浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训08期中解答题(题型归纳38道，第1-4章)(原卷版+解析)

这是一份浙教版八年级数学下册期中期末挑战满分冲刺卷特训08期中解答题(题型归纳38道，第1-4章)(原卷版+解析)，共64页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

1．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
2．计算题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
4．化简二次根式：．
5．已知，，求代数式的值；
(1)；
(2).
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)该方程的两个根为和，，求的取值范围．
7．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根
(2)若此方程的两个根分别为，其中，若，求m的值．
8．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
9．先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)方程的解为__________．
10．一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
11．去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10月份共卖出400套，12月份共卖出576套．
(1)求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
(2)若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
12．在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：
，
．请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：______；______．
(2)化简：．
(3)若，求的值．
13．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)当时，求的值．
14．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为整数），则有.故，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)a，b都是正整数，若，则________，________；
(2)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得________，________；
(3)若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
15．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
16．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)已知是正整数，，且．求．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
18．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
19．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
20．一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？
解答：已知函数，
，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程）
，即，，
（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）
因此的最小值为，此时，解得，符合题意，
所以当时，．
应用：
(1)已知函数，当__________时，的最大值是___________．
(2)已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？
21．先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
22．某校开展读书活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了名学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．
学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)________；________；________；
(2)该调查统计数据的中位数是________次；众数是________次；
(3)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
23．近年来网约车给人们的出行带来了便利．小明和数学兴趣小组的同学对网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，在甲、乙两家公司分别调查了10名司机的月收入（单位：千元），并将所得数据绘制成如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
(1)填空：__________，__________，___________．
(2)王乐的叔叔计划从甲、乙两家公司中选择一家去应聘网约车司机．如果你是王乐，你建议他选哪家公司？请说明理由．
24．在常态化疫情防控工作形势下，某校通过云讲解、云参观、云课堂等方式立体讲解中国首批国家公园，并组织初中全体学生发起了“大美我家园敬畏大自然”的主题教育活动，为了解学生对中国国家公园的了解程度，随机抽取了七年级、八年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数表示，单位：分），且分为A，，三个等级，分别是：优秀为A等级：，合格为等级：，不合格为等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在A组，A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩数据的A组共有个人．
七年级、八年级两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七、八年级分别有1500人，请估计该校初中七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有多少名？
25．2022年6月5日上午10点44分，神舟十四号载人飞船发射成功，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，在全校开展了“航天梦科普知识”竞赛活动．该活动主要负责人从八、九年级各随机抽取了40名学生的成绩整理分析（满分为100分，得分均为整数，两个年级成绩分组相同）得到以下信息：
信息一：八年级学生成绩的频数分布表和九年级学生成绩的扇形统计图如下：
八年级学生成绩的频数分布表：
信息二：成绩在B组的学生中，九年级比八年级少2人；
信息三：八年级C组10名学生的成绩是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)八年级成绩在B组的有 人；
