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人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡优秀导学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册5 共点力的平衡优秀导学案，文件包含专题02共点力的平衡分析原卷版docx、专题02共点力的平衡分析解析版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共35页， 欢迎下载使用。
1．共点力平衡的条件及特征
(1)平衡条件：物体所受共点力的合力为零。
(2)平衡特征：①物体的加速度为零。②物体处于静止或匀速直线运动状态。
2．处理共点力平衡问题的常用方法
3．处理动态平衡问题的常用方法
(1)解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)矢量三角形法：对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受的力的矢量三角形，由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化。此方法也称为图解法，它是求解动态平衡问题的基本方法。此法的优点是能将各力的大小、方向等变化趋势形象、直观地反映出来，大大降低了解题难度和计算强度。此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另一个力方向不变的问题。
(3)相似三角形法：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
4．共点力平衡中的临界和极值问题
(1)临界问题
①问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
②分析方法：基本方法是假设推理法。即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
(2)极值问题
①问题界定：共点力平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值或最小值的问题。
②分析方法
a．解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
b．图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
(3)临界与极值问题的分析技巧
①求解共点力平衡问题中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
②临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
5．多物体系统的平衡问题
(1)系统平衡的特征
①系统内每个物体的加速度均为零。
②系统内每个物体均处于静止或匀速直线运动状态。
(2)系统平衡问题的解题方法
一般先对整体或隔离体进行受力分析，然后对整体或隔离体应用平衡条件列方程求解。
【核心考点精准练】
考向一： 静态平衡问题
【例1】(多选)如图所示，质量为m的木块A放在质量为M的三角形斜面体B上，现用大小不相等、方向相反的水平力F1、F2分别推A和B，它们均静止不动，且F1A．A受到四个力的作用
B．B对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C．地面对B的摩擦力方向水平向右，大小为F2－F1
D．地面对B的支持力大小一定等于(M＋m)g
【答案】CD
【解析】以A为研究对象进行受力分析，如图甲所示，A受重力、F1、B对A的支持力作用，但是在沿斜面的方向上，F1的分力和重力的分力大小关系不确定，所以B和A之间有无摩擦力不确定，有摩擦力时，摩擦力的大小和方向也无法确定，A、B错误；以整体为研究对象进行受力分析，如图乙所示，水平方向：Ff＝F2－F1，方向水平向右，竖直方向：FN＝(M＋m)g，C、D正确。
考向二：动态平衡问题
【例2】如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
【答案】B
【解析】对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得：Fcsθ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝eq \f(μmg,csθ－μsinθ)，可见，当θ减小时，F一直减小，A错误，B正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小，C、D错误。
考向三：共点力平衡中的临界与极值问题
【例3】将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时细线l上的拉力为( )
A.eq \r(3)mg B．mg
C．eq \f(\r(3),2)mg D．eq \f(1,2)mg
【答案】A
【解析】以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力示意图，如图所示，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与细线l垂直时(即图中2位置)，F有最小值，根据平衡条件得Fmin＝2mgsin30°＝mg，此时T＝2mgcs30°＝eq \r(3)mg，A正确。
【过关练】
一、单选题
1．如图所示，在倾角为θ的倾斜的滑杆上套一个质量为m的圆环，圆环通过轻绳拉着一个质量为M的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，则此过程中（ ）
A．圆环受到四个力作用，物体受到两个力作用
B．轻绳对物体的拉力小于物体受到的重力
C．圆环在滑杆上运动的加速度大小为gsinθ
D．滑杆对圆环的作用力方向垂直滑杆向上
【答案】A
【详解】ABC．圆环沿滑杆下滑的过程中，轻绳始终竖直，物体只受竖直方向的重力和轻绳的拉力作用，这两个力的合力不可能沿滑杆方向，故这两个力为一对平衡力，即轻绳对物体的拉力等于物体受到的重力，物体和圆环一起做匀速运动；对圆环分析，由平衡条件可知受到重力、轻绳拉力、滑杆的支持力、滑杆的摩擦力四个力的作用，故A正确，BC错误；
D．根据受力平衡可知，滑杆对圆环的作用力与圆环的重力和轻绳对圆环拉力的合力方向相反，则滑杆对圆环的作用力方向竖直向上，故D错误。
故选A。
2．孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛孔明所发明。现有一孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速上升（如图所示），孔明灯质量为m，重力加速度为g，则此时孔明灯所受空气的作用力大小和方向是（ ）
