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2024-2025学年山东省德州市武城二中高二（上）开学数学试卷（含解析）
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这是一份2024-2025学年山东省德州市武城二中高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z=1+i−2i3，则|z|=( )
A. 5B. 6C. 10D. 2 3
2.设x∈R，向量a=(x,1),b=(2,−4)，且a⊥b，则|a+b|=( )
A. 3B. 5C. 9D. 25
3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )
A. 8.5B. 9C. 9.5D. 10
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m//α，则m⊥βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥n
C. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β
5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为( )
A. 9πB. 24πC. 28πD. 84π
6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
7.在平行四边形ABCD中，BE=2ED，AF=AC+2AB，若EF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
8.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c+ccsA= 3asinC，a=3，b+c=3 2，则△ABC的面积为( )
A. 3 24B. 3 34C. 4 23D. 4 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z=−12+ 32i，则下列正确的是( )
A. |z|=1B. z−在复平面内所对应的点在第二象限
C. z2+z+1=0D. z2024=−12+ 32i
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB+bsinA=c，a=2 10,a2+b2−c2=absinC，则( )
A. tanC=2B. A=π3
C. b=6 2D. △ABC的面积为12 2
11.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是( )
A. EF//GH
B. GH//平面A1EF
C. GHEF=43
D. 平面A1EF//平面BCC1B1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.8，P(B−)=0.6，则P(A)= ______．
13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=3c，a=2 7，则△ABC的面积为______．
14.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，BM=λBC，N为AC中点，若AM⋅BN=−16，则实数λ的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．
(1)如果a=8，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(2)如果a=16，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1−BB1C1C的高．
17.(本小题15分)
某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
(2)若按照分层随机抽样从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90,100]内的概率．
18.(本小题15分)
在①b+csinB+sinC=4，②△ABC外接圆面积为4π，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答．
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC=2sinA，且_____．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为16−8 3，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD= 3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．
(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1BE，若存在，求出A1FA1C，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角A1−BC−D的平面角的正切值．
答案解析
1.C
【解析】解：z=1+i−2i=1+i+2=3+i，
所以|z|= 32+12= 10．
故选：C．
由复数的模的运算性质进行计算即可．
本题考查了复数的模的运算，属于基础题．
2.B
【解析】解：由题意得a⋅b=(x,1)⋅(2,−4)=2x−4=0，解得x=2，
