2024年广东省广州市中学大附中数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】

这是一份2024年广东省广州市中学大附中数学九年级第一学期开学统考试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，四象限B．第一，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，得到，则与正方形的面积比为（ ）
A．1:2B．1:3C．1:4D．
2、（4分）下列四个选项中，不符合直线y＝3x﹣2的性质的选项是（ ）
A．经过第一、三、四象限B．y随x的增大而增大
C．与x轴交于（﹣2，0）D．与y轴交于（0，﹣2）
3、（4分）如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A1A2的长为（ ）
A．B．C．D．
4、（4分）如图所示，在矩形中，，，矩形内部有一动点满足，则点到，两点的距离之和的最小值为（ ）.
A．B．C．D．
5、（4分）一条直线y=kx+b，其中k+b＜0，kb＞0，那么该直线经过( )
A．第二、四象限B．第一、二、三象限
C．第一、三象限D．第二、三、四象限
6、（4分）如图，已知△ABC 的面积为 12，点 D 在线段 AC 上，点 F 在线段 BC 的延长线上，且 BC=4CF，四边形 DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
7、（4分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，则PK＋KQ的最小值为（ ）
A．B．C．2D．
8、（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个解是﹣1，则a的值为（ ）
A．1B．﹣2C．﹣1D．2
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）新学期，某校欲招聘数学教师一名，对两名候选老师进行了两项基本素质的测试，他们的测试成绩如表所示. 根据教学能力的实际需要，学校将笔试、面试的得分按2：3的比例计算两人的总成绩，那么__________（填“李老师”或“王老师”）将被录用.
10、（4分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题
（1）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是矩形．
（2）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是菱形．
（3）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是正方形．
11、（4分）化简：__________.
12、（4分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为_____．
13、（4分）计算的结果等于_______．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）已知：如图，一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点.轴于点，轴于点. 一次函数的图象分别交轴、轴于点、点，且，.
（1）求点的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？
15、（8分）用公式法解下列方程：
(1)2x2−4x−1=0；
(2)5x+2=3x2.
16、（8分）如图，在△ABC中，．请用尺规在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等保留作图痕迹，不写作法和证明
17、（10分）在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°．
(1)求证：△AOB是等边三角形；
(2)求∠BOE的度数．
18、（10分）下面是某公司16名员工每人所创的年利润（单位：万元）
5 3 3 5 5 10 8 5 3 5 5 8 3 5 8 5
（1）完成下列表格：
（2）这个公司平均每人所创年利润是多少？
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）若一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），则k的值为_____．
20、（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_______．
21、（4分）如图，中，，，的垂直平分线分别交、于、，若，则________.
22、（4分）计算：=___________
23、（4分）已知函数y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，则m＝_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－3，4)，B(－4，1)，C(－1，1)．
(1)在图中作出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
(2)直接写出A，B关于y轴的对称点A″，B″的坐标．
25、（10分）用适当的方法解下列方程：
（1）x（2﹣x）＝x2﹣2
（2）（2x+5）2﹣3（2x+5）+2＝0
26、（12分）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，P是直线BC上一点．
(1) 若CP=CD，求证：△DBP是等腰三角形；
(2) 在图①中建立以△ABC的边BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，BC边上的高所在直线为y轴的平面直角坐标系，如图②，已知等边△ABC的边长为2，AO=，在x轴上是否存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明由．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
由作图可得知△BEC是等边三角形，可求出∠ABE=30°，进而可求出△ABE边AB上的高，再根据三角形和正方形的面积公式求出它们的面积比即可.
【详解】
根据作图知，BE=CE=BC，
∴△BEC是等边三角形，
∴∠EBC=60°,
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=90°-60°=30°，
设AB=BC=a，过点E作EF⊥AB于点F，如图，
则EF=BE=a，
∴.
故选C.
此题主要考查了等边三角形的判定以及正方形的性质，熟练掌握有关性质是解题的关键.
2、C
【解析】
根据直线的图像性质即可解答.