(2)该校八年级学生有560人，九年级学生有600人．若成绩在80分以上为优秀，请你估计八、九年级竞赛成绩为优秀的学生总人数；
(3)在此次调查中，小雪的成绩是77分，被评为“中上水平”．请你判断小雪属于哪个年级，并说明理由．
26．如图，，是的对角线上两点，且，求证：．
27．由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示画图结果用实线表示，并回答下列问题：
(1)直接写出的长是 ；
(2)在图中，画以点、、为顶点且周长最大的平行四边形；
(3)在图2中，画的角平分线．
28．如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
29．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点E为中点，，，求的面积．
30．在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．
(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
31．如图，在四边形中，E，F分别是的中点．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
32．如图，在平行四边形中，点E是边上的一点，且，过点A作交于点F，交于G，连接，．
(1)若是的角平分线，求证：．
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
(3)若点E是边的中点，试探究与的数量关系，并说明理由．
33．如图，六边形是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
(1)如图1，连接；
①求的度数；
②在图1中画出以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上，并证明．
(2)已知，P为边上一点，如图2，在边上找一点Q，使得为等腰三角形；按要求画出图形即可，不必证明．
34．中，点E、F分别在C、上，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，若E为中点，连接、、，与相交于点G，与相交于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除和以外的所有平行四边形．
35．中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
36．如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，的面积是，则的面积为______．
37．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
38．如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．
(1)如图，当时，直接写出与的关系．
(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
借阅图书的次数
0次
1次
2次
3次
4次及以上
人数
7
13
10
3
10名司机平均月收入（千元）
中位数
众数
方差
甲公司
6
6
1.2
乙公司
4
7.6
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
99.5
八年级
85
91
96
95.1
组别
成绩
人数
A
90≤x≤100
5
B
80≤x＜90
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
E
60分以下
5
特训08 期中解答题（题型归纳38道，第1-4章）
一、解答题
1．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)．
【答案】(1)1
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简各二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的乘法法则计算，然后化简成最简二次根式，再合并即可；
（3）先化简各二次根式，然后合并即可；
（3）利用完全平方公式、平方差公式计算即可．
【解析】（1）解：原式
；
（2）原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的计算，掌握二次根式的性质，乘法法则以及合并同类二次根式法则是解题的关键．
2．计算题
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先化简二次根式，再统一为乘法运算进行计算即可；
（2）先化简各项，再进行加减法运算即可；
（3）各项先化成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（4）利用分母有理化和平方差公式计算，最后再进行加减运算即可．
【解析】（1）解：
（2）
（3）
（4）
【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键．
3．用指定的方法解方程：
(1)（用配方法）
(2)（用公式法）
(3)（用因式分解法）
(4)（用适当的方法）
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可；
（3）利用因式分解法解方程即可；
（4）先将给出的方程进行变形，然后利用因式分解法解方程即可．
【解析】（1）移项，得：，
系数化1，得：，
配方，得：，
，
，
∴，；
（2）原方程可变形为，
，，，
，原方程有两个不相等的实数根，
，
∴，；
（3）原方程可变形为：，
整理得：，
解得，；
（4）原方程可变形为：，
整理得：，
，
∴，
【点睛】本题主要考查的是配方法，公式法，因式分解法解一元二次方程的有关知识，掌握配方法的基本步骤，一元二次方程的求根公式是解题关键．
4．化简二次根式：．
【答案】
【分析】先将括号内各式化为最简二次根式，再根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解析】解：原式
当时，
原式
，
当时，
原式
．
【点睛】本题考查二次根式的化简以及二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简法则以及二次根式的混合运算法则．
5．已知，，求代数式的值；
(1)；
(2).
【答案】(1)14
(2)15
【分析】（1）先求得，，再利用完全平方公式得到，然后代值求解；
（2）利用完全平方公式得到，然后代值求解即可．
【解析】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查二次根式的混合运算，熟记完全平方公式和平方差公式并灵活运用是解答的关键．
6．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)该方程的两个根为和，，求的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)或
【分析】（1）表示出，根据的数值判断即可；
（2）表示出方程的两个根，据两根及其条件列出不等式，并解不等式即可．
【解析】（1）∵关于x的方程中，
∴该方程总有两个实数根．
（2）∵
∴方程的两个根为m和3m
由可知，
当时，，∴即，
当时，，∴即，
综上，或
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等，解题的关键是表示出方程的两个根．
7．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根
