大值为2  (9  1)  16 ，
即| a  b |  | b  c |  | c  d |  | d  a | 的最大值为 16． 故答案为：16．
15．（3 分）关于 x 的方程|| x  2 | 1| a 恰有三个整数解，则a 的值为 1 ．
【解答】解：①若| x  2| 1  a ，
当 x2 时， x  2  1  a ，解得： x  a  3 ， a  1； 当 x  2 时， 2  x  1  a ，解得： x  1  a ； a  1；
②若| x  2| 1  a ，
当 x2 时， x  2  1  a ，解得： x  a  3 ， a1 ；
当 x  2 时， 2  x  1  a ，解得： x  a  1 ， a  1 ； 又方程有三个整数解，
可得： a  1或 1，根据绝对值的非负性可得： a0 ． 即 a 只能取 1．
故答案为 1．
16．（3 分）计算：1  1 11  1

 11007 ．
1  21  2  31  2  3  41  2  3   2015
1008
【解答】解：1  1 11 1

1  21  2  31  2  3  41  2  3   2015
 1 1
11
1
(1  2)  2(1  3)  3(1  4)  4(1  2015)  2015
2222
 1  2  ( 1  1  1 1)

2  33  44  52015  2016
 1  2  (1  1  1  1  1  1 11 )
23344520152016
 1  2  ( 1 1 )
22016
 1  2  1  2 1
 1  1 
22016
1
1008
 11007 ，
1008
故答案为：11007 ．
1008
三、解答题（共 72 分）
17．（16 分）（1）计算： 211 (455)  365  455  211 545  545  365 ；
（2）计算：[ 7  ( 1  1]  9 1 | 2  ( 1 )3  52 | ；
52 2)(0.75)22
（3）计算： (3x  2)(x  1)  2(x  3)(x  2) ；
（4）解方程： 2x  3  2x  1  1 ．
64
【解答】解：（1） 211 (455)  365  455  211 545  545  365
 [211 (455)  211 545]  (365  455  545  365)
 [211 (455  545)]  365  (455  545)
 211 (1000)  365 1000
 2111000  365 1000
 (211  365) 1000
 154 1000
 154000 ；
（2）[ 7  ( 1  1]  9 1 | 2  ( 1 )3  52 |
52 2)(0.75)22
 ( 7  1)  9  1
29
16
 | 2  ( 1)  25 |
8
 5  1  16  |2  25 |
2998
 5  1  9  |  9 |
29 168
 5  9
328
  31 ；
32
（3） (3x  2)(x  1)  2(x  3)(x  2)
 3x2  3x  2x  2  2(x2  2x  3x  6)
 3x2  5x  2  2x2  2x  12
 5x2  3x  10 ；
去分母，得
2(2x  3)  3(2x  1)  12 ， 去括号，得
4x  6  6x  3  12 ，
移项，得
4x  6x  12  6  3 ， 合并同类项，得
2x  3 ，
系数化为 1，得
x   3 ．
2
18．（12 分）分解因式：
（1） 9  x2  12xy  36 y2 ；
（2） (x2  6x  8)(x2  6x  10)  1；
（3） (x  1)4  (x2  1)2  (x  1)4 ．
【解答】解：（1） 9  x2  12xy  36 y2
 9  (x2  12xy  36 y2 )
 9  (x  6 y)2
 (3  x  6 y)(3  x  6 y) ；
（2） (x2  6x  8)(x2  6x  10)  1
 (x2  6x)2  18(x2  6x)  81
 (x2  6x  9)2
 (x  3)4 ；
（3） (x  1)4  (x2  1)2  (x  1)4
 [(x  1)2 ]2  2(x  1)2 (x  1)2  [(x  1)2 ]2  (x2  1)2
 [(x  1)2  (x  1)2 ]2  (x2  1)2
 (2x2  2)2  (x2  1)2
 (3x2  1)(x2  3) ；
19．（7 分）已知 A  2x2  3xy  2x ， B  x2  xy  1 ，
（1）求2 A  4B ；
（2）若2 A  4B 的值与 x 的取值无关，求 y 的值．
【解答】解：（1） 2 A  4B
 2(2x2  3xy  2x)  4(x2  xy  1)
 4x2  6xy  4x  4x2  4xy  4
 10xy  4x  4 ．
（2） 2 A  4B 的值与 x 的取值无关，
 2 A  4B
 10xy  4x  4
 2x(5 y  2)  4
5 y  2  0 ，
 y  2 ．
5
20．（10 分）如图的数阵是由全体奇数排成的：
如图，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示，则另两个数分
别是
a  18 和 ．
在数阵图中作图中的平行四边形框，这九个数之和是 ．
这九个数之和能等于 2018 吗？2079 呢？若能，请写出这九个数中最大的一个数；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设中间一个数为a ，则另两个数分别是 a  18 或a  18 ．故答案为： a  18 ， a  18 ；
（2） 41 9  369 ．
故这九个数之和是 369． 故答案为：369；
（3）这九个数之和不能等于 2018，这九个数之和能等于 2079，理由如下： 设中间的一个为n ，依题意有
9n  2018 ，
解得n  224 2 ，
9
因为不是整数，所以不存在； 或9n  2079 ，
解得n  231 ，
231  18  4  217 ，217 是数列中最左边一列中的数，．故这九个数之和不能等于 2079．
21．（15 分）求解下列问题：
试确定a 和b ，使 x4  ax2  bx  2 能被 x2  3x  2 整除；
已知关于 x 、 y 的二次式 x2  7xy  ay2  5x  45 y  24 可分解为两个一次因式的乘积，求a ；
（3）已知 x  y  1， x2  y2  2 ，求 x7  y7 的值．
【解答】解：（1） x2  3x  2  (x  2)(x  1) ，
假如 f (x) 能被 x2  3x  2 整除，则(x  2) 和(x  1) 一定是 f (x) 的因式，
当 x  1 时， f (x)  0 ，即：1  a  b  2  0 ①， 当 x  2 时， f (x)  0 ，即16  4a  2b  2  0 ②，
a  b  3  0

