2024年河南省郑州市巩义市九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】

这是一份2024年河南省郑州市巩义市九年级数学第一学期开学质量跟踪监视试题【含答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，是这个直角三角形的三边之比的是()
A．1∶2∶3B．2∶3∶4
C．1∶4∶9D．1∶∶2
2、（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC上一点，要使点D到AB的距离等于DC，则必须满足（ ）
A．点D是BC的中点
B．点D在∠BAC的平分线上
C．AD是△ABC的一条中线
D．点D在线段BC的垂直平分线上
3、（4分）用配方法解方程时，配方结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4、（4分）如图，l1∥l2，▱ABCD的顶点A在l1上，BC交l2于点E．若∠C＝100°，则∠1+∠2＝（ ）
A．100°B．90°C．80°D．70°
5、（4分）下列命题的逆命题能成立的有（ ）
①两条直线平行，内错角相等；②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；③全等三角形的对应角相等；④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
A．4个B．3个C．2个D．1个
6、（4分）方程 x2  x 的解是（ ）
A．x  1B．x1  1 ， x2  0
C．x  0D．x1  1 ， x2  0
7、（4分）函数中自变量的取值范围是（ ）
A．B．C．D．全体实数
8、（4分）如图，在平行四边形中，，，的平分线交于点，则的长是（ ）
A．4B．3C．3.5D．2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）若一个等腰三角形的顶角等于70°,则它的底角等于________度，
10、（4分）求代数式的值是____________.
11、（4分）若关于的方程无解，则的值为________．
12、（4分）若一元二次方程的两个根分别是矩形的边长,则矩形对角线长为______.
13、（4分）若一个正多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知y与x-1成正比例，且当x=3时，y=4.
（1）写出y与x之间的函数表达式；
（2）当x= -2时，求y的值；
（3）当y=0时，求x的值
15、（8分）计算：
（1）2﹣+；
（2）（3+）×（﹣5）
16、（8分）在“双十一”购物街中，某儿童品牌玩具专卖店购进了两种玩具，其中类玩具的金价比玩具的进价每个多元.经调查发现：用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同.
（1）求的进价分别是每个多少元？
（2）该玩具店共购进了两类玩具共个，若玩具店将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得的利润不少于元，则该淘宝专卖店至少购进类玩具多少个？
17、（10分）先阅读材料：
分解因式：．
解：令，
则
所以．
材料中的解题过程用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法，请你运用这种思想方法解答下列问题：
（1）分解因式：__________；
（2）分解因式：；
（3）证明：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方．
18、（10分）阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝．
（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b＝5，c＝7，则△ABC的面积为 ；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（2+4）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝4m，∠A＝60°，求该块草地的面积．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若a、b，c为三角形的三边，则________。
20、（4分）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
21、（4分）某跳远队甲、乙两名运动员最近10次跳远成绩的平均数为602cm，若甲跳远成绩的方差为=65.84，乙跳远成绩的方差为=285.21，则成绩比较稳定的是_____．（填“甲”或“乙”）
22、（4分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（2，3），则C点坐标是_____．
23、（4分）若一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），则k的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
（1）证明：AE⊥BF；
（2）证明：DF＝CE．
25、（10分）计算：（2+3）2﹣2×÷5．
26、（12分）已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．
（1）求证：BD＝2CD；
（2）若CD＝2，求△ABD的面积．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
设30°角所对的直角边为a，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出斜边的长度，再利用勾股定理求出另一条边的长度，然后即可求出比值．
解：如图所示，
设30°角所对的直角边BC=a，
则AB=1BC=1a，
∴AC=，
∴三边之比为a：a：1a=1：：1．
故选D．
“点睛”本题主要考查了含30度角的直角三角形的边的关系，勾股定理，是基础题，作出草图求解更形象直观．
2、B
【解析】
根据角平分线的判定定理解答即可．
【详解】
如图所示，DE为点D到AB的距离．
∵DC＝DE，∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD平分∠CAD，则点D在∠BAC的平分线上．
故选B．
本题考查了角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．
3、A
【解析】
利用配方法把方程变形即可.
