2024年广东省广州市华南师范大附属中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份2024年广东省广州市华南师范大附属中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）介于两个相邻整数之间，这两个整数是( )
A．2和3B．3和4C．4和5D．5和6
2、（4分）如图，在□ABCD中，下列结论不一定成立的是( )
A．∠1＝∠2B．AD＝DCC．∠ADC＝∠CBAD．OA＝OC
3、（4分） 如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
4、（4分）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①BE=DF；②∠AEB=75°；③CE=2；④S正方形ABCD=2+，其中正确答案是（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①②③
5、（4分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是( )
A．x≠-3B．x>-3C．x≥-3D．任意实数
6、（4分）某旅游纪念品商店计划制作一种手工编织的工艺品600件，制作120个以后，临近旅游旺季，商店老板决定加快制作进度，后来每天比原计划多制作20个，最后共用时11天完成，求原计划每天制作该工艺品多少个？设原计划每天制作该工艺品个，根据题意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
7、（4分）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为( ).
A．15B．C．12D．18
8、（4分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象不经过( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）菱形有一个内角是120°，其中一条对角线长为9，则菱形的边长为____________.
10、（4分）一组数据3，2，4，5，2的众数是______．
11、（4分）等边三角形中，两条中线所夹的锐角的度数为_____．
12、（4分）函数,则当函数值y=8时,自变量x的值是_____.
13、（4分）当分式有意义时，x的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）在▱ABCD中，的平分线与BA的延长线交于点E，CE交AD于F
求证：；
若于点H，，求的度数．
15、（8分）定义：如图（1），，，，四点分别在四边形的四条边上，若四边形为菱形，我们称菱形为四边形的内接菱形.
动手操作：
（1）如图2，网格中的每个小四边形都为正方形，每个小四边形的顶点叫做格点，由个小正方形组成一个大正方形，点、在格点上，请在图（2）中画出四边形的内接菱形；
特例探索：
（2）如图3，矩形，，点在线段上且，四边形是矩形的内接菱形，求的长度；
拓展应用：
（3）如图4，平行四边形，，，点在线段上且，
①请你在图4中画出平行四边形的内接菱形，点在边上；
②在①的条件下，当的长最短时，的长为__________
16、（8分）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.
（1）每件童装降价多少元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元.
（2）要想平均每天赢利2000元，可能吗？请说明理由.
17、（10分）我国国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚两地海拔高度约为米，山顶处的海拔高度约为米，由处望山脚处的俯角为由处望山脚处的俯角为，若在两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米？(结果取整数，参考数据)
18、（10分）如图，在中，点、分别在边、上，且AE=CF ，连接，请只用无刻度的直尺画出线段的中点，并说明这样画的理由.
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）边长为的正方形ABCD与直角三角板如图放置，延长CB与三角板的一条直角边相交于点E，则四边形AECF的面积为________.
20、（4分）分解因式：5x3﹣10x2=_______．
21、（4分）点M(a，2)是一次函数y=2x-3图像上的一点，则a=________．
22、（4分）如图，等腰中，，，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于______.
23、（4分）已知为实数，若有正数b，m，满足，则称是b，m的弦数．若且为正数，请写出一组，b, m使得是b，m的弦数：_____________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）（1）解不等式组：
（2）解方程：
25、（10分）某校八年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表：
(1) 填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是_________；在动作准确方面最有优势的是_________班
(2) 如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，请通过计算说明哪个班的得分最高．
26、（12分）已知m和n是两个两位数，把m和n中任意一个两位数的十位数字放置于另一个两位数的十位数字与个位数字之间，再把其个位数字放置于另一个两位数的个位数字的右边，就可以得到两个新四位数，把这两个新四位数的和除以11的商记为W（m，n）．例如：当m＝36，n＝10时，将m十位上的3放置于n的1、0之间，将m个位上的6放置于n中0的右边，得到1306；将n十位上的1放置于m的3、6之间，将n个位上的0放置于m中6的右边，得到1．这两个新四位数的和为1306+1＝4466，4466÷11＝2，所以W（36，10）＝2．
（1）计算：W（20，18）；
（2）若a＝10+x，b＝10y+8（0≤x9，1≤y≤9，x，y都是自然数）．
①用含x的式子表示W（a，36）；用含y的式子表示W（b，49）；
②当150W（a，36）+W（b，49）＝62767时，求W（5a，b）的最大值．
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、B
【解析】
根据无理数的估算得出的大小范围，即可得答案.
