辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

这是一份辽宁省铁岭市开原市2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题，共9页。试卷主要包含了下列说法正确的是，关于的方程的根的情况是，如图，矩形中，，在轴上等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形D．对角线互相平分的四边形是菱形
3．关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根D．无实数根
4．关于的方程是一元二次方程，则的值是（ ）
A．B．1C．D．0
5．如图，已知在平面直角坐标系中，四边形是菱形，其中点的坐标是，点的坐标是，点在轴上，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，矩形中，，在轴上．且点的横坐标为，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，、则的长为（ ）
A．4B．3C．D．
8．摩拜共享单车计划2023年第三季度（8，9，10月）连续3个月对成都投放新型摩拜单车，计划8月投放3000台，第三季度共投放12000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
9．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，正方形中，点为对角线的中点，矩形两边分别交、边于、两点，连接，下列结论正确的有（ ）个．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）若，则以为斜边的直角三角形面积的最大值为8．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_________．
12．如图，在菱形中，，点、分别是线段、上的动点，连接、，若，，则图中阴影部分的面积是_________．
13．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：m）为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为_________s（结果保留整数）．
14．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，菱形的面积为18，则_________．
15．如图，，，，，点为的中点，点在的延长线上，将绕点顺时针旋转度得到，当是直角三角形时，的长为_________．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）；（2）
17．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个不相等的实数根；
（2）若是该方程的一个解，求方程的另一个根．
18．（10分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出将向左平移4个单位后得到的图形；
（2）画出将绕点按逆时针方向旋转后得到的图形，并直接写出四边形的形状；
（3）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
19．（8分）如图，在平行四边形中，是上一点（不与点，重合），，过点作，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当，时，求的长．
20．（9分）如图，在中，，过点的直线，为边上点，过点作交直线与，垂足为，连接，．
（1）求证：；
（2）当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明理由；
21．（10分）三星堆遗址被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体，被誉为“长江文明之源”．为更好的传承和宣传三星堆文化，三星堆文创馆一次次打破了自身限定，让文创产品充满创意．已知文创产品“青铜鸟文创水杯”有，两个系列，系列产品比系列产品的售价低5元，100元购买系列产品的数量与150元购买系列产品的数量相等．按定价销售一段时间后发现：系列产品按定价销售，每天可以卖50件，若系列产品每降1元，则每天可以多卖10件．
（1）系列产品和系列产品的单价各是多少？
（2）为了使系列产品每天的销售额为960元，而且尽可能让顾客得到实惠，求系列产品的实际售价应定为多少元/件？
22．（10分）综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长30cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为2cm，则纸盒底面长方形的长为_________cm，宽为_________cm；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
23．（12分）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形；且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点，与边交于点．
【特例感知】
（1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_________；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接，，，求的长度．
九上数学北师大（一）
参考答案与试题解析
一．选择题
1-5．DCABC． 6-10. CCDAB．
二．填空题
11. a≤14且a≠0． 12. 13. 2． 14．2． 15. 5或35．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）(每题4分)
解：（1）x2﹣6x+8＝0，
因式分解得，（x﹣2）（x﹣4）＝0，x﹣2＝0，x﹣4＝0，
解得，x1＝4，x2＝2；
（2）x2﹣3x+1＝0
∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，
∴，
∴，．
17．（8分）（1）证明：∵在一元二次方程x2+（n+2）x+n＝0中，a＝1，b＝n+2，c＝n，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（n+2）2﹣4n＝n2+4＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x＝﹣2是该方程的一个解，
∴（﹣2）2﹣2（n+2）+n＝0，解得n＝0，
∴该方程为x2+2x＝0，解得x1＝﹣2，x2＝0，∴方程的另一个根为x＝0．
18．（10分）
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．3分
（2）如图，△A2B2C即为所求． 5分
由旋转得，BC＝B2C，AC＝A2C，∴四边形A2B2AB为平行四边形．
（3）如图，点D1，D2，D3均满足题意，
∴满足题意的点D的坐标为（2，4）或（4，0）或（﹣2，﹣2）．
19．（8分）（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，
∴∠CPQ＝∠A，
∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠CPQ＝90°，
在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，
∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，
设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，
在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，
∴AQ的长是4．
20．（9分）（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，
∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；
（2）解：四边形BECD是菱形，理由如下：
∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，
∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝AB＝BD，
∴四边形BECD是菱形；
21．（10分）
解：（1）设A系列产品的单价是x元/件，则B系列产品的单价是（x+5）元/件，
根据题意得：，解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意，
∴x+5＝10+5＝15（元）．
答：A系列产品的单价是10元/件，B系列产品的单价是15元/件；
（2）设B系列产品的实际售价应定为y元/件，则每天可以卖50+10（15﹣y）＝（200﹣10y）件，
根据题意得：y（200﹣10y）＝960，整理得：y2﹣20y+96＝0，
解得：y1＝8，y2＝12，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，∴y＝8．
答：B系列产品的实际售价应定为8元/件．
22．（10分）解：（1）26，12；
（2）设剪去的正方形的边长为x cm，根据题意得：（30﹣2x）（16﹣2x）＝240，
解得：x1＝20（不符合题意，舍去），x2＝3，
答：剪去的正方形的边长为3cm；
（3）设剪去的正方形的边长为y cm，根据题意得：，
解得：y1＝﹣17（不符合题意，舍去），y2＝2，
答：剪去的正方形的边长为2cm．
23．（12分）解：（1）CF+CE＝BC；
（2）如图2，过点O′作O′G∥AB，交BC于G，
∵四边形ABCD和四边形A′B′C′O′是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，α＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝A′B′＝B′C′＝C′O′＝O′A′＝8，∠B＝∠D＝∠B′＝∠A′O′C′＝60°，
∴△ABC、△ACD均为等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，AC＝AB＝8，
∵O′G∥AB，∴∠CO′G＝∠BAC＝60°＝∠O′CG，
∴△O′CG是等边三角形，∴O′G＝CG＝O′C＝k•AC＝8k，
∵∠EO′G+∠CO′E＝∠CO′E+∠CO′F′＝60°，
∴∠EO′G＝∠CO′F，∴△O′EG≌△O′FC（ASA），∴EG＝CF，
∵CE+EG＝CG，∴CE+CF＝8k；
（3）连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°，∴OC＝AC＝BC＝4，
∴，∴，
当点O′在线段AO上时，如图2，过点O′作O′H⊥BC于H，
则O′C＝OO′+OC＝1+4＝5，∴，
由（2）知：CE+CF＝8k，∴CE+CF＝8×＝5，∵CF＝，∴CE＝5﹣＝；
当点O′在线段OC上时，如图3，
则O′C＝OC﹣OO′＝4﹣1＝3，∴，∴CE+CF＝8×＝3，∴CE＝3﹣＝；
综上所述，CE的长度为或．