【详解】
解：令x＝0，则y＝－2，故直线与y轴的交点坐标为：﹙0，－2﹚；
令y＝0，则x＝，故直线与y轴的交点坐标为：(，0).
∵直线y＝3x－2中k＝3＞0，b＝－2＜0，
∴此函数的图象经过一、三、四象限．
k＝3＞0，y随x的增大而增大.
故A，B，D正确，答案选C.
本题考查的是x、y轴上点的坐标特点及一次函数图象的性质，即一次函数y＝kx＋b（k≠0）中，当k＞0，b＜0时，函数图象经过一、三、四象限．
3、B
【解析】
由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，然后根据30°角的三角函数值求出A1A2即可.
【详解】
解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，
∴AA1＝ OA1，
由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12，
即（）2+（OA1 ）2＝OA12，
解得：OA1＝2，
∵∠A1OA2＝30°，
∴A1A2的长＝ =
故选：B．
本题考查了勾股定理、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理，通过计算得出规律是解决问题的关键．
4、D
【解析】
首先由，得出动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ABE中，由勾股定理求得BE的值，即PA＋PB的最小值．
【详解】
解：设△ABP中AB边上的高是h．
∵，
∴AB•h＝AB•AD，
∴h＝AD＝2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝2＋2＝4，
∴BE＝，
即PA＋PB的最小值为．
故选D．
本题考查了轴对称−最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
5、D
【解析】
根据k+b＜0，kb＞0，可得k＜0，b＜0，从而可知一条直线y=kx+b的图象经过哪几个象限．
【详解】
解：∵k+b＜0，kb＞0，
∴k＜0，b＜0，
∴y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，
故选：D．
本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是明确k、b的正负不同，函数图象相应的在哪几个象限．
6、B
【解析】
想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.
【详解】
连接AF、EC．
∵BC＝4CF，S△ABC＝12，
∴S△ACF＝×12＝1，
∵四边形CDEF是平行四边形，
∴DE∥CF，EF∥AC，
∴S△DEB＝S△DEC，
∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，
∵EF∥AC，
∴S△AEC＝S△ACF＝1，
∴S阴＝1．
故选B．
本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7、A
【解析】
先根据四边形ABCD是菱形可知，AD//BC，由∠A=120°可知∠B=60°，作点P关于直线BD的对称点P''，连接P'Q，PC，则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP'⊥AB时PK+QK的值最小，再在Rt△BCP'中利用锐角三角函数的定义求出P'C的长即可。
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，
∵∠A=120°，
∴∠B=180°-∠A=180°-120°=60°，
作点P关于直线BD的对称点P'，连接P'Q，P'C，则P'Q的长即为PK+QK的最小值，由图可知，当点Q与点C重合，CP'⊥AB时PK+QK的值最小，
在Rt△BCP'中,
∵BC=AB=2，∠B=60°，
∴
故选：A.
本题考查的是轴对称一最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.
8、C
【解析】
把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，然后解关于a的方程即可．
【详解】
解：把x＝﹣1代入方程x2﹣ax＝0得1+a＝0，解得a＝﹣1．
故选：C．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、李老师.
【解析】
利用加权平均数的计算方法求出李老师、王老师的最后总成绩，比较得出答案．
【详解】
解：李老师总成绩为：90×+85×=87，
王老师的成绩为：95×+80×=86，
∵87＞86，
∴李老师成绩较好，
故答案为：李老师．
考查加权平均数的计算方法，以及利用加权平均数对事件作出判断，理解权对平均数的影响．
10、AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD
【解析】
先证明四边形EFGH是平行四边形，
（1）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是矩形，则需要一个角是直角，故对角线应满足互相垂直
（2）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是菱形，则需要一组邻边相等，故对角线应满足相等
（3）联立（1）（2），要使所得四边形是正方形，则需要对角线垂直且相等
【详解】
解：连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，
∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．
∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．
∴四边形EFGH是平行四边形；
（1）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，
由（1）得，只需AC⊥BD；
（2）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，
由（1）得，只需AC＝BD；
（3）要使四边形EFGH是正方形，综合（1）和（2），
则需AC⊥BD且AC＝BD．
故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD
此题主要考查平行四边形，矩形，菱形以及正方形的判定条件
11、
【解析】
利用向量加法法则进行运算即可.