故a+b=(2,1)+(2,−4)=(4,−3)，
所以|a+b|= 42+(−3)2=5．
故选：B．
根据向量垂直得到方程，求出x=2，进而得到a+b=(4,−3)，求出模长．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
3.C
【解析】解：因为80%×20=16，
所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是9+102=9.5．
故选：C．
根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
4.B
【解析】解：对于A，如图，α⊥β，m//α，此时m⊂β，故A错误；
对于B，若m//α，α面内可以找一条直线c，使得m//c；
而n⊥α，n与α内任意一条直线c都垂直，则n⊥c，则m⊥n.故B正确；
对于C，如图，m⊥n，n⊥α，此时m⊂α，故C错误；
对于D，如图，α//β，m⊂α，m//n，此时n⊂β，故D错误．
故选：B．
运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5.C
【解析】解：由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，
得圆台的体积V=13π×4×(12+1×4+42)=28π．
故选：C．
由已知直接代入圆台体积公式求解．
本题考查圆台体积的求法，是基础题．
6.D
【解析】解：因为盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，
从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为P=C21⋅C21C42=23．
故选：D．
根据古典概型相关公式可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
7.D
【解析】解：AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD，
∵AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2(AD−AE)，
∴AE=23AD+13AB，
∴EF=AF−AE=3AB+AD−23AD−13AB=83AB+13AD，
∵EF=λAB+μAD，
∴λ=83，μ=13，∴λμ=8．
故选：D．
根据向量的加减运算及数乘运算可得EF=83AB+13AD，从而得解．
本题考查了向量的加法和数乘运算，减法运算，平面向量基本定理，是基础题．
8.B
【解析】解：c+ccsA= 3asinC，由正弦定理得sinC+sinCcsA= 3sinAsinC，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，故1+csA= 3sinA，
即2sin(A−π6)=1，故sin(A−π6)=12，因为A∈(0,π)，
所以A−π6∈(−π6,5π6)，故A−π6=π6，解得A=π3，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc，即(b+c)2−2bc−a22bc=12，
因为a=3，b+c=3 2，所以18−2bc−92bc=12，
解得bc=3，S△ABC=12bcsinA=12×3× 32=3 34．
故选：B．
由正弦定理和辅助角公式得到A=π3，结合余弦定理得到bc=3，利用三角形面积公式求出答案．
本题考查正弦定理，余弦定理，辅助角公式，属于中档题．
9.AC
【解析】解：A：|z|=|−12+ 32i|= (−12)2+( 32)2=1，故A正确；
B：z−=−12− 32i在复平面内对应的点(−12,− 32)在第三象限，故B错误；
C：z2+z+1=(−12+ 32i)2+(−12+ 32i)+1=14−34− 32i−12+ 32i+1=0，故C正确；
D：因为z3−1=(z−1)(z2+z+1)=0，所以z3=1，故z2024=z674×3⋅z2=z2=−12− 32i，故D错误．
故选：AC．
A：利用复数模的求解公式化简即可判断；B：利用共轭复数的定义即可判断；C：求出z2+z+1，由此即可判断；D：求出z3−1=0，进而可以求解判断．
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
10.AC
【解析】解：由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcsC=absinC，解得tanC=2，故A正确；
由acsB+bsinA=c及正弦定理，可得sinAcsB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，
化简可得sinBsinA=csAsinB．
因为B∈(0,π)，所以sinB>0，所以sinA=csA，即tanA=1．
因为A∈(0,π)，所以A=π4，故B错误；
因为tanC=2，所以csC>0且sinC=2csC，代入sin2C+cs2C=1，
可得5cs2C=1，解得csC= 55，sinC=2 55．
因为a=2 10，A=π4，sinC=2 55，
所以由正弦定理可得c=asinCsinA=2 10×2 55 22=8，
由a2+b2−c2=absinC，可得(2 10)2+b2−82=2 10b×2 55，
化简可得b2−4 2b−24=0，解得b=6 2或b=−2 2(舍)，故C正确；
S△ABC=12bcsinA=12×6 2×8× 22=24．
故选：AC．