(2)若此方程的两个根分别为，其中，若，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；
（2）利用分解因式法得出方程的根，结合、即可得出关于m的一元一次方程求解即可．
【解析】（1）证明：∵
，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2），即，
解得：．
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根．
8．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为 米；
(2)若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
【答案】(1)
(2)长为9m，宽为5m
【分析】（1）用绳子的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【解析】（1）解：设花圃的宽AB长为x米，则长米，
故答案为:；
（2）解：由题意可得：，
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意．
答：花圃的长为9m，宽为5m．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键．
9．先阅读方框中方程的求解过程，然后解答问题：
(1)解方程：．
(2)解方程：．
(3)方程的解为__________．
【答案】(1)，，；
(2)，，，；
(3)，．
【分析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程和一元二次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可；
（3）整理后分解因式，即可得出一元二次方程，求出方程的解即可．
【解析】（1）解：，
∴，
∴或，
解得，
解，即，
∴，，
∴方程的解为：，，；
（2）解：，
∴，
∴或
∴，，，；
（3）解：，
∴，
∴，即，
∴，，无实数解，
或，，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解高次方程，解一元二次方程，根的判别式等知识点，能把高次方向转化成低次方程是解此题的关键．
10．一天老师在黑板上出示：求代数式的值，其中．如图是小明和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)求代数式的值，其中．
【答案】(1)小亮
(2)2028
【分析】（1）根据二次根式的非负性可判断小亮的解法是错误的；
（2）根据二次根式的非负性化简原式并代值求解即可．
【解析】（1）解：∵，
∴
，
，
∴小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）解：∵，
∴
．
【点睛】本题考查二次根式的性质、代数式求值，熟记完全平方公式，掌握二次根式的非负性是解答的关键．
11．去年10至12月份，某服饰公司经营甲、乙、丙三个品牌内衣，10月份共卖出400套，12月份共卖出576套．
(1)求该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率．
(2)若甲品牌内衣价格100元/套，乙品牌内衣价格80元/套，丙品牌内衣价格160元/套．据预测，今年1月份可以卖出甲、乙、丙三个品牌内衣分别有200套、300套和200套．并且当甲、乙两个品牌内衣价格不变时，丙品牌内衣单价每下降1元，甲品牌内衣少卖出6套，乙品牌内衣少卖出4套，丙品牌内衣就可以多卖出去10套．
①若丙品牌内衣以单价下降m元销售，求该服饰公司1月份的总收入（用m表示）．
②问：将丙品牌内衣价格下降多少元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元？
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据增长率问题的数量关系列一元二次方程求解即可；
（2）①用含有的代数式分别表示甲，乙，丙品牌的收入，再相加即可；②根据总收入为元列方程求解即可．
【解析】（1）解：设月平均增长率为
解得：（舍去）
∵
答：该公司11、12两月卖出内衣套数的月平均增长率为．
（2）①解：甲品牌收入：元
乙品牌收入：元
丙品牌收入：元
∴该服饰公司1月份的总收入为：元
②解：由题意得：
解得：（舍去）
答：将丙品牌内衣价格下降10元/套（降价不超过30元）时，1月份的总收入是79800元
【点睛】本题主要考查一元二次方程的增长率问题以及收入问题，熟练掌握增长率问题和收入问题的数量关系是解决本题的关键．
12．在数学课外学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值．小华是这样解答的：
，
．请你根据小华的解题过程，解决下列问题．
(1)填空：______；______．
(2)化简：．
(3)若，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用分母有理化进行计算即可；
（2）先分母有理化再进行加减计算即可；
（3）先分母有理化，得到，从而可得，利用整体代入的方法计算即可．
【解析】（1）解：，
，
故答案为：，；
（2）解：原式
（3）解：，
，
．
【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是先化简再求值，运用整体代入的方法简化计算．
13．当时，求的值．如图是小亮和小芳的解答过程：
(1) 的解法是错误的；
(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ；
(3)当时，求的值．
【答案】(1)小亮
(2)
(3)-2
【分析】（1）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（2）根据二次根式的性质化简即可求出答案．
（3）根据的范围判断与的符号，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质进行化简即可求出答案．
【解析】（1）原式，
，
∵，
∴，
∴原式，
故小亮的解法错误，
故答案为：小亮．
（2），
故答案为：．
（3）∵，
，，
∴原式，



．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
14．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为整数），则有.故，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)a，b都是正整数，若，则________，________；
(2)当a，b，m，n均为正整数时，若，用含m，n的式子分别表示a，b，得________，________；
(3)若，且a，m，n均为正整数，求a的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)7或者13
【分析】（1）根据题干给的方法，将等式的右边展开即可作答；
（2）根据题干给的方法，将等式的右边展开即可作答；
（3）根据题干给的方法，将等式的右边展开即可得到，，即，根据，为正整数，可得，或，，则问题得解．
【解析】（1）∵，
∴，
∴，
∵a，b都是正整数，
∴，，
故答案为：，；
（2）∵，
∴，
∵a，b，m，n均为正整数，
∴，，
故答案为：，；
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，为正整数，
∴，或，，
∴，或，
即a的值为7或者13．
【点睛】本题考查了二次根式的恒等变形，弄清材料中解题的方法，熟练掌握和灵活运用二次根式的相关运算法则是解题的关键.