【详解】
解：原式= ==，
故答案是：.
本题考查了向量加法运算，熟练的掌握运算法则是解题的关键.
12、3
【解析】
根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求解即可.
【详解】
∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中点，
∴,,
∴DO=AO=3.
故答案为3.
本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解答本题的关键.
13、2
【解析】
先套用平方差公式，再根据二次根式的性质计算可得．
【详解】
原式=（）2﹣（）2=5﹣3=2，
考点：二次根式的混合运算
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）的坐标为；（2）， ； （3）当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
【解析】
（1）本题需先根据题意一次函数与y轴的交点，从而得出D点的坐标．
（2）本题需先根据在Rt△COD和Rt△CAP中，，OD=3，再根据S△DBP=27，从而得出BP得长和P点的坐标，即可求出结果．
（3）根据图形从而得出x的取值范围即可．
【详解】
解：（1）∵一次函数与轴相交，
∴令，解得，
∴的坐标为；
（2）∵，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
故，
把坐标代入，得到，
则一次函数的解析式为：；
把坐标代入反比例函数解析式得，
则反比例解析式为：；
（3）如图：
根据图象可得：，
解得： 或
故直线与双曲线的两个交点为，，
∵，
∴当时，一次函数的值小于反比例函数的值.
本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，在解题时要注意知识的综合运用与图形相结合是解题的关键．
15、 (1) x1=,x2=；(2) x1=2,x2=−.
【解析】
把原方程化为一元二次方程的一般形式，根据求根公式x=求解即可．
【详解】
(1)∵△=16+8=24>0，
∴x==，
x1=,x2=；
(2)先整理得到3x2−5x−2=0，∵△=25+24=49>0，∴x=，x1=2,x2=−.
本题考查解一元二次方程-公式法，解题的关键是掌握解一元二次方程-公式法.
16、见详解
【解析】
根据线段垂直平分线性质作图求解即可．
【详解】
解：如图，作AB的垂直平分线，交AC于P．
则PA=PB，点P为所求做的点．
本题考查尺规作图．线段垂直平分线的性质：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 .作线段的垂直平分线是解决本题关键．
17、 (1)证明见解析；(2)∠BOE＝75°.
【解析】
(1)由矩形ABCD，得到OA＝OB，根据AE平分∠BAD，∠CAE＝15°，即可证明△AOB是等边三角形;
(2)由等边三角形的性质，推出AB＝OB，求出∠OBC的度数，根据等边三角形和等腰直角三角形的性质得到OB＝BE，然后可求出∠BOE．
【详解】
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∵∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形．
(2)∵△AOB是等边三角形，
∴AB＝OB，∠ABO＝60°，
∴∠OBC＝90°﹣60°＝30°，
∵∠BAE＝∠BEA＝45°
∵AB＝OB＝BE，
∴∠BOE＝∠BEO＝(180°﹣30°)＝75°．
本题主要考查了三角形的内角和定理，矩形的性质，等边三角形的性质和判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点．
18、（1）答案见解析；（2）5.375万元．
【解析】
（1）直接由数据求解即可求得答案；
（2）根据加权平均数的计算公式列式计算即可得．
【详解】
解：1）完成表格如下：
（2）这个公司平均每人所创年利润是=5.375（万元）．
本题考查了统计表、加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、-1
【解析】
一次函数y=kx-1的图象经过点（-2，1），将其代入即可得到k的值．
【详解】
解：一次函数y＝kx﹣1的图象经过点（﹣2，1），
即当x＝﹣2时，y＝1，可得：1＝-2k﹣1，
解得：k＝﹣1．
则k的值为﹣1．
本题考查一次函数图像上点的坐标特征，要注意利用一次函数的特点以及已知条件列出方程，求出未知数．
20、6.5
【解析】
试题分析：依题意作图可知EF为Rt△ABC中位线，则EF=AB．在Rt△ABC中AB=
所以EF=6.5
考点：中位线定理
点评：本题难度较低，主要考查学生对三角形中位线定理知识点的掌握．
21、
【解析】
先根据垂直平分线的性质，判定AM=BM，再求出∠B=30°，∠CAM=90°，根据直角三角形中30度的角对的直角边是斜边的一半，得出BM=AM=CA，即CM=2BM，进而可求出BC的长．
【详解】
如图所示，连接AM，
∵∠BAC=120°，AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵MN⊥AB，
∴BM=2MN=2，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴BM=AM=2，
∴∠BAM=∠B=30°，
∴∠MAC=90°，
∴CM=2AM=4，
∴BC=2+4=1．
故答案为1.
