2024年辽宁省铁岭市开原市中考二模数学试题

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第一部分 选择题（共30分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，计30分）
1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据绝对值的性质分别计算比较即可．
【详解】解：，
绝对值最大的数是．
故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质，绝对值表示在数轴上代表一个数的点到原点的距离．
2. 如图所示的三视图对应的几何体是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是三角形可判断出此几何体为圆锥．
【详解】解：图中三视图对应的几何体是圆锥，
故选：A．
【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，熟练掌握基本几何体的三视图及三视图的定义是解题的关键．
3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的定义、中心对称图形的定义；平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，就叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、这个图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项是正确的；
C、这个图形是轴对称图形但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、这个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：B
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，正确．
【点睛】本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，以及负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
5. 如图，是的外接圆，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∵
∴，
故选：C．
6. 下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．分别求出根的判别式求解即可．
【详解】解：A．∵，∴方程有两个相等的实数根，故符合题意；
B．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
C．∵，∴方程没有实数根，故不符合题意；
D．∵，∴方程有两个不相等的实数根，故不符合题意；
故选A．
7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）

A. 随的增大而增大
B.
C. 当时，
D. 关于，的方程组的解为
【答案】C
【解析】
【分析】结合图象，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、随的增大而增大，故选项A正确；
B、由图象可知，一次函数的图象与轴的交点在的图象与轴的交点的下方，即，故选项B正确；
C、由图象可知：当时，，故选项C错误；
D、由图象可知，两条直线的交点为，
∴关于，的方程组的解为；
故选项D正确；
故选C．
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式．从函数图象中有效的获取信息，熟练掌握图象法解方程组和不等式，是解题的关键．
8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”

若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．
【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．动点分别从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点移动．当移动时间为4秒时，的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得出，，勾股定理求得，，即可求解．
【详解】解：连接、

∵点的坐标为，点的坐标为，以为边作矩形．
∴，
则，
依题意，，
∴，则，
∴
∴，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得的坐标是解题的关键．
10. 下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D. 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【答案】D
【解析】
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质证明：即可．
【详解】解：作直线（两点确定一条直线），
连接，

∵由作图，，
∴且（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．
∵，
∴（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
∴，
∴A，B，C三点在以O为圆心，为直径的圆上．
∴为的外接圆．
故选：D．
【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 年春节期间，文化和旅游部组织开展“欢欢喜喜过大年”春节主题活动，统筹做好安全生产和假日市场工作，文化和旅游市场平稳有序．据初步统计，全国举办“村晚”、戏曲进乡村、新年画活动、图书馆里过大年等群众文化活动约万场，线上线下约亿人次参与．将亿用科学记数法表示________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，一般形式为，其中，为整数，的值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法表示较大数的方法，即可求解．
详解】解：亿．
故答案为：．
12. 学习电学知识后，小婷同学用四个开关，一个电源和一个灯泡设计了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的概率等于______．
【答案】##
【解析】
【分析】画树状图展示所有种等可能的结果，再找出小灯泡发光的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有种，
∴小灯泡发光的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果，再从中选出符合事件A或B的结果数目，然后利用概率公式求事件A或B的概率．
13. 如图，粮仓的顶部是圆锥形状，这个圆锥底面圆的半径长为3m，母线长为6m，为防止雨水，需在粮仓顶部铺上油毡，如果油毡的市场价是每平方米10元钱，那么购买油毡所需要的费用是 ___________元（结果保留整数）．
【答案】565元
【解析】
【分析】
【详解】解： 圆锥底面圆的半径长为3m，母线长为6m，
圆锥的侧面积为：
购买油毡所需要的费用=元．
故答案为：565
14. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形的面积是5，则k的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，，再根据反比例函数比例系数的几何意义，即可求解．
【详解】如图，连接，设交y轴于点C，
∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，
∴，，
∴轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握平行四边形的性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
15. 如图，在中，，，，点是的中点，点是斜边上一动点，沿所在直线把翻折到的位置，交于点，若为直角三角形，则的长为________．