A．，竖直向上B．，东北偏上方向
C．，东北偏上方向D．0
【答案】A
【详解】根据题意可知，孔明灯匀速上升，则所受合力为零，则所受空气的作用力与孔明灯的重力等大，反向，即大小为，方向竖直向上。
故选A。
3．春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。如图所示，由四根等长的轻质细绳悬挂起三个质量相等的灯笼1、2、3，中间的两根细绳BC和CD的夹角θ=120°，则下列选项中正确的是（ ）
A．AB与竖直方向的夹角为60°
B．AB的拉力为单个灯笼重力的2倍
C．绳AB与绳BC的弹力大小之比为2∶1
D．绳AB与绳BC的弹力大小之比为
【答案】D
【详解】AB．对2受力分析可知
对1受力分析如图
根据平行四边形定则
解得
且反向延长线过和1重力的角平分线，故AB与竖直方向夹角为，故AB错误；
CD．绳AB与绳BC的弹力大小之比为
故C错误，D正确。
故选D。
4．如图甲所示是一种墙面挂钩，相邻挂钩间的距离图乙的挂包宽度在挂包质量一定、肩带足够长、挂包与挂钩间的摩擦可忽略不计的条件下，为了使悬挂时肩带一端受到挂包的拉力最小，则可将挂包肩带跨挂在（ ）
A．一个钩子上B．两个钩子上
C．三个钩子上D．四个钩子上
【答案】C
【详解】当合力一定，两个分力同向时分力最小；为了使悬挂时肩带一端受到挂包的拉力最小，则只需当两侧肩带保持竖直时每条肩带受拉力最小，因挂包宽度为30cm，等于三个挂钩之间的距离，则此时可将挂包肩带跨挂在三个钩子上。
故选C。
5．一串小灯笼（五只）彼此用轻绳连接，并悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示。设每只灯笼的质量均为m。则自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为（ ）
A．2mgB．mg
C．mgD．8mg
【答案】C
【详解】以自上往下第2到第5只灯笼为一个整体作为研究对象，受力分析如图所示
则根据三力平衡的关系分析知，自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为
解得
故选C。
6．如图所示，用等长的轻线将三个完全相同的小球a、b、c悬挂在天花板上，对小球a、b、c同时施加水平向右的恒力，大小分别为2F、F、F，最后都达到平衡状态，下列图像可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设b、c小球之间的线与竖直方向的夹角为θ，则只对小球c分析可知
只对小球b、c整体分析可知ab之间的线与竖直方向夹角为
对小球a、b、c整体分析可知a与天花板之间的线与竖直方向的夹角为
所以
故选C。
7．如图所示，倾角为的斜面置于水平地面上，轻绳穿过光滑的定滑轮，绳的两端分别与小球（表面光滑）、物块相连，小球、物块和斜面均静止时，与小球相连的左侧绳保持竖直，与物块相连的右侧绳与斜面的夹角为，物块恰好与斜面间没有摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能受到三个力
B．水平地面对斜面底部有向右的摩擦力
C．小球与物块的质量之比为3∶1
D．若仅减小小球的质量且系统仍静止，则物块会受到沿斜面向下的摩擦力
【答案】B
【详解】A．由于绳子对小球的拉力竖直向上，根据受力平衡可知，小球只受到重力和绳子拉力作用，故A错误；
B．以物块、小球和斜面为整体，由于绳子对物块拉力有水平向左的分力，根据受力平衡可知，水平地面对斜面底部有向右的摩擦力，故B正确；
C．以小球为对象，根据受力平衡可得
以物块为对象，由于物块恰好与斜面间没有摩擦力，根据受力平衡可得
联立可得小球与物块的质量之比为
故C错误；
D．若仅减小小球的质量且系统仍静止，可知绳子拉力减小，则绳子对物块拉力沿斜面向上的分力减小，所以物块会受到沿斜面向上的摩擦力，故D错误。
故选B。
8．学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为。两位工作人员用轻绳按图甲所示的方式匀速移动石礅时，两根轻绳水平，延长线之间的夹角为，俯视图如图乙所示。重力加速度大小为g，忽略轻绳与石墩之间的摩擦，则轻绳的拉力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，设轻绳的拉力大小为，由平衡条件有
解得
故选A。
9．如图所示，货物静止在板车上，人先缓慢下压车把使车尾离开地面一定距离，车板与水平面间的夹角为，然后拉着板车一起向右做匀速直线运动，运动时夹角保持不变。则下列分析正确的是（ ）
A．下压车把的过程中货物对板车的压力逐渐增大
B．下压车把的过程中板车对货物的摩擦力逐渐增大
C．匀速运动中板车对货物的摩擦力沿车板向下
D．匀速运动中货物对板车的作用力垂直车板向下
【答案】A
【详解】A．设货物的质量为，货物做匀速直线运动，板车对货物的支持力为
下压车把的过程中，减小，板车对货物的支持力逐渐增大，根据牛顿第三定律，货物对板车的压力逐渐增大，故A正确；
BC．货物做匀速直线运动，处于平衡状态，板车对货物的摩擦力大小等于货物重力在沿车板方向的分力大小，即
下压车把的过程中，减小，板车对货物的摩擦力逐渐减小，匀速运动中板车对货物的摩擦力沿车板向上，故BC错误；
D．匀速运动中，板车对货物的作用力与货物的重力二力平衡，等大反向，则板车对货物的作用力方向竖直向上，根据牛顿第三定律，货物对板车的作用力竖直向下，故D错误。
故选A。
10．如图所示，可视为质点的清洁机器人通过磁铁吸附在斜壁上保持静止。已知机器人（含磁铁）的质量为m，斜壁与竖直方向的夹角为θ，磁铁的吸引力垂直于斜面，则机器人受到的摩擦力大小为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，对机器人进行受力分析，沿垂直于斜面和平行于斜面的两个方向正交分解，由平衡条件可得机器人受到的摩擦力大小
故选B。
11．为吸引更多消费者，商场会在中庭悬挂很多节日装饰物，如图所示，轻绳AB一端系有重为G的装饰物，另一端A可在竖直面内旋转，轻绳BC一端系在B点，另一端通过固定在天花板上的定滑轮上的C点，由工人拉住静止不动。若不计绳与滑轮间的摩擦，调整A端使绳AB从竖直方向沿顺时针缓慢变到水平方向的过程中（B点位置不动），关于力的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．AB绳拉力一直不变，BC绳拉力一直增大
B．AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大
C．地面对工人支持力一直变大
D．地面对工人摩擦力先变大后变小
【答案】B
【详解】AB．对B点受力分析，作出力的动态平衡，如图
由图可知AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大，故A错误，B正确；
CD．对工人受力分析，设绳子与竖直方向的夹角为，则