根据a2+b2−c2=2abcsC=absinC及余弦定理可判断A；根据acsB+bsinA=c及正弦定理可判断B；由tanC的值及同角三角函数的基本关系可求csC，sinC，根据正弦定理求出c，代入a2+b2−c2=absinC求出b可判断C；根据三角形面积公式可判断D．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
11.ABC
【解析】解：对于A，因为平面A1B1C1//平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG=HG，平面ABC∩平面BCHG=BC，
所以HG//BC，
因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF//BC，EFBC=12，
所以EF//GH，所以A正确；
对于B，由选项A可知EF//GH，
因为GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，
所以GH//平面A1EF，所以B正确；
对于C，因为HG//BC，B1C1//BC，
所以HG//B1C1，
因为GH经过△A1B1C1的重心，
所以GHB1C1=23，
因为B1C1=BC，
所以GHBC=23，
因为EFBC=12，
所以GHEF=43，所以C正确；
对于D，因为FC=12AC，AC=A1C1，
所以FC=12A1C1，
因为FC//A1C1，
所以四边形A1FCC1为梯形，且A1F与CC1为腰，
所以A1F与CC1必相交，
因为A1F⊂平面A1EF，CC1⊂平面BCC1B1，
所以平面A1EF与平面BCC1B1相交，所以D错误．
故选：ABC．
对于A，由面面平行的性质结合三角形中位线定理判断，对于B，由线面平行的判定定理判断，对于C，由三角形中位线定理和三角形重心的性质分析判断，对于D，通过判断CC1与A1F的位置关系进行判断．
本题主要考查空间中平行关系的判定及性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12.0.4
【解析】解：∵事件A和B互斥，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，
又P(B−)=0.6，∴P(B)=1−P(B−)=1−0.6=0.4，
∴P(A)=0.8−P(B)=0.4．
故答案为：0.4．
根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解．
本题主要考查互斥事件及对立事件的概率相关知识，属于基础题．
13.3 3
【解析】解：∵b=3c，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，A=π3，a=2 7，
∴28=9c2+c2−3c2，∴c=2，b=6，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×6×2× 32=3 3．
故答案为：3 3．
根据余弦定理可得边长，从而确定面积．
本题考查余弦定理，属于基础题．
14.23
【解析】解：∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cs120°=3×2×(−12)=−3，
∵N为AC中点，
∴BN=AN−AB=12AC−AB，
AM=AB+BM=λBC+AB=λ(AC−AB)+AB=(1−λ)AB+λAC，
∵AM⋅BN=−16，
∴(12AC−AB)⋅[(1−λ)AB+λAC]=−(1−λ)AB2+12λAC2+1−3λ2AB⋅AC=−16，
即9(λ−1)+12λ×4+1−3λ2×(−3)=−16，
即31λ−212=−16，得31λ=623，得λ=23．
故答案为：23．
利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量加法和减法法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
15.解：(1)当a=8时，从X，Y两组随机各选1人，
样本空间Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8种，
所以概率为825．
(2)当a=16时，P(M)=15，
事件N的情况有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4种，则P(N)=425
事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为(11,14)，则P(MN)=125，
因此P(M)P(N)=15×425=4125≠P(MN)，
所以事件M，N不相互独立．
【解析】(1)利用列举法求出古典概率即得结果．
(2)利用列举法求出概率，再利用相互独立事件的定义判断即得．
本题考查古典概型以及相互独立事件的定义等相关知识，属于基础题．
16.解：(1)∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，
∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；
(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，
∴BC⊥AC，BC⊥A1C，
∵AB=A1B，BC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，
∴A1C=AC，
∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，
∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，
∵AA1=2，∴A1C=AC= 2，
∴A1C1= 2，