【答案】或
【解析】
【分析】先根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，结合题意可得，分两种情况：当时，根据三角形内角和定理和折叠的直线可得，根据等角对等边可得，根据直角三角形的性质和勾股定理求得，，，即可求出；当时，作交的延长线于，设，则，根据全等三角形的判定和性质可得，结合直角三角形的性质和勾股定理求得，，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出．
【详解】解：在中，，，
∴，，
∵点是的中点，
∴，
当时，如图：
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
∴；
当时，作交的延长线于．如图：
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
在中，，
即，
解得：；
综上所述，满足条件的的值为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边等，构建直角三角形，借助勾股定理求解是解题的关键．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1），
（2）先化简，再求值：的值，其中使分式值为．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、实数的混合运算、分式的化简求值、分式的值等于零等．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算进行计算即可；
（2）相加分式的混合运算化简原式，再求出使分式值为的的值，代入计算即可．
【详解】解：
；
（2）
；
∵分式值为，
即且，
解得：；
当时，原式．
17. 一家游泳馆暑期推出两种游泳方式．
方式一：每次购买元入场券．
方式二：办理实名制会员证元，仅限本人使用，每次凭证需再购入场券元．
（1）当小宁去游泳次时，选哪种方式更划算？请说明理由；
（2）当小宁去游泳至少多少次时，方式二比方式一划算？请说明理由．
【答案】（1）方式一划算，理由见解析
（2）当小宁去游泳至少次时，方式二比方式一划算
【解析】
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用
（1）分别计算出两种方式需要付款额即可得出答案；
（2）设去游泳次时，方式二比方式一划算，根据题意列出不等式，解之即可得出答案．
【小问1详解】
解：去游泳次时，选择方式一更划算，
方式一需付款元，
方式二需付款元，
，
所以选择方式一更划算；
【小问2详解】
设去游泳次时，方式二比方式一划算，
根据题意，得：，
解得．，
为整数，
至少为，
答：当小宁去游泳至少次时，方式二比方式一划算．
18. 2021年是中国共产党成立100周年，为普及党史知识，培养爱国主义精神，今年五月份，某市党校举行党史知识竞赛，每个班级各选派15名学员参加了网上测试，现对甲、乙两班学员的分数进行整理分析如下：
甲班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
87，84，88，76，93，87，73，98，86，87，79，85，84，85，98．
乙班15名学员测试成绩（满分100分）统计如下：
77，88，92，85，76，90，76，91，88，81，85，88，98，86，89．
（1）按如下分数段整理两班测试成绩
表中______________；
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图；
（3）两班测试成绩的平均数、众数、中位数、方差如表所示：
表中______________，____________．
（4）以上两个班级学员掌握党史相关知识的整体水平较好的是_________班；
（5）本次测试两班最高分都是98分，其中甲班2人，乙班1人．现从以上三人中随机抽取两人代表党校参加全市党史知识竞赛，利用树状图或表格求出恰好抽取甲、乙两班各一人参加全市党史知识竞赛的概率．
【答案】（1）4；（2）见详解；（3）87；88；（4）乙；（5）
【解析】
【分析】（1）用总人数减去其它组的测试成绩即可求得a的值；
（2）根据（1）中数据补全直方图即可；
（3）根据众数和中位数的定义取值即可；
（4）从中位数及方差的数据分析即可；
（5）画树状图列出所有等可能的结果，找出符合题意的情况数，再用概率公式求解即可．
【详解】解：（1）(人)，
故答案为：4，
（2）补全甲班15名学员测试成绩的频数分布直方图如下：
（3）甲班出现次数的最多的为87，所以众数为87；
乙班15名学员测试成绩从小到大排列为：
，
所以中位数为88，
故答案为：87，88；
（4）从中位数看，乙班整体成绩偏高，
从方差看，乙班方差小于甲班，则乙班成绩较为稳定，
综上，乙班成绩较好，
故答案为：乙；
（5）设甲班两位同学分别为A1、A2，乙班学员为B，
画树状图如下：
共有6种等可能的情况出现，其中甲、乙两班各一人的
情况有4种，故甲、乙两班各一人参加全市党史知识
竞赛的概率为．
【点睛】本题主要考查频数分布直方图，中位数，众数，方差，列表或树状图法求概率，明确题意，清楚题中各数据代表的意义是解题关键．
19. 为积极响应绿色出行的号召，骑车出行已经成为人们的新风尚．图①是某品牌自行车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中，车轮半径为，，，坐垫E与点B的距离为．
（1）求坐垫E到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫E到的距离调整为人体腿长的时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到．参考数据：，，）
【答案】（1）坐垫到地面的距离约为
（2）的长约为
【解析】
【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义．
（1）通过作垂线，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可；
（2）根据坐㻗到的距离调整为人体腿长的0.8时，由小明的腿长约为，求出，进而求出即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作，垂足为，
根据题意可知，，，
，
，
在中，，
所以坐垫到地面的距离为，
答：坐垫到地面的距离约为；
【小问2详解】
如图，由题意得，当时，人骑行最舒服，
在中，，
所以，
答：的长约为．
20. 为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】（1）x的值为600
（2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【解析】
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
【小问2详解】
解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
21. 如图，在中，，点D是上一点，且，点O在上，以点O为圆心的圆经过C，D两点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形．熟练掌握切线的判定方法，正弦的定义，是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理，得到，进而得到，即可得出是的切线；
（2）解直角三角形，求出的长，进而求出的长，再解直角三角形，求出的长即可．
小问1详解】
证明：直线与相切，理由如下：
连接，则：，