BC绳拉力一直增大，则地面对工人支持力一直变小，摩擦力增大，故CD错误；
故选B。
12．如图所示，竖直平面内有一固定的圆环，圆环上P处有一小定滑轮，圆环上套着两个小球A、B，A、B用轻绳绕过定滑轮相连，当两球在图示位置静止时，A、B两球的连线过环心O，为等腰直角三角形且段轻绳水平。若A的质量为，不计一切摩擦，两小球及定滑轮均视为质点，则B的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对两小球分别受力分析，有
则
故选B。
13．如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻弹簧一端固定于圆环的最高点A， 另一端系一光滑小环，小环套在大圆环上可自由滑动，O点为大圆环的圆心。小环恰好在大圆环上图中位置B点处于静止状态，此时（ ）
A．弹簧可能处于压缩状态
B．大圆环对小环的弹力方向指向圆心O
C．小环可能只受到两个力的作用
D．大圆环对小环的弹力大小等于小环的重力
【答案】D
【详解】C．小环一定受竖直向下的重力，弹簧的弹力沿弹簧方向，而支持力沿OB方向，若只受弹簧的弹力或支持力，不可能处于静止状态，因此小环不可能只受到两个力的作用，C错误；
AB．若弹簧处于压缩状态，弹簧对小球的弹力方向沿弹簧向外，还受到重力和圆环对小球指向圆心的弹力，这3个力不可能平衡，所以弹簧处于拉伸状态，受力如图：
大圆环对小环的弹力方向背离圆心O，AB错误；
D．依据力三角形和几何三角形相似，对应边成比例，有
可见大圆环对小环的弹力大小一定等于小球的重力，D正确。
故选D。
14．如图所示，小球甲、乙套在竖直固定的光滑圆环上，圆环竖直顶点C处固定有一大小可忽略的光滑定滑轮，细线绕过定滑轮将两小球连接在一起。两球静止时，小球甲、乙分别位于圆环上的A、B点，已知BC与竖直方向的夹角为，AB过圆环的圆心O点，小球甲、乙的质量分别为、，圆环对小球甲、乙的弹力大小分别为、，细线上的弹力大小为，重力加速度大小为，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】B．利用相似三角形的方法，对小球乙受力分析，有
由几何关系可知
解得
，
故错误；
ACD．对小球甲受力分析有
由几何关系可知
解得
，
由此可知
故AD错误， C正确。
故选C。
15．如图甲所示生活中拉旅行箱的方式可以简化为如图乙所示模型，一质量为m的物块在拉力F的作用下做匀速运动，拉力F与水平方向的夹角为。已知物块与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块受到地面的摩擦力为
B．物块受到地面的作用力为
C．若将从0°逐渐增大到90°，且仍使物块做匀速运动，则物块受到地面的作用力先增大后减小
D．若将从0°逐渐增大到90°，且仍使物块做匀速运动，则物块受到的拉力F先减小后增大
【答案】D
【详解】AB.物块的受力分析图如图甲所示：
由平衡条件可得
可得
则物块受到地面的摩擦力为
物块受到地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，大于，故AB项错误；
CD.在拉力F的作用下物块始终匀速运动，受力分析如图乙所示：
物块受到重力G、拉力F、地面的支持力和滑动摩擦力作用，由
可知，支持力和滑动摩擦力的合力方向不变，可用替代，将G、F、三个力合成，如图所示的三角形中，将从0°逐渐增大到90°，一直减小，故物块受到地面的作用力一直减小，拉力F先减小后增大，故C错误，D正确。
故选D。
16．如图所示一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在水平地面上，直梯处于静止状态。则下列说法正确的是（ ）
A．直梯可能只受到三个力的作用
B．水平地面受到直梯的压力大小可能小于直梯的重力
C．若减小直梯与水平地面的夹角，则直梯受到水平面的支持力增大
D．若增加直梯与水平地面的夹角，则直梯受到竖直面的支持力减小
【答案】D
【详解】A．如图，直梯一定受重力、地面的支持力和摩擦力以及竖直墙壁的弹力作用，不可能只受到三个力的作用，选项A错误；
BC．梯子竖直方向受力平衡，可知直梯受到水平面的支持力等于直梯的重力，即水平地面受到直梯的压力大小等于直梯的重力，若减小直梯与水平地面的夹角，则直梯受到水平面的支持力也不变，选项BC错误；
D．以梯子与地面的接触点为转动轴，由力矩平衡可知
若增加直梯与水平地面的夹角，则重力的力臂L2减小，F1的力臂L1变大，则直梯受到竖直面的支持力F1减小，选项D正确。
故选D。
二、解答题
17．如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，小物块置于斜面上，通过跨过光滑轻质定滑轮的细绳与沙桶连接，连接的一段细绳与斜面平行。已知的质量为，与斜面间的动摩擦因数为（），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使处于静止状态，求的质量范围。
【答案】
【详解】当的质量最大时，受到的静摩擦力沿斜面向下，且达到最大静摩擦力；以为对象可得
以为对象，根据受力平衡可得
又
联立解得
当的质量最小时，受到的静摩擦力沿斜面向上，且达到最大静摩擦力；以为对象可得
以为对象，根据受力平衡可得
又
联立解得
则的质量范围是
18．如图是一款可折叠的手机支架，支架由两个始终保持相互垂直的光滑挡板和组成，挡板和水平方向的夹角可自由调节。手机质量为m，重力加速度大小为g，初始，手机放在上面静止时，求：
（1）两挡板和对手机的支持力大小；
（2）当由60°缓慢变为45°过程中，这两个挡板的支持力大小如何变化。
【答案】（1）；（2）减小，增大
【详解】（1）对手机受力分析，受到重力，AB支架、BC支架分别对手机的支持力和，如图所示
支架对手机的作用力的合力与重力平衡，则
可得
可得
（2）由平衡可得
则由60°减小到45°，减小，增大。
19．如图所示，轻绳跨过固定在竖直墙壁的水平横杆右端的定滑轮，悬挂一个质量的小球。由于小球受恒定水平风力的作用，轻绳与竖直方向的夹角保持。已知，不计轻绳与滑轮间的摩擦以及风对轻绳的作用。求：
（1）水平风力大小；
（2）轻绳对定滑轮的作用力大小；
（3）当水平风力变为原来的3倍时，轻绳对定滑轮的作用力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由受力分析得
解得
（2）由受力分析得：轻绳段的拉力
因为轻绳跨过定滑轮，所以
由几何关系得
所以轻绳对定滑轮的作用力为
解得
（3）当风力变为原来的3倍，即，轻细段与竖直方向夹角为，由
解得
此时轻细段上的拉力
解得
20．某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。计算时取，，试解决下列问题：
（1）若手与金砖侧面间动摩擦因数，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大?