过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，
∴O为CC1的中点，∴A1O=12C1C=12A1A=1，
由(1)可知A1O⊥平面BCC1B1，
∴四棱锥A1−BB1C1C的高为1．
【解析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC= 2，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A1O为四棱锥A1−BB1C1C的高，求解即可．
本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，属中档题．
17.解：(1)由频率分布直方图，得10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1，解得a=0.020，
成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.05，0.3，0.35，0.2，0.1，
显然本次竞赛成绩的中位数m∈(70,80)，则0.35+(m−70)×0.035=0.5，解得m≈74.3，
本次竞赛成绩的平均数为x−=55×0.05+65×0.3+75×0.35+85×0.2+95×0.1=75，
所以a=0.020，中位数约为74.3，平均数约为75．
(2)由(1)知，成绩在[80,90)，[90,100]的频率之比为0.2：0.1=2：1，
则在[80,90)中随机抽取6×23=4人，记为1，2，3，4，在[90,100]中随机抽取6×13=2人，记为a，b，
从6人中随机抽取2人的样本空间为Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab}，共15个样本点，
设事件A=“至少有1人的成绩在[90,100]内”，则A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}，有9个样本点，
因此P(A)=915=35，
所以至少有1人的成绩在[90,100]内的概率35．
【解析】(1)利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1 求出a的值，再估计中位数和平均数．
(2)求出抽取的6人中在[80,90)，[90,100]的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得．
本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.解：(1)由asinC=2sinA得2sinC=asinA，
若选①，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得asinA=b+csinB+sinC=4，
所以2sinC=4，则sinC=12，又因为C∈(0,π2)，故C=π6；
若选②△ABC外接圆半径R=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=4，
所以2sinC=4，则sinC=12，又因为C∈(0,π2)，故C=π6；
(2)由(1)知csinC=4，所以c=2，
因为△ABC的面积为16−8 3，所以12absinC=16−8 3，
所以ab=(32−8 3)×2，则ab=64−32 3，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC得，a2+b2− 3ab=4，
所以(a+b)2−(2+ 3)ab=4，所以(a+b)2=4+(2+ 3)ab=4+(2+ 3)(64−32 3)=36，
所以a+b=6，所以△ABC的周长为8．
【解析】(1)选①，选②都是利用正弦定理可得C；(2)代入面积公式，余弦定理即可得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19.解：(1)当F是A1C的中点时，直线DF//平面ABE，理由如下：
如图，设AB的中点为N，连接EN，FN，
所以FN//BC，FN=12BC，又ED//BC，ED=12BC，
所以FN//ED且FN=ED，
所以四边形DENF是平行四边形，
所以DF//EN，又因为DF⊄平面A1BE，EN⊂平面A1BE，
所以DF//平面A1BE，
所以存在点F，使DF//平面A1BE，且A1FA1C=12；
(2)在平面图形中，连接CE，则∠ECD=30°，∠ECB=60°，
所以CB=CE=BE=AE=AB=2，
如图所示，取BE中点O，连接A1O，则BE⊥OA1，
因为A1O⊂平面A1BE，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
所以A1O⊥平面BCDE，又因为BC⊂平面BCDE，所以A1O⊥BC，
作OM⊥BC于M，连接A1M，
因为A1O∩OM=O，且A1O，OM⊂平面A1OM，
所以BC⊥平面A1OM，又因为A1M⊂平面A1OM，
所以A1M⊥BC，所以∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，
在直角△A1MO中，A1O= 3OM= 32，可得tan∠A1MO=2，
故二面角A1−BC−D的平面角的正切值为2．
【解析】(1)设AB的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到DF//EN，得出DF//平面ABE，进而得到结论；
(2)连接CE，取BE中点O，作OM⊥BC于M，证得AM⊥BC，得到∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，在直角△A1MO中，即可求解．