∵，即：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，的半径为3，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，，
则：，
∴，
∴．
22. 【发现问题】
小明和小强做弹球游戏，如图，小明向斜坡抛一个乒乓球，乒乓球弹起的运行路线是一条抛物线，乒乓球落地后又弹起，第二次弹起的运行路线和第一次运行路线的抛物线形状相同，小强在地面立一块高度为的木板，当乒乓球在第二次下落时能落在木板上，则小强获胜．
【提出问题】
小强将木板放在距斜坡底端多远，才能确保获胜？
【分析问题】
小强以斜坡底端为坐标原点，地面水平线为轴，取单位长度为，建立如图所示平面直角坐标系，乒乓球的大小忽略不计，经测量发现，抛球点的坐标为，第一次弹起的运行路线最高点坐标为，第二次弹起的最大高度为，小强通过这些数据，经过计算，确定了木板立的位置，从而确保自己获胜．
【解决问题】
（1）求乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线的解析式；
（2）求乒乓球第一次落地点B距斜坡低端O的距离；
（3）小强将木板立在距斜坡底端多远的范围内，才能确保自己获胜？
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，二次函数的图形及性质，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数以及二次函数的图形及性质是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解即可得解；
（2）令得，解方程即可得解；
（3）利用待定系数法先求得第二次弹起的抛物线，再求出时对应自变量的值即可求解．
【小问1详解】
解：乒乓球第一次弹起运行路线的抛物线顶点为，过点，
设．
代入，，
解得，
，
【小问2详解】
解：令，则
解得，（舍）
，乒乓球第一次落地点距斜坡底端的距离为．
【小问3详解】
解：乒乓球第二次弹起运行路线的抛物线与第一次形状相同，且最大高度为，
设．
代入，
．
解得，（舍）
．
当时，，
解得，
木板到斜坡底端的距离为的长度，当时，小强确保获胜．
23. 【问题初探】
数学课上，老师提出如下问题：
如图①，是的中线，M是的中点，的延长线交于N，求证：
经过思考，甲、乙两名同学分别给出如下解题思路：
甲同学的思路：如图②，过点D作，交B于点K，利用全等将与的数量关系转化为与之间的关系；
乙同学的思路：如图③，过点A作的平行线交的延长线于点K，利用相似将与的数量关系转化为与之间的关系．
（1）请你选择一名同学的思路，写出证明过程；
（2）【类比分析】
老师发现两名同学都利用了转化思想．为了帮助同学更好地利用转化思想解决问题提出：如图④，在中，是边上的中线，N，K是的三等分点，交于M，交于P，求的值．请你写出解答过程；
（3）【学以致用】
在中，．在直线上取点B，使，连接，在线段上取点A，连接，直线交直线于F，当时，求的值．请根据题意画出图形并简要的写出解答过程．
【答案】（1）见解析 （2），过程见解析
（3）或，画图和解答过程见解析
【解析】
【分析】（1）①甲同学的思路，过点D作，于点K，由判定，由全等三角形的性质得，即可求证；②乙同学的思路，
作交的延长线于，由判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，由相似三角形的性质得，即可求证；
（2）过作交的延长线于，过作交于，可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，即可求解；
（3）①在线段上，如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，由平行线可判定，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，即可求解；②当在射线上，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由平行线得，可求，同理可求，由相似三角形的性质得，即可求解；
【小问1详解】
①甲同学的思路：
证明：如图，过点D作，于点K，

，
M 是的中点，
，
，
是 的中线，
，
，
在和中
，
（），
，
；
②乙同学的思路：
如图，作交的延长线于，

，
M 是的中点，
，
在和中
，
（），
，
是 中线，
，
，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，过作交的延长线于，过作交于，

，
，
，
N， K是的三等分点，
，
，
，
，
是 的中线，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：；
【小问3详解】
①在线段上，
如图，过作交的延长线于，延长交于，连接，过作交于，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
，
，
；
②当在射线上，
如图，过作交于，过作交于，延长交于，过作交于，

，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
（），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
∴
综上所述：或．
【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，掌握判定方法及性质，能根据题意作出辅助线，构建相似的典型模型“”型和“” 型是解题的关键．已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2．
（1）分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；
（2）作直线，交于点O；
（3）以O为圆心，为半径作，即为所求作的圆．

班级
70.5~75.5
75.5~80.5
80.5~85.5
85.5~90.5
90.5~95.5
95.5~100.5
甲
1
2
a
5
1
2
乙
0
3
3
6
2
1
班级
平均数
众数
中位数
方差
甲
86
86
44.8
乙
86
88
y
36.7
工程队
每天施工面积（单位：）
每天施工费用（单位：元）
甲
3600
乙
x
2200