【详解】
∵9<15<16，
∴3<<4，
故选B.
本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出的大小范围是解答此题的关键．
2、B
【解析】
根据平行四边形对边平行可得AD∥BC，进而有∠1=∠2，则A项正确；
接下来对于其余三个选项，利用平行四边形的性质，分析图中相等线段和相等角，逐一验证即可.
【详解】
A，平行四边形对边平行，则AD∥BC，故有∠1=∠2，正确；
B，平行四边形的邻边不一定相等，则AD=DC，错误；
C，平行四边形的对角相等，则∠ADC=∠CBA ，正确；
D，平行四边形对角线互相平分，则OA=OC，正确.
故选B.
本题考查平行四边形的性质，两组对边分别平行且相等，对角线互相平分
3、C
【解析】
试题分析：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．
∴EP+FP=EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB=BC=CD=DA=1，AB∥CD，
∵AF=2，AE=1，
∴DF=AE=1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′=AD=1．
∴EP+FP的最小值为1．
故选C．
考点：菱形的性质；轴对称-最短路线问题
4、C
【解析】
证明Rt△ABE≌Rt△ADF，根据全等三角形的性质得到BE=DF；根据等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质求出∠AEB；根据等腰直角三角形的性质求出CE；根据勾股定理求出正方形的边长．
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，①说法正确；
∵CB=CD，BE=DF，
∴CE=CF，即△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，②说法正确；
如图，∵△CEF为等腰直角三角形，EF=2，
∴CE=，③说法错误；
设正方形的边长为a，则DF=a-，
在Rt△ADF中，
AD2+DF2=AF2，即a2+(a-)2=4，
解得a=或a=（舍去），
则a2=2+，即S正方形ABCD=2+，④说法正确，
故选C．
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明．
5、C
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】
∵代数式有意义
∴x+3≥0
∴x≥-3.
故选C.
本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件．
6、C
【解析】
根据题意，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】
解：由题意可得，，
故选：C．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
7、A
【解析】
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，求出A′Q，CQ，根据勾股定理求出A′C即可．
【详解】
解：沿过A的圆柱的高剪开，得到矩形EFGH，
过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，
∵AE=A′E，A′P=AP，
∴AP+PC=A′P+PC=A′C，
∵CQ=×18cm=9cm，A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm，
在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C=＝15cm，
故答案为A．
本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题的应用，关键是找出最短路线．
8、A
【解析】
考查一次函数的图像特征．
点拨：由得系数符号和常数b决定．
解答：对于一次函数，当时直线经过第一、二、四象限或第二、三、四象限;,故直线经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、9 或
【解析】
如图，根据题意得：∠BAC=120°，易得∠ABC=60°，所以△ABC为等边三角形．如果AC=9，那么AB=9；如果BD=9，由菱形的性质可得边AB的长．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠ABD=∠CBD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，AB=BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
如果AC=9，则AB=9，
如果BD=9，
则∠ABD=30°，OB=，
∴OA=AB，
在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∴AB2=OA2+OB2，
即AB2=(AB)2 +()2，
∴AB=3，
综上，菱形的边长为9或3.

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意分类讨论思想的运用.