15．阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题
化简∶
解∶隐含条件，解得：
∴
∴原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
（3）已知a，b，c为ABC的三边长．化简：
【答案】（1）1；（2）；（3）．
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件判断出的范围，再根据二次根式的性质化简可得；
（2）由a，b在数轴上的位置判断出、，再利用二次根式的性质化简即可得；
（3）由三角形的三边关系得出，，，再利用二次根式的性质化简可得．
【解析】解：（1）隐含条件 ，解得：
∴
∴原式；
（2）观察数轴得隐含条件：，，
∴，
∴原式；
（3）由三角形的三边关系可得隐含条件：
，，，
∴，，
∴原式
．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质 及三角形的三边关系等知识点．
16．阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知，，求．我们可以把和看成是一个整体，令，，则．这样，我们不用求出，，就可以得到最后的结果．
(1)计算：；
(2)已知是正整数，，且．求．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解；
（2）对已知条件进行整理，从而可求得，的值，再对所求的式子进行整理，整体代入运算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：∵m是正整数，，，
∴，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，（不符合题意舍去）．
∴．
【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是理解清楚分母有理化的方法并灵活运用．
17．如果关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程是“倍根方程”．
(1)通过计算，判断是否是“倍根方程”．
(2)若关于x的方程是“倍根方程”，求代数式的值；
(3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值．
【答案】(1)是
(2)26或5
(3)13或
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到，再根据新定义，然后把代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为，根据根与系数的关系得，然后求出α，再计算对应的m的值．
【解析】（1），
，
，
所以，
则方程是“倍根方程”；
（2），
或，
解得，
∵是“倍根方程”，
∴，
当时，；
当时，，
综上所述，代数式的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为，
根据根与系数的关系得 ，
解得 或，
∴m的值为13或．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，．也考查了阅读理解能力．
18．已知关于的方程.
(1)求证：无论取何实数，这个方程总有实数根；
(2)若这个方程的两个实根、满足，求的值.
(3)当等腰三角形的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两根时，求的周长.
【答案】(1)见解析
(2)或
(3)的周长为10
【分析】（1）整理成一般形式，根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需证明即可；
（2）由根与系数的关系得出，，，即，建立k的方程求得答案即可；
（3）分，两边长b、c有一边是4，利用等腰三角形的性质与三边关系探讨得出答案即可．
【解析】（1）证明：方程整理成一般形式为，
，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵、是这个方程的两个实根，
∴，，
∵，
∴，
解得：或；
（3）解：当时，，
即，
解得：，
此时，
∵，
∴此时不能构成三角形；
当两边长b、c有一边是4时，，
解得：，
关于x的方程即，
解得：或，
等腰的三边长为2、4、4，
∴的周长为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．
19．已知关于x的一元二次方程
(1)若方程的一个根为，求a的值和另一个根；
(2)当时，
①若代数式，则___________；
②若代数式的值为正整数，且x为整数，求x的值；
(3)当时，方程的一个正根为；当时，方程的一个正根为；若，试比较与的大小．
【答案】(1)，另一根为；
(2)①；②0或1
(3)
【分析】（1）把代入方程求得a的值，再把a的值代入方程，解一元二次方程便可求得方程的另一根；
（2）①把代入方程，根据多项式恒等原理列出p、q的方程求得P、q，进而求得代数式的值；
②求出原式，由原式的值为正整数，得代数式的值为1，2，算出和的解即可；
（3）根据已知条件用m、n分别表示，，再得出，根据差的正负判断，的大小．
【解析】（1）解：把代入原方程，
得，
解得，
把代入原方程，
得，
，
解得，，，
∴方程的另一根为；
（2）①把代入，
得，
即，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：；
②原式
，
∵不论x为何值，
∴原式
∵代数式的值为正整数，
∴代数式的值为1，2，
当时，这时x的值不是整数，不符合题意，舍去；
当时，或1，
故x的值是0或1；
（3）解：当时，得，
∴，
当时，得，
∴，
∴
∵，，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，一元二次方程的解的应用，配方法的应用，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法，灵活应用配方法和差值法解题．
20．一元二次方程中，根的判别式通常用来判断方程实根个数，在实际应用当中，我们亦可用来解决部分函数的最值问题，例如：已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？
解答：已知函数，
，（把当作参数，将函数转化为关于的一元二次方程）
，即，，
（当为何值时，存在相应的与之对应，即方程有根）
因此的最小值为，此时，解得，符合题意，
所以当时，．
应用：
(1)已知函数，当__________时，的最大值是___________．
(2)已知函数，当为何值时，取最小值，最小值是多少？
【答案】(1)，；
(2)即x为-1时，y取最小值，最小值是.