本题考查了判断线面是否垂直，求二面角，由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置，属于中档题．比赛成绩
6
7
8
9
10
班级数
3
5
4
4
4
1.若复数z=1+i−2i3，则|z|=( )
A. 5B. 6C. 10D. 2 3
2.设x∈R，向量a=(x,1),b=(2,−4)，且a⊥b，则|a+b|=( )
A. 3B. 5C. 9D. 25
3.某校在五四青年节举行了班班有歌声比赛.现从该校随机抽取20个班级的比赛成绩，得到以下数据，由此可得这20个比赛成绩的第80百分位数是( )
A. 8.5B. 9C. 9.5D. 10
4.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )
A. 若α⊥β，m//α，则m⊥βB. 若m//α，n⊥α，则m⊥n
C. 若m⊥n，n⊥α，则m//αD. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β
5.已知一个圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，则该圆台的体积为( )
A. 9πB. 24πC. 28πD. 84π
6.一个不透明的盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，现从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为( )
A. 16B. 13C. 12D. 23
7.在平行四边形ABCD中，BE=2ED，AF=AC+2AB，若EF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则λμ=( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
8.在三角形ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c+ccsA= 3asinC，a=3，b+c=3 2，则△ABC的面积为( )
A. 3 24B. 3 34C. 4 23D. 4 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知z=−12+ 32i，则下列正确的是( )
A. |z|=1B. z−在复平面内所对应的点在第二象限
C. z2+z+1=0D. z2024=−12+ 32i
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acsB+bsinA=c，a=2 10,a2+b2−c2=absinC，则( )
A. tanC=2B. A=π3
C. b=6 2D. △ABC的面积为12 2
11.如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且B、C、G、H四点共面，则下列结论正确的是( )
A. EF//GH
B. GH//平面A1EF
C. GHEF=43
D. 平面A1EF//平面BCC1B1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件A和B互斥，且P(A∪B)=0.8，P(B−)=0.6，则P(A)= ______．
13.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60°，b=3c，a=2 7，则△ABC的面积为______．
14.在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=120°，BM=λBC，N为AC中点，若AM⋅BN=−16，则实数λ的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
已知X，Y两组各有5位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：
X组：10，11，12，13，14，Y组：12，13，15，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从X，Y两组随机各选1人，X组选出的人记为甲，Y组选出的人记为乙．
(1)如果a=8，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
(2)如果a=16，事件M：“甲康复时间为11天”，事件N：“甲乙康复时间之和为25天”，事件M，N是否相互独立？
16.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°．
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB=A1B，AA1=2，求四棱锥A1−BB1C1C的高．
17.(本小题15分)
某中学高一年级举行了一次数学竞赛，从中随机抽取了一批学生的成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于50至100之间，将数据按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图所示．
(1)求频率分布直方图中a的值，并估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；
(2)若按照分层随机抽样从成绩在[80,90)，[90,100]的两组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求至少有1人的成绩在[90,100]内的概率．