10、1
【解析】
从一组数据中找出出现次数最多的数就是众数，发现1出现次数最多，因此1是众数．
【详解】
解：出现次数最多的是1，因此众数是1，
故答案为：1．
本题考查了众数的意义，从一组数据中找到出现次数最多的数就是众数．
11、60°
【解析】
如图，等边三角形ABC中，根据等边三角形的性质知，底边上的高与底边上的中线，顶角的平分线重合，所以∠1=∠2=∠ABC=30°，再根据三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
如图，
∵等边三角形ABC，AD、BE分别是中线，
∴AD、BE分别是角平分线，
∴∠1=∠2=∠ABC=30°，
∴∠3=∠1+∠2=60°．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12、或4
【解析】
把y=8直接代入函数即可求出自变量的值．
【详解】
把y=8直接代入函数，得：，
∵，
∴
代入，得：x=4，所以自变量x的值为或4
本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
13、
【解析】
分式有意义的条件为，即可求得x的范围．
【详解】
根据题意得：，
解得：.
答案为：
本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分母不为0是解题的关键.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、证明见解析25°
【解析】
欲证明，只要证明即可；
想办法求出即可解决问题；
【详解】
解：四边形ABCD是平行四边形，
，，
，，
，
，
．
，
，
，
，
平分，
，
，
∴
本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
15、（1）详见解析；（2）3；（3）①详见解析；②的长为
【解析】
（1）以EF为边，作一个菱形，使其各边长都为 ；
（2）如图2，连接HF，证明△DHG≌△BFE（AAS），可得CG＝3；
（3）①根据（2）中可知DG＝BE＝2，根据对角线垂直平分作内接菱形EFGH；
②如图5，当F与C重合，则A与H重合时，此时BF的长最小，就是BC的长，根据直角三角形30度角的性质和勾股定理计算可得结论．
【详解】
（1）如图2所示，菱形即为所求；
（2）如图3，连接，
四边形是矩形，，，，，
四边形是菱形，，，，，即，
，；
（3）①如图4所示，由（2）知：，，
作法：作，连接，再作的垂直平分线，交、于、，得四边形即为所求作的内接菱形；
②如图5，当与重合，则与重合时，此时的长最小，过作于，中，，，，，
四边形是菱形，，
，
即当的长最短时，的长为
本题是四边形的综合题，主要考查新定义−四边形ABCD的内接菱形，基本作图−线段的垂直平分线，菱形，熟练掌握基本作图及平行四边形、菱形和矩形的性质是解题的关键．
16、（1）每件童装降价20元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元；（2）不可能，理由详见解析.
【解析】
（1）设每件童装降价x元，则销售量为（20+2x）件，根据总利润=每件利润 销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论
（2）设每件童装降价元，则销售量为（20+2y）件，根据总利润=每件利润 销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式A<0可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利2000元.
【详解】
（1）设每件童装降价元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元，得：

∴，
∵要更多让利于顾客
∴更符合题意
答：每件童装降价20元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元.
（2）不可能；
设每件桶童装降价元，则销售量为件，根据题意得：
整理得：
∵
∴该方程无实数解
∴不可能每天盈利2000元.
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
17、1093
【解析】
作BD⊥AC于D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可．
【详解】
解：如图，作BD⊥AC于D，
由题意可得：BD＝1400﹣1000＝400（米），
∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，
在Rt△ABD中，
∵，即，
∴AD＝400（米），
在Rt△BCD中，
∵，即，
∴CD＝400（米），
∴AC＝AD+CD＝400+400≈1092.8≈1093（米），
答：隧道最短为1093米．
本题考查解直角三角形、三角函数、特殊角的三角函数值等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，学会用转化的思想解决问题，把问题转化为方程解决，属于中考常考题型．
18、详见解析
【解析】
连接AC交EF与点O，连接AF，CE．根据AE=CF，AE∥CF可知四边形AECF是平行四边形，据此可得出结论．
【详解】
解：如图：连接AC交EF与点O，点O即为所求．
理由：连接AF，CE，AC．
∵ABCD为平行四边形，
∴AE∥FC．
又∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴OE=OF，
∴点O是线段EF的中点．
本题考查的是作图-基本作图，熟知平行四边形的性质是解答此题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、5
【解析】
由四边形ABCD为正方形可以得到∠D=∠B=90°，AD=AB，又∠ABE=∠D=90°，而∠EAF=90°由此可以推出∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°，进一步得到∠DAF=∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S =S，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积=正方形的面积，从而求出其面积．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵∠EAF=90°，
∴∠DAF+∠BAF=90°,∠BAE+∠BAF=90°，
∴∠DAF=∠BAE，
∴△AEB≌△AFD（ASA），
∴S =S ，
∴它们都加上四边形ABCF的面积，
可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=5.