【分析】（1）仿照题目所给的解题方法解答即可.
（2）先将转化成一元二次方程的形式，其中y是参数，然后按照题目所给的方法解答即可.
【解析】（1）解：已知函数
因此，y的最大值为，此时-
解得，符合题意.
∴当时，
故答案为：
（2）已知函数
得
整理得
因此y的最小值为 ，此时
得
得符合题意.
∴当，
即x为-1时，y取最小值，最小值是
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，当时，一元二次方程有实根，当时，一元二次方程无实根.另外读懂题目所给的方法是解题的关键.
21．先阅读材料，再解决下列问题．
例如：用配方法求代数式的最小值．
原式．
∵，
∴当时，有最小值是2．
根据上述所用方法，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若，当_______时，有最_______值（填“大”或“小”），这个值是_______；
(3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
【答案】(1)3
(2)1，大，-2
(3)直角三角形，见解析
【分析】（1）凑成完全平方加一个数值的形式．
（2）和（1）类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
（3）先因式分解，判断字母，，三边的关系，再判定三角形的形状．
【解析】（1）解：；
∴的最小值是3．
（2），
，
，
∴当的时，有最大值．
故答案为：1，大，．
（3），
，
，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
，，，
解得，，．
∵，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解的方法把所给的代数式和等式进行变形，然后得到更为简单得数量关系，再根据此关系解决问题．
22．某校开展读书活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了名学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计图表．
学生借阅图书的次数统计表
请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：
(1)________；________；________；
(2)该调查统计数据的中位数是________次；众数是________次；
(3)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数．
【答案】(1)50；17；20
(2)2；2
(3)120人
【分析】（1）先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得的值，用3次的人数除以总人数求得的值；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．
【解析】（1）解：被调查的总人数（人，
，
，即．
（2）解：由于共有50个数据，其中位数为第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据均为2次，
所以中位数为2次，
出现次数最多的是2次，
所以众数为2次．
（3）解：（人，
答：估计该校学生在一周内借阅图书“4次及以上”的人数为120人．
【点睛】本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．近年来网约车给人们的出行带来了便利．小明和数学兴趣小组的同学对网约车公司司机的月收入进行了抽样调查，在甲、乙两家公司分别调查了10名司机的月收入（单位：千元），并将所得数据绘制成如下统计图：
根据以上信息，整理分析数据如下：
(1)填空：__________，__________，___________．
(2)王乐的叔叔计划从甲、乙两家公司中选择一家去应聘网约车司机．如果你是王乐，你建议他选哪家公司？请说明理由．
【答案】(1)6；4.5；6
(2)甲公司，理由见解析
【分析】（1）利用平均数、中位数、众数的定义分别计算后即可确定正确的答案；
（2）根据平均数一样，中位数及众数的大小和方差的大小进行选择即可．
【解析】（1）解：∵“6千元”对应的百分比为，
∴乙公司10名司机平均月收入（千元）；
乙公司的中位数为：，
由扇形统计图知甲公司“6千元”所占的百分比最大，即众数．
故答案为：6、4.5、6；
（2）解：选甲公司．
理由：因为甲、乙两家司机的月收入平均数相同，中位数、众数甲公司均大于乙公司，且甲公司司机月收入的方差小，更稳定，所以选择甲公司．
【点睛】本题考查了统计的有关知识，解题的关键是能够了解有关的计算公式．
24．在常态化疫情防控工作形势下，某校通过云讲解、云参观、云课堂等方式立体讲解中国首批国家公园，并组织初中全体学生发起了“大美我家园敬畏大自然”的主题教育活动，为了解学生对中国国家公园的了解程度，随机抽取了七年级、八年级学生若干名（抽取的各年级学生人数相同）进行网上问卷测试，并对得分情况进行整理和分析（得分用整数表示，单位：分），且分为A，，三个等级，分别是：优秀为A等级：，合格为等级：，不合格为等级：．分别绘制成如下统计图表，其中七年级学生测试成绩数据的众数出现在A组，A组测试成绩情况分别为：85，85，87，92，95，95，95，95，97，98，99，100；八年级学生测试成绩数据的A组共有个人．
七年级、八年级两组样本数据的平均数、中位数、众数和方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：________，________，________；
(2)根据以上数据，你认为该学校哪个年级的测试成绩更好，并说明理由；
(3)若该校七、八年级分别有1500人，请估计该校初中七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有多少名？
【答案】(1)13；86；95；