（2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩擦因数需满足什么条件?
【答案】（1）1250N；（2）
【详解】（1）对金块受力分析，如图所示，正交分解得
，
解得
代入数据可得
（2）由（1）问得
要使F不存在，则
即
21．如图所示，两柱体的截面分别为半径均为的圆甲和半圆乙，甲、乙的质量相等，两柱体的曲面光滑，半圆柱乙与水平面之间的摩擦不能忽略，圆柱体甲的右侧用一光滑挡板挡住，开始两球心连线沿竖直方向，现将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比；
（2）为了保证半圆柱乙始终静止，求半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设两圆心连线与水平方向的夹角为，对圆柱体甲进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有
，
可知，当时，挡板对圆柱体甲的支持力为
当时，挡板对圆柱体甲的支持力为
由牛顿第三定律可知分别为和时，圆柱体甲对挡板的压力分别为
，
则两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比
（2）当圆柱体甲恰好降到地面时（甲对地面无压力），乙受甲的压力在水平方向的分力最大，根据几何关系，结合上述，对甲进行受力分析可知
对乙有
解得
此时乙受地面的摩擦力
对甲、乙整体受力分析可知，地面对乙的支持力
根据题意，乙保持静止，则有
解得
故乙与地面间动摩擦因数的最小值为。
22．半球体A、光滑球体B及长方体木块C放在水平地面上，B位于A的顶端偏右侧，C与B的右端接触，A、B、C处于静止状态。现用水平向右的拉力拉C，使其缓慢移动，直到B即将与地面接触，如图所示。此时A恰好不与地面发生相对滑动。已知A、B的质量均为m，半径均为R，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）B即将与地面接触时，C对B支持力的大小；
（2）A与地面间的动摩擦因数；
（3）若A与地面间的动摩擦因数变为原来的，则当A、B的球心连线与水平方向的夹角为多少时，A将与地面发生相对滑动？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设A、B间的弹力为，B、C间的弹力为，B、C间的弹力沿水平方向，由几何关系可知，A、B间的弹力与水平方向的夹角满足
可得
对B受力分析，由平衡条件可得
，
解得
，
（2）设地面对A的支持力为，摩擦力为；对A受力分析，竖直方向有
可得
水平方向有
可得
此时A恰好不发生相对滑动，则有
解得
（3）若A与地面间的动摩擦因数变为原来的，则有
设A、B球心连线与水平方向夹角为时，A将要发生滑动；由（1）中结论可知，此时有
仍有
即
又
联立可得
可得
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向
效果
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交
分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三
角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
1．共点力平衡的条件及特征
(1)平衡条件：物体所受共点力的合力为零。
(2)平衡特征：①物体的加速度为零。②物体处于静止或匀速直线运动状态。
2．处理共点力平衡问题的常用方法
3．处理动态平衡问题的常用方法
(1)解析法：对研究对象进行受力分析，先画出受力示意图，再根据平衡条件列式求解，得到因变量与自变量的一般函数表达式，最后根据自变量的变化确定因变量的变化。
(2)矢量三角形法：对研究对象在动态变化过程中的若干状态进行受力分析，在同一图中作出物体在若干状态下所受的力的矢量三角形，由各边的长度变化及角度变化来确定力的大小及方向的变化。此方法也称为图解法，它是求解动态平衡问题的基本方法。此法的优点是能将各力的大小、方向等变化趋势形象、直观地反映出来，大大降低了解题难度和计算强度。此法常用于求解三力平衡且有一个力是恒力、另一个力方向不变的问题。
(3)相似三角形法：在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力的方向都变化，且题目给出了空间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
4．共点力平衡中的临界和极值问题
(1)临界问题
①问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题。
②分析方法：基本方法是假设推理法。即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解。
(2)极值问题
①问题界定：共点力平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中涉及力的最大值或最小值的问题。
②分析方法
a．解析法：根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。
b．图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定最大值或最小值。