【详解】
用配方法解方程x2﹣6x﹣8＝0时，配方结果为（x﹣3）2＝17，
故选A．
本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键．
4、C
【解析】
由平行四边形的性质得出∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，由平行线的性质得出∠2=∠ADE，∠ADE+∠BAD+∠1=180°，得出∠1+∠2=180°-∠BAD=80°即可．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠C=100°，AD∥BC，
∴∠2=∠ADE，
∵l1∥l2，
∴∠ADE+∠BAD+∠1=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAD=80°；
故选：C．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质和平行线的性质是解题的关键．
5、C
【解析】
写出各个命题的逆命题后判断真假即可．
【详解】
解：①两条直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，成立；
②如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是绝对值相等的两个实数相等，不成立；
③全等三角形的对应角相等的逆命题为对应角相等的三角形全等，不成立；
④在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角平分线上的点到角的两边的距离相等，成立，
成立的有2个，
故选：C．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够写出一个命题的逆命题，难度不大．
6、B
【解析】
先变形得一元二次方程的一般形式，再用分解因式法解方程即可.
【详解】
解：移项，得x2－x=0，
原方程即为，
所以，x=0或x－1=0，
所以x1  1 ， x2  0.
故选B.
本题考查了一元二次方程的解法，熟知一元二次方程的四种解法（完全开平方法、配方法、公式法和分解因式法）并能根据方程的特点灵活应用是求解的关键.
7、A
【解析】
根据被开方数非负得到不等式x-2≥0，求解即可得到答案.
【详解】
由二次根式有意义的条件，得x-2≥0，即x≥2，故选A.
此题考查函数自变量的取值范围，解题关键在于掌握运算法则.
8、B
【解析】
根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的性质可推出，根据等角对等边可得，即可求出的长．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴
∵是的平分线
∴
∴
∴
∴
故答案为：B．
本题考查了平行四边形的线段长问题，掌握平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的性质、等角对等边是解题的关键．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、1
【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【详解】
解：一个等腰三角形的顶角等于，
它的底角，
故答案为：1．
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
10、1
【解析】
先算乘方，再通分，最后化简即可．
【详解】
解：原式=-+c+1
=
=
=1，
故答案为：1．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序和运算法则是解题关键．
11、
【解析】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解得到x+1=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】
去分母得：3x−2=2x+2+m，
由分式方程无解，得到x+1=0，即x=−1，
代入整式方程得：−5=−2+2+m，
解得：m=−5，
故答案为-5.
此题考查分式方程的解，解题关键在于掌握运算法则.
12、1
【解析】
利用因式分解法先求出方程的两个根，再利用勾股定理进行求解即可.
【详解】
方程x2-14x+48=0，即(x-6)(x-8)=0，
则x-6=0或x-8=0，
解得：x1=6，x2=8，
则矩形的对角线长是：=1，
故答案为：1．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.
13、8
【解析】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=3603
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、 (1) ;(2)-6;(3)1
【解析】
（1）利用正比例函数的定义，设y=k（x-1），然后把已知的一组对应值代入求出k即可得到y与x的关系式；
（2）利用（1）中关系式求出x=-2时对应的函数值y即可．
（3）利用（1）中关系式求出y=0时对应的自变量x即可．
【详解】
解：（1）由题意可设，因为当时，
所以，，解得，
故与之间的函数表达式为
（2）因为，所以当时，
（3）因为，所以当时，即，解得
题考查了待定系数法求一次函数解析式．注意本题中是“y与x-1成正比例”，而不是“y与x成正比例”．
15、（1）3（2）－2－13
【解析】
（1）先化简，再合并同类项即可求解．
（2）利用二次根式的乘除法运算即可．
【详解】
（1）2﹣+＝6－4＋＝3
（2）（3+）×（﹣5）＝3－15＋2－5＝－2－13
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则
16、（1）的进价是元，的进价是元；（2）至少购进类玩具个.
【解析】
（1）设的进价为元，则的进价为元，根据用元购进类玩具的数量与用元购进类玩具的数量相同这个等量关系列出方程即可；
（2）设玩具个，则玩具个，结合“玩具点将每个类玩具定价为元出售，每个类玩具定价元出售，且全部售出后所获得利润不少于元”列出不等式并解答.
【详解】
解：（1）设的进价为元，则的进价为元
由题意得，
解得，
经检验是原方程的解.
所以（元）
答：的进价是元，的进价是元；
（2）设玩具个，则玩具个
由题意得：
解得.
答：至少购进类玩具个.
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用.解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的数量关系，准确的解分式方程或不等式是需要掌握的基本计算能力.