18.(本小题15分)
在①b+csinB+sinC=4，②△ABC外接圆面积为4π，这两个条件中任选一个，补充在下面横线上，并作答．
在锐角△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若asinC=2sinA，且_____．
(1)求C；
(2)若△ABC的面积为16−8 3，求△ABC的周长．
19.(本小题17分)
如图，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3，CD= 3，边AD上一点E满足DE=1，现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．
(1)在棱A1C上是否存在点F，使直线DF//平面A1BE，若存在，求出A1FA1C，若不存在，请说明理由；
(2)求二面角A1−BC−D的平面角的正切值．
答案解析
1.C
【解析】解：z=1+i−2i=1+i+2=3+i，
所以|z|= 32+12= 10．
故选：C．
由复数的模的运算性质进行计算即可．
本题考查了复数的模的运算，属于基础题．
2.B
【解析】解：由题意得a⋅b=(x,1)⋅(2,−4)=2x−4=0，解得x=2，
故a+b=(2,1)+(2,−4)=(4,−3)，
所以|a+b|= 42+(−3)2=5．
故选：B．
根据向量垂直得到方程，求出x=2，进而得到a+b=(4,−3)，求出模长．
本题主要考查向量垂直的性质，以及向量模公式，属于基础题．
3.C
【解析】解：因为80%×20=16，
所以由表格数据可知这20个比赛成绩的第80百分位数是9+102=9.5．
故选：C．
根据百分位数的定义和求解步骤直接计算求解即可．
本题考查了百分位数的求解，属于基础题．
4.B
【解析】解：对于A，如图，α⊥β，m//α，此时m⊂β，故A错误；
对于B，若m//α，α面内可以找一条直线c，使得m//c；
而n⊥α，n与α内任意一条直线c都垂直，则n⊥c，则m⊥n.故B正确；
对于C，如图，m⊥n，n⊥α，此时m⊂α，故C错误；
对于D，如图，α//β，m⊂α，m//n，此时n⊂β，故D错误．
故选：B．
运用线面垂直平行的定理，结合长方体模型举反例即可判断．
本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题．
5.C
【解析】解：由圆台的上底面半径为1，下底面半径为4，高为4，
得圆台的体积V=13π×4×(12+1×4+42)=28π．
故选：C．
由已知直接代入圆台体积公式求解．
本题考查圆台体积的求法，是基础题．
6.D
【解析】解：因为盒子中装有大小、材质均相同的四个球，其中有两个红球和两个黄球，
从盒子中一次性随机摸取两个球，则这两球不同色的概率为P=C21⋅C21C42=23．
故选：D．
根据古典概型相关公式可解．
本题考查古典概型相关知识，属于基础题．
7.D
【解析】解：AF=AC+2AB=AB+AD+2AB=3AB+AD，
∵AE=AB+BE=AB+2ED=AB+2(AD−AE)，
∴AE=23AD+13AB，
∴EF=AF−AE=3AB+AD−23AD−13AB=83AB+13AD，
∵EF=λAB+μAD，
∴λ=83，μ=13，∴λμ=8．
故选：D．
根据向量的加减运算及数乘运算可得EF=83AB+13AD，从而得解．
本题考查了向量的加法和数乘运算，减法运算，平面向量基本定理，是基础题．
8.B
【解析】解：c+ccsA= 3asinC，由正弦定理得sinC+sinCcsA= 3sinAsinC，
因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，故1+csA= 3sinA，
即2sin(A−π6)=1，故sin(A−π6)=12，因为A∈(0,π)，
所以A−π6∈(−π6,5π6)，故A−π6=π6，解得A=π3，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc，即(b+c)2−2bc−a22bc=12，
因为a=3，b+c=3 2，所以18−2bc−92bc=12，
解得bc=3，S△ABC=12bcsinA=12×3× 32=3 34．
故选：B．
由正弦定理和辅助角公式得到A=π3，结合余弦定理得到bc=3，利用三角形面积公式求出答案．
本题考查正弦定理，余弦定理，辅助角公式，属于中档题．
9.AC
【解析】解：A：|z|=|−12+ 32i|= (−12)2+( 32)2=1，故A正确；
B：z−=−12− 32i在复平面内对应的点(−12,− 32)在第三象限，故B错误；
C：z2+z+1=(−12+ 32i)2+(−12+ 32i)+1=14−34− 32i−12+ 32i+1=0，故C正确；
D：因为z3−1=(z−1)(z2+z+1)=0，所以z3=1，故z2024=z674×3⋅z2=z2=−12− 32i，故D错误．
故选：AC．
A：利用复数模的求解公式化简即可判断；B：利用共轭复数的定义即可判断；C：求出z2+z+1，由此即可判断；D：求出z3−1=0，进而可以求解判断．
本题考查了复数的运算性质，属于基础题．
10.AC
【解析】解：由余弦定理可得a2+b2−c2=2abcsC=absinC，解得tanC=2，故A正确；
由acsB+bsinA=c及正弦定理，可得sinAcsB+sinBsinA=sinC=sin(A+B)，
化简可得sinBsinA=csAsinB．
因为B∈(0,π)，所以sinB>0，所以sinA=csA，即tanA=1．
因为A∈(0,π)，所以A=π4，故B错误；
因为tanC=2，所以csC>0且sinC=2csC，代入sin2C+cs2C=1，
可得5cs2C=1，解得csC= 55，sinC=2 55．