 4a  2b  18  0 ，
a  6
解得：  ；
b3
（2） x2  5x  24  (x  8)(x  3) ， 设原式 (x  8  my)(x  3  ny)
 x2  3x  nxy  8x  24  8ny  mxy  3my  mny2
 x2  (m  n)xy  mny2  5x  (3m  8n) y  24 ，
m  n  7
  45 ，
3m 8n
m  1

解得： n  6 ，
 a  mn  1 6  6 ；
（3） x  y  1 ， x2  y2  2 ，
(x  y)2  x2  y2  2xy  1 ，
2xy  1，
xy   1 ，
2
 x3  y3  (x  y)(x2  y2  xy)
 1 (2  1 )
2
 5 ，
2
(x4  y4 )(x3  y3 )  x7  y7  x3 y3 (x  y) ，
 x7  y7
 (x4  y4 )(x3  y3 )  x3 y3 (x  y)
 [(x2  y2 )2  2x2 y2 ](x3  y3 )  x3 y3 (x  y)
 [22  2  ( 1 )2 ]  5  ( 1 )3 1
222
 (4  2  1 )  5  1 1
428
 7  5  1
228
 35  1
48
 71 ．
8
22．（12 分）已知多项式4x6 y2  3x2 y  x  7 ，次数是b ， 4a 与b 互为相反数，在数轴上，点 A 表示数a ，点 B 表示数b ．
（1） a  2 ， b  ；
若小蚂蚁甲从点 A 处以 3 个单位长度/ 秒的速度向左运动，同时小蚂蚁乙从点 B 处以 4 个单位长度/ 秒的速度也向左运动，丙同学观察两只小蚂蚁运动，在它们刚开始运动时，在原点O 处放置一颗饭粒，乙在碰到饭粒后立即背着饭粒以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t 秒，求甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t ．（写出解答过程）
若小蚂蚁甲和乙约好分别从 A ， B 两点，分别沿数轴甲向左，乙向右以相同的速度爬行，经过一段时间原路返回，刚好在16s 时一起重新回到原出发点 A 和 B ，设小蚂蚁们出发t(s) 时的速度为v(mm / s) ，v 与t 之间的关系如图．（其中 s 表示时间单位秒， mm 表示路程单位毫米）
①当2  t5 时，你知道小蚂蚁甲与乙之间的距离吗？（用含有t 的代数式表示）；
②当t 为 时，小蚂蚁甲乙之间的距离是42mm ．（请直接写出答案）
【解答】解：（1）多项式4x6 y2  3x2 y  x  7 ，次数是b ，
b  8 ；
 4a 与b 互为相反数，
 4a  8  0 ，
 a  2 ．
故答案为： 2 ，8；
分两种情况讨论：
t(s)
0  t2
2  t5
5  t16
v(mm / s)
10
16
8
①甲乙两小蚂蚁均向左运动，即0t2 时，此时OA  2  3t ， OB  8  4t ；
OA  OB ，
 2  3t  8  4t ，
解得： t  6 ；
7
②甲向左运动，乙向右运动，即t  2 时，此时OA  2  3t ， OB  4t  8 ；
OA  OB ，
 2  3t  4t  8 ， 解得： t  10 ；
甲、乙两只小蚂蚁到原点的距离相等时所对应的时间t 为 6 秒或 10 秒；
7
①小蚂蚁甲和乙同时出发以相同的速度爬行，
小蚂蚁甲和乙爬行的路程是相同的，各自爬行的总路程都等于：
10  2  16  3  8 11  156(mm) ，
原路返回，刚好在16s 时一起重新回到原出发点 A 和 B ，
小蚂蚁甲和乙返程的路程都等于78mm ，
甲乙之间的距离为： 8  (2)  10  2  2  16  (t  2)  2  32t  14 ；
②设a 秒时小蚂蚁甲和乙开始返程，由（3）①可知：
10  2  16  3  8(a  5)  78 ，
解得： a  25 ；
4
以下分情况讨论：
当8  (2)  10t  2  42 ， 解得： t  1.6 ；
当32t  14  42 时，解得： t  7 ；
4
当t  7 时，小蚂蚁甲和乙还没有第一次提速，故舍去t  7 ；
44
当t  25 时， 8  (2)  78  2  8(t  25)  2  42 ，
44
解得： t  14 ；
综上所述，当t  1.6 秒或 14 秒时，小蚂蚁甲乙之间的距离是 42mm ． 故答案为：1.6 秒或 14 秒．