(2)八年级的成绩比较好，理由见解析；
(3)该校初中七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有名．
【分析】（1）先根据频数分布直方图求出七年级抽取的人数，再根据众数和中位数的定义求出a、b；再根据扇形统计图求出八年级A组的占比即可求出c；
（2）从中位数和方差两个方面进行描述即可；
（3）用1500乘以样本中两个年级的优秀占比从而分别求出两个年级成绩为A等级的人数，由此即可得到答案．
【解析】（1）解；由频数分布表可知，抽取的七年级的学生人数为人，
∴七年级测试成绩的中位数为将分数从高到低排列后的第10名和第11名成绩的平均成绩，
∵将组测试成绩从高到低排列后的第10名和第11名成绩分别为85，87，
∴，
∵七年级的众数在A组，且七年级A组中成绩为95分出现了4次，出现的次数最多，
∴；
由扇形统计图可知，八年级成绩在A组的占比为，
∴，
故答案为；13；86；95；
（2）解：八年级的成绩比较好，理由如下：
两个年级的平均成绩相同，但是八年级的中位数比七年级的大，并且八年级的方差比七年级的方差小，即八年级的成绩更加稳定，
∴八年级的成绩比较好；
（3）解：名，
∴该校初中七、八年级学生中成绩为优秀的学生共有名．
【点睛】本题主要考查了中位数，众数和方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键．
25．2022年6月5日上午10点44分，神舟十四号载人飞船发射成功，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，在全校开展了“航天梦科普知识”竞赛活动．该活动主要负责人从八、九年级各随机抽取了40名学生的成绩整理分析（满分为100分，得分均为整数，两个年级成绩分组相同）得到以下信息：
信息一：八年级学生成绩的频数分布表和九年级学生成绩的扇形统计图如下：
八年级学生成绩的频数分布表：
信息二：成绩在B组的学生中，九年级比八年级少2人；
信息三：八年级C组10名学生的成绩是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)八年级成绩在B组的有 人；
(2)该校八年级学生有560人，九年级学生有600人．若成绩在80分以上为优秀，请你估计八、九年级竞赛成绩为优秀的学生总人数；
(3)在此次调查中，小雪的成绩是77分，被评为“中上水平”．请你判断小雪属于哪个年级，并说明理由．
【答案】(1)14
(2)506人
(3)小雪属于八年级，理由见解析
【分析】（1）先求出九年级成绩在B组的人数，根据九年级比八年级少2人，即可求出答案；
（2）分别计算八年级和九年级成绩在80分以上的人数，相加即可；
（3）分别求出中位数即可判断．
【解析】（1）解：∵九年级成绩在B组的人数为（人），
∴八年级成绩在B组的有（人）；
故答案为：14；
（2）（人），
答：估计八、九年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为506人；
（3）小雪属于八年级，理由：
∵八年级的中位数为（分），小雪的成绩是77分，被评为“中上水平”，
∴判断小雪属于八年级．
【点睛】本题考查扇形统计图、频数分布表、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
26．如图，，是的对角线上两点，且，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】借助平行四边形的性质，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质等知识，证明是解题关键．
27．由边长为1的小正方形构成网格，每个小正方形的顶点叫做格点，点、，都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示画图结果用实线表示，并回答下列问题：
(1)直接写出的长是 ；
(2)在图中，画以点、、为顶点且周长最大的平行四边形；
(3)在图2中，画的角平分线．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）根据勾股定理即可求解；
（2）根据网格的特点结合平行四边形的性质，以为对角线画出平行四边形；
（3）根据网格的特点，延长至，使得，则是等腰三角形，再找到的中点，连接，即可求解．
【解析】（1）解：，
故答案为：；
（2）如图1中，四边形即为所求作；
（3）如图2中，延长至，使得，则是等腰三角形，再找到的中点，连接，线段即为所求作．
【点睛】本题考查了画平行四边形，勾股定理与网格问题，等腰三角形的性质，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
28．如图，在中，是的中点，延长到点，使，连接，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得，，根据是的中点，，即可判定四边形是平行四边形；
（2）过点作于点，根据四边形是平行四边形，得，，又根据四边形是平行四边形，，；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，求出，的长度，即可求解．
【解析】（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵F是AD的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
（2）∵四边形是平行四边形
∴，
又∵四边形是平行四边形
∴，
∴
过点作于点
∴
∵
∴
∴
∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和判定，勾股定理，直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半．
29．如图，在中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接．