(3)临界与极值问题的分析技巧
①求解共点力平衡问题中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点和极值点。
②临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或结论。
5．多物体系统的平衡问题
(1)系统平衡的特征
①系统内每个物体的加速度均为零。
②系统内每个物体均处于静止或匀速直线运动状态。
(2)系统平衡问题的解题方法
一般先对整体或隔离体进行受力分析，然后对整体或隔离体应用平衡条件列方程求解。
【核心考点精准练】
考向一： 静态平衡问题
【例1】(多选)如图所示，质量为m的木块A放在质量为M的三角形斜面体B上，现用大小不相等、方向相反的水平力F1、F2分别推A和B，它们均静止不动，且F1
B．B对A的摩擦力方向一定沿斜面向下
C．地面对B的摩擦力方向水平向右，大小为F2－F1
D．地面对B的支持力大小一定等于(M＋m)g
【答案】CD
【解析】以A为研究对象进行受力分析，如图甲所示，A受重力、F1、B对A的支持力作用，但是在沿斜面的方向上，F1的分力和重力的分力大小关系不确定，所以B和A之间有无摩擦力不确定，有摩擦力时，摩擦力的大小和方向也无法确定，A、B错误；以整体为研究对象进行受力分析，如图乙所示，水平方向：Ff＝F2－F1，方向水平向右，竖直方向：FN＝(M＋m)g，C、D正确。
考向二：动态平衡问题
【例2】如图所示，与水平方向成θ角的推力F作用在物块上，随着θ逐渐减小直到F水平的过程中，物块始终沿水平面做匀速直线运动。关于物块受到的外力，下列判断正确的是( )
A．推力F先增大后减小
B．推力F一直减小
C．物块受到的摩擦力先减小后增大
D．物块受到的摩擦力一直不变
【答案】B
【解析】对物块受力分析，建立如图所示的坐标系。由平衡条件得：Fcsθ－Ff＝0，FN－(mg＋Fsinθ)＝0，又Ff＝μFN，联立可得F＝eq \f(μmg,csθ－μsinθ)，可见，当θ减小时，F一直减小，A错误，B正确；摩擦力Ff＝μFN＝μ(mg＋Fsinθ)，可知，当θ、F减小时，Ff一直减小，C、D错误。
考向三：共点力平衡中的临界与极值问题
【例3】将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线l悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线l与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F达到最小值时细线l上的拉力为( )
A.eq \r(3)mg B．mg
C．eq \f(\r(3),2)mg D．eq \f(1,2)mg
【答案】A
【解析】以两个小球组成的整体为研究对象，分析受力，作出F在三个方向时整体的受力示意图，如图所示，根据平衡条件得知：F与T的合力与重力2mg总是大小相等、方向相反，由力的合成图可知，当F与细线l垂直时(即图中2位置)，F有最小值，根据平衡条件得Fmin＝2mgsin30°＝mg，此时T＝2mgcs30°＝eq \r(3)mg，A正确。
【过关练】
一、单选题
1．如图所示，在倾角为θ的倾斜的滑杆上套一个质量为m的圆环，圆环通过轻绳拉着一个质量为M的物体，在圆环沿滑杆向下滑动的过程中，悬挂物体的轻绳始终处于竖直方向，则此过程中（ ）
A．圆环受到四个力作用，物体受到两个力作用
B．轻绳对物体的拉力小于物体受到的重力
C．圆环在滑杆上运动的加速度大小为gsinθ
D．滑杆对圆环的作用力方向垂直滑杆向上
【答案】A
【详解】ABC．圆环沿滑杆下滑的过程中，轻绳始终竖直，物体只受竖直方向的重力和轻绳的拉力作用，这两个力的合力不可能沿滑杆方向，故这两个力为一对平衡力，即轻绳对物体的拉力等于物体受到的重力，物体和圆环一起做匀速运动；对圆环分析，由平衡条件可知受到重力、轻绳拉力、滑杆的支持力、滑杆的摩擦力四个力的作用，故A正确，BC错误；
D．根据受力平衡可知，滑杆对圆环的作用力与圆环的重力和轻绳对圆环拉力的合力方向相反，则滑杆对圆环的作用力方向竖直向上，故D错误。
故选A。
2．孔明灯又叫天灯，相传是由三国时的诸葛孔明所发明。现有一孔明灯升空后向着东北偏上方向匀速上升（如图所示），孔明灯质量为m，重力加速度为g，则此时孔明灯所受空气的作用力大小和方向是（ ）
A．，竖直向上B．，东北偏上方向
C．，东北偏上方向D．0
【答案】A
【详解】根据题意可知，孔明灯匀速上升，则所受合力为零，则所受空气的作用力与孔明灯的重力等大，反向，即大小为，方向竖直向上。
故选A。
3．春节期间人们都喜欢在阳台上挂一些灯笼来作为喜庆的象征。如图所示，由四根等长的轻质细绳悬挂起三个质量相等的灯笼1、2、3，中间的两根细绳BC和CD的夹角θ=120°，则下列选项中正确的是（ ）
A．AB与竖直方向的夹角为60°
B．AB的拉力为单个灯笼重力的2倍
C．绳AB与绳BC的弹力大小之比为2∶1
D．绳AB与绳BC的弹力大小之比为
【答案】D
【详解】AB．对2受力分析可知
对1受力分析如图
根据平行四边形定则
解得
且反向延长线过和1重力的角平分线，故AB与竖直方向夹角为，故AB错误；
CD．绳AB与绳BC的弹力大小之比为
故C错误，D正确。
故选D。
4．如图甲所示是一种墙面挂钩，相邻挂钩间的距离图乙的挂包宽度在挂包质量一定、肩带足够长、挂包与挂钩间的摩擦可忽略不计的条件下，为了使悬挂时肩带一端受到挂包的拉力最小，则可将挂包肩带跨挂在（ ）