故答案为：5.
此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题关键在于掌握判定定理.
20、5x2(x-2)
【解析】
5x3-10x2=2x2(x-2)
21、．
【解析】
解：因为点M（a，2）是一次函数y=2x-3图象上的一点，
∴2=2a-3，
解得a=
故答案为：．
22、45°
【解析】
由等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，即可求得∠ABC的度数，又由线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，可得AE=BE，继而求得∠ABE的度数，则可求得答案．
【详解】
∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=30°，∴∠ABC=（180°-30°）÷2=75°，
∵DE是线段AB垂直平分线的交点，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=30°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=75°-30°=45°．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
23、（答案不唯一）
【解析】
根据题中提供的弦数的定义判断即可．
【详解】
解：，
是4，3的弦数，
故答案为：（答案不唯一）
本题考查了平方差公式，正确理解题中的新定义是解本题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）；（2）是原方程的解.
【解析】
（1）先分别解两个不等式，再求其解集的公共部分即可；
（2）先去分母化成整式方程，再检验，即可判断整式方程的解是否为原分式方程的解．
【详解】
（1）
由①得：
由②得：
不等式组的解集是：
（2）
去分母得：
经检验是原方程的解
本题分别考查了一元一次不等式组的解集的求法及分式方程的求解问题，两题均为基础题型．
25、（1）89；八（1）；（2）八（1）班得分最高．
【解析】
（1）用算术平均数的计算方法求得三个班的服装统一的平均数，找到动作准确的分数最高即可；
（2）利用加权平均数分别计算三个班的得分后即可得解．
【详解】
解：（1）服装统一方面的平均分为：=89分；
动作准确方面最有优势的是八（1）班；
故答案为：89；八（1）；
（2）∵八（1）班的平均分为：=84.7分；
八（2）班的平均分为：=82.8分；
八（3）班的平均分为：=83.9分；
∴得分最高的是八（1）班．
本题考查了平均数和加权平均数的计算．要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数与原数据的单位相同，不要漏单位．
26、（1）308；（2）① W（a，36）＝[1+x+1306+10x）÷11；W（b，49）＝（489+1000y+4098+100y）÷11；②W（5a，b）最大值为3．
【解析】
（1）根据题目中新定义的运算计算即可；
（2）①根据题目中新定义的运算表示出来即可；
②根据①中表示出来的，并且已知x和y的取值范围求解即可.
【详解】
解：（1）W（20，18）＝（1280+2108）÷11＝3388÷11＝308；
（2）①W（a，36）＝[1+x+1306+10x）÷11；
W（b，49）＝（489+1000y+4098+100y）÷11；
②∵当150W（a，36）+W（b，49）＝62767
∴150（[1+x+1306+10x）÷11]+（489+1000y+4098+100y）÷11＝62767
3x+2y＝29，
∴x＝5，y＝7，
x＝7，y＝4，
x＝9，y＝1，
∴a＝15，b＝78，
a＝17，b＝48，
a＝19，b＝18，
∴W（75，78）＝3，
W（85，48）＝1213，
W（95，18）＝1013，
∴W（5a，b）最大值为3．
二元一次方程的整数解及实数的混合运算是本题的考点，理解题目中新定义的运算是解题的关键.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
服装统一
动作整齐
动作准确
八（1）班
80
84
87
八（2）班
97
78
80
八（3）班
90
78
85