(1)求证：平分；
(2)若点E为中点，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证；
（2）由平行四边形的性质和点E为中点证得是等边三角形，则，，则是等边三角形，即可证明，则，得到，由勾股定理得到，由的面积等于的面积即可得到答案．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即平分；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，，，，
∵点E为中点，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
∴的面积
即的面积是．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
30．在中，，、分别是、的中点，延长到点，使，连接、、、，与交于点O．
(1)试说明与互相平分；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）结合已知条件推知四边形是平行四边形，则该平行四边形的两条对角线互相平分；
（2）根据勾股定理求得的长度，然后由平行四边形的性质和勾股定理来求的长度．
【解析】（1）∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴且．
又，即，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）∵在中，，，，
∴由勾股定理得，
又由（1）知，，且，
∴．
∴在中，，，，
∴由勾股定理得 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理．理解三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解决问题的关键．
31．如图，在四边形中，E，F分别是的中点．
(1)若，求的长．
(2)若，求证：．
【答案】(1)13
(2)见解析
【分析】（1）取的中点P，连接，由三角形中位线定理得，且，且＝12，再证，然后由勾股定理即可得出结论；
（2）由三角形中位线定理得，且，，且，再证，然后由勾股定理即可得出结论．
【解析】（1）如图，取的中点P，连接，
∵E，F分别是的中点，，
∴，且，且．
又∵，
∴，
∴．
在中，．
（2）证明：如图，取的中点P，连接．
∵E，F分别是的中点，
∴，且，，且．
∴．
∵，
∴，
∴
，
∴，
∴．
【点睛】本题考查三角形中位线定理、勾股定理以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形中位线定理和勾股定理是解题的关键．
32．如图，在平行四边形中，点E是边上的一点，且，过点A作交于点F，交于G，连接，．
(1)若是的角平分线，求证：．
(2)在（1）的条件下，若，求的度数．
(3)若点E是边的中点，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质，得到为等腰三角形，进而得到，从而得到，证明，即可得证；
（2）根据全等得到，利用对顶角得到：，再根据，得到，利用互余关系，求出的度数即可；
（3）延长，交的延长线于点，证明，得到，根据直角三角形的中线，推出，根据外角的性质，即可得到．
【解析】（1）∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）延长，交的延长线于点．
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，．
∵点是边上的中点，
∴．
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等，是解题的关键．
33．如图，六边形是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：
(1)如图1，连接；
①求的度数；
②在图1中画出以为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上，并证明．
(2)已知，P为边上一点，如图2，在边上找一点Q，使得为等腰三角形；按要求画出图形即可，不必证明．
【答案】(1)①； ②图见解析；证明见解析
(2)见解析
【分析】（1）①根据正六边形的性质和等腰三角形的性质，即可求解；②根据正六边形的性质，可证得 ，即可求解；
（2）连接；由正六边形的对称性可知，将沿翻折，点的对应点即为；根据此原理作图即可；
【解析】（1）解：①∵六边形是正六边形
∴，
∴
②如图，连接、，即为所求；
证明：∵六边形是正六边形
∴，
∴
∴
∴为等边三角形
（2）解：如图，连接交于点，连接，并延长交于点，点即为所求；
【点睛】本题考查了正六边形的性质；熟练掌握正六边形的边、角的特征以及对称性是解题的关键．
34．中，点E、F分别在C、上，且．
(1)如图1，求证：四边形是平行四边形；
(2)如图2，若E为中点，连接、、，与相交于点G，与相交于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中除和以外的所有平行四边形．
【答案】(1)见解析，
(2)，
【分析】（1）由得出，，从而证得，，即可得出结论；
（2）利用的性质得出，又因为，可得出；利用得出，利用得出，可得出．
【解析】（1）证明：∵，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：除和以外的所有平行四边形有：，．
理由：∵，
∴，即，
∵，
；
∴，即，
∵，
∴，即，
．
【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
35．中，点E在边上，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，延长交于点F，点G在线段上，连接，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，再由等角的补角相等得出，利用等角对等边即可证明；