A．一个钩子上B．两个钩子上
C．三个钩子上D．四个钩子上
【答案】C
【详解】当合力一定，两个分力同向时分力最小；为了使悬挂时肩带一端受到挂包的拉力最小，则只需当两侧肩带保持竖直时每条肩带受拉力最小，因挂包宽度为30cm，等于三个挂钩之间的距离，则此时可将挂包肩带跨挂在三个钩子上。
故选C。
5．一串小灯笼（五只）彼此用轻绳连接，并悬挂在空中。在稳定水平风力作用下发生倾斜，绳与竖直方向的夹角为30°，如图所示。设每只灯笼的质量均为m。则自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为（ ）
A．2mgB．mg
C．mgD．8mg
【答案】C
【详解】以自上往下第2到第5只灯笼为一个整体作为研究对象，受力分析如图所示
则根据三力平衡的关系分析知，自上往下第一只灯笼对第二只灯笼的拉力大小为
解得
故选C。
6．如图所示，用等长的轻线将三个完全相同的小球a、b、c悬挂在天花板上，对小球a、b、c同时施加水平向右的恒力，大小分别为2F、F、F，最后都达到平衡状态，下列图像可能正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设b、c小球之间的线与竖直方向的夹角为θ，则只对小球c分析可知
只对小球b、c整体分析可知ab之间的线与竖直方向夹角为
对小球a、b、c整体分析可知a与天花板之间的线与竖直方向的夹角为
所以
故选C。
7．如图所示，倾角为的斜面置于水平地面上，轻绳穿过光滑的定滑轮，绳的两端分别与小球（表面光滑）、物块相连，小球、物块和斜面均静止时，与小球相连的左侧绳保持竖直，与物块相连的右侧绳与斜面的夹角为，物块恰好与斜面间没有摩擦力，则下列说法正确的是（ ）
A．小球可能受到三个力
B．水平地面对斜面底部有向右的摩擦力
C．小球与物块的质量之比为3∶1
D．若仅减小小球的质量且系统仍静止，则物块会受到沿斜面向下的摩擦力
【答案】B
【详解】A．由于绳子对小球的拉力竖直向上，根据受力平衡可知，小球只受到重力和绳子拉力作用，故A错误；
B．以物块、小球和斜面为整体，由于绳子对物块拉力有水平向左的分力，根据受力平衡可知，水平地面对斜面底部有向右的摩擦力，故B正确；
C．以小球为对象，根据受力平衡可得
以物块为对象，由于物块恰好与斜面间没有摩擦力，根据受力平衡可得
联立可得小球与物块的质量之比为
故C错误；
D．若仅减小小球的质量且系统仍静止，可知绳子拉力减小，则绳子对物块拉力沿斜面向上的分力减小，所以物块会受到沿斜面向上的摩擦力，故D错误。
故选B。
8．学校门口水平地面上有一质量为m的石礅，石礅与水平地面间的动摩擦因数为。两位工作人员用轻绳按图甲所示的方式匀速移动石礅时，两根轻绳水平，延长线之间的夹角为，俯视图如图乙所示。重力加速度大小为g，忽略轻绳与石墩之间的摩擦，则轻绳的拉力大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】根据题意，设轻绳的拉力大小为，由平衡条件有
解得
故选A。
9．如图所示，货物静止在板车上，人先缓慢下压车把使车尾离开地面一定距离，车板与水平面间的夹角为，然后拉着板车一起向右做匀速直线运动，运动时夹角保持不变。则下列分析正确的是（ ）
A．下压车把的过程中货物对板车的压力逐渐增大
B．下压车把的过程中板车对货物的摩擦力逐渐增大
C．匀速运动中板车对货物的摩擦力沿车板向下
D．匀速运动中货物对板车的作用力垂直车板向下
【答案】A
【详解】A．设货物的质量为，货物做匀速直线运动，板车对货物的支持力为
下压车把的过程中，减小，板车对货物的支持力逐渐增大，根据牛顿第三定律，货物对板车的压力逐渐增大，故A正确；
BC．货物做匀速直线运动，处于平衡状态，板车对货物的摩擦力大小等于货物重力在沿车板方向的分力大小，即
下压车把的过程中，减小，板车对货物的摩擦力逐渐减小，匀速运动中板车对货物的摩擦力沿车板向上，故BC错误；
D．匀速运动中，板车对货物的作用力与货物的重力二力平衡，等大反向，则板车对货物的作用力方向竖直向上，根据牛顿第三定律，货物对板车的作用力竖直向下，故D错误。
故选A。
10．如图所示，可视为质点的清洁机器人通过磁铁吸附在斜壁上保持静止。已知机器人（含磁铁）的质量为m，斜壁与竖直方向的夹角为θ，磁铁的吸引力垂直于斜面，则机器人受到的摩擦力大小为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，对机器人进行受力分析，沿垂直于斜面和平行于斜面的两个方向正交分解，由平衡条件可得机器人受到的摩擦力大小
故选B。
11．为吸引更多消费者，商场会在中庭悬挂很多节日装饰物，如图所示，轻绳AB一端系有重为G的装饰物，另一端A可在竖直面内旋转，轻绳BC一端系在B点，另一端通过固定在天花板上的定滑轮上的C点，由工人拉住静止不动。若不计绳与滑轮间的摩擦，调整A端使绳AB从竖直方向沿顺时针缓慢变到水平方向的过程中（B点位置不动），关于力的变化情况，下列说法正确的是（ ）
A．AB绳拉力一直不变，BC绳拉力一直增大
B．AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大
C．地面对工人支持力一直变大
D．地面对工人摩擦力先变大后变小
【答案】B
【详解】AB．对B点受力分析，作出力的动态平衡，如图
由图可知AB绳拉力先减小后增大，BC绳拉力一直增大，故A错误，B正确；
CD．对工人受力分析，设绳子与竖直方向的夹角为，则