此题主要考查了等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
22、6
【解析】
先取绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算加减可得；
【详解】
解：原式=1+1+4=6
故答案为：6
此题主要考查了实数运算，绝对值，负整数指数幂和零指数幂，正确化简各数是解题关键．
23、﹣1
【解析】
因为y＝（m﹣1）x|m|+3是一次函数，所以|m|＝1，m﹣1≠0，解答即可．
【详解】
解：一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．
则得到|m|＝1，m＝±1，
∵m﹣1≠0，
∴m≠1，m＝﹣1．
故答案是：m＝﹣1.
考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1．k≠0是考查的重点．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、 (1)见解析;(2)A″(3,4)，B″(4,1)．
【解析】
（1）正确找出对应点A′，B′，C′即可得出△ABC关于x轴的轴对称图形△A′B′C′；
（2）根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标改变符号直接写出即可．
【详解】
（1）如图所示；
（2）点A（﹣3，4）、B（﹣4，1）关于y轴的对称点A″、B″的坐标分别为：A″(3，4)，B″(4，1)．
本题考查轴对称图形的作法以及关于坐标轴对称的点的坐标特点，灵活应用关于坐标轴对称的点的性质是解题的关键．
25、（1）x1＝，x1＝；（1）x1＝﹣，x1＝﹣1．
【解析】
（1）整理后求出b1﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
（1）x（1﹣x）＝x1﹣1，整理得：x1﹣x﹣1＝0，△＝b1﹣4ac＝（﹣1）1﹣4×1×（﹣1）＝5，x，∴x1，x1；
（1）（1x+5）1﹣3（1x+5）+1＝0，（1x+5﹣1）（1x+5﹣1）＝0，1x+5﹣1＝0，1x+5﹣1＝0，∴x1，x1＝﹣1．
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解答此题的关键．
26、（1）见解析（2）P1（--1，0），P2（0，0）P3（+1，0）
【解析】
（1）根据等边三角形的性质即可证明；（2）分三种情况讨论：①若点P在x轴负半轴上，②若点P在x轴上，③若点P在x轴正半轴上，分别进行求解即可.
【详解】
（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵BD是中线
∴∠DBC=30°
∵CP=CD
∴∠CPD=∠CDP
又∵∠ACB=60°
∴∠CPD=30°
∴∠CPD=∠DBC
∴DB=DP即△DBP是等腰三角形．
(2) 解：在x轴上存在除点P以外的点Q，使△BDQ是等腰三角形
①若点P在x轴负半轴上，且BP=BD
∵BD=∴BP=
∴OP=+1
∴点P1（--1，0）
②若点P在x轴上，且BP=PD
∵∠PBD=∠PDB=30°
∴∠DPC=60°又∠PCD=60°
∴PC=DC=1
而OC=1
∴OP=0
∴点P2（0，0）
③若点P在x轴正半轴上，且BP=BD
∴BP=而OB=1
∴OP=+1
∴点P3（+1，0）
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
测试项目
测试成绩
李老师
王老师
笔试
90
95
面试
85
80
每人所创年利润/万元
10
8
5
3
人数
1


4
每人所创年利润/万元
10
8
5
3
人数
1
3
8
4