因为a=2 10，A=π4，sinC=2 55，
所以由正弦定理可得c=asinCsinA=2 10×2 55 22=8，
由a2+b2−c2=absinC，可得(2 10)2+b2−82=2 10b×2 55，
化简可得b2−4 2b−24=0，解得b=6 2或b=−2 2(舍)，故C正确；
S△ABC=12bcsinA=12×6 2×8× 22=24．
故选：AC．
根据a2+b2−c2=2abcsC=absinC及余弦定理可判断A；根据acsB+bsinA=c及正弦定理可判断B；由tanC的值及同角三角函数的基本关系可求csC，sinC，根据正弦定理求出c，代入a2+b2−c2=absinC求出b可判断C；根据三角形面积公式可判断D．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
11.ABC
【解析】解：对于A，因为平面A1B1C1//平面ABC，平面A1B1C1∩平面BCHG=HG，平面ABC∩平面BCHG=BC，
所以HG//BC，
因为E，F分别是AB，AC的中点，
所以EF//BC，EFBC=12，
所以EF//GH，所以A正确；
对于B，由选项A可知EF//GH，
因为GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，
所以GH//平面A1EF，所以B正确；
对于C，因为HG//BC，B1C1//BC，
所以HG//B1C1，
因为GH经过△A1B1C1的重心，
所以GHB1C1=23，
因为B1C1=BC，
所以GHBC=23，
因为EFBC=12，
所以GHEF=43，所以C正确；
对于D，因为FC=12AC，AC=A1C1，
所以FC=12A1C1，
因为FC//A1C1，
所以四边形A1FCC1为梯形，且A1F与CC1为腰，
所以A1F与CC1必相交，
因为A1F⊂平面A1EF，CC1⊂平面BCC1B1，
所以平面A1EF与平面BCC1B1相交，所以D错误．
故选：ABC．
对于A，由面面平行的性质结合三角形中位线定理判断，对于B，由线面平行的判定定理判断，对于C，由三角形中位线定理和三角形重心的性质分析判断，对于D，通过判断CC1与A1F的位置关系进行判断．
本题主要考查空间中平行关系的判定及性质，考查逻辑推理能力，属于中档题．
12.0.4
【解析】解：∵事件A和B互斥，∴P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.8，
又P(B−)=0.6，∴P(B)=1−P(B−)=1−0.6=0.4，
∴P(A)=0.8−P(B)=0.4．
故答案为：0.4．
根据互斥事件及对立事件的概率相关知识进行求解．
本题主要考查互斥事件及对立事件的概率相关知识，属于基础题．
13.3 3
【解析】解：∵b=3c，由余弦定理可得：a2=b2+c2−2bccsA，A=π3，a=2 7，
∴28=9c2+c2−3c2，∴c=2，b=6，
∴△ABC的面积S=12bcsinA=12×6×2× 32=3 3．
故答案为：3 3．
根据余弦定理可得边长，从而确定面积．
本题考查余弦定理，属于基础题．
14.23
【解析】解：∵AB=3，AC=2，∠BAC=120°，
∴AB⋅AC=|AB|⋅|AC|cs120°=3×2×(−12)=−3，
∵N为AC中点，
∴BN=AN−AB=12AC−AB，
AM=AB+BM=λBC+AB=λ(AC−AB)+AB=(1−λ)AB+λAC，
∵AM⋅BN=−16，
∴(12AC−AB)⋅[(1−λ)AB+λAC]=−(1−λ)AB2+12λAC2+1−3λ2AB⋅AC=−16，
即9(λ−1)+12λ×4+1−3λ2×(−3)=−16，
即31λ−212=−16，得31λ=623，得λ=23．
故答案为：23．
利用向量加法和减法法则进行化简，利用向量数量积公式建立方程进行求解即可．
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量加法和减法法则进行化简是解决本题的关键，是中档题．
15.解：(1)当a=8时，从X，Y两组随机各选1人，
样本空间Ω={(x,y)|x∈{10，11，12，13，14}，y∈{12,13,15,14,8}}，共有25种，
甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有{(10,8)，(11,8)，(12,8)，(13,12)，(13,8)，(14,12)，(14,13)，(14,8)}，共8种，
所以概率为825．
(2)当a=16时，P(M)=15，
事件N的情况有{(10,15)，(11,14)，(12,13)，(13,12)}，共4种，则P(N)=425
事件MN：“甲康复时间为11天且甲乙康复时间之和为25天”的情况为(11,14)，则P(MN)=125，
因此P(M)P(N)=15×425=4125≠P(MN)，
所以事件M，N不相互独立．
【解析】(1)利用列举法求出古典概率即得结果．
(2)利用列举法求出概率，再利用相互独立事件的定义判断即得．
本题考查古典概型以及相互独立事件的定义等相关知识，属于基础题．
16.解：(1)∵A1C⊥底面ABC，BC⊂面ABC，
∴A1C⊥BC，又BC⊥AC，A1C，AC⊂平面ACC1A1，A1C∩AC=C，
∴BC⊥平面ACC1，又BC⊂平面BCC1B1，
∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1；
(2)∵BC⊥平面ACC1，AC，A1C⊂平面ACC1，
∴BC⊥AC，BC⊥A1C，
∵AB=A1B，BC=BC，
∴Rt△ABC≌Rt△A1BC，
∴A1C=AC，
∵A1C⊥底面ABC，AC⊂面ABC，
∴A1C⊥AC，∴A1C2+AC2=A1A2，