BC绳拉力一直增大，则地面对工人支持力一直变小，摩擦力增大，故CD错误；
故选B。
12．如图所示，竖直平面内有一固定的圆环，圆环上P处有一小定滑轮，圆环上套着两个小球A、B，A、B用轻绳绕过定滑轮相连，当两球在图示位置静止时，A、B两球的连线过环心O，为等腰直角三角形且段轻绳水平。若A的质量为，不计一切摩擦，两小球及定滑轮均视为质点，则B的质量为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对两小球分别受力分析，有
则
故选B。
13．如图所示，大圆环固定在竖直平面内，一根轻弹簧一端固定于圆环的最高点A， 另一端系一光滑小环，小环套在大圆环上可自由滑动，O点为大圆环的圆心。小环恰好在大圆环上图中位置B点处于静止状态，此时（ ）
A．弹簧可能处于压缩状态
B．大圆环对小环的弹力方向指向圆心O
C．小环可能只受到两个力的作用
D．大圆环对小环的弹力大小等于小环的重力
【答案】D
【详解】C．小环一定受竖直向下的重力，弹簧的弹力沿弹簧方向，而支持力沿OB方向，若只受弹簧的弹力或支持力，不可能处于静止状态，因此小环不可能只受到两个力的作用，C错误；
AB．若弹簧处于压缩状态，弹簧对小球的弹力方向沿弹簧向外，还受到重力和圆环对小球指向圆心的弹力，这3个力不可能平衡，所以弹簧处于拉伸状态，受力如图：
大圆环对小环的弹力方向背离圆心O，AB错误；
D．依据力三角形和几何三角形相似，对应边成比例，有
可见大圆环对小环的弹力大小一定等于小球的重力，D正确。
故选D。
14．如图所示，小球甲、乙套在竖直固定的光滑圆环上，圆环竖直顶点C处固定有一大小可忽略的光滑定滑轮，细线绕过定滑轮将两小球连接在一起。两球静止时，小球甲、乙分别位于圆环上的A、B点，已知BC与竖直方向的夹角为，AB过圆环的圆心O点，小球甲、乙的质量分别为、，圆环对小球甲、乙的弹力大小分别为、，细线上的弹力大小为，重力加速度大小为，则下列关系式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】B．利用相似三角形的方法，对小球乙受力分析，有
由几何关系可知
解得
，
故错误；
ACD．对小球甲受力分析有
由几何关系可知
解得
，
由此可知
故AD错误， C正确。
故选C。
15．如图甲所示生活中拉旅行箱的方式可以简化为如图乙所示模型，一质量为m的物块在拉力F的作用下做匀速运动，拉力F与水平方向的夹角为。已知物块与地面间的动摩擦因数为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．物块受到地面的摩擦力为
B．物块受到地面的作用力为
C．若将从0°逐渐增大到90°，且仍使物块做匀速运动，则物块受到地面的作用力先增大后减小
D．若将从0°逐渐增大到90°，且仍使物块做匀速运动，则物块受到的拉力F先减小后增大
【答案】D
【详解】AB.物块的受力分析图如图甲所示：
由平衡条件可得
可得
则物块受到地面的摩擦力为
物块受到地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，大于，故AB项错误；
CD.在拉力F的作用下物块始终匀速运动，受力分析如图乙所示：
物块受到重力G、拉力F、地面的支持力和滑动摩擦力作用，由
可知，支持力和滑动摩擦力的合力方向不变，可用替代，将G、F、三个力合成，如图所示的三角形中，将从0°逐渐增大到90°，一直减小，故物块受到地面的作用力一直减小，拉力F先减小后增大，故C错误，D正确。
故选D。
16．如图所示一架直梯斜靠在光滑的竖直墙壁上，下端放在水平地面上，直梯处于静止状态。则下列说法正确的是（ ）
A．直梯可能只受到三个力的作用
B．水平地面受到直梯的压力大小可能小于直梯的重力
C．若减小直梯与水平地面的夹角，则直梯受到水平面的支持力增大
D．若增加直梯与水平地面的夹角，则直梯受到竖直面的支持力减小
【答案】D
【详解】A．如图，直梯一定受重力、地面的支持力和摩擦力以及竖直墙壁的弹力作用，不可能只受到三个力的作用，选项A错误；
BC．梯子竖直方向受力平衡，可知直梯受到水平面的支持力等于直梯的重力，即水平地面受到直梯的压力大小等于直梯的重力，若减小直梯与水平地面的夹角，则直梯受到水平面的支持力也不变，选项BC错误；
D．以梯子与地面的接触点为转动轴，由力矩平衡可知
若增加直梯与水平地面的夹角，则重力的力臂L2减小，F1的力臂L1变大，则直梯受到竖直面的支持力F1减小，选项D正确。
故选D。
二、解答题
17．如图所示，倾角为的斜面体固定在水平地面上，小物块置于斜面上，通过跨过光滑轻质定滑轮的细绳与沙桶连接，连接的一段细绳与斜面平行。已知的质量为，与斜面间的动摩擦因数为（），设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，要使处于静止状态，求的质量范围。
【答案】
【详解】当的质量最大时，受到的静摩擦力沿斜面向下，且达到最大静摩擦力；以为对象可得
以为对象，根据受力平衡可得
又
联立解得
当的质量最小时，受到的静摩擦力沿斜面向上，且达到最大静摩擦力；以为对象可得
以为对象，根据受力平衡可得
又
联立解得
则的质量范围是
18．如图是一款可折叠的手机支架，支架由两个始终保持相互垂直的光滑挡板和组成，挡板和水平方向的夹角可自由调节。手机质量为m，重力加速度大小为g，初始，手机放在上面静止时，求：
（1）两挡板和对手机的支持力大小；
（2）当由60°缓慢变为45°过程中，这两个挡板的支持力大小如何变化。
【答案】（1）；（2）减小，增大