（2）根据各角之间的关系得出，，再由平行线的性质得出，利用全等三角形的判定证明即可；
（3）设，则，根据各角之间的关系得出,过F作于M，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求解即可．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴(AAS)；
（3）设，则，
∴，
由（2）知：，
中，，即，
中，，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
过F作于M，
∵，
∴，
中，，
，
∴．
【点睛】题目主要考查平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质，含30角的直角三角形的性质与勾股定理解三角形，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
36．如图，在中，，，垂足分别为点，点，连接、．
(1)试判断与的关系，并说明理由；
(2)若，的面积是，则的面积为______．
【答案】(1)，，理由见解析；
(2)．
【分析】（1）求出，由，可得，，证明，即可得到；
（2）证明四边形为平行四边形，和是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得，，求出和的面积是，进而可得答案．
【解析】（1）解：，，
理由：∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，，
在和中，，
∴，
∴，
（2）解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴和是等腰三角形，
∵，，
∴，，
∵的面积是，
∴和的面积是，
∴的面积是，
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用各性质进行推理计算是解题的关键．
37．已知：在中，，，点P是边上一点，连接．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，将沿翻折得到，延长交于点Q，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，在上取一点E，连接，使，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据等边对等角先求出，再由，得到，则，即；
（2）由折叠的性质可知，利用三角形外角的性质证明，则，即可推出，由此可证明；
（3）如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，可以得到，则根据（2）的结论求出，则，再根据含30度角的直角三角形的性质推出，再导角证明，即可证明，得到．
【解析】（1）证明：如图1所示，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
（2）证明：由折叠的性质可知，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如图所示，分别取的中点，G、H连接，则是的中位线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
由折叠的性质可知，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
38．如图，在的同侧以、为底边向外作等腰、，其中，为的中点，连接、．
(1)如图，当时，直接写出与的关系．
(2)如图，当时，（1）的结论还成立吗？请你做出判断并说明理由；
(3)如图，当，，连接，取其中点，若动点A从的位置运动到时停止，则点的运动路径长为______．
【答案】(1)
(2)结论仍然成立，理由见解析
(3)
【分析】（1）先证点，点A，点三点共线，由等腰直角三角形的性质可求解；
（2）由“”SAS””可证≌，可得，，由三角形内角和定理可求解；
（3）先证点A,点，点三点共圆，由等腰直角三角形的性质可求，可得，由弧长公式可求解．
【解析】（1）解：，，理由如下：
如图，连接，
等腰和等腰，
，，，
，为边的中点，
，，
点，点A，点三点共线，
垂直平分，
，
同理可得：，
，
，，
；
（2）结论仍然成立，理由如下：
如图，分别取、中点、，连接、，再连接、，
，，点是的中点，点是的中点，
，，，，
为边的中点，点是的中点，点是的中点，
,，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图，连接，并延长至,使，连接，，，
，，
，
，
点是的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
∥，，
，
又，
是的中垂线，
，
同理可得：，
，
点，点，点三点都在以为圆心，为半径的圆上，
，
，
，
，
，
动点从的位置运动到，
点旋转的角度为，
点的运动路径长，
故答案为：．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
解方程：．
解：方程左边分解因式，得
，
解得，，．
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人数
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3
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中位数
众数
方差
甲公司
6
6
1.2
乙公司
4
7.6
成绩
平均数
中位数
众数
方差
七年级
85
99.5
八年级
85
91
96
95.1
组别
成绩
人数
A
90≤x≤100
5
B
80≤x＜90
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
E
60分以下
5