∵AA1=2，∴A1C=AC= 2，
∴A1C1= 2，
过A1作A1O⊥C1C于O，∵A1C=A1C1，
∴O为CC1的中点，∴A1O=12C1C=12A1A=1，
由(1)可知A1O⊥平面BCC1B1，
∴四棱锥A1−BB1C1C的高为1．
【解析】(1)根据线面垂直，面面垂直的判定与性质定理可得平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)利用已知可得A1C=AC，进而可得A1C=AC= 2，过A1作A1O⊥C1C于O，可得A1O为四棱锥A1−BB1C1C的高，求解即可．
本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的高的求法，属中档题．
17.解：(1)由频率分布直方图，得10(0.005+0.030+0.035+a+0.010)=1，解得a=0.020，
成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的频率依次为0.05，0.3，0.35，0.2，0.1，
显然本次竞赛成绩的中位数m∈(70,80)，则0.35+(m−70)×0.035=0.5，解得m≈74.3，
本次竞赛成绩的平均数为x−=55×0.05+65×0.3+75×0.35+85×0.2+95×0.1=75，
所以a=0.020，中位数约为74.3，平均数约为75．
(2)由(1)知，成绩在[80,90)，[90,100]的频率之比为0.2：0.1=2：1，
则在[80,90)中随机抽取6×23=4人，记为1，2，3，4，在[90,100]中随机抽取6×13=2人，记为a，b，
从6人中随机抽取2人的样本空间为Ω={12,13,14,1a,1b,23,24,2a,2b,34,3a,3b,4a,4b,ab}，共15个样本点，
设事件A=“至少有1人的成绩在[90,100]内”，则A={1a,1b,2a,2b,3a,3b,4a,4b,ab}，有9个样本点，
因此P(A)=915=35，
所以至少有1人的成绩在[90,100]内的概率35．
【解析】(1)利用频率分布直方图所有小矩形面积之和等于1 求出a的值，再估计中位数和平均数．
(2)求出抽取的6人中在[80,90)，[90,100]的人数，再利用列举法结合古典概率求解即得．
本题考查频率、中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.解：(1)由asinC=2sinA得2sinC=asinA，
若选①，由正弦定理asinA=bsinB=csinC得asinA=b+csinB+sinC=4，
所以2sinC=4，则sinC=12，又因为C∈(0,π2)，故C=π6；
若选②△ABC外接圆半径R=2，由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R=4，
所以2sinC=4，则sinC=12，又因为C∈(0,π2)，故C=π6；
(2)由(1)知csinC=4，所以c=2，
因为△ABC的面积为16−8 3，所以12absinC=16−8 3，
所以ab=(32−8 3)×2，则ab=64−32 3，
由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC得，a2+b2− 3ab=4，
所以(a+b)2−(2+ 3)ab=4，所以(a+b)2=4+(2+ 3)ab=4+(2+ 3)(64−32 3)=36，
所以a+b=6，所以△ABC的周长为8．
【解析】(1)选①，选②都是利用正弦定理可得C；(2)代入面积公式，余弦定理即可得．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19.解：(1)当F是A1C的中点时，直线DF//平面ABE，理由如下：
如图，设AB的中点为N，连接EN，FN，
所以FN//BC，FN=12BC，又ED//BC，ED=12BC，
所以FN//ED且FN=ED，
所以四边形DENF是平行四边形，
所以DF//EN，又因为DF⊄平面A1BE，EN⊂平面A1BE，
所以DF//平面A1BE，
所以存在点F，使DF//平面A1BE，且A1FA1C=12；
(2)在平面图形中，连接CE，则∠ECD=30°，∠ECB=60°，
所以CB=CE=BE=AE=AB=2，
如图所示，取BE中点O，连接A1O，则BE⊥OA1，
因为A1O⊂平面A1BE，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE=BE，
所以A1O⊥平面BCDE，又因为BC⊂平面BCDE，所以A1O⊥BC，
作OM⊥BC于M，连接A1M，
因为A1O∩OM=O，且A1O，OM⊂平面A1OM，
所以BC⊥平面A1OM，又因为A1M⊂平面A1OM，
所以A1M⊥BC，所以∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，
在直角△A1MO中，A1O= 3OM= 32，可得tan∠A1MO=2，
故二面角A1−BC−D的平面角的正切值为2．
【解析】(1)设AB的中点为N，证得四边形DENF是平行四边形，得到DF//EN，得出DF//平面ABE，进而得到结论；
(2)连接CE，取BE中点O，作OM⊥BC于M，证得AM⊥BC，得到∠A1MO为二面角A1−BC−D的平面角，在直角△A1MO中，即可求解．
本题考查了判断线面是否垂直，求二面角，由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置，属于中档题．比赛成绩
6
7
8
9
10
班级数
3
5
4
4
4
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