17、（1）；（2）；（3）证明见解析．
【解析】
（1）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（2）令，根据材料中的解题过程和完全平方公式因式分解即可；
（3）根据多项式乘多项式法则和完全平方公式因式分解，即可得出结论．
【详解】
解：（1）令，
则
所以．
（2）令，
则
，
所以．
（3）
．
∵是正整数，
∴也为正整数．
∴式子的值一定是某一个整数的平方．
此题考查的是因式分解，掌握利用“整体思想”和完全平方公式因式分解是解决此题的关键．
18、（1）（1）（11+14+5）m1
【解析】
（1）由已知△ABC的三边a=4，b=5，c=7，可知这是一个一般的三角形，故选用海伦-奏九韶公式求解即可；（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD.将所求四边形的面积转化为三个三角形的面积的和进行计算．
【详解】
（1）解：△ABC的面积为S＝＝ ＝4
故答案是：4；
（1）解：如图：过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接BD（如图所示）
在Rt△ADE中，
∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AE＝AD＝1
∴BE＝AB﹣AE＝1+4﹣1＝4
DE＝
∴BD＝
∴S△BCD＝
∵S△ABD＝
∴S四边形ABCD＝S△BCD+S△ABD＝
答：该块草地的面积为（）m1．
本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的求解方法.此题难度不大，注意选择适当的求解方法是关键.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、2a
【解析】
根据三角形三条边的长度关系，可以得到两个括号内的正负情况；再根据一个数先平方，后开方，所得的结果是这个数的绝对值，来计算这个式子.
【详解】
∵a，b，c是三角形的三边，
三角形任意两边之和大于第三边，任意两条边之差小于第三边，
∴a＋b－c＞0，b－c－a＜0，
所以＝＝.
本题主要考查了三角形三边的边长关系：三角形任意两条边之和大于第三边，任意两条边之差小于第三边.解决本题，还需要清楚地明白一个数先平方后开方，所得的就是这个数的绝对值.
20、1.
【解析】
由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD与三角形ACB相似，由相似得比例，将AB与AD长代入即可求出CD的长．
【详解】
在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，
∴△ABD∽△ACB，
∴，
∵AB=6，AD=4，
∴，
则CD=AC﹣AD=9﹣4=1．
考点：相似三角形的判定与性质．
21、甲．
【解析】
试题分析：∵=65.84，=285.21，∴＜，∴甲的成绩比乙稳定．故答案为甲．
考点：方差．
22、（﹣3，2）．
【解析】
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD＝∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝AD，CE＝OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．
【详解】
过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，如图所示：
∵四边形OABC是正方形，
∴OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COE+∠AOD＝90°，
又∵∠OAD+∠AOD＝90°，
∴∠OAD＝∠COE，
在△AOD和△OCE中， ，
∴△AOD≌△OCE（AAS），
∴OE＝AD＝3，CE＝OD＝2，
∵点C在第二象限，
∴点C的坐标为（﹣3，2）．
故答案为（﹣3，2）．
本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
23、-1
【解析】
一次函数y=kx-1的图象经过点（-2，1），将其代入即可得到k的值．
【详解】
解：一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），
即当x＝﹣2时，y＝1，可得：1＝-2k﹣1，
解得：k＝﹣1．
则k的值为﹣1．
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，要注意利用一次函数的特点以及已知条件列出方程，求出未知数．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
（1）因为AE，BF分别是∠DAB，∠ABC的角平分线，那么就有∠MAB＝∠DAB，∠MBA＝∠ABC，而∠DAB与∠ABC是同旁内角互补，所以，能得到∠MAB+∠MBA＝90°，即得证；
（2）要证明两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到△ADE和△BCF都是等腰三角形，那么就有CF＝BC＝AD＝DE，再利用等量减等量差相等，可证．
【详解】
证明：（1）∵在▱ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴∠DAB＝2∠BAE，∠ABC＝2∠ABF，
∴2∠BAE+2∠ABF＝180°．
即∠BAE+∠ABF＝90°，
∴∠AMB＝90°．
∴AE⊥BF；
（2）∵在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB，
∴∠DEA＝∠DAE，
∴DE＝AD，
同理可得，CF＝BC，
又∵在▱ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝CF，
∴DE﹣EF＝CF﹣EF，
即DF＝CE．
本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明AD＝DE，CB＝CF．
25、35+12﹣．
【解析】
根据完全平方公式、二次根式的乘除法和减法可以解答本题．
【详解】
（2+3）2﹣2×÷5．
＝
＝35+12﹣．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
26、（1）见解析；（2）6
【解析】
（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE=CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；
（2）依据AD=BD=2CD=4，即可得到Rt△ACD中，，再根据△ABD的面积=进行计算即可．
【详解】
解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，
∴DE=CD，
又∵∠B=30°，
∴Rt△BDE中，DE=BD，
∴BD=2DE=2CD；
（2）∵∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠B=30°，
∴AD=BD=2CD=4，
∴Rt△ACD中，AC=，
∴△ABD的面积为.
本题主要考查了直角三角形的性质以及勾股定理的运用，利用角平分线的的性质是解决问题的关键．
题号
一
二
三
四
五
总分
得分