【详解】（1）对手机受力分析，受到重力，AB支架、BC支架分别对手机的支持力和，如图所示
支架对手机的作用力的合力与重力平衡，则
可得
可得
（2）由平衡可得
则由60°减小到45°，减小，增大。
19．如图所示，轻绳跨过固定在竖直墙壁的水平横杆右端的定滑轮，悬挂一个质量的小球。由于小球受恒定水平风力的作用，轻绳与竖直方向的夹角保持。已知，不计轻绳与滑轮间的摩擦以及风对轻绳的作用。求：
（1）水平风力大小；
（2）轻绳对定滑轮的作用力大小；
（3）当水平风力变为原来的3倍时，轻绳对定滑轮的作用力大小。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）由受力分析得
解得
（2）由受力分析得：轻绳段的拉力
因为轻绳跨过定滑轮，所以
由几何关系得
所以轻绳对定滑轮的作用力为
解得
（3）当风力变为原来的3倍，即，轻细段与竖直方向夹角为，由
解得
此时轻细段上的拉力
解得
20．某网红主播举办抓金砖挑战赛，如图为一块质量的棱台形金砖，挑战者须戴上主办方提供的手套，单手抓住金砖的a、b两侧面向上提，保持金砖c面水平朝上，而且手指不能抠底，在空中保持10s，就算挑战成功，可直接带走金砖。已知金砖a、b两侧面与金砖底面的夹角均为，挑战者施加给金砖的单侧压力为F，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度。计算时取，，试解决下列问题：
（1）若手与金砖侧面间动摩擦因数，现要徒手抓起金砖，则F至少需要多大?
（2）若要求所有戴上特供手套的挑战者绝无挑战成功的可能性，则手套与金砖侧面的动摩擦因数需满足什么条件?
【答案】（1）1250N；（2）
【详解】（1）对金块受力分析，如图所示，正交分解得
，
解得
代入数据可得
（2）由（1）问得
要使F不存在，则
即
21．如图所示，两柱体的截面分别为半径均为的圆甲和半圆乙，甲、乙的质量相等，两柱体的曲面光滑，半圆柱乙与水平面之间的摩擦不能忽略，圆柱体甲的右侧用一光滑挡板挡住，开始两球心连线沿竖直方向，现将挡板缓慢地向右移动，直到圆柱体甲刚要落至地面为止，整个过程半圆柱乙始终保持静止。假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
（1）两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比；
（2）为了保证半圆柱乙始终静止，求半圆柱乙与水平面间动摩擦因数的最小值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设两圆心连线与水平方向的夹角为，对圆柱体甲进行受力分析，如图所示
根据平衡条件有
，
可知，当时，挡板对圆柱体甲的支持力为
当时，挡板对圆柱体甲的支持力为
由牛顿第三定律可知分别为和时，圆柱体甲对挡板的压力分别为
，
则两球心的连线与水平方向分别为和时，挡板所受压力之比
（2）当圆柱体甲恰好降到地面时（甲对地面无压力），乙受甲的压力在水平方向的分力最大，根据几何关系，结合上述，对甲进行受力分析可知
对乙有
解得
此时乙受地面的摩擦力
对甲、乙整体受力分析可知，地面对乙的支持力
根据题意，乙保持静止，则有
解得
故乙与地面间动摩擦因数的最小值为。
22．半球体A、光滑球体B及长方体木块C放在水平地面上，B位于A的顶端偏右侧，C与B的右端接触，A、B、C处于静止状态。现用水平向右的拉力拉C，使其缓慢移动，直到B即将与地面接触，如图所示。此时A恰好不与地面发生相对滑动。已知A、B的质量均为m，半径均为R，重力加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求：
（1）B即将与地面接触时，C对B支持力的大小；
（2）A与地面间的动摩擦因数；
（3）若A与地面间的动摩擦因数变为原来的，则当A、B的球心连线与水平方向的夹角为多少时，A将与地面发生相对滑动？
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设A、B间的弹力为，B、C间的弹力为，B、C间的弹力沿水平方向，由几何关系可知，A、B间的弹力与水平方向的夹角满足
可得
对B受力分析，由平衡条件可得
，
解得
，
（2）设地面对A的支持力为，摩擦力为；对A受力分析，竖直方向有
可得
水平方向有
可得
此时A恰好不发生相对滑动，则有
解得
（3）若A与地面间的动摩擦因数变为原来的，则有
设A、B球心连线与水平方向夹角为时，A将要发生滑动；由（1）中结论可知，此时有
仍有
即
又
联立可得
可得
方法
内容
合成法
物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力等大、反向
效果
分解法
物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的作用效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件
正交
分解法
物体受到三个或三个以上力的作用时，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件
力的三
角形法
对受三力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力
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